初二数学经典讲义 与三角形有关的线段(基础)知识讲解

一、学习与应用“凡事预则立，不预则废”．科学地学习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）如图,点A，B，C,D，E在同一条直线上，则图中有条线段。

（二）如图，已知线段AB=8cm,点C为AB的中点，则AC= =（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是．（四)一个三角形的面积是4.8m2,与它等底等高的平行四边形的面积是．（五)直角三角形底3，高4，斜边5，求面积,斜边上的高（六）有长度分别为3cm，4cm,5cm和6cm的四根木棒，从中任取三根，可以组成个不同的三角形。

知识要点——复习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己学习过程中的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．知识点一：三角形（一）三角形有关概念(1）三角形的定义：由不在同一条上的三条线段顺次相接组成的图形叫做三角形．（2）三角形的基本元素：①三角形的三条边：即组成三角形的；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的．③三角形的顶点:即相邻两边的公共．（3）三角形的特征：①有线段；②三个顶点同一直线上；③三角形是一个的图形,顺次相接．(4）三角形的符号:①三角形用符号“”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC"；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

②三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示,BC 可用a 表示．例1：如图,以下图形中三角形的个数是（ )【变式】如图,以下图形中三角形的个数是（ ）（二)三角形的分类(1）按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形__________　______________ 要点诠释:①不等边三角形：三边都不__________的三角形②等腰三角形：有两条边 的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做 ，另外一边叫做 ,两腰的夹角叫 ，腰与底边夹角叫做 ．③等边三角形：三边都__________的三角形 （2）按角分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　_______三角形_________　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形:三个内角都是 的三角形 ②钝角三角形：有一个内角为 的三角形例2：已知△ABC 的三边长为a,b,c 满足)(2=-+-c a c b ，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定 【变式】下列说法正确的是（ ）A.三角形可分为等边三角形和不等边三角形B.三角形可分为等腰直角三角形、锐角三角形和钝角三角形C.三角形可分为等边三角形、不等边三角形以及腰与底不相等的等腰三角形D.有一个角为75°的三角形是锐角三角形知识点二:三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和第三边．推论：三角形任意两边之差第三边．定理的数学语言：如图1，| b－c |〈a<b+ca b cb c aa c b⎧⎪⇔⎨⎪⎩＋＞＋＞＋＞要点诠释：(1）理论依据:两点之间最短．（2)给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：①a+b〉c，，c+a>b都能成立,则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）；②|b－c｜〈a< ⇔长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段,且，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．（3)已知三角形两边的长,可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是．（4）证明线段之间的不等关系．例3：有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有( ) A。

八年级上册数学知识点总结：与三角形有关的线段、角 学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程。

下面小编为大家整理了八年级上册数学知识点总结：与三角形有关的线段、角，欢迎大家参考阅读!【一】三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

【二】三角形的边和角三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

【三】三角形内、外角的关系1.三角形的内角和等于180°。

2.直角三角形的两个锐角互余。

3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.三角形的外角和为360°。

【四】等腰三角形与直角三角形:1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。

说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。

2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。

以上就是查字典数学网为大家整理的八年级上册数学知识点总结：与三角形有关的线段、角，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。

第1讲与三角形有关的线段知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的线段，掌握三角形的角平分线、中线和高线，以及三角形的三边关系，学会处理含三角形线段的几何题目。

知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边a+b ＞c 或b+c ＞a 或a+c ＞b b-a＜c 或c-b ＜a 或c-a ＜b 依据：两点之间，线段最短3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高abc课堂精讲精练【例题1】下列说法正确的是（）与三角形有关的角4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180°2、三角形的外角性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型：两内角角平分线夹角两外角角平分线一内角、一外角角平分线夹角∠P=90°+12∠A∠P=90°-12∠A ∠P=12∠A4、直角三角形的性质：（1）两锐角互余（2）等面积法计算S=12ab=12ch（3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【答案】B【解析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．解：A、错误．内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形．B、正确．等边三角形属于等腰三角形．C、错误．内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形．D、错误．内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．教学建议：掌握等腰三角形、锐角和钝角三角形的定义.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1个．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．教学建议：掌握三角形的中线、角平分线、高线定义和作图.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是．【答案】2＜x＜8【解析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围．解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜x﹣1＜4+3，解得：2＜x＜8，即x的取值范围是2＜x＜8．故答案为：2＜x＜8．讲解用时：3分钟解题思路：此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.1】四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）A．组成的三角形中周长最小为9B．组成的三角形中周长最小为10C．组成的三角形中周长最大为19D．组成的三角形中周长最大为16【答案】D【解析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况，①若三边为3、4、6时，其周长为3+4+6=13；②若三边为3、4、x时，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7由于x为正整数，当x为2或3或4或5或6，其周长最小为2+3+4=9，周长最大为3+4+6=13；③若三边为3、6、x时，6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，由于x为正整数，则x为4或5或6或7或8，其周长最小为3+6+4=13，周长最大为3+6+8=17；④若三边为4、6、x时，6﹣4＜x＜6+4，即2＜x＜10由于x为正整数，则x为3或4或5或6或7或8或9，其周长最小为3+6+4=13，周长最大为4+6+9=19；综上所述，选 D故选：D．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想．掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，分析每个组合的情况得到最后的结果.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【例题3】已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是．【答案】2（b﹣c）【解析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；故答案为：2（b﹣c）讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c 的符号．教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】若a、b、c为三角形的三边长，试证明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负．【答案】（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负【解析】根据平方差公式和完全平方公式把（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2变形为（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），再根据三角形的三边关系即可得出答案．解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2=（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）=[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），∵a、b、c为三角形的三边长，∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形．教学建议：熟练掌握三角形的三边关系，利用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边做题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有．【答案】③④【解析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．解：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故答案为③④．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．教学建议：熟练掌握三角形的角平分线、中线和高线的定义和性质，综合利用. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB，AC边上的高线分别是CE，BF．D、G分别是EF、BC的中点，那么∠EDG（）A．=90°B．≥90°C．≤90°D．不能确定【答案】A【解析】连接EG、FG，根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG=FG=BC，∵D是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF，即可解题．解：连接EG、FG，EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线，∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半∴EG=FG=BC，∵D为EF中点∴GD⊥EF，即∠EDG=90°，故选：A．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了斜边中线长等于斜边长一半的性质，考查了等腰三角形三线合一的性质，本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】在△ABC中，AC+AB=14，（AC＞AB），AD为BC边上的中线，把△ABC的周长分为两部分，这两部分的差为2，求AB、AC的长．【答案】AB=6，AC=8【解析】设AB=x，根据三角形的中线的定义可知BD=CD，那么AC=x+2，根据AC+AB=14列出方程x+x+2=14，解方程求出x的值即可．解：设AB=x，则AC=x+2．∵AC+AB=14，∴x+x+2=14，解得x=6，∴AB=6，AC=8．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念并求出本题中AD把△ABC周长分为的两部分的差等于AC﹣AB（AC＞AB）是解题的关键．教学建议：通过中线的定义找到AC和AB的差，再利用AC+AB=14，建立二元一次方程组求出结果.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是．【答案】2【解析】根据三角形中线的定义可得AD=CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差=AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，=AB﹣BC，∵AB=8，BC=6，∴△ABD和△BCD的周长差=8﹣6=2．答：△ABD和△BCD的周长差为2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD 和△BCD的周长差=AB﹣BC是解题的关键．教学建议：利用中线的定义求两个三角形的周长之差.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．【答案】 B（1）115°；（2）90°-12∠A；（3）∠D=12∠A【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；∵∠A=50°，∴∠D=115°，故答案为：115°；（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；故答案为：90°﹣∠A；（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．教学建议：熟记三角形角平分线的3种模型.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．【答案】（1）成立；（2）110°【解析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，在△ABC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【答案】∠DAE=5°，∠BOA=120°【解析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解：∵∠CAB=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．教学建议：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形的外角定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C=70°，∠B=40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE=．（3）若∠C﹣∠B=α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）15°；（2）15°；（3）【解析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．解：（1）由已知可得，∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°，∴∠CAD=20°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=35°﹣20°=15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]=（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B=30°，∴∠DAE=×30°=15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B=α，∴∠DAE=×α=．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．教学建议：熟练掌握三角形高线、角平分线的定义.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】下列说法错误的是（）A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部【答案】A【解析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知．解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据角平分线的定义进行判断即可．解：AD不一定平分∠BAF，①错误；AF不一定平分∠DAC，②错误；∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确；故选：B．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，BE、CD为中线，且BE⊥CD，则BC=．【答案】√26【解析】设BE、CD交于点O，设OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y．构建方程组，求出x2+y2即可解决问题．解：设BE、CD交于点O，设OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y．∵AD=BD=，AE=CE=，∵BE⊥CD，∴∠BOD=∠COE=90°，∴，可得x2+y2=，∴BC==．故答案为．讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的符号吗？并说明理由．【答案】负【解析】公式法因式分解即可解决问题；解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2=（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）=[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）∵a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＜0讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知AD是△ABC的高，∠BAD=70゜，∠CAD=20゜，求∠BAC的度数．【答案】90°或50°【解析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=70°﹣20°=50°，综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018 【作业6】如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．（用度数表示）【答案】180°【解析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

人教版八年级数学上册说课稿11.1 与三角形有关的线段一. 教材分析人教版八年级数学上册第11.1节《与三角形有关的线段》，这部分内容是学生在学习了三角形的性质和分类后，进一步研究三角形的线段性质。

本节内容主要包括三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用。

这些线段在三角形中具有重要的地位，对于学生深入理解三角形的结构特征和解决三角形相关问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质和分类，对三角形有一定的认识。

但学生对于三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用可能还比较陌生，因此需要在教学过程中引导学生通过观察、思考、探究，从而理解和掌握这些线段的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解三角形的角平分线、中线和高线的定义，掌握它们的性质及其应用。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生解决问题的能力和空间想象力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用。

2.教学难点：理解和证明三角形的角平分线、中线和高线的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，从而理解和掌握三角形的角平分线、中线和高线的性质。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过动画演示和图形展示，帮助学生直观地理解三角形的线段性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本性质和分类，引出三角形的角平分线、中线和高线的概念。

2.探究性质：引导学生观察三角形，发现角平分线、中线和高线的特点，学生分组讨论，总结出它们的性质。

3.证明性质：学生代表上台演示和证明三角形的角平分线、中线和高线的性质，其他学生进行评价和补充。

4.应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用所学的线段性质进行解决，教师进行指导和点评。

与三角形有关的线段知识点总结
知识点总结：
1、线段的概念：线段是指两端都有端点，不可延伸的直线。

线段可以用两个大写字母表示，如线段AB。

2、线段的基本性质：
(1)线段是有限长的，可以进行度量。

(2)线段有两个端点，分别是A和B。

(3)线段具有对称性，对称轴为线段的中垂线。

3、线段的中垂线：线段的中垂线是指经过线段两端点，且距离相等的点的集合。

中垂线是线段的对称轴。

4、线段的基本作图：可以作出线段的垂直平分线和线段的中点。

重难点精析：
1、线段的交点问题：两条线段相交，会形成一个交点。

这个交点可以用来进行几何证明和作图。

需要注意的是，交点的位置是唯一的，不会因为不同的作图而产生变化。

2、线段的垂直平分线问题：线段的垂直平分线是指经过线段两端点，且垂直于这条线段的直线。

垂直平分线的性质是解决线段问题的重要工具。

例如，可以利用垂直平分线的性质证明两个三角形全等。

3、线段的中垂线问题：线段的中垂线是线段的对称轴，也是线段上所有点的均匀分布。

可以利用中垂线的性质证明三角形全等、求线段长度等。

专题11.3三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。

（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段BE 是ABC ∆的高是（）A ．B ．C ．D ．【知识点二】三角形的中线（1）定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；（2）三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。

【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在ABC 中，17AB =，12AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）三角形的内心：三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。

【例3】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图12∠=∠，3=4∠∠，下列结论中错误的是（）A ．BD 是ABC 的角平分线B ．CE 是BCD △的角平分线C ．23ACB ∠=∠D ．CE 是ABC 的角平分线第二部分【典例展示与方法归纳】【题型1】三角形高线（等面积求高模型）【例1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，CD 是ABC 的中线，CE 是ABC 的高，12cm AC =，5cm =BC ，13cm AB =，90ACB ∠=︒．（1）求高CE 的长；（2）求ACD 的面积．【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在ABC 中，34AB BC ==，，点D 是BC 中点，点P 是线段BC 上一个动点，若2,ACD S =则AP 的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【变式2】（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，直线AB 经过原点O ，若()2,A m 、()3,B n -、()0,2C -，D 为线段AB 上一动点．当CD 取最小值54时，AB =．【题型2】三角形中线（中线等分面积模型+周长差问题）【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的中线和高，ABD △的周长比ACD 的周长大3cm ，且7cm AB =．（1）求AC 的长；（2）求ABD △与ABC 的面积关系．【举一反三】【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知BD 是ABC 的中线，21,12AB BC ==，则ABD △和BCD △的周长的差是．【变式2】（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在ABC 中，延长CA 至点F ，使得AF CA =，延长AB 至点D ，使得2BD AB =，延长BC 至点E ，使得3CE CB =，连接EF 、FD 、DE ，若1ABC S =△，则为DEF S =△．【题型3】三角形角平分线（角平分线+平行线模型）【例3】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在ABC 中，BP 平分ABC CP ∠，平分ACB ∠，且PD AB ∥，PE AC ∥，5BC =，求PDE △的周长．【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在ABC 中，7,5,6AB AC BC ===，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，则AEF △的周长为（）A ．9B ．11C ．12D ．13【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若130ACD ∠=︒，则MAB ∠=︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】一、直通中考【例1】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角ABC 的高，则2212AB AC BD BC BC ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．当7,6AB BC ==，5AC =时，CD =．【例2】（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F ，若AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，则CE ：AD ：BF 值为．二、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，且AC CB ⊥．（1）求证：AB CD ∥；（2）若120D ∠=︒，求B ∠的度数；（3）当3BC =，4AC =，5AB =时，求点C 到直线AB 的距离．【例2】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，AD 是ABC 中BC 边上的中线，ABD △与ACD 的面积相等吗？请说明理由，【应用】如图2，点A 、B 、C 分别是BD 、CE 、AF 的中点，且4ABC S = ，则图2中阴影部分的面积为；【拓展】（1）如图3，ABC 中，延长CA 至点F ，使得AF CA =，延长AB 至点D ，使得2BD AB =，延长BC 至点E ，使得3CE CB =，连接EF 、FD 、DE ，如果3ABC S =△，那么DEF S △为．（2）如图4，ABC 中，12AB =，16AC =，点D 、E 是BC 、AC 边上的中点，AD 、BE 交于点F ．若ABC 的面积为S ，则四边形DCEF 面积为（用含S 的代数式表示）；四边形DCEF 的面积存在最大值，这个值为．。

第一课时与三角形有关的线段知识点一：三角形及其相关概念1．三角形的概念：如图：由不在___________上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表示．即可表示为△ABC．2．三角形的要素与关系：（1）三角形的边：组成三角形的___________叫做三角形的边．（2）三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角形的角．（3）三角形的顶点：三角形两边的___________是三角形的顶点．（4）邻边与邻角、对边与对角：①邻边与邻角：AB与BC构成∠B，则AB与BC是∠B的邻边．∠B是AB和BC的邻角．同理：AB与AC是___________的邻边．∠A是___________和___________的邻角．AC与BC是___________的邻边．∠C是___________和___________的邻角．②对边与对角：不参与构成的角的边是角的对边．∠A的对边是___________．BC的对角是___________．∠B的对边是___________．AC的对角是___________．∠C的对边是___________．AB的对角是___________．特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长．反之边越长，对角越大．【类型一：三角形的数量判断】1．如图，图中有个三角形，的对边是．2．如图，以AB为边的三角形的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有对．知识点二：三角形的分类1．按边是否相等分类：2．按内角大小分类：特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底．【类型一：三角形分类的熟悉】4．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A．甲分法错误，乙分法正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲、乙两种分法均正确D．甲、乙两种分法均错误5．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【类型二：三角形形状的判断】6．下列图形中，是直角三角形的是（）A．B．C．D．7．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能知识点三：三角形的三边关系：1．内容：三角形中，任意两边之和___________第三边，任意两边之差___________第三边．2．符号语言：如图，△ABC中，有：通过移项即可证明任意两边之差小于第三边．特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题．【类型一：判断三边能否构成三角形】9．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ）A．3，4，5B．5，7，7C．5，7，12D．6，8，10 10．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cmC．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm【类型二：根据三边关系求值或求取值范围】11．在△ABC中，，，，a的值可能是（）A．1B．3C．5D．712．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8B．7C．5D．613．四根长度分别为的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（）A．B．C．D．14．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）A．10B．11C．12D．1315．三角形三边为3，5，x，则x的范围是．16．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是．17．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣6|＋（b﹣2）2＝0，c为偶数，则c ＝．【类型三：根据三边关系化简】18．已知三角形的三边长为4、x、11，化简．19．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为．20．已知的三边长分别为3、5、a，化简的结果为．知识点四：三角形的高、中线、角平分线：1．高线：（1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的___________，顶点和垂足之间的___________线段___________叫做三角形这条边上的高线．BD是△ABC的高BD___________AC（2）三角形高线的画法：如下图图①图②图③（3）垂心：由（2）中图可知，三角形都有___________条高，且三条高都交于同一点．这个交点叫做三角形的___________．由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形___________．由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形___________．由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形___________．特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状．【类型一：高线的理解】21．如图，，，下列说法正确的是（）A．是的高B．是的高C．是的高D．是的高22．如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（ ）A．2条B．3条C．4条D．5条23．数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）．A．B．C．D．24．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【类型二：利用高线与垂心所在位置判断三角形形状】25．有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定26．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【类型三：等面积法求线段长度】27．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD ＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是．28．如图，在中，的面积与的面积相等，于点E，于点F，，则．2．中线：（1）定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的___________得到的___________线段___________叫做三角形的中线．AM是三角形的中线M是BC的___________BM___________CM=___________BC（2）中线的性质：①中线平分三角形的___________．即：②中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差．即：（3）重心：三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心．【类型一：中线的理解】29．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．30．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 31．如图，是的中线，，则的长为（）A．B．C．D．【类型二：中线与面积的计算】32．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形33．如图，点、分别是边、的中点，的面积等于，则的面积为（）A．B．C．D．34．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为．【类型三：中线与周长的计算】35．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）A．16B．18C．20D．2236．如图，中，是边上的中线，，，那么和的周长的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定37．如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB-AC= cm．3．角平分线：（1）定义：如图．三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的___________是三角形的角平分线．AD是三角形的角平分线∠1___________∠2．特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线．（2）内心：三角形的三角角平分线交于一点，这一点叫做三角形的___________．【类型一：角平分线认识理解】38．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，则（ ）A．∠1=∠BAC B．∠1=∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC 39．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（ ）A．是的中线B．是的角平分线C．是的高线D．是的中线【类型二：角平分线有关的计算】40．如图，点D是的角平分线上的一点，过点D作，．(1)若，，求的度数．(2)是的角平分线吗？请说明理由．知识点五：三角形的稳定性如图三角形的三条边确定，则这个三角形的___________和___________就会确定．这就是三角形的稳定性．特别提示：稳定性是三角形的特有性质，只有三角形具有．【类型一：三角形稳定性的实际应用】41．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．42．下列事物所运用的原理不属于三角形稳定性的是（）A．长方形门框的斜拉条B．埃及金字塔C．三角形房架D．学校的电动伸缩大门43．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）A．两点之间线段最短B．三角形具有稳定性C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短一、选择题（10题）44．下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点45．若一个三角形的两边长分别为4，8，则它的第三边的长可能是（）A．3B．4C．10D．1246．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（）A．17B．23C．25D．2847．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根B．1根C．2根D．3根48．长度为3，7，的三条线段构成三角形，则的值可能是（）A．3B．4C．8D．1249．在中，作出边上的高，正确的是（）A．B．C．D．50．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（）A．点一定在直线上B．点一定在直线外C．点一定在线段上D．点一定在线段外51．已知一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长为整数，则该三角形的周长可能为（）A．7B．8C．13D．1452．如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、F为AB上的一点,CF⊥AD于H，下列判断正确的有()A．AD是△ABE的角平分线B．BE是△ABD边AD上的中线C．AH为△ABC的角平分线D．CH为△ACD边AD上的高53．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（）①的面积的面积②；③④．A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④一、填空题（6题）54．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有．55．已知三角形的三边长为4、x、11，化简．56．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．57．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有个．58．已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则．59．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为．一、解答题（4题）60．先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c+a|，当a=2、c=3时，求出代数式的值．61．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．62．已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．63．若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．参考答案：1． 3 ，【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数，再由对边的定义进行填空即可．【详解】解：图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个．∠B的对边是AD和AC．故答案为：①3；②AD和AC.【点睛】本题主要考查了数三角形的个数和角对边的定义，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识进行求解.2．D【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．3．3【分析】找到以为边的三角形，即可得解．【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对．故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键．4．A【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．∴甲分法错误，乙分法正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．5．B【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．6．B【详解】略7．B【分析】根据三角形按角分类的方法进行判断即可．【详解】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于90度，由此判定为锐角三角形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．B【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角．所以这个三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用．9．C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：A.，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；B. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；C. ，∴不能组成三角形，故选项错误，符合题意；D. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．10．C【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【详解】解：A.4+6=10，不能构成三角形，故此选项不符合题意；B.2+5＜8，不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.3+4＞5，能构成三角形，符合题意；D.5+7＜13，不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．11．B【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：，即，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形三边关系是解本题的关键．12．D【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．13．B【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】∵只有的三条线段能组成三角形，∴周长可能是：3+5+7=.故选B.【点睛】题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 14．D【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5=13．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．15．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出不等式，进行求解即可．【详解】解：∵三角形三边为3，5，x，故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．16．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据两边之和大于第三边，即可得答案．【详解】解：在△ABC中，若∠C为直角，AC＝3，BC＝4，则；∵∠C为钝角，两边之和大于第三边，∴5<AB<3+4，∴5<AB<7，故答案为：5<AB<7．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形两边之和大于第三边，解题的关键是掌握∠C为钝角这关键点．17．6【分析】先根据两个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a、b的值，再根据三角形三边之间的关系求出c的范围，在这个范周内取偶数值即可【详解】∵|a﹣6|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣6＝0，b﹣2＝0，解得a＝6，b＝2，根据三角形的三边关系，得6﹣2＜c＜6+2，即：4＜c＜8，又∵c为偶数，∴c＝6．故答案是：6．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，及三角形三边之间的关系．要求学生要会用三角形三边之间关系求第三边的长．熟练掌握以上知识是解题的关键．18．11【分析】根据三角形三边关系可求出x的取值范围，即可求解．【详解】∵三角形的三边为4、x、11，∴11-4＜x＜11+4，∴，∴，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了构成三角形三边大小的关系和去绝对值的知识，利用三角形三边关系求出x的取值范围是解答本题的关键．19．b+c﹣a【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，去掉绝对值号后合并同类项即可．【详解】∵a、b、c是△ABC的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a）＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a＝b+c﹣a．故答案为：b+c﹣a．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，绝对值的应用，合并同类项，解题的关键是根据三边关系来判定绝对值内式子的正负．20．##【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．【详解】解：∵的三边长分别为3、5、a，∴，解得：，故．．故答案为：．【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算的应用，三角形的三边关系的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．21．B【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【详解】解：观察图像可知：是的高，故A，C，D错误，B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的高，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．22．B【详解】试题分析：根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为△ABC的高的条数．解：可以作为△ABC的高的有AC，BC，CD，共3条.故选B.点睛：本题主要考查三角形的高. 正确理解三角形的高线是解题的关键.23．A【分析】满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．【详解】解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选：A．【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．C【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.【详解】解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.25．C【分析】利用三角形高线的性质，可知三角形高线交点对应的位置，依次可对本题进行判定．【详解】解：∵在三角形中，锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形斜边上的高在三角形内部，另外两条高线在三角形边上；钝角三角形三条高线有一条在形内，两条在三角形外部．∴有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形中的重要险段—高线的性质，掌握其性质是解题的关键．26．C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】A．锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A项错误；B．钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故B项错误；C．直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故C项正确；D．能确定C正确，故D项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键．27．1.8【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．【详解】解：∵BD⊥AC，AD=1.8，∴点A到BD的距离为1.8，故答案为：1.8．【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．28．2【分析】由题意可知的面积与的面积相等；利用面积相等，问题可求．【详解】解：∵于点E，于点F，，，∴，∴，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查了三角形的面积，利用面解法求解是解答本题的关键．29．B【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．【详解】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AE=EC=AC，AB=2BF=2AF，BC=2BD=2DC，故A、C、D都不一定正确；B正确．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．30．C【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．【详解】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，∴BM＝AB＝5cm，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．31．B【分析】直接根据三角形中线定义解答即可．【详解】解：∵是的中线，，∴BM= ，故选：B．【点睛】本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．32．B【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．33．A【分析】由点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，可得DE是△ABC的中位线，得出DE//AC，DE=AC，进而得出△BDE∽△BAC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合△ABC的面积等于8，即可得出答案．【详解】解：∵点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AC，DE=AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∵△ABC的面积等于8，∴△BDE的面积=，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．34．1【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出，，进而求得，然后代入数据进行计算求解即可【详解】解：∵点D、E分别是边BC、AD的中点∴，，∴∵点F是CE的中点故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．35．D【分析】利用三角形的周长公式先求解再证明再利用周长公式进行计算即可．【详解】解：AC＝8，△ACD的周长为20，点D是BC边上的中点，AB＝10，的周长为：．故选：D.【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的含义”是解本题的关键．36．B【分析】由CD是AB边上的中线，即可知，再根据三角形周长的求法即可得出答案．【详解】∵CD是AB边上的中线，∴．∵，，∴．故选B．【点睛】本题考查三角形中线．掌握三角形中线的定义是解题关键．37．6【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差；【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD比△ACD的周长大cm，即cm，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．38．A【分析】根据角平分线的定义可得出结论.【详解】∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠BAC,故选A.【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．39．B【分析】利用已知条件可得，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，即，∴是的角平分线，故选：B．【点睛】本题考查三角形中线高线、角平分线的判断，解题的关键是根据题意得到．40．(1)(2)DO 是△DEG的角平分线；理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝25°，再根据直角三角形性质可求∠BAD的度数；（2）根据EF BC，得出∠EDB＝∠DBG ，根据DG AB，得出求得∠EBD＝∠BDG，根据。

11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】 下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】 下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。

与三角形有关的线段〔根底〕知识讲解【学习目标】1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：〔1〕三角形的根本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.〔2〕三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上〞、“三条线段〞、“首尾顺次相接〞.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△〞表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC 〞，读作“三角形ABC 〞，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：〔1〕理论依据：两点之间线段最短.〔2〕三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，假设两条较短的线段长之和大于最长线段的长，那么这三条线段可以组成三角形；反之，那么不能组成三角形．当三角形两边长，可求第三边长的取值X 围．〔3〕证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如以下列图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：〔1〕三角形的高是线段；〔2〕三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；〔3〕三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如以下列图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：〔1〕三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如以下列图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：〔1〕三角形的角平分线是线段；〔2〕一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；〔3〕三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；〔4〕可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：〔1〕三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 〔2〕三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的构造，它就巩固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形构造，也是这个道理．〔3〕四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要抑制四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如下列图．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进展，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如下列图，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于那么能够成三角形，不大于那么不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断以下三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】〔1〕能； 〔2〕不能； 〔3〕能.3.假设三角形的两边长分别是2和7,那么第三边长c 的取值X 围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 那么第三边长c 的取值X 围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值X 围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】〔2021 春•盱眙县期中〕四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞〔AB+BC+CD+DA 〕．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2〔AC+BD 〕＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞〔AB+BC+CD+DA 〕．类型三、三角形中重要线段4. 小华在 中问小明：“一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?〞小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．〞小华根据小明的提示作出的图形正确的选项是( )【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答此题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】〔2021 •XX 〕如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的选项是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如下列图，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有以下数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答此题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如下列图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，那么S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如下列图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】此题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。

底边底角底角7·1与三角形有关的线段7·1·1 三角形的边1.三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 3．三角形的分类 （1）按角分类:三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形钝角三角形 （2）按边分类:三角形 不等边三角形等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形等边三角形例1．用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x ㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？abc(1)CBA⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩解：（1）设底边长为x㎝，则腰长2 x㎝。

x+2x+2x=18解得x=3.6所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则4+2x=18解得x=7如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则2×4+x=18解得x=10因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

例2. 有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.例3.两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将他们定成一个三角形框架，那么第三根木棒长x(cm)的范围是 .分析：应用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.解：3<x<17例4. 已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．分析：在第（1）和第（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长．解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．（2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2＝5cm．三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．（3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．例5. 下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题．“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说: “其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°．” 还有一些同学也提出了自己的看法…（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）解析：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α，∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．例6 若三线段a，b，c,满足a+b＞c，则以此三线段为边是否一定构成三角形？为什么？分析考查三线段是否构成三角形，要考查三条线段中，任意两线段之和是否大于第三条线段，不能光凭其中有两条线段和大于第三线段就判定能构成三角形.除非此时c边最a 是否小于c.长，否则还要看b解若c为三线段中最大线段，则三线段为边一定构成三角形.∵a+b＞c,b+c＞a显然成立.否则，不一定构成三角形.例如三线段长a=5,b=3,c=2此时虽然a+b＞c,但三线段不构成三角形.例7 等腰三角形周长为8，三边长为整数，求三边的长.分析可设腰长为a，底边长为b,得方程2a+b=8，这一个二元一次不定方程，要充分注意到条件三边为整数，即此时求正整数解.可利用不等式求出a的范围，求出后，一定要注意检验所求的三条线段是否能构成三角形.解设腰长为a，底边长为b,依题意.2a+b=8又∵b＞0 ∴2a＜8 a＜4.∵a为正整数∴a=1,2,3.解方程解为⎩⎨⎧==61b a⎩⎨⎧==42b a ⎩⎨⎧==23b a 又 2a ＞b 检验得 只有⎩⎨⎧==23b a 符号条件，∴三边长为3，3，2.例8 等腰三角形一边长为5cm ，它比另一边短6cm,求三角形周长.分析 5cm 的边不知是腰还是底，故此题可能有两解，即5为底和5为腰，但此时依然要注意求出的解是否满足构成三角形的条件.解 若腰长为5，则底边长为5+6=11cm. ∵5+5=10＜11 ∴不能构成三角形.∴只能底边长为5，此时腰长5+6=11cm. 三角形周长为5+11+11=27(cm)例9 如图3.2-2，O 为四边形ABCD 内任一点.图3.2-2求证 OA+OB+OC+OD ＞21(AB+BC+CD+DA) 分析 分别考查以O 为顶点的四个小三角形，每个里面利用两边之和大于第三边.再利用不等式性质，即可得结论.证 在△AOB 中，OA+OB ＞AB ① 在△BOC 中OB+OC ＞BC ② 在△COD 中,OC+OD ＞CD ③ 在△DOA 中，OD+OA ＞AD ④①+②+③+④ 得2（OA+OB+OC+OD ）＞AB+BC+CD+DA∴OA+OB+OC+OD ＞21(AB+BC+CD+DA)例10 如图3.2-3 P 为△ABC 内任一点.图3.2-3求证 PA+PB ＜CA+CB.分析 此时若考虑△PAB 和△CAB 是不可能证出结论的.而通过辅助线构造新的三角形，进而在新三角形中利用三边关系得出结论是解决本题的根本之所在.证 延长AP 交BC 于D 在△ACD 中AC+CD ＞AD 即AC+CD ＞AP+PD ① 在△BPD 中，BD+PD ＞BP ∴BD ＞BP-PD ② ①+② AC+CD+BD ＞AP+BP+PD-PD 即 PA+PB ＜CA+CB例11 已知三角形的周长为P ，且一边长是另一边长的2倍，求最短边的范围.分析 本题解决之关键在于，弄清谁是最短边？弄清以后，也不可轻率地由最短边的三倍不大于周长，得最短边不超过周长31（即最短边31≤l p ）这样将会把最短边的范围扩大. 要充分利用题中有两边比为2∶1,这一条件，以及三边不等关系解题.解 由已知可设三边为x,2x,y.∵ 3x+y=P ① ∴x ＜y ＜3x ② 2x-x ＜y ＜2x+x可知，最短边的长为x.由①得y=P-3x ③ ③代入②得 x ＜P-3x ＜3x..解得61P ＜x ＜41P 即最短边范围在61P~41P 之间.例12 三角形周长是偶数，两边长为4和1997.满足上述条件的三角形共多少个？分析 本题可从第三边范围在1993~2001之间来着手解决，再结合周长为偶数这一条件逐一检验，得出结论，也可先由奇偶性入手，以达迅速解题之目的.解 ∵周长为偶数，两边为4,1997，则第三边为奇数，设第三边为2n+1（n 为整数）得1997-4＜2n+1＜1997+4 996＜n ＜1000∴n-997,998,999，故合条件的三角形有三个.注意，本题只问合条件的三角形有多少个，并未涉及求边长及周周长问题，故不必算出第三边及周长.例13 不等边三角形周长为30，边长均为整数.求合条件的所有三角形的三边之长.分析 可设不等边三角形三边a,b,c ，且a ＜b ＜c.由三边关系及周长确定最长边c 的范围，进而得出结论，是本题基本思路，而确定最长边c 是解决本题之关键.解 设三边a,b,c.∵三角形为不等边三角形，不失一般性，可设a ＜b ＜c.∴⎩⎨⎧+=++ ②＞ ①c b a c b a 30∵c ＞a c ＞b ∴3c ＞a+b+c ③ 由① a+b=30-c ④④代入② 解得 c ＜15 由③得c ＞10 ∴10＜c ＜15 ∴整数c 为11，12，13，14c=11时 a+b=19 c ＞b ＞a ∴9.5＜b ＜11 ∴b=10c=11 b=10 a=9c=12时 a+b=18 9＜b ＜12 ∴b=10,11 c=12 b=10 a=8 c=12 b=11 a=7c=13时 a+b=17 8.5＜b ＜13 ∴b=9,10,11,12 c=14时 a+b=16 8＜b ＜14 ∴b=9,10,11,12,13 ∴合条件的三角形共12个它们是⎪⎩⎪⎨⎧===11109c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===12117c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===12108c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13125c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13116c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13107c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===1398c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14133c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14124c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14115c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14106c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===1497c b a7.1.2 三角形的高、中线与角平分线2. 三角形的三条高相交于一点；三角的三条中线相交于一点；三角形三个角的平分线相交于一点。