函数的表达式和最值

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值高中数学知识点总结及公式大全：导数与函数的极值与最值数学作为一门基础学科，是中学阶段学习中的重要科目之一。

其中，数学的知识点及公式涵盖了广泛的内容，为学生的数学学习和应用提供了基础。

导数与函数的极值与最值是高中数学中的一个重要知识点，本文将对该知识点进行总结，并提供相应的公式大全，以帮助学生更好地理解和掌握。

一、导数导数是函数求取变化率的数学工具，它描述了函数在某一点上的斜率或变化速率。

导数的概念和运算规则对理解函数的性质及相关应用都具有重要意义。

1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点处的极限，表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡((f(x+Δx)-f(x))/Δx)其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

根据上述定义，导数可解释为函数在该点上的切线与x轴正方向之间的夹角的正切值，即斜率。

2. 常见函数的导数公式为了更方便地计算函数的导数，在高中数学中，有一些常见函数的导数公式需要记忆。

这些公式如下：常数函数：(C)' = 0幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)指数函数：(a^x)' = a^x*ln(a)，其中a为常数对数函数：(log┬a⁡(x))' = 1/(x*ln(a))，其中a为常数三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)反三角函数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)和、差、积、商的导数公式：(u±v)' = u'±v'，(u*v)' = u'*v+v'*u，(u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2复合函数的导数公式：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)二、函数的极值与最值函数的极值与最值是指函数在定义域内的局部最大值和最小值。

求最大值的函数公式在数学中，我们经常会遇到需要求函数的最大值的情况。

寻找函数的极值点是一项重要的数学任务，因为这能够帮助我们确定函数在特定区间内的最大值或最小值。

在本文中，我们将探讨如何找到函数的最大值，并且给出一些常见的求最大值的函数公式。

函数的最大值给定一个函数f(x)，我们想找到函数在特定区间内的最大值。

通常情况下，我们首先找出函数的导数，并令导数等于零，求解得到导数为零的点，即极值点。

经过验证，我们可以确定极值点中哪些是最大值。

求最大值的函数公式以下是一些常见的求最大值的函数公式：1. 一元二次函数一元二次函数的标准形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a eq0。

这种函数的最大值可以通过计算顶点坐标来确定。

顶点的横坐标为$x = -\\frac{b}{2a}$，代入函数得到最大值$f(-\\frac{b}{2a}) = -\\frac{b^2 - 4ac}{4a}$。

2. 指数函数指数函数f(x)=a x（其中a>1）的最大值为正无穷，不存在有限最大值。

3. 对数函数对数函数$f(x) = \\log_a x$（其中a>1）的最大值为x=1，最大值为$\\log_a1 = 0$。

4. 三角函数正弦函数$f(x) = \\sin x$和余弦函数$f(x) = \\cos x$的最大值为1和最小值为-1。

5. 高阶多项式函数对于更复杂的高阶多项式函数，求最大值的方法仍然是计算导数，找出导数为零的点，并验证得到真正的最大值。

在数学中，求最大值是一个重要的问题。

通过合适的方法和技巧，我们可以找到函数在特定区间内的最大值，并在实际问题中应用这些知识。

希望本文能够帮助读者更好地理解求最大值的函数公式。

求函数最值的常用以下方法：1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值．【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12，a ＝4.故填4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f (x )min ＝f (m )，f (x )max ＝f (n )；若函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，则f (x )min ＝f (n )，f (x )max ＝f (m )；若函数f (x )在[m ，n ]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝2.(2)求函数y ＝x ＋4－x 2的值域．【解析】 换元法：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4] ∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]． 3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法． 例3 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．【思路】 将函数表达式按e x ＋e －x 配方，转化为关于变量e x ＋e －x 的二次函数．【解析】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x ，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ≥2，∴f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，∴当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2；当a <0时，y min ＝f (a )＝a 2－2.【讲评】 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)；a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)； ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．例4 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________． 【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．【解析】因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz ≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3.故填3.【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.14B.12C.22D.32【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－x x ＋3.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．6．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例6 对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示． 由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f (12)＝|12＋1|＝32. 7．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )、f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例7 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝1(舍去)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，比较得，f (x )的最大值为3，最小值为－17.【讲评】 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a ，b )内的极值；第二，求函数在端点的函数值f (a )、f (b )；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P (x ，y )的坐标同时满足以下不等式：x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，如果点O 为坐标原点，那么|OP |的最小值等于________，最大值等于________．【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A(2,2)，|OA|＝22；B(1,3)，|OB|＝10；C(1,1)，|OC|＝ 2.故|OP|的最大值为10，最小值为 2.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

知识点41函数的最值及判别函数的最值及判别是函数的重要概念之一，在数学中具有广泛的应用。

本文将详细介绍函数的最值以及判别的概念、性质、求解方法和相关的示例，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

在函数图像中，最大值对应曲线的最高点，最小值对应曲线的最低点。

最大值和最小值都属于函数的值域，而值域就是函数在定义域内所有可能的输出值。

判别是指通过分析函数的一些特征来判断函数的最值。

判别函数最值的方法有很多，常见的包括函数的导数、函数的二次项系数等。

接下来我们将分别介绍函数的最值和判别的概念、性质、求解方法和相关的示例。

一、函数的最值概念和性质1.最大值和最小值的定义：函数f(x)在定义域D中有最大值M，当且仅当对于任意x∈D，都有f(x)≤M；函数f(x)在定义域D中有最小值m，当且仅当对于任意x∈D，都有f(x)≥m。

2.最值的存在性：如果函数f(x)在有限闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值。

3.最值对应的自变量：函数f(x)的最大值和最小值对应的自变量分别是x1和x2，则有f(x1)是最大值，f(x2)是最小值。

二、最值的判别方法1.函数的导数：函数的导数是函数的变化率，它可以帮助我们判断函数的最大值和最小值。

通过求解函数的导数，并根据导函数的零点来确定函数的最值。

-当导函数f'(x)存在零点x0时，f(x)在x0处可能取得最值。

根据导数的正负性判断最值的类型：i.如果f'(x)>0，则f(x)在x0处取得最小值；ii. 如果f'(x)<0，则f(x)在x0处取得最大值。

-当导函数f'(x)不存在零点时，需要考虑函数的边界情况。

通过计算函数在定义域内的端点值，可以确定函数的最值。

2.函数的二次项系数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a≠0。

函数的解析式、定义域、值域与最值问题函数三要素：解析式、定义域和值域1、函数解析式把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式。

它是用一个等式表示定义域与值域之间的一种对应关系，与所取的字母无关，如231y x =+与231y t =+为同一函数。

[注意] 表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。

函数解析式的求法常用方法有：①代入法；②待定系数法；③换元法或配方法；④方程组法；⑤赋值法① 代入法例：已知2()1f x x =-，则222()()1f x x x x +=+-。

② 待定系数法已知函数的类型，求解析式时，可根据类型设解析式，由已知条件求出待定系数。

例：已知二次函数满足2(31)965,f x x x +=-+求()f x 。

［解］设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则2(31)(31)(31)f x a x b x c +=++++ ＝29(63)ax a b x a b c +++++2(31)965,f x x x +=-+比较两端系数得：99a = 1a =636a b +=- ⇒ 4b =- 5a b c ++= 8c =∴2()48f x x x =-+[例] 设二次函数()f x 满足(2)(2),f x f x -=--且图象在y 轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为()f x 的解析式。

[解法一]设2()(0)f x ax bx c a =++≠.(2)f x -=(2)f x --,得40.a b -=又12x x -=∴2248.b ac a -= 由已知得 1c =。

由①、②、③式解得2b =，1,12a c ==,∴21()2 1.2f x x x =++ [解法二](2)(2),f x f x -=-- 故()y f x =的图象有对称轴2,x =- 可设(2)y a x k =++（余略）。

[解法三]()y f x = 的图象有对称轴2x =-，又12x x -=()y f x ∴=与x 轴的交点(2-，2-故可设()(22f x a x x =++1(0)1,2f a =∴=（余略）。

求函数最值的方法归纳函数的最大值和最小值是数学中一个非常重要的概念，对于函数的性质和图像的研究非常有帮助。

本文将介绍求函数最值的一些常用方法，并归纳总结出一些有效的求最值的技巧。

一、闭区间上求最值对于一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们首先需要找到其在区间内的临界点。

临界点包括两种情况：一是函数的极值点，二是函数的不可导点。

然后，分别计算临界点和区间端点处函数的取值，最后找到最大值和最小值。

具体步骤如下：1.找到函数的临界点：求出函数的导数f'(x)，将其导数等于零，并解方程求出函数的极值点。

2.判断函数是否在临界点可导：将临界点代入导数f'(x)中，如果导数存在，则临界点为可导点，如果导数不存在，则临界点为不可导点。

3.计算函数在临界点和区间端点处的取值：将临界点和区间端点代入原函数f(x)中，得到函数在这些点处的取值。

4.比较得出最大值和最小值：将计算得到的函数取值进行比较，找到最大值和最小值。

二、无穷区间上求最值对于一个定义在无穷区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，我们无法使用有限步骤来找到其最大值和最小值。

但是，我们可以使用以下方法来求解。

1.函数的图像观察法：观察函数的图像，找出函数的大致走势和极值点的位置。

通过观察可以初步得出函数的最大值和最小值的范围。

2. 函数的性质分析法：对于特定的函数类型，我们可以通过分析其性质来求解最值。

例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a > 0，则函数的最小值发生在顶点处，如果a < 0，则函数的最大值发生在顶点处。

3.使用导数求极值：对于可导的函数，在极值点处导数等于零。

因此，我们可以求出函数的导数，并解方程求出极值点。

然后，通过比较函数在极值点和区间端点处的取值，得出最大值和最小值。

4.通过函数的变化趋势求极值：对于连续的函数，在函数的一些变化趋势中，极值点位于函数值的突变处。

通过观察函数的变化趋势，我们可以得出函数的最值。