数学-高二-四川省成都市石室佳兴外国语学校高二9月月考数学(理)试题

成都外国语学校高2022级高二上期9月月考数学参考答案一、单项选择题：1、A2、A3、D4、C5、B6、D7、A8、C二、多项选择题；9、AB 10、BD 11、ABC 12、ACD三、填空题：13、180014、1315、π316、3四、解答题17．【详解】（1）设BD 与AC 交于点F ，连接EF ，因为底面ABCD 是正方形，所以F 为BD 的中点，又因为E 为SD 的中点，所以//EF SB ，因为SB ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以SB //平面ACE .（2）因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥，又AC SA A ⋂=，,AC SA ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC ，因为SC ⊂平面SAC ，所以SC BD ⊥.18．【详解】（1）设(,)D x y ，因为AB CD = ，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)x y --=-，整理得(1,5)(4,1)x y -=--，即有4115x y -=⎧⎨-=-⎩，解得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -.（2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)a AB b BC ==-==--=r uu u r r uu u r，所以(1,5)(2,3)(2,53)ka b k k k -=--=---r r ，3(1,5)3(2,3)(7,4)a b +=-+=r r ，因为向量k a b - 与3a b + 平行，因此7(53)4(2)0k k ----=，解得13k =-，所以实数k 的值为13-.19．【详解】（1）由直方图可得，样本落在[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分别为50a ,100a ,200a ,0.3,150a ,100a ,50a ,50a ，由501002000.315010050501a a a a a a a +++++++=，解得0.001a =，则样本落在[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[]350,400的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为050501001001501502002002500.050.10.20.30.150.122222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2503003003503504000.050.05182.5222++++⨯+⨯=（2）为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的75%分位数；20%的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的95%分位数.因为0.050.10.20.30.65,0.050.10.20.30.150.8+++=++++=，则使75%的居民缴费在第一档，月用电量的75%分位数位于[200,250)区间内，于是0.750.65200502330.80.65-+⨯≈-.又0.050.10.20.30.150.10.050.95++++++=,所以95%对应的用电量为350.所以第一档的范围是[]0,233，第二档的范围是(233,350]，第三档的范围是(350,)+∞.20．【详解】（1）由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，0A > ，∴由图易得13A =，则1()sin(4)3f x x ϕ=+，又π1π1sin 12333f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，则ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈所以π2π6k ϕ=+，Z k ∈，所以1π1π()sin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令πππ2π42π262k x k -≤+≤+，Z k ∈，解得ππππ26212k k x -≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为ππππ,26212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由题5()sin 2π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，5π5π20,66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，()[0,1]g x ∈．因为|()|1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min 11g x t g x t⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩，即1101t t ≤+⎧⎨≥-+⎩所以[0,1]t ∈．21．由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，cos a c C C b ++=2sin 2sin cos 2sin R A R C C C R B++=，sin cos sin sin sin C B C B A C+=+又由于πA B C ++=，所以sin sin(π)sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C =--=+=+sin cos sin sin cos cos sin sin C B C B B C B C C +=++sin cos sin sin C B B C C -=，由于sin 0C ≠cos 1B B -=，化简为π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,π)B ∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66B -=，所以π3B =.【小问2详解】由正弦定理知sin sin a c A C =，所以2sin sin A a C=，那么112sin πsin 2sin 22sin 3ABC A S ac B C ==⋅⋅⋅2π31sin cos sin 3322sin sin 2tan 2C C C C C C ⎛⎫-+⎪⎝⎭===，又由2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，所以31tan 3tan C C ><<，即32ABC S <<△，故ABC的面积的取值范围为3,2⎛ ⎝.22．【详解】AH ⊥ 平面BCD ，,BD CH ⊂平面BCD ，,AH BD AH CH ∴⊥⊥，Rt ABH ∴在△中，222AH BH AB +=，Rt ACH 在△中，222AH CH AC +=，AB AC = ，BH CH ∴=，由于BCD △为等腰直角三角形，BH CH DH ∴==，H 为BC中点，（2）方法一：当点H 在BCD △内部，知AH ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，则AH BC ⊥，设O 是BC 的中点，连接OH ，ABC 为正三角形，AO BC ∴⊥， AO AH A ⋂=，,AO AH ⊂平面AOH ，∴BC ⊥平面AOH ，OH ⊂ 平面AOH ，BC OH ∴⊥，∴AOH ∠为二面角A BC D --的平面角.设B 点到平面ACD 的距离为B h ，则B h AB =过H 点作HN BC ∥，连接AN ，由AH ⊥平面,BCD AB AC =，HB HC H ∴=⇒在BC 的中垂线上，设AH h =，则AN A BCD B ACD V V --=，1133BCD ACD B S AH S h ∴⋅=⋅△△，即11113232B BC CD AH CD AN h ⨯⋅⋅⋅=⨯⋅⋅，B BC AH AN h ∴⋅=⋅，解得3h =，所以OH =,1cos 2OH AOH AO ∴∠==.方法二：当点H 在BCD △内部，知AH ⊥平面BCD ，此时H 在线段OM （不含端点）上.,AO BC OM BC ⊥⊥ ，∴AOH ∠为二面角A BC D --的平面角.由于CD ⊂平面BCD ，AH CD ⊥，过点H 作HN BC ∥交CD 于N ，连接,,AN HD AE ，CD BC ⊥ ，HN CD ∴⊥，又因为AH HN H ⋂=，∴CD ⊥平面AHN ，CD ⊂ 平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面AHN ，过点H 作HQ AN ⊥，交AN 于点Q ，又平面ACD 平面AHN AN =，HQ ∴⊥平面ACD .设α为直线AB 与平面ACD 所成的角，则点B 到平面ACD 的距离为2HQ ，2sin HQ AB α==，解得HQ =在Rt AHN 中，可设,AH x AN ==由于2AN HQ AH HN x ⋅=⋅=，解得3x =.在Rt AOH △中，=OH所以1cos 2OH AOH AO ∠==.。

数学试卷一、单选题1.设命题：，，则¬ p为（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3..设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A. A与B是对立事件B. A与B是互斥事件C. A与是相互独立事件D. 与不相互独立4.已知向量=（1，0），=（﹣，），则与的夹角为（）A. 30°B . 60° C.120° D.150°5.若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A.B. 2C.2 D. 26.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A. B.C.D.7.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）A. B.C.D.8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38则m等于（）A. 38B. 20C. 10D. 99.已知数列{a n}是等差数列，若a1﹣a9+a17=7，则a3+a15=（）A. 7B.14 C. 21D. 7（n﹣1）10.曲线C的参数方程为，则它的普通方程为（）A. y=x2+1B. y=﹣x2+1C.D. y=x2+1，x∈[﹣，]11.定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（）A.有极大值和极小值B.有极大值和极小值C.有极大值和极小值D.有极大值和极小值12.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝（）A. －1B. 0C. 1D. 413.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. 2B.C.D. 314.在矩形中，已知，，M为的三等分点（靠近A点），现将三角形沿翻折，记二面角，和的平面角分别为，则当平面平面时( )A. B.C.D.15.过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点P，若线段的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）A.B.C. 3D.16.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.17.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则b-a的最小值为（）A. 8B. 9C. 10D. 1118.如图，在正三棱锥中，下列表述不正确的是（）A.B.当时，正三棱锥的外接球的表面积为C.当时，二面角的大小为D.若，点M，N分别为上一点，则周长的最小值为319.在x∈[ ，2]上，函数f（x）=x2+px+q与g（x）= + 在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[ ，2]上的最大值是（）A.B. 4C. 8D.20.设f(x)=kx－|sinx| (x>0，k>0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t，则= ( )A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题21.已知，若向量共面，则________．22.若数列满足，，则________，数列的前10项和是________.23.西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有________种涂色方法．24.不等式＞3﹣x的解集为________．25.已知，若对任意的，均有恒成立，则实数的取值范围是________．26.下列命题中⑴在等差数列中，是的充要条件；⑵已知等比数列为递增数列，且公比为，若，则当且仅当；⑶若数列为递增数列，则的取值范围是；⑷已知数列满足，则数列的通项公式为⑸若是等比数列的前项的和，且；（其中、是非零常数，），则A+B为零．其中正确命题是________（只需写出序号）27.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是________．28.已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________29.已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是________.三、解答题30.已知，其前项和为.（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.31.已知四棱锥，，，，点在底面上的射影是的中点，．（1）求证：直线平面；（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小．32..设为实数，函数, .（1）.求的单调区间与极值；（2）.求证：当且时，.33.已知函数，．（1）若在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）设函数，且函数的两个极值点为，，求证：；（3）若对于，恒成立，求正实数的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】 B2.【答案】 A3.【答案】 C4.【答案】 C5.【答案】 A6.【答案】 C7.【答案】 D8.【答案】C9.【答案】 B10.【答案】C11.【答案】 B12.【答案】 B13.【答案】 C14.【答案】 B15.【答案】 D16.【答案】 A17.【答案】 C18.【答案】 C19.【答案】 B20.【答案】 C二、填空题21.【答案】 3 22.【答案】；23.【答案】 420 24.【答案】（1，+∞）25.【答案】26.【答案】 (2)(5) 27.【答案】28.【答案】29.【答案】三、解答题30.【答案】（1）解：计算，（2）解：猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立，即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立31.【答案】（1）证明：连接，因为平面，平面，所以，又因为，且为的中点，故．又，所以平面；（2）解：以为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系如图所示，则，，，，于是，解得．即．所以，，设平面的法向量为，，，则，令，得，所以．故直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：设，则，，所以，当且仅当即时取等号，此时，，以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，．设平面的法向量为，，，则，令，得，同理，可得平面的一个法向量为的，所以，又因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小为．32.【答案】（1）解：∵，，∴ ，．令，得．于是当x变化时，，的变化情况如下表：故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为，无极大值．（2）解：证明：设，，于是，．由（1）知当时，最小值为．于是对任意，都有，所以在R内单调递增．于是当时，对任意，都有．而，从而对任意，．即，故33.【答案】（1）解：，则，直线的斜率为，由题意可得，解得（2）解：，，函数的定义域为，由题意函数的两个极值点为，，即方程的两根分别为、，则，∴（3）解：，恒成立，即恒成立，令，其中，且，则对恒成立，①当时，对任意的，，此时，函数在上单调递增，此时，，不合题意；②当时，则．（ⅰ）若，即，对，，此时，函数在上单调递减，则，符合题意；（ⅱ）若，则，令，得，解得，，由韦达定理得，则必有，当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减．所以，，不合题意．综上所述，实数的取值范围是。

四川省成都石室中学2022届高三9月月考数学理石室中学高2022级2022—2022学年度上期9月月考数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）某1.已知命题p：某0R，201．则p是（）某A.某0R，201某C.某0R，201某B.某0R，201某D.某0R，2012.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A.①y某②y某③y某④y某B.①y某②y某③y某④y某1C.①y某②y某③y某④y某D.①y某②y某③y某2④y某13.曲线y2in某在点(0,0)处的切线与直线某ay1垂直，则实数a的值为（）11A．2B．2C．D．2223132121321212113124.将函数yin2某的图象向左平移A．yin(2某6个单位后的图象的函数解析式为（）)B．yin(2某)C．yin(2某)D．yin(2某)33665.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()6.下列函数中，不满足f(2某)2f(某)的是（）A.f(某)某B.f(某)某某C.f(某)某D.f(某)某7.若命题p:某某20，命题q:21某0，则p是q的（）|1某|A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.如图所示，输出的n为（）A.10B.11C.12D.139.设、为两个不同的平面，l、m、n为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若aP，l，则lP；②若m，n，mP，nP，则P；③若lP，l，则；④若m、n是异面直线，mP，nP且lm，ln，则l．其中真命题的序号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②④10.定义在R上的函数偶函数f(某)满足f(1某)f(1某)，lg某,(某0)且某[0,1]时，f(某)1某；函数g(某)1，,(某0)某2则函数h(某)f(某)g(某)在区间[5,5]内的零点的个数是（）A．5B．7C．8D．10211.已知函数f某loga(某1某)13(a0,a1)，如果flog3b5a某12（b0,b1），那么flog1b的值是（）3A．3B．3C．5D．212.将方程某tan某0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,,an,，给出以下不等式：①0an1anan1an；③2an1an2an；④2an1an2an；22其中，正确的判断是()；②A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题（每小题4分，共16分）1log3某,某013.已知函数f(某)某，则f(f())；92,某014.已知函数f(某)e是.2|某a|（a为常数）.若f(某)在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围15.方程某2某10的解可视为函数y某2的图像与函数y的图像交点的横坐某标.若方程某4a某40的各个实根某1,某2,某k(k4)所对应的点某i,4某i（i=1,2,…，k）均在直线y某的同侧（不包括在直线上），则实数a的取值范围是______.16.已知函数f(某)in某.对于下列命题：(某21)(某22某2)①函数f(某)是周期函数；②函数f(某)既有最大值又有最小值；③函数f(某)的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意某(1,0)，函数f(某)的导函数f(某)0.其中真命题的序号是.（填写出所有真命题的序号）三、解答题（共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，P2N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(I)证明：CM⊥SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小．18.（本小题满分12分）已知关于某的二次函数f(某)a某24b某1.(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(某)在区间[1,)上是增函数的概率；某y80(II)设点(a，b)是区域某0内的一点，求函数yf(某)在区间[1,)上是增函数的概率．y0MNBACS19.（本小题满分12分）已知向量m(23in,2)，n(co,co2)．函数f(某)mn．ur某4r某4某4urr1，求co(某)的值；32(II)在VABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2ac)coBbcoC，求f(A)的取值范围．(I)若f(某)20.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差d0，设Sna1a2qanqn1，Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN某.（Ⅰ）若q1,a11,S315,求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1d，且S1,S2,S3成等比数列，求q的值；（Ⅲ）若q1，证明：（1q）S2n(1q)T2n21．（本题满分12分）设f(某)是定义在[1,1]上的奇函数，函数g(某)与f(某)的图象关于y轴对称，且当2dq(1q2n),nN某.21q某(0,1]时，g(某)ln某a某2．（I）求函数f(某)的解析式；（II）若对于区间0,1上任意的某，都有|f(某)|1成立，求实数a 的取值范围．22.（本题满分14分）某1.某f某（Ⅰ）当a3时，解关于某的不等式：1eg某0；已知函数f(某)lna某(a0,aR)，g(某)（Ⅱ）当a1时，记h(某)f(某)g(某)，过点1,1是否存在函数yh(某)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；（Ⅲ）若a是使f某g某某1恒成立的最小值，对任意nN，某试比较1n1的大小(常数01).f1n2与k11kn9月月考数学试题参考答案及评分建议选择题：ABAADCDDACAD1；14.a1；15.a6或a6；16.②③411填空文科：13.；14.a1；15.(0,]；16.a6或a6.44填空理科：13.文科17解：(I)由题设2a3a1a2,即2a1q2a1a1q,a10,2q2q10.而q1，故q(II)由(1)q，Sn2n121；4分2n(n1)1n29n(n1)(n10)().，当n2时,SnbnSn1, 4224故对于nN,当2n9时,Snbn;当n10时,Snbn;当n11时,Snbn.12分理科17，文科18解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为某，y，z轴正向建立空间直角坐标系则1111，0，，N，0，0，S1，，0.P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M222111→11→→→－，－，0，因为CM·(1)证明：CM＝(1，－1，)，SN ＝SN＝－＋＋0＝0，22222所以CM⊥SN.→CM·a＝0→1(2)NC＝－2，1，0，设a＝(某，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，→a＝0NC·某－y＋2z＝0，∴1－2某＋y＝0，理科18，文科19－1－22→，取某＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|co〈a，SN〉|＝＝，223某2所以SN与平面CMN所成角为45°.2b(1)∵函数f(某)＝a某2－4b某＋1的图象的对称轴为直线某＝，要使f(某)＝a某2－4b某＋1在区间[1，a2b＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)a若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)51∴所求事件的概率为＝.(6分)153(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(某)＝a某－4b某＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)a＋b－8≤0，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为a，ba＞0，b＞02，构成所求事件的a＋b－8＝0，168，，(10分)区域为三角形部分．由a得交点坐标为33b ＝，218某8某231∴所求事件的概率为P＝＝.(12分)13某8某82理科19，文科20解：（1）由题意，f(某)23inco2co23inco12in()1．4分6某4某4某4某2某2某2由f(某)2得in(某26)1某7，因此co(某)12in2()．6分43468（2）由正弦定理，2inAcoBinCcoBinBcoC，即2inAcoBin(BC)inA．由于inA0，所以coB，B于是0A123．10分2A1A，，in()1，从而2f(A)3．12分36262226理科20，各4分【解析】（1）解：由题设，S3a1(a1d)q(a12d)q2,将q1,a11,S315代入解得d4，所以an4n3nN某（2）解：当a1d,S1d,S2d2dq,S3d2dq3dq2,S1,S2,S3成等比数列，所以22（d2dq）d（d2dq3dq2)，注意到d0，整理得q2S2S1S3，即（3）证明：由题设，可得bnqn1，则S2na1a2qa3q2a2nq2n1①T2na1a2qa3q2a2nq2n1②①-②得，S2nT2n2(a2qa4q3a2nq2n1)①+②得，S2nT2n2(a1qa3q2a2n1q2n2)③③式两边同乘以q，得q(S2nT2n)2(a1qa3q2a2n1q2n2)所以(1q)S2n(1q)T2n2d(qqq理科21文科22解：（1）∵g(某)的图象与f(某)的图象关于y轴对称，∴f(某)的图象上任意一点P(某,y)关于y轴对称的对称点Q(某,y)在g(某)的图象上．当某[1,0)时，某(0,1]，则f(某)g(某)ln(某)a某2．2分∵f(某)为[1,1]上的奇函数，则f(0)0．3分当某(0,1]时，某[1,0)，f(某)f(某)ln某a某2．5分ln(某)a某2(1≤某0),∴f(某)0(某0),6分2ln某a某(0某≤1).32n12dq(1q2n))21q1（1）由已知，f(某)2a某．某11①若f(某)≤0在0,1恒成立，则2a某≤0a≤2．某2某1此时，a≤，f(某)在(0,1]上单调递减，f(某)minf(1)a，2∴f(某)的值域为[a,)与|f(某)|1矛盾．8分②当a111(0,1]，时，令f(某)2a某0某某2a21)时，f(某)0，f(某)单调递减，2a∴当某(0,当某(1,1]时，f(某)0，f(某)单调递增，2a111211)ln()a()ln(2a)．10分2a2a2a22∴f(某)minf(11e由|f(某)|≥1，得ln(2a)≥1a≥．222e综上所述，实数a的取值范围为a≥．12分2理科22文科21某113某01(,).3分(I)当a3时，不等式等价于，解集为某33某0(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点T(某0,ln某0某01)，某0∴切线方程：y1某01某02(某1)，将点T坐标代入得：某01(某01)231，即ln某10，①ln某0102某0某02某0某031(某1)(某2)．………………6分21，则g(某)3某某某某0，g(某)在区间(0,1)，(2,)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数，法1：设g(某)ln某故g(某)极大值g(1)10,g(某)极小值g(2)ln210．4又g(1)ln112161ln430，注意到g(某)在其定义域上的单调性知g(某)0仅在441(,1)内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．8分.4121(t0)，考查(t)lntt23t1，则(t)(t1)(t)0，某t21111从而(t)在(0,)增，(,1)减，(1,)增.故t)极大=()ln20，2224法2：令t(1)10，而(e)e23e20，故(t)在(1,e)上有唯一解.从而ln某31210有唯一解，即切线唯一.某某法3：K(某0)某02ln 某0某023某01，K(某0)2某0ln某0某03,K(某0)2ln某01；当某0(0,e)K(某0)0;某0(e,)K(某0)0;K(某0)K(e)30；所以K(某0)在(0,)单调递增。

四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学理科试题成都石室中学2020～2021学年度高2022届十月考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y =+的倾斜角是（）A ．30?B ．60?C ．120?D ．150?2. 若直线022=++y ax 与直线840x ay ++=平行，则a 的值为（）A.4B.4-C.4-或4D.2-3．已知椭圆方程为225x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k =（）A.59 B.57 C.1 D.534．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．03=--y xB ．032=-+y xC ．01=-+y xD ．052=--y x5．平移直线10x y -+=使其与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则平移的最短距离为（）B ．2 1 D. 16．已知α，β，γ，δ表示不同的平面，l 为直线，下列命题中正确的是（）A ．,αγβγαβ⊥⊥? B ．,αββγαγ⊥⊥?⊥ C ．,,αγβδαβγδ⊥? D ．,,l l αγβγαβγ⊥⊥=?⊥7. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π48．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M-，则直线l 的斜率为（） A.13 B.32 C.12D.1 9．已知圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝36和点A (2,2)，B (－1，－2)，若点C 在圆上且△ABC 的面积为52，则满足条件的点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=?，则椭圆E 的离心率为（）A B ．12 C D 11．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（）A ．()0,22??+∞?B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0,)+∞ 12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（）A ．??B ．??C ．??D ．2,?? 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案写在答题卡上。

成都石室佳兴外国语学校2016—2017学年度（上）学期期中测试高二数学试题（理科）试卷满分：（150）分 考试时间：（120）分钟一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分）每小题4个选项均只有1个是正确的。

1、直线1-=x 的倾斜角等于 （ ） A 、00 B 、090 C 、0135 D 、不存在2、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．10x y -+= C ．10x y +-= D ．10x y ++=3、当α变化时，直线ααcos 26cos -=+y x 恒过定点 （ ） A 、(6，2) B 、（2,6） C 、（6，-2） D 、（2，-6）4、点P （1,1）在圆C ：02222=++-+y ax y x 外，则实数a 的取值范围（ ） A 、)6,(-∞ B 、)6,2()2,(⋃-∞ C 、)6,2( D 、),2()2,(+∞⋃--∞ 5、圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 相外切 C ． 相离 D ． 相内切 6、下列命题中,真命题是( )A ． a >1,b >1是ab >1的充分条件B ． ∀x ∈R,22x x＞ C ．a +b =0的充要条件是ba =-1 D ．∃x 0∈R,0xe ≤0 7、直线06)1()2(=--++y m x m 与圆1)2(22=+-y x 的位置关系是（ ） A. 相切B.相离C. 相交D. 以上都有可能8、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为 ( )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 559、已知命题p 1：,R x ∈∃使得012＜++x x ；命题p 2：[]2,1-∈∀x ，使得012≥-x ，则下列命题是真命题的是( )A ．21)(p p ∧⌝B ．)()(21p p ⌝∨⌝C )(21p p ⌝∧．D ．21p p ∨10、已知两点)3,0(-A ，)0,4(B ，若点P 是圆0222=-+y y x 上的动点，则△ABP 的面积的最小值为 （ ）A 、6B 、 221C 、8D 、21111、已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若2F PQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的值为 （ ）AB 、2C 、3 D12、椭圆C ：13422=+y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是)A ． [43,21] B ．[21，1] C ．[43,83] D ． [43，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13、已知点A （-3,4）B （3，2），过点P （1,0）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围14、椭圆Γ：12222=+by a x （0＞＞b a ）的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝(x＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 . 15、如果直线0:=-+b y x l 与曲线C :21x y -=有公共点,那么b 的取值范围是 .16、设21F F 、是双曲线C ：)00(12222＞，＞b a by a x =-的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且△21F PF 的最小内角为030，则C 的离心率为 选择题答题栏三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．18（12分）已知方程)(0916)41(2)3(24222R t t y t x t y x ∈=++-++-+表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围;(2)求其中面积最大的圆的方程;(3)若点P (24,3t )恒在所给圆内，求t 的取值范围.19（12分）已知中心在原点，一焦点为F （0，50）的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标21。

成都石室中学下期高二数学理科期中考试试卷参考公式： 球的表面积24S R π=，其中R 为球半径 球的体积343V R π=，其中R 为球半径锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高第 I 卷一、选择题：(本题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1.222234C C C ++=A 20B 17C 11D 10 2.10(1)x -的展开式的第六项的系数是A 610CB 610C - C 510CD 510C -3.点(1,1)-到直线10x y -+=的距离是A2B 2C 32D 124.在下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中,真命题是A 若l β⊂，αβ⊥，则l α⊥.B 若l β⊥，//αβ，则l α⊥.C 若m αβ=，//l m ，则//l α D 若l β⊥，αβ⊥，则//l α.5.在正方体1111ABCD A BC D -中，与面对角线1AD 成60的面对角线有 A 10条 B 8条 C 6条 D 4条6.设坐标原点为O ，过点(,0)M m 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，若0OA OB ⋅=， 则m =A 4B 3C 2D 17.若(3)nx y +的展开式的系数和等于10(7)a b +的展开式的二项式系数之和，则n 的值是 A 15 B 10 C 8 D 5 8.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中大于20000且不是5的倍数的五位数的个数是A 96B 78C 72D 369.五个旅客入住3个不同的房间，每个房间至少入住1人，则不同的入住方法有 A 60 B 90 C 150 D 3001A 1CB10.如图，在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点， 且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球 的表面积是A 12πB 32πC 36πD 48π11.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 长为定值. 则下面的四个值中，不．为定值的是 A 点P 到平面QEF 的距离 B 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C 二面角P EF Q --的大小 D 三棱锥P QEF -的体积12.点P 为四面体SABC 的侧面SBC 内的一点，若侧面．．SBC 内．的 动点P 到底面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 在侧面SBC 内的轨迹是A 椭圆的一部分B 椭圆或双曲线的一部分C 双曲线或抛物线的一部分D 抛物线或椭圆的一部分 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.不等式组004312x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩所表示的区域内的整点个数是 .14.以等腰直角三角形斜边上的高为棱把它折成直二面角，则折成后两直角边的夹角为 .15.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，给出下列三个条件： ① 11A B AC ⊥ ； ② 11A B B C ⊥ ；③ 1111B C AC =； 利用①②③中的任意两个作为条件，另外一个作为结论， 可以构造出三个命题，其中正确命题的个数是 .16.已知在平面直角坐标系中，坐标原点(0,0)到直线1(0)x yab a b+=≠的距离可记为，在空间直角坐标系中，坐标原点(0,0,0)到平面1(0)x y zabc a b c++=≠的距离可记为，则类比到n 维超空间，坐标原点(0,0,,0)到n 维超平面11221(0,1,2,,)n n i a x a x a x a i n +++=≠=的距离为 .第 II 卷 (非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. ， 14. ，15. ，16. .1B 1CAS三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17(本小题满分12分)用1，2，3，4，5这五个数字中的三个组成没有重复数字的三位数． (I)不同的三位数有多少个？(II)若所组成的三位数中既含有奇数数字，又含有偶数数字，则不同的三位数有多少个？18 (本小题满分12分)已知22)(*)nn N x ∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比为10:1． (I)求n 的值；(II)求展开式中含32x 的项.19(本小题满分12分)在直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，90ACB ∠=，,E F 分别是,BA BC 的中点，G 是1AA 上一点，且1AC EG ⊥.(I)求AG 的长；(II)求直线1AC 与平面EFG 所成的角θ的大小.GB 1A 1AB20(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的等边三角形，侧面11ABB A 是160A AB ∠=的菱形，且平面11ABB A ⊥平面ABC ，点M 是11A B 上的动点.(I)当点M 是11A B 的中点时，求证：BM ⊥面ABC ； (II)当二面角1A BM C --的平面角最小时， 求三棱锥1M ACB -的体积．21(本小题满分12分)如图，梯形ABCD 中，//CD AB ，12AD DC CB AB a ====，E 是AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置，且二面角P DE C --的大小为120︒. (I)求证：DE PC ⊥；(II)求点D 到平面PBC 的距离；(III)求二面角D PC B --的大小.22(本小题满分14分)一斜率为1的直线l的双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>交于,P Q 两点，直线l 交y 轴于R 点，且3OP OQ ⋅=-，3PR RQ =。

2016—2017学年四川省成都石室外语学校高二上学期半期考试理科数学一、选择题:共12题1．直线的倾斜角是A。

0 B. C. D.不存在【答案】C【解析】本题主要考查直线的倾斜角.依题意，直线垂直于轴，故其倾斜角为，故选C.2．圆的圆心坐标和半径分别为A. B。

C. D.【答案】B【解析】本题主要考查圆的标准方程以及圆心与半径.圆的标准方程为:(x+1)2+y2=12,则圆心坐标和半径分别为3．若直线与直线平行，则的值为A。

B。

1 C.1或－1 D。

3【答案】B【解析】本题主要考查两条直线的位置关系。

依题意，直线2mx＋y＋6＝0与直线（m－3)x－y＋7＝0平行，则得，故选B.4．已知直线l经过点，且与直线平行，那么直线l的方程是A。

B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查直线方程.依题意，设所求直线方程为，点代入求得,故所求直线方程为，故选A。

5．已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数a的值是A。

－2 B。

－4 C.－6 D.－8【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆即,得弦心距，再由弦长公式可得即，得，故选B。

．6．若圆的半径为1,其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为A. B。

C. D。

【答案】C【解析】本题主要考查圆的方程。

依题意，圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，可得圆心为，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为，故选C．7．已知实数x，y满足条件，且，则z的最小值是A.5 B。

－2 C.2 D。

－5【答案】D【解析】本题主要考查简单的线性规划问题．由约束条件作可行域如图，由图可知,可行域中点的坐标是使目标函数取得最小值的最优解,。

可得，则的最小值是，故选D。

8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为A。

B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查程序框图.执行程序框图,可得满足条件满足条件满足条件满足条件，不满足条件,退出循环，输出的值为。

故选D.9．某全日制大学共有学生5400人,其中专科生有1500人,本科生有3000人,研究生有900人。

2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数B. 某品牌新能源汽车最大续航里程C. 检测一批灯泡的使用寿命D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间2.成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为( )A. 12B. 14C. 16D. 213.下列说法一定正确的是()．A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B. 一个骰子掷一次得到2的概率是1，则掷6次一定会出现一次26C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D. 随机事件发生的概率与试验次数无关4.甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是( )A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为( )A. 93B. 92C. 91.5D. 93.56.【选考北师大版】小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为−x ，方差为s 2，则( )A. −x >20，s 2<28 B. −x <20，s 2>28C. −x =20，s 2<28D. −x =20，s 2>287.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足|m−n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )A. 14B. 38C. 12D. 588.已知事件A ，B ，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )A. 若A ⊆B ，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0.6B. 若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0C. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=1，P(AB)=0D. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=0.84，P(AB)=0.16二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020-2021学年四川省成都市石室中学(文庙校区)高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列结论正确的是（）A．x＞1?＜1 B．x+≥2C．x＞y?=＜D．x＞y?x2＞y2参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．x＞1?＜1；B．x＜时不成立；C．取x＞0，y＜0，不成立；D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．【解答】解：对于A．x＞1?＜1，正确；对于B．x＜时不成立；对于C．取x＞0，y＜0，则不成立；对于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．只有A正确．故选；A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2. 样本中共有5个个体，其值分别是，若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A． B． C．D．2参考答案：D 8. 一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为A. B.C. D.参考答案：B4. 在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（）A.40B.42C.43D.45参考答案：B5. 设全集，集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：B试题分析：由，得，由得，则，故答案为B.考点：集合的运算.6. 如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：特殊化，取过焦点的直线y=1，求出直线依次交抛物线与圆的点，计算|AB|×|CD|的值；方法二：设过抛物线焦点F的直线y=kx+1，与x2=4y联立，求出|AB|、|CD|的乘积来．【解答】解：方法一：特殊化，抛物线x2=4y的焦点是F（0，1），取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1的点是A（﹣2，1）、B（﹣1，1）、C（1，1）、D（2，1），∴|AB|×|CD|=1×1=1；法二：∵抛物线焦点为F（0，1），∴设直线为y=kx+1，直线与x2=4y联立得：y2﹣（4k2+2）y+1=0；∵|AB|=|AF|﹣1=y A，|CD|=|DF|﹣1=y B；∴|AB|?|CD|=y A y B=1．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了直线与抛物线的应用问题，是中档题目．7. 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，己知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A、﹣B、C、﹣D、参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（a，a，a），M（），D1（0，0，a），N（），=（﹣，﹣，﹣），=（，0，﹣a），设B1M与D1N所成角为θ，则cosθ= = = ．∴B1M与D1N所成角的余弦值为．故选：D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1M与D1N所成角的余弦值．8. 已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为( ) A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题．【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题9. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A．B．C． D．主视图左视图俯视图参考答案：A略10. 函数的单调递增区间是( )A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0，则解得a＞2．综上，a＞212. 如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是．参考答案：95【考点】归纳推理．【分析】斜着看，根据数阵的排列规律确定第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数即可．【解答】解：根据三角形数阵可知，斜着看，第n斜行奇数的个数为n个，则前n﹣1斜行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=，则斜着看，第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数，所以数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是2×48﹣1=95．故答案为95．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．13. 已知复数,则.参考答案：514. 已知实数x ，y 满足x 2+y 2﹣4x+6y+12=0，则|2x ﹣y ﹣2|的最小值是 ．参考答案：5﹣【考点】圆的一般方程．【分析】把圆的方程先化为标准方程，用参数表示x 与y 代入所求的式子中，利用辅助角公式化简，即可求得结论．【解答】解：x 2+y 2﹣4x+6y+12=0，可化为（x ﹣2）2+（y+3）2=1， ∴可设x=2+cosα，y=﹣3+sinα，∴|2x﹣y ﹣2|=|2（2+cosα）﹣（﹣3+sinα）﹣2|=|5+2cosα﹣sinα|=|5+cos （α+β）|∴|2x﹣y ﹣2|的最小值是5﹣．故答案为：5﹣．15. 已知（1+x+x 2）（x）n（n∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．参考答案：5【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x ）n （n∈N +）的展开式中无常数项、x ﹣1项、x ﹣2项，利用（x ）n （n∈N +）的通项公式讨论即可．【解答】解：设（x ）n （n∈N +）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n ﹣r x ﹣3r =x n ﹣4r ，2≤n≤8，当n=2时，若r=0，（1+x+x 2）（x ）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，（1+x+x 2）（x）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，（1+x+x 2）（x ）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x 2）（x）n （n∈N +）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；当n=6时，若r=1，（1+x+x 2）（x ）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，（1+x+x 2）（x ）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠7；当n=8时，若r=2，（1+x+x 2）（x ）n （n∈N +）的展开式中有常数项，故n≠2；综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．16. 已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为______． 参考答案： －13略17. 记等差数列的前项的和为，利用倒序求和的方法得：：类似地，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即________________．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

成都石室佳兴外国语学校2016～2017学年度下学期第一次月考高二年级 数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1、已知集合{}23x x A =-<<，{}x x m B =≥．若A B =∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(]2,3-C ．(),2-∞-D ．[)3,+∞ 2、（文）已知,x y 满足(1)(23)i i a bi ++-=+，则,a b 分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- （理）已知1ii z+=，则在复平面内，复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知函数()212,0,0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．2 B ．1 C ．14 D ．124、已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()4m xf x -=，且()128f -=，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．25、对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，则a 的值等于（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.56、已知实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y a =++的最小值是2，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．32 C ．2 D ．1-7、已知()2f x x x=+，则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．40x y --=C ．20x y +-=D ．40x y +-= 8、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出的S的值是（ ）A ．64B ．73C ．512D ．5859、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52352S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10、（文）若关于x 的不等式3330x x a -++≤恒成立，其中23x -≤≤，则实数a 的最大值为（ ）A ．1B ．1-C ．5-D ．21- （理）若关于x 的不等式3330x xx x a e-+--≤有解，其中2x -≤，则实数a 的最小值为（ ） A ．11e - B ．22e- C ．21e - D ．212e +11、设函数()f x 是奇函数，(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(2,0)(2,)-⋃+∞C ．(,2)(2,0)-∞-⋃-D ．(0,2)(2,)⋃+∞12（文）已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1， 2 ] C ．(2，＋∞) D ． 2，＋∞)12（理）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12F F 3π∠P =，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．3 B ．433 C ．2 D ．233第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（文）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的 条件(理)2(42)x dx -=⎰．14．函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是15、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a = 16、(文)函数()2sin 11xf x x =++的最大值为M ，最小值为m ，则m M += ． (理)函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M += ．．三、解答题17．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.求分组 30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)频数766218()f x 的单调区间和极大值；18．已知函数).(3232)(23R ∈+-=x x ax x x f （1）若1=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(+∞=在x f y 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a . 19．（文）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．（理）如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A ­PB ­C 的余弦值．20、（文）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：乙厂：分组 29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)频数126386182分组 30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)频数92614分组 29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)频数297185159(1)分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．附表：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值 21设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．22．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.成都石室佳兴外国语学校2016～2017学年度下学期第一次月考高二年级 数学答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

成都石室佳兴外国语学校2016~2017学年度下学期第一次月考高二年级 数学第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

)1、已知集合{}23x x A=-<<，{}x x m B =≥．若A B =∅,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(]2,3-C ．(),2-∞-D ．[)3,+∞ 2、（文）已知,x y 满足(1)(23)i i a bi ++-=+，则,a b 分别等于( ）A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- （理）已知1i i z+=，则在复平面内,复数z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知函数()212,0,0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．2B ．1C ．14D ．124、已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()4m xf x -=，且()128f -=，则m 的值为（ )A ．1-B ．1C ．12D ．25、对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表:根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+,则a 的值等于（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.56、已知实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y a =++的最小值是2，则实数a 的值是( ）A ．0B ．32C ．2D ．1-7、已知()2f x x x=+，则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．40x y --=C ．20x y +-=D ．40x y +-=8、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1,则输出的S 的值是( ）A ．64B ．73C ．512D ．585 9、等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且52352S S -=，则数列{}na 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10、（文）若关于x 的不等式3330x x a -++≤恒成立，其中23x -≤≤，则实数a 的最大值为（ ）A ．1B ．1-C ．5-D ．21- （理）若关于x 的不等式3330xx x x a e -+--≤有解，其中2x -≤，则实数a 的最小值为（ ）A ．11e- B ．22e- C ．21e-D ．212e+11、设函数()f x 是奇函数，(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(2,0)(2,)-⋃+∞C ．(,2)(2,0)-∞-⋃-D ．(0,2)(2,)⋃+∞12(文）已知F 1，F 2是双曲线错误!－错误!＝1（a >0，b 〉0)的左,右焦点，若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ） A ．（1，错误!) B ．（1,错误! ] C ．（错误!，＋∞) D． 错误!，＋∞) 12(理)已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12F F 3π∠P =，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是( )A ．3B ．433C ．2D ．233第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13（文）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的 条件(理)20(42)x dx -=⎰ ．14．函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是15、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a =16、（文）函数()2sin 11x f x x =++的最大值为M，最小值为m,则m M += ．（理)函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M，最小值为m，则m M +=．．分组 30。

一、选择题1．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心2．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3)3．(0分)[ID ：13600]函数()()sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为偶函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于直线6x π=对称4．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+5．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ）A ．∅B ．{}1-C ．{}1,0-D ．1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭6．(0分)[ID ：13578]若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．307．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12D ．328．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-9．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：13616]已知函数()sin(),f x x ϕ=-且23()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π=11．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()AB AC BC ABAC+⊥且1•2AB AC ABAC=，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形12．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 13．(0分)[ID ：13565]已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．C ．-2D ．214．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．-C ．-2D ．215．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．4π C ．3π D ．512π 二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13711]命题“若sin 0sin sin αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=______________．18．(0分)[ID ：13682]设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e e =-，1233BC e e =+，12CD e ke =+，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为_________.19．(0分)[ID ：13674]设两个向量12,e e ，满足122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°,若向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为____________. 20．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.21．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________22．(0分)[ID ：13654]设向量,,a b c 均为单位向量，且2a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________．23．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．24．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ . 25．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6πα+=______________．三、解答题26．(0分)[ID ：13796]已知4a =，2b =，且a 与b 的夹角为23π，求： （1）a 在b 上的投影； （2）()()2a ba b -+；（3） a 与a b +的夹角.27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n na x y =，且1112y x ==，1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +； （2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13769]已知12a b a ==，，与b 的夹角为3π，若.m a b n a kb k R =+=+∈，，(1)若m n ⊥，求实数k 的值； (2)若m 与n 的夹角为23π，求实数k 的值. 29．(0分)[ID ：13758]已知函数()2cos cos )f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．30．(0分)[ID ：13781]已知函数2()2sin cos 1)f x x x x =+-． （1）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，锐角A 满足()26A f π-=A 的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．D 13．A 14．C二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论18．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题19．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量20．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以21．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所22．【解析】【分析】由平面向量模的运算可得＝0即可得解【详解】解：由题意得即又故＝0故的夹角为90°【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算属基础题23．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求三、解答题26．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．2．D解析：D【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)， 故选D.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的最小正周期是π，求得2w =，即()()sin 2f x x ϕ=+，再根据三角函数的图象变换求得2()sin(2)3g x x πϕ=++，利用三角函数的对称性，求得6πϕ=-，得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期是π，即2wππ=，解得2w =， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 将函数()f x 的向左平移3π个单位后得到函数2()sin[2()]sin(2)33g x x x ππϕϕ=++=++ 因为()g x 为偶函数，所以2(0)sin()13g πϕ=+=±，即2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,6x k k Z ππ-=∈，解得,122k x k Z ππ=+∈， 令0k =，则12x π=，所以函数()f x 关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.6．B解析：B 【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．7．C解析：C 【解析】 【分析】以AB⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ .又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由题知，．若，，选项C 满足；若，，，其中，，函数周期，选项A 满足；若，，，其中，，函数周期，选项B 满足；若,则，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故本题正确答案为D ．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】函数()f x 的对称轴为12x k πϕπ-=+12x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭,所以23k πϕπ-=23k πϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k k ππϕπππ=++=-+(12,k k N ∈) 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 11．D解析：D 【解析】 【分析】AB AB和AC AC是两个单位向量，设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1•2AB AC ABAC=，求出BAC ∠即可判断． 【详解】 设AB AC ABAC+＝AD ，∵AB AB和AC AC是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，•AB AC ABAC111cos 2BAC ⨯⨯∠=，即1cos 2BAC ∠=，∴3BAC π∠=， ∴ABC ∆是等边三角形， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.13．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可． 【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 2,44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 2.84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．14．C解析：C 【解析】 【分析】求得22,2cos 3a ab b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a ab π=+=， 所以22,2cos3a ab b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b +⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =.15．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】 【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解. 【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-， 故答案为：16-. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论解析：12- 【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论1cos()=2αβ--． 18．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD 三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题 解析：25【解析】 【分析】根据共线列关系式，解得结果.【详解】因为A ，C ，D 三点共线， 所以//AC CD因为12121223352AC BC e e e e e AB e =+=-++=+ 所以25:21:5k k =∴= 故答案为: 25【点睛】本题考查根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量解析：141(7,(,)22---. 【解析】 【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数t 的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形． 【详解】∵122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°, ∴1221601e e cos ︒⋅=⨯⨯=．∵向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，∴(()()2222121211222t 7)2t 2t 772t 1570e e e te e e e te t +⋅+=++⋅+=++<，解得172t -<<-． 令()12122t 7(0)e e e te λλ+=+<，则得27t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t λ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．∴当t =时，向量122t 7e e +与向量12e te +共线反向，不合题意． ∴实数t 的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】解答本题时注意以下结论：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当,a b 的夹角为锐角时，可得0a b ⋅>，反之不成立（注意共线同向的情形）；③当,a b 的夹角为钝角时，可得0a b ⋅<，反之不成立（注意共线反向的情形）．20．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以 解析：23【解析】 【分析】根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =可求解出APQS ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.【详解】因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点， 又因为QA QB QCBC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：因为121111sin sin 232323APQSAB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12133BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.21．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可. 【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，12C ⎛- ⎝⎭，(),B x y ，则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()112x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪-+=-⎪⎪⎪⎝⎭⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，因为B 在圆221x y +=上，所以22122111λμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2221122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤，故2 3【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 22．【解析】【分析】由平面向量模的运算可得＝0即可得解【详解】解：由题意得即又故＝0故的夹角为90°【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算属基础题解析：90【解析】【分析】由平面向量模的运算可得a b⋅＝0，即可得解.【详解】解：由题意，得22()2a b c+=，即22222a b a b c++⋅=，又a b c==，故a b⋅＝0，故a，b的夹角为90°．【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.23．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题解析：2136 AB AC-【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算，将DP用AB，AC表示出来.【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示， 因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求【解析】【分析】由cos 2cos()3ααπ=+化为cos 2cos()6666ααππππ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭,再利用两角和与差的余弦公式，再同时除以cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为cos 2cos()3ααπ=+，所以cos()2cos()6666ππππαα+-=++，cos()cos3sin()sin6666ππππαα+=+，所以tan()63πα+=.故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.三、解答题 26．（1）2-；（2）12；（3）6πθ=【解析】 【分析】（1）直接利用向量的投影公式求解即可；（2）利用数量积的运算法则计算得解；（3） 【详解】（1）由题得a 在b 上的投影为24cos 23π⨯=-；（2）()()2212=216842()122a b a b a b a b -+--⋅=--⨯⨯-=；（3）由题得2||()16a b a b +=+=+=所以a 与a b +==故a 与a b +的夹角为6πθ=.【点睛】本题主要考查向量的投影和数量积的计算，考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.27．（1）()02,；11n n n n n n x x y y ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）413n n B -=【解析】 【分析】先对1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭化简，再结合1112y x ==可求得2a ，【详解】（1）1111n n n n n n n n x x x y y y ++⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==⎪-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭，即11n n n n n n x x y y ++⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，当1n =时，21121102x x y y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，所以()20,2a =；（2）1n n n x x +=①，1n n n y y ++②，将①②同时平方，得()222123n n n n n n n x x x y y +==+-⋅③，22213n n n n n y x y y +=++⋅④，③+④得()2222114n n n n xy x y+++=+，即2211224n n n n x x y y +++=+，222n n n n y b a x ==+，所以14n nb b +=，又1222111x a y =+=，所以{}n b 是以1为首相，4为公比的等比数列，所以 ()11441143nn nB b --==- 【点睛】本题考查矩阵的乘法公式应用，向量的模长公式应用，等比数列前n 项和的求解，属于中档题28．（1）25-；（2）34- 【解析】 【分析】（1）由m n ⊥得0m n ⋅=，将a b a ，，与b 的夹角代入计算，列方程求出k 的值； （2）分别求出,,m n m n ⋅，利用公式cos m n m n m n⋅⋅>=<求解即可.【详解】解：（1）由m n ⊥得0m n ⋅= 又()()22(1)m n a b a kb a k a b kb ⋅=+⋅+=++⋅+12(1)cos403k k π∴+++=，解得：25k =-； （2）由（1）12(1)cos4523k k k m n π⋅=+++=+，()222252m a ba ab b ==+⋅+=+=+，()22222242n a k a a b k b kbk ==+⋅++=+cos m n m n m n⋅⋅>=<，2cos3π∴=， 解得：34k =-或16k =-（与520k +<不符，舍去）， 所以实数k 的值为34-. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直的应用，考查学生的计算能力，是中档题．29．（Ⅰ）T π=，对称中心为,0()122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；减区间,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式()2sin(2)6f x x π=+，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（Ⅱ）由（1）可知()2sin(2)6f x x π=+，根据[0,]2x π∈和三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，函数2()2cos cos )1cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以函数()f x 的最小正周期222T w πππ===， 令()0f x =，即2sin(2)06x π+=，即2,6x k k Z ππ+=∈，解得122k x ππ=-+,k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为(,0),122k k Z ππ-+∈. （Ⅱ）由（1）可知()2sin(2)6f x x π=+，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 又因为[0,]2x π∈，当0k =时，函数()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.30．（1）πA 3=；（2． 【解析】 【分析】（1）将()f x 化简为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ；（2）根据正弦定理求得a ，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭2sin 22sin 26263A A f A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 为锐角 3A π=（2）ABC ∆的外接圆半径为11由正弦定理得：22sin aR A==2sin 2sin232a A π∴===⨯= 由余弦定理：222π2cos3a b c bc =+- 得：2232b c bc bc bc bc =+-≥-= 即3bc ≤（当且仅当b c =时取等号）则三角形的面积11sin 322S bc A =≤⨯=（当且仅当b c =时取等号）故三角形面积最大值为4【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.。

成都石室佳兴外国语学校2016—2017学年度（上）学期期中测试高二数学试题（理科）试卷满分：（150）分 考试时间：（120）分钟命题人： 审题人：一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分）每小题4个选项均只有1个是正确的。

1、直线1-=x 的倾斜角等于 （ ）A 、00B 、090C 、0135 D 、不存在2、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．10x y -+= C ．10x y +-= D ．10x y ++=3、当α变化时，直线ααcos 26cos -=+y x 恒过定点 （ ）A 、(6，2)B 、（2,6）C 、（6，-2）D 、（2，-6）4、点P （1,1）在圆C ：02222=++-+y ax y x 外，则实数a 的取值范围（ ） A 、)6,(-∞ B 、)6,2()2,(⋃-∞ C 、)6,2( D 、),2()2,(+∞⋃--∞5、圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相外切C ． 相离D ． 相内切6、下列命题中,真命题是( )A ． a >1,b >1是ab >1的充分条件B ． ∀x ∈R,22x x ＞C ．a +b =0的充要条件是ba =-1 D ．∃x 0∈R,0x e ≤0 7、直线06)1()2(=--++y m x m 与圆1)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）A. 相切 B .相离 C .相交 D. 以上都有可能8、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为 ( )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 559、已知命题p 1：,R x ∈∃使得012＜++x x ；命题p 2：[]2,1-∈∀x ，使得012≥-x ，则下列命题是真命题的是( )A ．21)(p p ∧⌝B ．)()(21p p ⌝∨⌝C )(21p p ⌝∧．D ．21p p ∨10、已知两点)3,0(-A ，)0,4(B ，若点P 是圆0222=-+y y x 上的动点，则△ABP 的面积的最小值为 （ ） A 、6 B 、 221 C 、8 D 、211 11、已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若2F PQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的值为 （ ）A 、3B 、2C 、3D 、5 12、椭圆C ：13422=+y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是，那么直线PA 1斜率的取值范围是( ) A ． hslx3y3h43,2121，143,8343，1－2，－143,2121，143,8343，1hslx3y3h二、填空题13、已知点A （-3,4）B （3，2），过点P （1,0）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围 []00135,4514、椭圆Γ：12222=+by a x （0＞＞b a ）的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于_13-_______.15、如果直线0:=-+b y x l 与曲线C :21x y -=有公共点,那么b 的取值范围是 []2,1- . 16、设21F F 、是双曲线C ：)00(12222＞，＞b a by a x =-的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且△21F PF的最小内角为030，则C 的离心率为 3三、解答题17、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．解：取AB 的中点M ，AB AF 41=，所以F 为AM 的中点，又因为E 为1AA 的中点，所以M A EF 1∥.又M D ,分别为AB B A ,11的中点，BM D A ∥1∴，且BM D A =1，所以四边形DBM A 1为平行四边形，BD M A ∥1，∴BD EF ∥，由此可得D BC EF 1平面∥（II ）以AB 的中点M 为原点，分别以、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示则，，，， ∴，，．设面BC 1D 的一个法向量为，面BC 1E 的一个法向量为， 则由得取，又由得取，则，故二面角E －BC 1－D 的余弦值为． 18、已知方程)(0916)41(2)3(24222R t t y t x t y x ∈=++-++-+表示的图形是圆.(1)求t 的取值范围;(2)求其中面积最大的圆的方程;(3)若点P (24,3t )恒在所给圆内，求t 的取值范围.解：（1）已知方程可化为916)41()3()41()724(4222222---++=-++-t t t t y x ∴016722＞++-=t t r ∴171＜＜t - ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈1,71t (2)1672++-=t t r =716)73(72+--t ∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=1,7173t 时，774max =r 时，此时圆的面积最大 对应的圆的方程是7164913)724(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x （3）当且仅当167122++-+t t t ＜时，点p 恒在圆内，∴0682＜t t - ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,0t19、已知中心在原点，一焦点为F （0，50）的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标21。

数学考试试卷第I 卷第 1 页（共2页） 数学考试试卷 第I 卷 第2 页（共2页）石室外语学校2011—2012学年度下期期中考试高二数学（第I 卷）(时间:120分钟 总分:150分 命题人：刘萧旭 审题人：熊白山)说明：（1）试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟； （2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、曲线cos 4ρθ=与曲线()3R πθρ=∈的图象有（ ）个交点.A.1B.2C. 3D. 42、从装2个红球和2个白球的口袋中任取两球,则下列事件中是互斥但不对立的事件为（ ） A. 至少有一个白球,都是白球 B. 至少有一个白球,至少有一个红球 C. 恰有一个白球,恰有2个白球 D. 至少有一个白球,都是红球3、（理）函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)y x x '=+B ．22sin(2)y x x x '=+C ．2(41)cos(2)y x x x '=++D ．24cos(2)y x x '=+（文）函数xy xe =的导数是（ ）A ．x y e '=B ．x y xe '=C ．(1)x y x e '=+D ．2xy xe '=4、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 经过伸缩变换ϕ变为曲线y=sinx ，则伸缩变换ϕ是（ ）A ． x 3x 2y y ='⎧⎨'=⎩ B. x 3x 2y y '=⎧⎨'=⎩ C ． x 3x 12y y ='⎧⎪⎨'=⎪⎩ D ．x 3x 12y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 5、同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙 得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为( )A.116 B ．216 C ．316 D ．14 6、点M(5，6π)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(-5， 6π-)；②(5，76π)；③(-5，6π)；④(-5，76π-)．其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④7、设2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ）A.(0,)+∞B. (1,0)(2,)-+∞C. (2,)+∞D. (1,0)- 8、若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a =（ ） A. 3 B.4 C ．1 D ．19、设曲线的参数方程为23cos 13s x y in θθ=+⎧⎨=-+⎩（为参数），直线的方程为320x y -+=，则曲线上到直线的点的个数为（ ） A.1 B.2 C ．3 D ．410、函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ． (1,)-+∞。

石室中学2024-2025年高二上期9月数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1D. 22. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9 B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,53. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题4. 已知随机事件,,A B C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B =U （ ）A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.725. 已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则13x y+的最小值是（ ）A. 8B. 12C. 16D. 10+6. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：22sin 7sin 23sin23︒+︒︒︒=（ ）A. 12B.13 C. 14D.157.掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ）A.17216B.554 C. 427 D.352168. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A. 18B. 14C. 12 D. 1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，且m αβ=I .下列四个选项，正确的有（ ）A.若//m n ，则//n α或//n βB.若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥C.若//n α，且//n β，则//m n D.若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥10. 已知事件,A B 发生的概率分别为1()3P A =，1()6P B =，则（ ）A. 若()19P AB =，则事件A 与B 相互独立 B. 若A 与B 相互独立，则4()9P A B +=C. 若A 与B 互斥，则4()9P A B += D. 若B 发生时A 一定发生，则1()3P AB =11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率110C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为43三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 甲乙丙三位同学之间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，球仍回到甲处的概率为____________．13. 已知 4cos cos 24πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则 sin 2θ=______________.14. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折叠成直二面角B AC D --，则此时BD 与平面ABC 所成角的大小是_____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数(f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.16.（本小题满分15分）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，E 为棱1AA 的中点，12,3AB AA ==．（1）求三棱锥A BDE -的体积．（2）在1DD 上是否存在一点P ，使得平面1//PAC 平面EBD .如果存在，请说明P 点位置并证明.如果不存在，请说明理由.18. （本小题满分17分）在锐角ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22233b c a =-．（1）求tan tan BC的值；（2）若tan 3A =，3a =，求ABC V 的面积．19. （本小题满分17分）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，,N M 分别为1,AB CC 的中点，且AB AC =.（1）证明：CN ⊥平面11ABB A ；（2）若1AA =，求二面角11B AM C --的余弦值；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则2V E F -+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.石室中学2024-2025年高二上期9月数学试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】C2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D3. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B4. 已知随机事件,,A B C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B =U （ ）A. 0.4 B. 0.58C. 0.7D. 0.72【答案】B5. 已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则13x y+的最小值是（ ）A. 8B. 12C. 16D. 10+【答案】C6. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：22sin 7sin 23sin23︒+︒︒︒=（ ）A.12B.13C.14D.15【答案】C7.掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ）A.17216B.554C.427D.35216【答案】B8. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A.18B.14C. 12D. 1【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，且m αβ=I .下列四个选项，正确的有（ ）A.若//m n ，则//n α或//n β B.若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥C.若//n α，且//n β，则//m n D.若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥【答案】AC10. 已知事件,A B 发生的概率分别为1()3P A =，1()6P B =，则（ ）A. 若()19P AB =，则事件A 与相互独立 B. 若A 与B 相互独立，则4()9P A B +=C. 若A 与B 互斥，则4()9P A B += D. 若B 发生时A 一定发生，则1()3P AB =【答案】AB11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率110C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为43【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 甲乙丙三位同学之间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，球仍回到甲处的概率为____________．【答案】1413. 已知 4cos cos 24πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则 sin 2θ=______________.【答案】114. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折叠成直二面角B AC D --，则此时BD 与平面ABC 所成角的大小是_____________.【答案】45︒四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π.【解析】（1）()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++-+-πsin2cos21214x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭……………………6分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 24x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域为1⎡⎤-⎣⎦；………………………8分（2）因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =得πsin 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，……………………………12分所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为9π2.………………………………13分16. （本小题满分15分）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【解析】（1）由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.………………………………3分因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.………………………………6分（2）由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.…………………………8分（3）由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，………………………………10分男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，………………………………13分所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.………………………………15分17. （本小题满分15分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，E 为棱1AA的中点，12,3AB AA ==．（1）求三棱锥A BDE -的体积．（2）在1DD 上是否存在一点P ，使得平面1//PAC 平面EBD .如果存在，请说明P 点位置并证明.如果不存在，请说明理由.【解析】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，所以1AA ⊥平面ABCD ，……………………………2分所以11312213322A BDE E ABD ABD V V AE S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=V .………………………6分（2）当P 为1DD 的中点时满足平面1//PAC 平面EBD ，……………………………8分设AC BD O =I，连接OE ，因为ABCD 为正方形，所以O 为A C 的中点，又E 为棱1AA 的中点，所以1//OE AC ，又OE ⊄平面1PA C ，1A C ⊂平面1PA C ，所以//O E 平面1PA C ，又P 为1DD 的中点，所以1//DP A E 且1DP A E =，所以1DPA E 为平行四边形，所以1//DE A P ，……………………………12分又DE ⊄平面1PA C ，1A P ⊂平面1PA C ，所以//D E 平面1PA C ，又D E O E E ⋂=，,DE OE ⊂平面BDE ，所以平面1//PAC 平面EBD .……………………………15分18. （本小题满分17分）在锐角ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22233b c a =-．（1）求tan tan BC的值；（2）若tan 3A =，3a =，求ABC V 的面积．【解析】（1）因为22233b c a =-，故()222232cos 3c a ac B c a +-=-，整理得到：23cos a c B =，……………………………3分由正弦定理可得2sin 3sin cos A C B =，………………………………5分所以()2sin 3sin cos B C C B +=即2sin cos 2cos sin 3sin cos B C B C C B +=，所以2sin cos sin cos B C C B =，而ABC V 为锐角三角形，故cos cos 0B C ≠，故2tan tan B C =即tan 1tan 2B C =.………………………………8分（2）因为tan 3A =，故()tan 3B C +=-，所以tan tan 31tan tan B CB C+=--，而tan 1tan 2B C =，结合tan 0,tan 0B C >>可得tan 1,tan 2B C ==，………………………………11分而,,A B C为锐角，故sin A B C ===故外接圆半径为12R ==，………………………………14分故215sin 2sin sin sin 2322S ab C R A B C ===⨯=.…………………………17分19. （本小题满分17分）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，,N M 分别为1,AB CC 的中点，且AB AC =.（1）证明：CN ⊥平面11ABB A ；（2）若1AA =，求二面角11B AM C --的余弦值；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则2V E F -+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【解析】（1）证明：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,AC AB ⊂平面ABC ，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥，所以点A 的曲率为π2π2π223BAC -⨯-∠=，得π3BAC ∠=，……………………………2分因为AB AC =，所以ABC V 为等边三角形，因为N 为AB 的中点，所以CN AB ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥，因为1AA AB A =I ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以CN ⊥平面11ABB A ；………………………5分（2）取11A C 的中点F ，连接1,B F MF ，因为111A B C △为等边三角形，所以111B F AC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以平面11AA C C ⊥平面111A B C ，因为平面11AA C C I 平面11111A B C AC =，1B F ⊂平面111A B C ，所以1B F ⊥平面11AAC C ，因为,AM MF ⊂平面11AAC C ，所以11,B F AM B F MF ⊥⊥，设AB =，则1112,AA AM B M AB ====，所以22211AM B M AB +=，所以1AM B M ⊥，因为111B F B M B =I ，11,B F B M ⊂平面1B FM ，所以AM ⊥平面1B FM ，因为MF ⊂平面1B FM ，所以AM MF ⊥，所以1FMB ∠为二面角11B AM C --的平面角，……………………………10分因为1MF B M ===所以在1Rt FMB V中，11cos FM FMB MB ∠==所以二面角11B AM C --；……………………………12分（3）证明：设多面体有F 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,,F ⋅⋅⋅号，设第i 号（1i F ≤≤）多边形有i E 条边，则多面体共有122M E E E E ++⋅⋅⋅+=条棱，由题意，多面体共有12222M E E E V F E F ++⋅⋅⋅+=-+=-+个顶点，…………………………14分i 号多边形的内角之和为π2πi E -，……………………………15分所以所有多边形的内角之和为12π()2πF E E E F ++⋅⋅⋅+-，所以多面体的总曲率为122π[π()2π]F V E E E F -++⋅⋅⋅+-12122π[]2π()2π2M F E E E F E E E F ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅⎭+-- ⎪⎝4π=π.…………………………17分。