广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷(文科)

2015-2016学年广东省揭阳一中、金山中学高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．已知等差数列{an }中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A． + B． +C．﹣ D．﹣10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x），x2∈（x，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞011．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij ，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值．21．设函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，f （x ）+g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数．（1）求f （x ），g （x ）的解析式，并证明：当x ＞0时，f （x ）＞0，g （x ）＞1；（2）设a ≤0，b ≥1，证明：当x ＞0时，ag （x ）+（1﹣a ）＜＜bg （x ）+（1﹣b ）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA ；（Ⅱ）AB 2=BE •BD ﹣AE •AC ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 1： （t 为参数），C 2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：ρ（cos θ﹣2sin θ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|．（1）画出函数y=f （x ）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a ﹣b|≥|a|f （x ），（a ≠0，a 、b ∈R ）恒成立，求实数x 的范围．2015-2016学年广东省揭阳一中、金山中学高三（下）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ．2．设p ：x ＜3，q ：﹣1＜x ＜3，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p ：x ＜3，q ：﹣1＜x ＜3，则p 成立，不一定有q 成立，但是q 成立，必有p 成立，所以p 是q 成立的必要不充分条件．故选：C ．3．设函数f （x ）=，则f （﹣2）+f （log 212）=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【考点】函数的值．【分析】先求f （﹣2）=1+log 2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f （log 212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f （x ）=，即有f （﹣2）=1+log 2（2+2）=1+2=3，f （log 212）==12×=6， 则有f （﹣2）+f （log 212）=3+6=9．故选C ．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．y=cos （2x+）B ．y=sin （2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．5．已知等差数列{an }中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+d=5，解得a1=﹣3，d=2．则其公差为2．故选：B．6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，B（1，2）．化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为1﹣2×2=﹣3；当直线过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣2×0=3．∴z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．故选：D．7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．8．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．9．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A． + B． +C．﹣ D．﹣【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率： =．故选：C．10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x），x2∈（x，+∞），则（）A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点 可得到f （x 0）=0，再由函数f （x ）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2）故选B ．11． 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n 的正方形，高为x ，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x ＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出： =，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij ，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29【考点】归纳推理．【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），则1+2+3+…+（i ﹣1）=i （i ﹣1）≤1008①，且1+2+3+…+i=i （i+1）＞1008②；验证i=45时，①②式成立，所以i=45；第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，而1981+2（j ﹣1）=2015，∴j=18；∴i ﹣j=45﹣18=27．故选：B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为C 1、C 2，则一次取出2只球，基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种；所以所求的概率是P=， 故答案为：．14．若曲线y=kx 2+lnx 在点（1，k ）处的切线与直线2x ﹣y+3=0平行，则k=． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用切线和直线平行得到，斜率关系，建立方程进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）=2kx+，则在点（1，k ）处的切线斜率k=f ′（1）=2k+1，∵y=kx 2+lnx 在点（1，k ）处的切线与直线2x ﹣y+3=0平行，∴直线2x ﹣y+3=0的斜率k=2，即切线斜率k=2，即f ′（1）=2k+1=2，则2k=1，得k=， 故答案为： 15．已知F 是双曲线的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 9 ．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a ，进而根据PA|+|PF ′|≥|AF ′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是1209 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）﹣f（x﹣5）=0可判断出函数的周期性，由x∈（﹣1，4]时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在[0，2016]上的零点个数．【解答】解：∵f（x）﹣f（x﹣5）=0，∴f（x）=f（x﹣5），∴f（x）是以5为周期的周期函数，又∵f（x）=x2﹣2x在x∈（﹣1，4]区间内有3个零点，∴f（x）在任意周期上都有3个零点，∵x∈（1，2016]上包含403个周期，又∵x∈[0，1]时不存在零点，故零点数为3×403=1209．故答案为：1209．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a ；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为P=．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：平面ADM ⊥平面PBC ；（2）求点P 到平面ADM 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；（2）PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离．【解答】解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得，∴．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．可得x=x1+x2，y=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．∴x0=x1+x2=，y=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结AD ，由已知条件结合圆的性质推导出A 、D 、E 、F 四点共圆，由此能证明∠DEA=∠DFA ．（Ⅱ）由A 、D 、E 、F 四点共圆，连结BC ，能推导出△ABC ∽△AEF ，由此能证明AB 2=BE •BD ﹣AE •AC ．【解答】证明：（Ⅰ）连结AD ，∵AB 为圆的直径，∴∠ADB=90°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EFA=90°，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA=∠DFA ．（Ⅱ）∵A 、D 、E 、F 四点共圆，∴由切割线定理知BD •BE=BA •BF ，连结BC ，则△ABC ∽△AEF ， ∴=，∴AB •AF=AE •AC ，∴BE •BD ﹣AE •AC=BA •BF ﹣AB •AF=AB （BF ﹣AF ）=AB 2．∴AB 2=BE •BD ﹣AE •AC ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 1： （t 为参数），C 2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：ρ（cos θ﹣2sin θ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方1：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．程；C2（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单直线C3调性即可得出．：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，【解答】解：（Ⅰ）曲线C1∴C为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．1C：（θ为参数），化为．2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．C2（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，直线C3M到C的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，3从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得2016年10月18日。

揭阳第一中学高三级5月测试文科综合试题2015.05一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。

12．《史记，货殖列传》记载“汉兴，海内为一，开关梁，弛山泽之禁，是以富商大贾周流天下，交易之物莫不通，得其所欲，而徙豪杰诸侯强族于京师。

”作者认为，汉初商业发展的主要原因是A．国家统一B．鼓励开发C．盐铁官营D．抑制豪强13．柳宗元说：“浮图诚有不可斥者，往往与《易》、《论语》合，诚乐之，其于性情爽然，不与孔子异道。

”材料反映出A．佛教已取得政治统治地位B．佛教和儒家思想皆为正统思想C．儒家学说的弊端日益暴露D．佛教与儒家思想走向融合14．李攸《李朝事实录》云：“……益州……诸豪以时聚首，同用一色之营造，印文用屋木人物，铺户押字，各自隐密题号，朱墨间错以为私记。

……每岁丝蚕米麦将熟时，又印交子一两番，捷如铸钱，收买蓄积。

”从材料中可以看出A．交子的印刷及管理比较规范B．钞币的流通地域仅限于四川C．商品经济发达带来钞币的产生D．地方豪商协商并由官府印制钞币15．关于甲午中日战争中国失败的原因有多种观点。

丁—平在《对甲午海战的再认识》中认为：纵观世界海战史，在一场海战中，一支海军舰队战死或以身殉国、尽节以终的将领占到高级指挥军官半数以上，是极为罕见的。

这有力地驳斥了A．“清政府昏庸腐败”的观点B．“李鸿章避战求和”的观点C．“中国战略战术落后”的观点D．“北洋海军腐朽无能”的观点16．“1912年史量才接办了《申报》，实行西方管理模式，并从美国购进新式印刷机投入生产。

1920年，他被推选为世界报业大会副会长，多次与欧美报业进行交流。

之后他又在《申报》增设文艺、儿童等栏目。

九一八事变后，他在《申报》发表文章力挺抗日活动。

”以下用不同史观解读该材料，不准确的是A．从社会史观看，史量才的《申报》丰富了民众的文化娱乐生活B．从全球史观看，史量才担任报业大会副会长推动了世界报业交流C．从现代化史观看，史量才的《申报》实行机器印刷、企业化管理D．从文明史观看，史量才在《申报》力挺抗日活动具有反帝爱国性质17．1925年，“江浙京奉鲁豫各处兵戈纷起，除水路轮船可达之少数各地外，其津浦、京汉、陇海、胶济、京绥各铁路货车一律停开，所属各省份运输阻断，几乎无货可售”。

若 ∀x1 ∈ [ 2, +∞ )
∃x2 ∈ [ 2, +∞ ) 使得 f ( x1 ) = g ( x2 )
选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题
3π 14. 坐标系 参数方程选做题 在极坐标系中 过点 A 4 , 引圆 ρ 2
线长为
·2 ·
= 4sin θ 的一条Fra bibliotek线 则
14
知 棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱
90° ∠BAC 30° BC 1 AA1
面垂直
且 点P
6
别为 BC1 CC1 AB1 的中点
求证 PN// 面 ABC 求证 A1M⊥ 面 AB1C1 求点 M 到 面 AA1B1 的距离 图6
∗
19 本题满
令4
知数列 {an } 满足 an = 3an −1 + 3 − 1( n ∈ N , n ≥ 2) 且 a3 = 95
17. 本小题满
12
从某校高
级 800
学生中随机抽
50
测 身高 据测
被抽 的学生的身高全部介于
令55cm 和 令95cm 之间 将测 令 试估计这所学校高
结果 成 组得到的频率 布直方图如图 5 学生中身高在 令80cm 的学生中随机抽 含 令80cm 的人数为多少 以 学生接 某军校考官
级 800
S4 12. 若等比数列{an}的前项 n 和为 Sn 且 = 5 S2 13 知函数
x2 − x + 1 f ( x) = ( x ≥ 2), g ( x) = a x (a > 1, x ≥ 2) x −1
使 f ( x0 ) = m 成立 则实数 m 的 值范围为 则实数 a 的 值范围为

2015年广东省揭阳市高考一模【文科数学】试题+答案D揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题第2页（共4页）揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题第3页（共4页）揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第4页（共4页）答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第5页（共4页）C ．第三象限D ．第四象限 3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.B.2C.2D. 5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12D.12-6．已知函数logay x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4xy = B.4log y x = C.2xy = D. 1()2xy = 7．某单位200该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第6页（共4页）抽取的人数为A.8B.12C.20D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a ab b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为 ①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第7页（共4页）F E A C B③(min{,})(max{,})a ba b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题） 11．不等式23100xx --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =，则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()kka f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a=，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+= 被圆=4ρ截得的弦长为 .揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第8页（共4页）3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI）指数4012016020015．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF == 则BC 边的长为 ． 图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第9页（共4页）3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）4揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第10页（共4页）18．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ． 519. (本小题满分14分)已知nS 为数列{}na 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a=．（1）求1a 的值；（2）求数列{}na 的通项公式；（3）求证：1211113n S SS +++<．20. (本小题满分14分)揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第11页（共4页）已知抛物线C ：22(0)xpy p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈． （1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sin ln(1)1nk n k =<++∑． 2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第12页（共4页）正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.；13. 3；14.解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23kk a =，故切线方程为323()kk k y aa x a -=-，令0y =得123k k aa +=123k k a a +⇒=，故数列{}na 是首项11a=，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC =BC三、解答题：16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第13页（共4页）（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第14页（共4页）[解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分 即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入22sin2cos 21αα+=并整理得24cos212cos 2230αα--=，---------------8分解得：121cos 2726α±±==，--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴cos 2α=.----------------------------------揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第15页（共4页）-------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第16页（共4页）AB CD∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， AB BC B=， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分 又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分（2） CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l = ∴//CD l．------------------------------------8分（3）解法1：由（1）知EF //CD揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第17页（共4页）∴AEFACD∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEFB ACDVV--=------------------11分331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116428=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBCF BCD V VV --=+1133EBC BCD S EF S FG∆∆=⋅+⋅------12分1611166113232=+⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)Sa a a =+=-⨯-和212.a=可得16a=，------------------2分 （2）解法1：当2n ≥时，由1nn n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)nn n ana n n n a n n -=-------，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第18页（共4页）---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分 ∴数列{}na 是首项16a=，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n=+-=-------------8分[解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分可得1(1)3(1)nn n SnS n n ---=-131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}nS n 为首项161S =,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233nSn n=+.∴6n a n=---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第19页（共4页）1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+，命题得证．---------------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的准线为2py =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52p m +=-------①-----2分又点P 在抛物线C 上，∴揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第20页（共4页）22m pm =(0)m >⇒2m p=.----------------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y=.-------------------------5分[解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2pF ，由||5PF =5=,即22()252pmm +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p=.--------------②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第21页（共4页）24x y=.-------------------------5分]（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分 又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为02(,1)2x x --，-----------------------------9分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第22页（共4页）200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分 ∵点N 在以MQ 为直径的圆上， ∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分[解法2：设点0(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为00()2x y yx x -=-，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第23页（共4页）---------------------------------------------7分令1y =-得02(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为02(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y=， 将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第24页（共4页）将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=02(1)2(1)()[]y y x x --+--02(1)2(1)0y y=-+-==右边，将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=02(1)()[]2(1)y x yx ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x >∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第25页（共4页）∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=， ∴1a ≤.---------------------------------------揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第26页（共4页）--------------------------------9分 [解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->， 当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a ≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=，∴11a≥01a ⇒<≤，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第27页（共4页）------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)lnx x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln11k k k k k+-=<++，--------------------------12分∴11131sin sin sinln 2ln ln2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+，即揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第28页（共4页）11sinln(1)1nk n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。