张家港市崇真中学2014届高三9月周考3数学试题 含解答

张家港市2013 ~2014学年第一学期期末调研测试卷初三数学 2014.1注意事项：1．本试卷共6页，全卷共三大题29小题，满分130分，考试时间120分钟；2．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考试号填写在答题卷密封线内相应的位置上；3．选择题、填空题、解答题必须用黑色签字笔答题，答案填在答题卷相应的位置上；4．在草稿纸、试卷上答题无效；5．各题必须答在黑色答题框内，不得超出答题框，一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内）1．计算a 4·21a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是 A ． a 2B ．21aC ．a 3D ．31a 2．要使分式43x -有意义，则x 的取值范围是 A ．x>3B ．x<3C ．x ≠3D ．x ≠－3 3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得的方程为A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．抛物线y ＝2(x －2)2＋3的顶点坐标是A ．(－2，3)B ．(2，3)C ．(－1，3)D ．(1，3)5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为 A ．12 B ．18 C ．24 D ．486．如果⊙O 的半径为3cm ，其中一弧长2cm ，则这弧所对圆心角度数是A ．150°B ．120°C ．60°D ．45°7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a<0，c>0，那么它的图象大致是8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是A ．50(1＋x)2＝196B ．50＋50(1＋x)2＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．如图，半圆O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为A ．B ．C ．D ．2010．已知两点（－2，y 1）、（3，y 2）均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，点C(x 0，y 0)是该抛物线的顶点，若y 1<y 2≤y 0，则x 0的取值范围是A ．x 0>3B ．x 0>12C ．－2<x 0<3D ．－1<x 0<32二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横线上）11．－3的相反数是 ▲ ．12．分解因式：xy －y 2＝ ▲13，若a －b ＝3，a ＋b ＝7，则ab ＝ ▲ ．14．若x 1＝－1是关于x 的方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则方程的另一个根x 2＝ ▲ ．15．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为 ▲ ．16．如图，在⊙O 中，∠CBO ＝45°，∠CAO ＝15°，则∠AOB 的度数是 ▲ °．17．若13t t-=，则1t t +的值为 ▲ ． 18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝x 的图象如图所示，给出以上结论：①b 2－4ac>0；②a ＋b ＋c ＝1；③当1<x<3时，ax 2＋(b －1)x ＋c<0；④二次函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象经过点(1，0)和(3，0)．其中正确的有： ▲ （把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题：（本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．（本题满分5分）计算()2222sin 60-+--︒+20．（本题满分5分） 解不等式组：()212333x x x +≥⎧⎪⎨+->⎪⎩21．（本题满分5分）已知x 2－2x －4＝0，求代数式（x －3）2＋（x －2）(x ＋2)＋2x 的值．22．（本题满分6分）如图，已知反比例函数y 1＝k x的图象与一次函数y 2＝ax ＋b 的图象交于点A(1，4)和点B （m ，－2）．(1)求这两个函数的关系式；(2)观察图象，写出使函数值y 1≥y 2的自变量x 的取值范围．解方程：()3222xxx x--=-24．（本题满分6分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知AB＝8，CD＝2．(1)求⊙O的半径；(2)求sin∠BCE的值．25．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若周长为16的等腰△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，求k的值．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1AB：BC＝1B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测角器的高度忽略不计）．27．（本题满分8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为1，∠CBD＝30°，则图中阴影部分的面积为▲；(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E若BC＝12，tan∠CDA＝23，求BE的长．28．（本题满分9分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B(3，0)，与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)求四边形ABDC的面积；(3)设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q'BC，若四边形QBQ'C为菱形，求此时点Q的坐标．29．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC＝▲cm，BC＝▲cm；(2)当t＝5(s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值．(3)设点P的运动时间为t(s)，△PBQ的面积为y(cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．参考答案。

崇真中学2013-2014学年第一学期高三数学周考2 2013.9姓名： 学号：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设集合1|2A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|21x B x =>，则A B = ．2、若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a ．3、函数R x x x y ∈+=,2cos 2sin 3的单调递增区间是 ．4、已知向量a =(x,3), b =(2,1), 若a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是 ．5、已知6π-=x 是方程3)tan(3=+αx 的一个解，)0(，πα-∈，则=α ． 6、已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝ ． 7、阅读下面的流程图，若输入a ＝6，b ＝1，则输出的结果是 ．8、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如上图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为___ ____万元． 9、已知函数2()21,f x x ax =++其中[]2,2a ∈-，则函数()f x 有零点的概率是10、长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是 ．11、若|(2)|0x x ->，则234x x y x-+=的取值范围是 ．12、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{}n a :1,3,3,4,6,5,10,, 记其前n 项和为n S ，则19S 的值为 ．13、过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是 ．14、在ABC Rt ∆中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量 →m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a. (Ⅰ)求A 的大小； (Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．16．（本小题满分14分）正方体ABCD-1111A B C D 中，点F 为1A D 的中点． (1)求证：B A 1∥平面AFC ； (2)求证：平面11A B CD ⊥平面AFC ．17. （本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）如图，现在要在一块半径为1m 。

高三周考卷二(4.23）姓名 学号1．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3AB =，则AB =．2．复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ．3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为 ．4．右图是一个算法的流程图,则输出x 的值为 ．5．已知A ，B ∈{-3，—1，1,2}且A ≠B ,则直线Ax +By +1=0的斜率小于0的概率为 ．6．已知等差数列{}na 的公差为d ，n S 是其前n 项和，若12525,25a aS +==，则d = ．7,面积为的扇形，则圆锥的体积是 .8．定义在[0,]2π上的函数()sin 2f x x =的图像向右平移3π个单位得到函数()y g x =，则函数()f x 与()g x 图像的交点的横坐标为 ．9．在ABC ∆中，AD 是A ∠的平分线,且AB =4，AC =2，0120BAC ∠=，则AD =．3 4 4 2(第4题)10。

在平面直角坐标系xoy中，已知圆()()184221=-+-y x C ：，圆()()1366222=++-y x C ：，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 与圆2C 的圆周,则圆C 的方程为 ．11．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为 ．12．如右图，点O 是ABC ∆的重心，且5=⋅BC AC ， 4=AB ，则=⋅OB OA．13.对于函数)(x f y =，若其定义域内存在两个实数()n m n m <,，使得[]n m x ,∈时,)(x f 的值域是[]n m 2,2，则称)(x f 为“和谐函数"，若函数2)(++=x k x f 是“和谐函数”，则实数k 的取值范围为 ．14.已知y x ,为正实数,则yx yy x x +++44的最大值为 ．15．（本小题满分14分）已知,,a b c 是ABC ∆中角,,A B C 的对边,且23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+.(1）求角A 的值;（2）若a =B θ=,ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值。

高三数学周考卷三（5。

14）姓名 学号1．已知全集R U =,集合{12}A x x =-<<，{0}B x x =≥，则=)(B A C U ． 2．复数z 满足i z432+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ．4。

设m 5则输出的结果是 ． 6.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．7. 等差数列{}n a 中，139875a a a a =++，01>a,则前n 项之和n S 取最大值时，n =___．8.60°，则该棱锥的体积为 ．9.函数(),032sin )(ππ≤≤⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f 若()()(),21βαβα≠==，f f 则=+βα 。

10。

已知圆C ：222=+y x ，过点(1,4)的直线l 与圆交于B A ,两点,且90=∠ACB ，则直线l 的方程是 ．11。

在△ABC 中，已知1AB =,2AC =，60A ∠=︒,若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=则实数λ的值为 ． 12。

实数x ,y满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x若不等式()()222y x y xm +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 。

13.函数2log ,02()25(),239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩。

若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是 ．14.在ABC ∆中，AC AB 32=，12AD DC =，2=BD ，则BCD ∆面积的最大值 ．15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cos C =，求证:230a c -=．（2)若(0,)3B π∈,且4cos()5A B -=,求sin B ．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC BC ⊥，1BC BB =，D 为AB 的中点． 求证：（1)11BC ACD 平面；（2)11BC AB ⊥A17．(本小题满分14分)根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (单位:件）之间近似地满足关系式p={215−x,1≤x ≤9,x ∈N *,x 2+60540,10≤x ≤20,x ∈N *日产品废品率=日废品量日产量×100％。

崇真中学2013-2014学年第一学期高三数学周考3 2013.9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，则A B I = ．2.若2:3840:(1)(2)0p x x q x x -+>+->，，则p ⌝是q ⌝的 条件． 3.函数)12(log 4)(21+-=x x x f 的定义域 .4.若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 . 5.设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=23)( （b 为常数），则)1(-f = .6.函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 .7. )31(121<<+=x y x 的值域为 ．8.函数2y x =+的值域为 ．9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g10. 设函数)(x f 对任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若)1(f =-5，则=))5((f f ．11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x a x a x f x 是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围 ． 12.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则()()()()=++++2009531f f f f ΛΛ ．13.设函数|1|)(2-=x x f ,若)()(,0b f a f b a =<<，则221b a -的取值范围 ．14、 设R a ∈,若0>x 时均有0)1(]1)1[(2≥--⋅--ax x x a ，则a = ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分）15.（本小题满分14分）已知集合A=}0103|{2≤-+x x x（1） 若集合B=]1,12[--+-m m ，且A B A =⋃,求实数m 的取值范围；（2）若集合B=}112|{--≤≤+-m x m x ，且A B A =⋃,求实数m 的取值范围.16.（本小题满分14分）已知函数()xx x f 42-=（1）求()x f 的值域； （2）解不等式()xx f 2916⨯->； （3）若关于x 的方程()m x f =在[]1,1-上有解，求m 的取值范围．17．（本小题满分15分）(1)已知命题p ：f(x)=1-a·3x在x ∈(-∞,0］上有意义，命题q ：函数y=lg(ax 2 - x+a) 的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，试求a 的取值范围.18.（本小题满分15分）某公司进行世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据变化价格)5430(≤≤-x x 元出售产品；若价格降低，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低||x 的平方成正比，已知商品单价减低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售量减少，减少的件数与提高价格x 成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费。

苏州市2014届高三暑假自主学习测试试卷数学 2013.09正 题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答．题卡相应位置．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ___▲___. 2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ___▲___． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___. 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ▲ ． 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___． 7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___．T ←1 i ←3While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print iFCDPFED 1C 1B 1BCDA 1A11．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ___▲___.12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，P A ，PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形P ACB 的最小面积为2，则k = ▲ ． 13．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB ，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11,321,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数,为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．l 119．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ． （Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）图（2）20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．B AC2014届高三暑假自主学习测试试卷数学 2013.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中．．．两题．．，并在．．相应的．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，90APB ∠=︒， PC 平分APB ∠，交⊙O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．23．（本小题满分10分）设a ，b 为实数，我们称（a ，b ）为有序实数对．类似地，设A ，B ，C 为集合，我们称（A ，B ，C ）为有序三元组．如果集合A ，B ，C 满足||||||1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则我们称有序三元组（A ，B ，C ）为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）． （Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．2014届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 2013.09正 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0,1] 2．23 3 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,1- 11．3212．2 13．2- 14．54 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以cos cos 2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=． ………………… 7分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ① ………………… 9分由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② …………………12分 由①②解得6,6AC BC ==． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分 （Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==，又因为AB ，1BC =，所以AC =，13AG AC ==所以AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分 又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分17．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵2(1)n n n S a a =+，①∴当2n ≥时，1112(1)n n n S a a ---=+，②以上两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-， ………………… 2分 即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵0n a ≠，∴当2n ≥时，有11n n a a --=． ………………… 5分 又当1n =时，由1112(1)S a a =+及10a ≠得11a =，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n *()n ∈N ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11,321,n n n n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数；为偶数． ………………… 9分 所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分2(14)(1)314n n n n -=++⨯+- 212222n n n +=++-． ………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤， 故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分 sin 18060120cos cos ααα=-+sin 28060cos αα-=-． ………… 8分l 2l1（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………… 10分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………………… 11分列表所以当6α=时有max ()f α=，此时有min 80W =+ 15分答：排管的最小费用为80+6πα=．………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分 此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=∴点O 到PD 的距离d =65． ②…… 4由①②解得3,2a b ==． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为22194x y +=． ………… 7分 （Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ，由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，0(DP x a =+（说明：也可通过求直线方程做） 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+，即002()2b a x FB y b⋅-=+．…… 11分又2200221x y a b +=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解． （Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当()2x f x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220xxm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分令12[,2]2xt =∈，则12m t t -=+．设1()g t t t =+，则22211()1t g t t t-'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423x x f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x xx m m --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得11m ≤； ……………… 13分 2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1m ≤． ………………… 15分·11·（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为1m ≤． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由90APB ∠= 得AB 为直径，所以90ACB ∠=︒． …………………… 2分 由 AC AC =，得APC ABC ∠=∠，同理BPC BAC ∠=∠． …………………… 4分又因为PC 平分APB ∠，所以CPA CPB ∠=∠． …………………… 6分 所以BAC ABC ∠=∠，故BC AC =． …………………… 8分 从而，ABC ∆为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 7分所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． ………………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分·12·＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24ba b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->，所以2223()[()]024ba b a b -++>，即有4422a b ab a b +>+（）． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点，直线12y =-为准线的抛物线，故其方程为22x y =． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，21111(,)2A x x '，22221(,)2A x x '，则12222121211()12()2A A x x k x x x x ''-==+-， 故12A A l ''：2221211()()22y x x x x x -=+-． ……………… 6分令0y =，得12111x x x =+，即3121111162x x x =+=+． ……………… 8分同理，42311111172626x x x =+=++=， ……………… 9分于是467x =． ……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{1,2}A =，{2,3}B =，{1,3}C =，则{2}A B = ，{3}B C = ，{1}C A = ，A B C =∅ ，且||||||1A B B C C A === ．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分（Ⅱ）令{1,2,3,4,5,6}S =，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的,,x y z S ∈，使得{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = （如图），要确定,,x y z 共有654⨯⨯种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方CBA z yx·13·式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有34种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =365447680⨯⨯⨯=．……………… 10分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。

江苏省张家港市南丰中学2014年中考三模数学试卷（考试时间 100分钟 满分120分）一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母填在 答题卷中相应的格子内. 注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1、（原创）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000000025米的可吸入颗粒物,也称可吸入肺颗粒物，对人体的健康有危害。

0.000000025米科学记数法应记为（ ） A. -70.2510⨯ B. -82.510⨯ C. -92.510⨯ D. -82510⨯ 2.、（原创）下列运算正确的是（ ）A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －2b)(－a ＋2b)=－a 2－4ab －4b 2 D=3、（原创）如图是2011年末杭州市八个区的人口统计图，则下列说法中错误．．的是 （ ） A.人数最多的区比最少的区多不到50万人 B. 江干区比西湖区多20万人口 C. 有1个区的人口数不到50万D. 人口超过100万的区有2个4、（原创） 若将函数y=3x 2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是A ．y=3(x+1)2-5 B ．y=3(x+1)2+5 C ．y=3(x-1)2-5 D ．y=3(x-1)2+55、（原创）如图，一个几何体的主视图和左视图都是底边长为６，高为4的等腰三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ）A. π12B. π24C. 215πD. π156、（原创）210x ax a -=关于未知数的方程有两个实数解，则的取值范围是第5题）FN HMEDCBA（ ） A ．53a ≥-B ．0<5a ≤C ．55,03a a -≤≤≠且 D ．0<5,0a a ≤≠且 7、（2013年绥化市中考改编）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ） B.5 C.6 D.78、（原创）关于x 对不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有1,2--，那么适合这个不等式组的整数,a b ，满足10a b +=-的概率为（ ）A12 B 13 C 14 D 169、（原创）已知函数y=(x-n)(x-3)与x 轴交与A ，B 两点，与y 轴交与C 点，则能使△ABC 是直角三角形的抛物线条数是（ ） A ． 0 B ．1 C ． 2 D ． 310、（原创）如图，正方形ABCD 中，AB=a （单位：cm ），点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N 。

张家港高级中学2014-2015学年第一学期一 填空题1.设集合2{|log 2,}A x x x Z =<∈,则集合A 共有 个子集．2.设已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -=+________。

3。

从1，2，3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 。

4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象,可以将函数x y 3sin 2=的图象，向左平移 个单位长。

5.已知11cos ,cos()32ααβ=+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos β=6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm 。

7.已知函数()ln a f x x x=-，(0,4]x ∈，若()y f x =图像上任意一点的切线的斜率12k ≥恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ 。

8.已知函数,1)(2-+=mx xx f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立,则实数m的取值范围是 ▲.100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）9.已知2()23f x x x =-+,()1g x kx =-，则“2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的 条件。

10、定义在R 上的函数()f x 满足：()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+,则()2013f = ▲ ．11．已知正项等比数列{}na 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ,n a使得12a =，则14m n+的最小值为 ▲ ．12。

如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则ADAB ⋅的值是 .13。

已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f 。