2017年数学中考《第5章图形的认识(二)》第2节与圆有关的位置关系总复习课件

【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 （ ）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为 （ ）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 （ ）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题 第3题 第4题 第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为 （ ）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。

总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点进阶：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点进阶：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用例1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．例2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定例3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．类型二、圆的切线判定与性质的应用例4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用例5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且312OF-=，求证△DCE≌△OCB．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．例6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．举一反三：A的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是E(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为0AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35 C ．43D ．45二、填空题7．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为 .8．如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．O B⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 .9．如图所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为________．第8题 第9题 第10 题10．如图所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．11．如图所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P 是∠ACQ 的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）．三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）。

《与圆有关的位置关系》教案【教学目标】 1. 使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,2.使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

【重点难点】重点：用数量关系判断点和圆的位置关系、直线与圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

难点：1.运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

2.用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系.【教学过程】一、用数量关系来判断点和圆的位置关系：创设问题情境：射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。

你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。

（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）环）这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。

那么这个点到圆心的距离小于半径。

如上右图，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那OA ＜r ，OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立，．反过来也成立，即 若点A 在⊙O 内OA r < 若点A 在⊙O 上OA r = 若点A 在⊙O 外OA r >思考与练习：1、⊙O 的半径5r cm =，圆心O 到直线的AB 距离3d OD cm ==。

在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD cm =，4QD cm >，4RD cm <。

P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎么样的？的位置各是怎么样的？2、Rt ABC 中，90C Ð=°，CD AB ^，13AB =，5AC =，对C 点为圆心，6013为半径的圆与点A 、B 、D 的位置关系是怎样的？的位置关系是怎样的？探究：（1）作经过已知点A 的圆，这样的圆你能做出多少个？（2）作经过已知点A 、B 的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（3）如图,作经过不在同一直线上的三点A 、B 、C 的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

第22讲 圆的基本性质1．圆的有关概念考试内容考试要求圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．b定义2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形．弦 连结圆上任意两点的 叫做弦．直径 直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦． 弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.a等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 同心圆圆心相同的圆叫做同心圆．2.圆的对称性考试内容考试要求圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线． c圆是中心对称图形，对称中心为____________________.圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．3.圆周角考试内容考试要求圆周角的顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角．b定义圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．c 推论1 同弧或等弧所对的圆周角．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．推论3 圆内接四边形的对角．4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系点在圆内点在圆上点在圆外b 数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)_________________ _________________ _____________考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．c 基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．1．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2．(2015·宁波)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°3．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为____________________．第3题图 第4题图4．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC＝40°，则AD ︵的度数是____________________度．【问题】如图，四边形ABCD 内接于⊙O，CE 是直径．(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC ＝______，AE ︵的度数为____； (3) 若AC ＝6，AO ＝5，则AE ＝________．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．类型一 圆的有关概念例1 下列语句中，正确的是__________________．①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是1.5cm 或7.5cm ；⑨⊙A 的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O 在⊙A 内．【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．1．(1)A 、B 是半径为5cm 的⊙O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是( ) A ．AB>0 B ．0<AB<5 C ．0<AB<10 D ．0<AB ≤10 (2)下列说法中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．相等圆周角所对弧相等C ．正多边形一定是轴对称图形D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____________________．类型二圆的内接多边形例2(2017·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．2．(1)(2015·杭州)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A．20°B．30°C．70°D．110°(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°(3)(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.类型三圆心角与圆周角的关系例3(1)如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；②q＝r；③p ＋s＝180°中，正确的是( )A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③(2)(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；②求证：∠1＝∠2.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．3．(1)(2017·衢州模拟)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．(2)(2017·巴中模拟)如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE 上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．(3)(2017·潍坊模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．类型四圆的综合运用例4(2017·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C 重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．4．(2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【探索研究题】(2017·杭州)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O 交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．参考答案第22讲圆的基本性质【考点概要】1．等于线段弦长优弧、半圆、劣弧等弧2．圆心圆心相等 3.两边一半相等直角直径互补 4.d＜r d＝r d ＞r【考题体验】1．D 2.B 3.90° 4.140【知识引擎】【解析】(1)由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：∠B＝∠E＝12∠AOC, ∠B＋∠D ＝180°， ∠CAE ＝90°等； (2)50°，100°，80°； (3)8.【例题精析】 例1 ①④⑦⑧⑨例2 (1)∠E＝∠F，∵∠DCE ＝∠BCF，∴∠ADC ＝∠E＋∠DCE，∠ABC ＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC ＝∠ABC； (2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC ＝∠ABC，∴∠EDC ＝∠ADC，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°； (3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F ＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β2. 例3 (1)A ；(2)①∵BC＝CD ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB，∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.例4 (1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC＝45°，∴∠AEP ＝∠ABP＝45°，∵PE 是直径，∴∠PAE ＝90°，∴∠APE ＝∠AEP＝45°，∴AP ＝AE ，∴△PAE 是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形，∴PM ＝AN ，∵△PCM ，△PNB 22PA＝)2PN ＋22(AN ＝)2PN ＋22(PM ＝2PB ＋2PC ，∴PN 2＝PB ，PM 2＝PC ，∴都是等腰直角三角形)是直角三角形PBE ，△△ACP≌△ABE 也可以证明4.(＝22＝2PE ＝【变式拓展】1．(1)D (2)C (3)3<r<5 2.(1)D (2)C (3)215° 3.(1)32° (2)54° (3)3 4.(1)连结OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDO＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A. (2)连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝10，∴AC ＝2DE ＝20，在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122，在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202，∴x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.11 / 11【热点题型】【分析与解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB ，∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠OAB＝α，∴∠BOA ＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴OE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∠BED ＝∠CED，∠EDC ＝90°，∵∠BCA ＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED ＝α，∴∠CED ＝∠OBA＝α，∴O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠EBO ＋∠EAG＝180°，∴∠EBA ＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；(2)当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA ＝90°，∠BCE ＝45°，由(1)可知：O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠BEC ＝90°，∵△ABE 的面积为△ABC 的＝BCE ，∵∠6＝2CD ＝BC 可知：(1)由，x ＝AC ，3x ＝CE 设，3＝CE AC ，∴4＝AEAC ，∴倍4面积的AC ，23＝CE ＝BE ，∴2＝x ，26＝2(3x)＋2(3x)由勾股定理可知：，∴3x ＝BE ＝CE °，∴45AB ，∴2)2(4＋2)2(3＝2AB 由勾股定理可知：，中ABE △Rt 在，24＝CE ＋AC ＝AE ，∴2＝2AB由勾股定理可知：，r 设半径为，中AOB △Rt 在°，90＝AOB °，∴∠45＝BAO ，∵∠25＝ 5.半径的长为O ，∴⊙5＝r ，∴22r ＝【错误警示】30°或150°。

九年级数学中考第一轮复习⑸图形的认识㈡圆华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑸图形的认识㈡圆二. 重点、难点扫描：1. 与圆有关的概念；三角形的内心和外心的概念；2. 圆周角及其与同弧上圆心角的关系；3. 圆的对称性——轴对称性与旋转不变性；4. 和圆有关的位置关系：⑴点和圆的位置关系；⑵直线和圆的位置关系--切线的判定和性质，切线长定理；⑶圆和圆的位置关系；5. 圆中的计算问题：⑴弧长公式、扇形的面积公式；⑵圆锥的侧面积、圆锥的表面积.三. 知识梳理：1. 圆的基本元素⑴圆心和半径；⑵弦；⑶弧；⑷圆心角和圆周角；2. 圆周角与圆心角⑴圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.性质的验证，运用了“分类”的思想.⑵圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

一般地，若题目无直径，需要作出直径。

⑶圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.3. 圆的对称性⑴圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.⑵圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论.[注：具备②③条件时，应是平分（不是直径的）弦.]4. 与圆有关的位置关系⑴了解点和圆、直线和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键；⑵掌握圆的切线的性质与判定.⑶切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、•垂直关系提供了理论依据.⑷内接外切多边形： 经过多边形各顶点的圆叫做多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做多边形的外心，这个多边形叫做这个圆的内接多边形；和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.（5）三角形内心外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心， 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的定义圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的知识扩展1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）4、两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。

（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的特性圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r（没有交点）两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)两圆内切d=R-r（R>r） (有一个交点,叫切点)两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。

（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。

◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的教学目标1、掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。

与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]第一篇：与圆有关的位置关系复习课教案课题：与圆有关的位置关系复习课教案教学目标：1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。

2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。

3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。

重点和难点：1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。

2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。

教学过程：一、导入：1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。

欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。

2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。

二、讲解：1、回忆、巩固以前学习的知识。

（以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。

)2、例题解析：例题一：已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.解析：点P可能的位置有几种？作出正确的图形，通过图形解决这个问题。

（限时4分钟，解决这个问题。

完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。

）例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A 与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。

解析：通过直径，求出半径；作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。

（限时3分钟）演示解题过程，引导同学们纠正失误。

例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。

与圆有关的位置关系◆考点聚焦．理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．．能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．．能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．◆备考兵法．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系．．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”◆识记巩固．设圆的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆内⇔；点在圆上⇔；点在圆外⇔．．直线与圆的位置关系：如果⊙的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的，公共点叫做，此时；（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的，公共点叫做，此时．（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相离，此时．．圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为和（>），圆心距为，那么：（）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在，这时我们称两圆，．（）两个圆有公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在，这时我们称两圆，．（）两个圆有两个公共点，我们称这两个圆，此时．（）两个圆有公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上所有的点都在，这时我们称两圆，－．（）两个圆没有公共点，并且一个圆上所有的点都在，这时我们称两圆，－．说明：两圆和统称为两圆相切，唯一的公共点称为，两个圆同心是两圆的特例．．圆的切线的判定方法：（）定义法：与圆只有个公共点的直线是圆的切线．（）数量关系法：到圆心的距离的直线是圆的切线；（）判定定理：过半径且与这条半径的直线是圆的切线．．切线的性质定理及推论：定理：圆的切线于经过切点的．推论：经过且垂直于的直线必经过切点．推论：经过且垂直于的直线必经过圆心．．经过圆外一点作圆的切线，这一点和之间的线段长，叫做这点到圆的；从圆外一点可以引圆的条切线，它们的相等，这点和圆心的连线．．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条的交点．识记巩固参考答案:．≤< >．（）两割线交点< （）－切线切点（）>．（）另一个圆的外部外离> （）唯一另一个圆的外部外切（）相交－<< （）唯一另一个圆的内部内切（）另一个圆的内部内含< 外切内切切点内含．（）－（）等于半径（）外端垂直．垂直半径圆心切线切点切线．切点切线长两切线长平分两条切线的夹角．内切圆内切圆角平分线◆典例解析例（，福建福州）如图，是⊙的直径，是弦，∠°，延长到点，使得∠°．（）求证：是⊙的切线；解析（）证法一：如图，连结．∵∠°，∠∠．∴∠°．又∵∠°，∴∠°－∠－∠°，即⊥，∴是⊙的切线．证法二：如图，连结．∵∠°，∠°．∴∠°－∠－∠°．又∵，∴∠∠°．∴∠∠－∠°．即⊥，∴是⊙的切线．（）由（）可得：△是等腰直角三角形．．．点评圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．例－与轴交于点．（）求证：是⊙的切线；（）在直线上是否存在点，使得△△？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（）当直线绕点转动时，与AC 交于点（不与，重合），连结，设，，求，之间满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围．，），（，－）．． ∴∠∠． ∵∠∠°， ∴∠∠°， ∴是⊙切线．（）设直线上存在一点（，），使△△，则12××││×12×．解得．－可知，．（）如图，作直线交于点．设（，），作⊥轴，为垂足，连结，由，得， －（），－， ∴－－－－， 即－－．①，－， ∴－（－），∴－（－）－，解得282n -．②将②代入①，解得或－（舍去）． ∴（<<）．点拨本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强．例（，江苏无锡）如图，已知点从（，）出发，以个单位长度秒的速度沿轴向正方向运动．以，为顶点作菱形，使点，在第一象限内，且∠°，以点（，）为圆心，为半径作圆，设点运动了秒，求：（）点的坐标（用含的代数式表示）；（）当点在运动过程中，所有使⊙与菱形的边所在直线相切的的值． 解析（）过点作⊥轴于点．∵， ∴， ∴·°12t+．，∴点的坐标为（12t +）．（）①当⊙与相切时（如图），切点为，此时⊥， ∴．°．∴×2，∴2－．图图图②当⊙与，即与轴相切时（如图），则切点为，，过点作⊥于点，则12．∴12t +，③当⊙与所在直线相切时（如图），设切点为，交于点，则⊥，．∴·°)2t +32)2t+． 过点作⊥轴于点，则，∴（12t +）[)2t +－][32)2t +]．．．－<，－．－．点评运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏．◆中考热身．（，吉林长春）如图，在△中，，以点为圆心，为半径的⊙与相切于点，交于点，交于点，点是⊙上一点，且∠°，则图中阴影部分面积是（） ．－9π．－89π．－49π．－89π．（，河北）如图，与⊙相切于点，的延长线交⊙于点，连结，若∠°，则∠．．（，吉林长春）已知⊙的半径为3cm ，点是⊙外一点，4cm ，则以为圆心且与⊙相切的圆的半径是．．（，湖北荆门）如图，⊙是△的外接圆，为直径，∠°，是⊙的切线，⊥于点． （）判断△的形状；．（，山东威海）如图，点，在直线上；11cm，⊙，⊙的半径为1cm，⊙以每秒2cm的速度自左向右运动，与时同时，⊙的半径也不断增长，其半径（）与时间（秒）之间的关系式为（≥）．（）试写出点，之间的距离（）与时间（秒）之间的函数表达式；（）问点出发后多少秒两圆相切？◆迎考精练一、基础过关训练．若⊙与⊙相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距为（）．10cm．6cm．10cm或6cm．以上答案均不对．两圆的半径分别为和，圆心距为，则其内公切线长和外公切线长分别为（）．，．，．，．，．如图所示，△外切⊙于点，，，若∠°，∠°，则∠．．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，切点为，点为⊙上的一点，且∥．求证：．．．．如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，过作∥交⊙于点，连结．（）求证：是⊙的切线；（）若，直径，求线段的长．二、能力提升训练．如图，在等边△中，⊥于点，一个直径与相等的圆与相切于点，与相切于点，连结．（）判断与的位置关系（不必说明理由）；（）过点作的垂线，交圆于点，连结，判断四边形的形状，并说明理由；（）求证：与的交点为此圆的圆心．．已知∠°，为边上一点，以为圆心，为半径作⊙，交于，两点，设．（）如图，当取何值时，⊙与相切？（）如图，当取何值时，⊙与相交于，两点，且∠°？图图．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的⊙与相切于点，与，分别相交于点，．（）求证：与⊙相切；（）若正方形的边长为，求⊙的半径；（）对于以点，，，以及与⊙的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请你给出证明．参考答案中考热身 ．．° ．或．（）解：∵∠°，∴∠°． 又∵，∴∠∠°． 又∵是切线，∴∠°， ∴∠°－°－°°．而⊥于点，∴∠°－∠°． 故△为等腰三角形． （）证明：在△中，∵，，又∵12，∴12．又∵∠°．而∠∠－∠°－°°∠， ∴△≌△．．（）当≤≤时，函数表达式为－； 当>时，函数表达式为－．（）两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意，可得 －，；②当两圆第一次内切，由题意，可得－－，11 3．③当两圆第二次内切，由题意，可得－－，；④当两圆第二次外切，由题意，可得－，．所以，点出发后秒，113秒，秒或秒时，两圆相切．迎考精练基础过关训练．．．°．证明：∵切⊙于点，∴∠°，∵是⊙的直径，∴∠°，∴∠∠．又∵∥，∴∠∠，∴△∽△，∴OB BCAD BD=，∴··．．（）证明：连结．∵，∴∠∠．∵∥，∴∠∠，∠∠，∴∠∠．又∵，，∴△≌△，∴∠∠．∵切⊙于，∴∠°．∴∠°，∴是⊙的切线．（）解：连结．∵是直径，∴∠∠°．又∠∠，∴△∽△，∴BC OB BD AD=．在△中，．32能力提升训练．（）∥．（）四边形为矩形．理由：∵⊥，为切点，∴为直径，∴．又∵⊥，⊥，∴∥，∠∠°，∴四边形为矩形．（）连结，由（）可知，为直径，∴⊥．又由（）可知，∥，∴⊥．又∵四边形为矩形，∴⊥，则是已知圆的切线．又也是已知圆的切线，∴，∴是的垂直平分线，故必过圆心．∴与的交点为此圆的圆心．点拨：也可根据△≌△进行说理证明．．解：（）如图，设与⊙相切于点，连结，则，又∠°，∴，∴－－．即时，⊙与相切．（）如图，过作⊥于点．∵，∠°．又∵∠°．－．°．．（）证明：连结，作⊥于点．∵⊙与相切，∴⊥．∵四边形是正方形，∴平分∠，∴，∴与⊙相切．（）解：∵四边形是正方形．∴，∠°，∠°，°∠，∴，（），．证明：作⊥，⊥．∵平分∠，∴，∴．∵，∴．∵，与⊙相切，∴．∵，∴．又∠∠°，∴△≌△，∴．。