河北省张家口市宣化一中2019-2020学年高一上学期12月月考试题 数学【含解析】

2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题(每小题只有一个正确答案，共25题，每题3分）1.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1或2【答案】C【解析】【分析】根据集合包含关系，确定实数m的值.详解】∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B⊆A，∴m=0或m=2∴实数m的值是0或2．故选C．【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用周期的求解公式可求.【详解】因为，所以其最小正周期为,故选C.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期求解，题目较为简单.3.化简的结果是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．【详解】因为为第二象限角，所以，故选D.【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．4.幂函数的图象过点，那么的值为（）A. B. 64 C. D.【解析】设幂函数的解析式为∵幂函数的图象过点.选A5.下列诱导公式中错误是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式，对每个选项逐一验证，可得错误的使用公式的选项.【详解】对于选项，由可得正确；对于选项，由可得错误；对于选项，由可得正确；对于选项，由可得正确.故选.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”是正确记忆诱导公式的口诀.6.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案.解析：，对称轴为，抛物线开口向上，，当时，，距离对称轴远，当时，，.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论7.已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 ( )A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4【解析】试题分析：设扇形的圆心角为，半径为，则解得或，故选C．考点：1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.8.设，则（）A. B. 0 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先计算，再计算．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查函数的计算，计算复合函数值，要从里往外计算．9.已知向量，若则（）A. 1B.C.D.【答案】D【分析】根据向量的模长公式求解即可.【详解】，．故选D【点睛】本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题.10.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数在上为增函数，在上为减函数，从而可得结果.【详解】因为正弦函数在上为增函数，在上为减函数，所以当时有最大值此时的最大值为1；当时有最小值此时的最小值为；所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，利用单调性求最值，属于基础题.11.已知，那么的值是（）A. －2B. 2C.D.【答案】D【解析】【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【详解】由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得5，∴tanα．故选D．【点睛】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．12.已知角的终边经过点，则的值是A. 1或B. 或C. 1或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得后可得结论．【详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．13.如果点位于第三象限，那么角位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据即可得到，进而得到的范围．【详解】点位于第三象限，是第二象限角．【点睛】本题考查了三角函数值在各象限内的符号．解题的关键是熟记三角函数值在各个象限内的符号．14.若函数的图象经过点,则函数的图象必定经过的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令求解．【详解】令，则，∴图象过点，故选：B．【点睛】本题考查函数的概念，需要用整体思想求解．也可从图象平移变换求解．15.已知集合 , ，则等于（）A. B. C. D. R【答案】B【解析】【分析】分析集合可得，A={y|y>0}，B={y|0<y<1}；进而由并集的性质，可得答案．【详解】由对数函数的性质,当x>1时,有y=>0,即A={y|y>0}，由指数函数的性质,当x>1时,有0<<1,即B={y|0<y<1}；则A∪B={y|y>0}，故选B.【点睛】本题主要考察集合的运算，属于高考必考题，注意集合代表元素，熟悉指数对数的图像是作答本题的关键16.在中，若，则一定是（）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】C试题分析：由于，化简得，因此.考点：判断三角形的形状.17.要得到的图象，只需将的图象 ( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】【分析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.【详解】将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.18.函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由于函数是上的偶函数，所以其图象关于轴对称,然后利用单调性及得 ,即可求得的取值范围.【详解】函数是上的偶函数，的图象关于轴对称，又在上是增函数，所以可得在上是减函数，等价于或，故选D.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.19.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．【详解】由题意，解得．故选：C．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．20.为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】试题分析：由,两边平方得,即,又,则,所以为第三、四象限角或轴负半轴上的角,所以为钝角．故正确答案为B．考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角．21.关于函数在以下说法中正确的是（）A. 上是增函数B. 上是减函数C. 上是减函数D. 上是减函数【答案】B【解析】【分析】用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．【详解】，它在上是减函数．故选：B．【点睛】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，属于基础题．22.函数的单调递增区间是（）A B C D【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．23.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，是奇函数，则a＋b的值是A. B. 1 C. D. －1【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性求得a,b的值，然后计算a+b的值即可.【详解】偶函数满足，即：，解得：，奇函数满足，则，解得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的定义域可得，求得，由此求得的范围，即为函数的定义域.【详解】由⩾0得,∴，k∈Z.故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义域以及简单的三角不等式，属于简单题.25.(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，可以是“好点”的个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，显然不过点M、P，若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，显然不过N点，选C．点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.本题利用指对数函数图像性质进行解题.二、填空题(共12题，每题3分）26.弧度= _________度.【答案】【解析】【分析】由弧度与角度互化公式变形．【详解】弧度＝度＝105度．故答案为：105．【点睛】本题考查弧度与角度的互化，属于基础题．27.若函数是偶函数，则_________.【答案】0【解析】【分析】根据偶函数定义，结合恒等式的知识求解．【详解】∵是偶函数，∴，恒成立，∴．故答案为：0．【点睛】本题考查函数的奇偶性，由偶函数的定义结合恒等式知识求解是解这类题的常用方法．28.若向量，，且，则_____【答案】6【解析】【分析】本题首先可通过题意得出向量以及向量的坐标表示和向量与向量之间的关系，然后通过向量平行的相关性质即可得出结果．【详解】因为，，且，所以，解得．【点睛】本题考查向量的相关性质，主要考查向量平行的相关性质，若向量，，，则有，锻炼了学生对于向量公式的使用，是简单题．29.计算:_________.【答案】【解析】【分析】分别计算式子中每一个三角函数值，然后化简．【详解】原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题基础．30.计算：________.【答案】【解析】【分析】运用对数运算法则，及幂的运算法则计算．【详解】原式．故答案为：5．【点睛】本题考查对数的运算，分数指数幂的运算．掌握运算法则是解题基础．对数运算中注意运算法则的灵活运用，如．31.设，则的大小关系为_________（按从小到大顺序排列）.【答案】【解析】【分析】把这三个数与0和1比较，即可得解．【详解】由题意，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，这类大小比较一般是借助中间值，与中间值比较后可得它们的大小．32.下列几种说法：(1)所有的单位向量均相等；(2)平行向量就是共线向量；(3)平行四边形中，一定有；(4)若，则.其中所有的正确的说法的序号是_________.【答案】(2) (3)【解析】【分析】根据向量的概念判断．【详解】（1）单位向量的方向可能不相同，因此单位向量不一定相等，（1）错；（2）平行向量就是共线向量，（2）正确；（3）平行四边形中，方向相同，大小相等，一定有，（3）正确；（4）时，虽然有，，但的方向可能不相同，（4）错．故答案为：（2）（3）．【点睛】本题考查向量概念，掌握向量概念是解题基础．只要注意向量不仅有大小，还有方向，从两个方面考虑就不会出错．33.已知，且，则_________.【答案】【解析】【分析】由用诱导公式和同角间的三角函数关系可得．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，解题时要注意确定角的范围，特别要研究“已知角”和“未知角”之间的联系，以确定选用哪个公式．34.不等式的解集是．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于不等式，则根据正切函数周期为，那么可知一个周期内满足的解集为，那么在整个定义域内为，故答案为．考点：三角函数的不等式点评：解决的关键是利用三角函数的值域与定义域的关系，以及周期性来求解，属于基础题．35.函数的最小值是_________.【答案】【解析】【分析】求出的范围，结合余弦函数性质可得最小值．【详解】∵，∴，即上递增，在上递减，，，∴所求最小值为．故答案：．【点睛】本题考查余弦函数性质，解题时根据余弦函数的单调性确定原函数的单调性，从而可求得最小值和最大值．36.在中，点分别在线段上，且，记，，则_________. (用表示)【答案】【解析】【分析】先用向量的加减法表示出，再把各个向量用表示并化简即可．【详解】∵，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查向量线性运算，解题时充分应用向量的加减法法则和数乘运算法则．37.若函数恰有1个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】分析两个函数和的零点，前一个函数有两个零点－3和1，后一个函数只有一个零点1，1是公共的零点，因此可确定只有一个零点，只能为1．【详解】有两个零点－3和1，只有一个零点1，因此函数恰有1个零点，从函数的解析式来看，只能是1，∴．故答案为：．【点睛】本题考查函数的零点分布问题，由零点个数确定参数取值范围．可结合函数图象考虑．三、解答题(共4题，共39分）38.已知集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．【答案】(1) ， (2)【解析】【分析】(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以．，所以．(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.39.设点,,为坐标原点，点满足=+，（为实数）；（1）当点在轴上时，求实数的值；（2）四边形能否是平行四边形？若是,求实数的值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）四边形OABP不是平行四边形【解析】试题分析：（1）设点P（x，0），由=+得（x，0）=（2，2）+t（3，2 ），解出t值．（2），设点P（x，y），假设四边形OABP是平行四边形，根据向量平行得出坐标间的关系，由=+，推出矛盾，故假设是错误的试题解析：（1）设点P（x，0），=（3,2）,∵=+，∴（x,0）=（2,2）+t（3,2）,∴（2）设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，则有∥, Þy=x―1,∥Þ2y=3x……①,又由=+，Þ（x,y）=（2,2）+ t（3,2）,得∴……②,由①代入②得：，矛盾，∴假设是错误的，∴四边形OABP不是平行四边形．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量40.（1）已知，求的值.（2）函数的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求此函数的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由求得，再由得，从而可求值；（2）由相邻两个最高点和最低点的坐标首先求得，同时求得周期（两点的横坐标之差为半个周期）后可得，最后把最高点（或最低点）坐标代入可求得，得解析式．【详解】(1)，, ，而，，，(2)由题意知，，且，，,函数，把，代入上式得，，，，解得：，，又,函数解析式是，.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查由三角函数图象求三角函数解析式．应用同角关系时要注意角的范围，在用平方关系时需确定函数值的符号．求三角函数解析式时，可结合“五点法”中的五点，求得．41.设是常数，函数.(1)用定义证明函数是增函数；(2)试确定的值，使是奇函数；(3)当是奇函数时，求的值域.【答案】(1) 详见解析(2)【解析】试题分析：（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以（3）由.故，∴试题解析：(1)设，则.∵函数是增函数，又，∴，而，，∴式.∴，即是上的增函数.(2)∵对恒成立，∴.(3)当时，.∴，∴，继续解得，∴，因此，函数的值域是.点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性的概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题(每小题只有一个正确答案，共25题，每题3分）1.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1或2【答案】C【解析】【分析】根据集合包含关系，确定实数m的值.详解】∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B⊆A，∴m=0或m=2∴实数m的值是0或2．故选C．【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用周期的求解公式可求.【详解】因为，所以其最小正周期为,故选C.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期求解，题目较为简单.3.化简的结果是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．【详解】因为为第二象限角，所以，故选D.【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．4.幂函数的图象过点，那么的值为（）A. B. 64 C. D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为∵幂函数的图象过点.选A5.下列诱导公式中错误是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式，对每个选项逐一验证，可得错误的使用公式的选项.【详解】对于选项，由可得正确；对于选项，由可得错误；对于选项，由可得正确；对于选项，由可得正确.故选.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”是正确记忆诱导公式的口诀.6.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案.解析：，对称轴为，抛物线开口向上，，当时，，距离对称轴远，当时，，.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论7.已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 ( )A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4【答案】C【解析】试题分析：设扇形的圆心角为，半径为，则解得或，故选C．考点：1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.8.设，则（）A. B. 0 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先计算，再计算．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查函数的计算，计算复合函数值，要从里往外计算．9.已知向量，若则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的模长公式求解即可.【详解】，．故选D【点睛】本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题.10.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数在上为增函数，在上为减函数，从而可得结果.【详解】因为正弦函数在上为增函数，在上为减函数，所以当时有最大值此时的最大值为1；当时有最小值此时的最小值为；所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，利用单调性求最值，属于基础题.11.已知，那么的值是（）A. －2B. 2C.D.【答案】D【解析】【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【详解】由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得5，∴tanα．故选D．【点睛】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．12.已知角的终边经过点，则的值是A. 1或B. 或C. 1或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得后可得结论．【详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．13.如果点位于第三象限，那么角位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据即可得到，进而得到的范围．【详解】点位于第三象限，是第二象限角．【点睛】本题考查了三角函数值在各象限内的符号．解题的关键是熟记三角函数值在各个象限内的符号．14.若函数的图象经过点,则函数的图象必定经过的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令求解．【详解】令，则，∴图象过点，故选：B．【点睛】本题考查函数的概念，需要用整体思想求解．也可从图象平移变换求解．15.已知集合 , ，则等于（）A. B. C. D. R【答案】B【解析】【分析】分析集合可得，A={y|y>0}，B={y|0<y<1}；进而由并集的性质，可得答案．【详解】由对数函数的性质,当x>1时,有y=>0,即A={y|y>0}，由指数函数的性质,当x>1时,有0<<1,即B={y|0<y<1}；则A∪B={y|y>0}，故选B.【点睛】本题主要考察集合的运算，属于高考必考题，注意集合代表元素，熟悉指数对数的图像是作答本题的关键16.在中，若，则一定是（）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】C【解析】试题分析：由于，化简得，因此.考点：判断三角形的形状.17.要得到的图象，只需将的图象 ( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】【分析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.【详解】将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.18.函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由于函数是上的偶函数，所以其图象关于轴对称,然后利用单调性及得 ,即可求得的取值范围.【详解】函数是上的偶函数，的图象关于轴对称，又在上是增函数，所以可得在上是减函数，等价于或，故选D.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.19.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．【详解】由题意，解得．故选：C．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．20.为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】试题分析：由,两边平方得,即,又,则,所以为第三、四象限角或轴负半轴上的角,所以为钝角．故正确答案为B．考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角．21.关于函数在以下说法中正确的是（）A. 上是增函数B. 上是减函数C. 上是减函数D. 上是减函数【答案】B【解析】【分析】用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．【详解】，它在上是减函数．故选：B．【点睛】本题考查诱导公式，考查余弦函数的性质，属于基础题．22.函数的单调递增区间是（）A B C D【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．23.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，是奇函数，则a＋b的值是A. B. 1 C. D. －1【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性求得a,b的值，然后计算a+b的值即可.【详解】偶函数满足，即：，解得：，奇函数满足，则，解得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的定义域可得，求得，由此求得的范围，即为函数的定义域.。

河北省张家口市宣化第一中学2020届高三数学上学期月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. 2， D.2.在公差d不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则A. 1B. 2C. 3D. 43.已知，则A. B. C. D.4.若直线过点，则的最小值等于A. 9B. 8C.D.5.已知a，b，c，，则下列命题中必然成立的是A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则6.已知点P为双曲线C：上的动点，点，点若，则A. 27B. 3C. 3或27D. 9或217.已知菱形ABCD的边长为2，，点E是BD上靠近D的四等分点，则A. B. C. 6 D.8.已知函数，若，则实数m的取值范围是A. B. C. D.9.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则A. 3或4B. 或8C. 8或2D. 811.定义在R上的运算：，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是A. B.C. D.12.已知函数，若存在实数，，满足，其中，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为______．14.已知圆C：和点，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是______．15.已知，，，将a，b，c按从小到大的顺序排列______．16.已知双曲线C：的右焦点为F，A，B是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．求角B的大小；若，求的周长的取值范围．19.如图，在直角梯形ABCD中，，，，过A点作，垂足为E，现将沿AE折叠，使得，如图．求证：平面平面DAE；求二面角的大小．20.已知抛物线C：上一点到其焦点F的距离为5．求p与m的值；设动直线与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在与k的取值无关的定点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，且经过点．求椭圆C的标准方程；若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值为坐标原点．22.已知函数，．若，函数在点处切线方程为，求实数a的值；证明时，．数学试卷答案和解析1.【答案】C【解析】解：，1，2，，2，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：由题意，，，，，成等比数列，，即，整理，得，解得．故选：D．本题先根据等差数列的概念写出，，然后根据等比中项的性质有，代入即可解出d的值．本题主要考查等差数列的基本知识和等比中项的性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．3.【答案】B【解析】解：设，则，且，则，故选：B．利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法，结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】A【解析】解：直线过点，则，，当且仅当时取等号，故选：A．利用1的巧妙代换，利用基本不等式求出即可．考查基本不等式的应用，1的巧妙代换，中档题．5.【答案】C【解析】解：对于选项A：当时，不等式不成立，故错误．对于选项B：由于，，但是不确定a，b，c，d的符号，故错误．对于选项C：成立，故正确．对于选项D，若，则，故错误．故选：C．直接利用不等式的应用和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【解析】解：双曲线C：，点，点可知AB是双曲线的焦点坐标，，，，点P为双曲线C：上的动点，点，点若，所以P在双曲线的左支，则．故选：A．判断AB是双曲线的焦点坐标，利用双曲线的定义转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，判断P的位置是解题的关键，是易错题．7.【答案】C【解析】解：如图，点E是BD上靠近D的四等分点，菱形ABCD的边长为2，，．故选：C．可画出图形，根据点E是BD上靠近D的四等分点可得出，从而根据向量加法、减法的几何意义及向量的数乘运算可得出，然后进行数量积的运算即可．本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，其定义域为R，且有，即函数为奇函数，又由，易得在R上为增函数，即，解可得：，即实数m的取值范围是；故选：D．根据题意，分析可得函数为奇函数且在R上为增函数，进而可得，变形可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：三棱锥中，，，，，所以：，故：，且，则平面ABD，由于，，利用勾股定理，解得．由于，所以，整理得，设球心为O，球的半径为R，所以，所以．如图所示：故选：B．首先利用线面的垂直的应用求出球心的位置，进一步利用勾股关系式求出球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球心的确定和求的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：焦点，准线方程，所以焦点到准线的距离为：2，由题意过Q做于M，因为，由抛物线的性质知，所以，设直线PQ的倾斜角为，则，所以由三角形相似可得：，所以，故选：D．由抛物线的性质得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再由相似三角形可得对应比成比例可得结果．考查抛物线的性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意得，不等式对恒成立，即不等式对恒成立，即，；而在上单调递减，故，都有；，解得或；故选：A．根据定义，不等式等价于对恒成立，即，，解出a的范围即可．本题考查了函数的恒成立问题，注意转化为最值问题解决；同时还考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意，当时，．则函数大致图象如下：根据二次函数的对称性，可知，即．根据题意及图，可知，解得故选：D．本题的解题关键是画出函数大致图象，然后根据二次函数的对称性可得的值，再依据图象可计算出的取值范围，即可得到的取值范围．本题主要考查函数与方程的综合，考查了数形结合法的应用以及指数不等式的计算，本题属中档题．13.【答案】【解析】解：因为的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，整理可得可得：，故由余弦定理可得，由于，故C．由于，可得，，则为等腰三角形，所以．故答案为：．首先利用余弦定理求出cos C的值，进而可求C的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步即可利用面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】．【解析】解：由圆的方程可知，圆心，半径等于6，设点M的坐标为，的垂直平分线交CQ于点M，又，依据双曲线的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，且，，，故双曲线方程为．故答案为：．根据线段中垂线的性质可得，，又半径6，故有，根据双曲线的定义判断轨迹双曲线，求出a、b值，即得双曲线的标准方程．本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，得出，是解题的关键和难点．15.【答案】【解析】解：，，．故答案为：．根据指数函数和幂函数的单调性即可得出，根据对数函数的单调性即可得出，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的单调性，指数函数的值域，考查了推理能力，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：如图，由题知，则，点M是线段AF的中点，则，故，则，所以．故答案为：2．由题意可得，运用三角形的中位线定理可得，由对称性可得，可得渐近线的斜率，进而得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的中位线定理和化简运算能力，属于基础题．17.【答案】解：数列的前n项和为，且，当时，解得，当时，，得，即常数，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．由于，所以，所以，，得，整理得．【解析】数列的前n项和为，且，当时，，推出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．化简，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．所以，故，由于．解得．由余弦定理，得，即，由，得，解得：，当且仅当时取等号；又得；所以，所以周长的取值范围为．【解析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得，结合范围可求B的值．由余弦定理，基本不等式可求，又利用三角形两边之和大于第三边可得，即可得解周长的取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.【答案】解：证明：，，；，，；又，平面DAE，平面DAB，平面平面DAE．以E为原点，EA为x轴，EC为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，0，，2，，，，设平面DAB的法向量，则，取，得，平面ABE的法向量，设二面角的大小为，则，，二面角的大小为．【解析】关键是证明，，进而可得平面DAE，再由面面垂直的判定得出结论；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，得，．抛物线方程为：，当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，当k不存在时，与x轴垂直，与抛物线有两个交点，显然成立；当时，令，，设存在点满足条件，即：，即，整理得：，整理得，，，，，解的，因此存在点满足题意．【解析】由抛物线性质可知：，解得p值，求出抛物线方程，然后求解m即可．分类讨论k的取值，当时，令，，设存在点满足条件，由已知得，整理得；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得a的值．本题主要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题．21.【答案】解：由椭圆的定义，可知．解得．又．所以椭圆C的标准方程为．设直线l的方程为，联立椭圆方程，得，得．设，，，，，点到直线l：的距离，当即，时取等；所以面积的最大值为．【解析】由焦点坐标及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；设直线AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而弦长AB，再求原点到直线的距离，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：由题意得，，所以，则由，解得；证明：时，，下证：令；；可得：当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，所以；即而，所以，得证．【解析】表示出，求导，利用导数的几何意义容易得解；即证，构造函数，易得证．本题考查导数的几何意义及利用证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019-2020学年河北省宣化市高一期末考试数学试卷题及答案解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则集合M与集合P的关系是A. B. C. D.2.函数的定义域是A. B. C. D.3.已知，且，则角的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知函数，则的值是A. B. C. D.5.设，，，则A. B. C. D.6.已知函数，则是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为偶函数7.在下列图象中，二次函数及指数函数的图象只可能是A.B.C. D.8.若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变，再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是A. B. C. D.9.函数在区间上的最大值是A. 1B.C.D.10.已知是上的减函数，那么a的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数是定义在R上的奇函数．且当时，，则的值为A. B. C. D. 212.设函数，，则函数的零点个数是A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．14.已知函数，是偶函数，则______．15.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元．16.已知，若，则实数x的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求函数在区间上的最大值和最小值．18.已知集合．若集合A是空集，求a的取值范围；若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出此时的集合A．19.已知，Ⅰ求tan x的值；Ⅱ求的值．20.已知函数的一段图象如图所示求此函数的解析式；求此函数在上的递增区间．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．Ⅰ试确定点P距离地面的高度单位：关于旋转时间单位：的函数关系式；Ⅱ在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？21.已知函数是对数函数．若函数，讨论的单调性；若，不等式的解集非空，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，即，，所以，故选：D．由函数的定义域及值域得：，，即，得解本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题2.【答案】A【解析】解：由，解得．函数的定义域是故选：A．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题，由，则角的终边位于三四象限，由，可得角的终边位于二三象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：，且，，则角的终边位于三四象限，，角的终边位于二三象限，角的终边位于第三象限．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，结合分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．比较基础．根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：，，故，故选：B．5.【答案】B【解析】解：，，，则，故选：B．分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．6.【答案】B【解析】【分析】化简解析式即可求出其周期和奇偶性．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的奇偶性，属于基础题．【解答】解：是最小正周期为的偶函数．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等则二次函数的对称轴可排除B与D选项C，，，，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A．8.【答案】D【解析】解：将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变，得到：的图象，再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，得到：，当时，所以：图象的一个对称中心是故选：D．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和函数的对称性求出结果．本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】C【解析】解：由，，．故选：C．先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到，然后再求其在区间上的最大值．本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．10.【答案】A【解析】解：因为为上的减函数，所以有，解得，故选：A．由为上的减函数，知递减，递减，且，从而得，解出即可本题考查函数单调性的性质，属中档题11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．【解答】解：，，是定义在R上的奇函数，且当时，，，所以，故选B．12.【答案】B【解析】解：可由题意在同一个坐标系中画出和的图象其中红色的为的图象，由图象可知：函数和的图象由三个公共点，即的零点个数为3，故选：B．由题意可作出函数和的图象，图象公共点的个数即为函数的零点个数．本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数来求是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为，由于弧度，可得：，由于扇形的周长为，所以：，所以解得：，扇形的弧长，扇形的面积为：故答案为4．14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础题．利用偶函数的定义及图象关于y轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于a，b的方程，即可求出的值．【解答】解：函数，是偶函数，，或1，，．偶函数的图象关于y轴对称，，．．故答案为4．15.【答案】2400【解析】解：12年后的价格可降为元．故答案为：2400．每4年后的价格成公比为、首项为8100的等比数列，由通项公式可得．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，得．由，得，即．实数x的取值范围为故答案为：由已知可得，再由有理指数幂的运算性质转化为对数不等式求解．本题考查对数不等式的解法，考查对数的运算性质，是基础题．17.【答案】解：令，由，可得，则函数，则当即时，函数y取得最小值4；当即时，函数y取得最大值53，综上可得函数的最小值为4，最大值为53．【解析】本题考查指数函数的最值和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．可令，由，可得，则函数，可得最值．18.【答案】解：若A是空集，则方程无解此时即若A中只有一个元素则方程有且只有一个实根当时方程为一元一次方程，满足条件当，此时，解得：或若，则有；若，则有【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程根的情况，是解答本题的关键．为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．19.【答案】解：Ⅰ由，；Ⅱ原式，由Ⅰ知，所以上式．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．Ⅰ由可直接求出，再由二倍角公式可得tan x的值．Ⅱ先对所求式子进行化简，再同时除以cos x得到关于tan x的关系式得到答案．20.【答案】解：由函数的图象可知，，周期，，，，函数的图象经过，，即，又，；函数的解析式为：由已知得，得，即函数的单调递增区间为，．当时，为，当时，为，，函数在上的递增区间为和．【解析】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．根据三角函数的图象求出A，，，即可确定函数的解析式；根据函数的表达式，即可求函数的单调递增区间．21.【答案】解：Ⅰ建立平面直角坐标系，如图所示；设是以x轴正半轴为始边，表示点P的起始位置为终边的角，由题意知OP在内转过的角为，即；所以以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为，即点P的纵坐标为，由题意知，所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，化简得；Ⅱ当时，解得；又，所以符合题意的时间段为或，即在摩天轮转动一圈内，有内P点距离地面超过70m．【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．Ⅰ建立平面直角坐标系，设是以x轴正半轴为始边，OP为终边的角，求出OP在t时间内转过的角度，表示出点P的纵坐标，再求点P距离地面的高度h关于t的函数关系式；Ⅱ计算时t的取值范围，再求对应的时间段．22.【答案】解：由题中可知：，解得：，所以函数的解析式：，，，即的定义域为，由于，令，则：由对称轴可知，在单调递增，在单调递减；又因为在单调递增，故单调递增区间，单调递减区间为．不等式的解集非空，所以，由知，当时，函数单调递增区间，单调递减区间为，，所以，所以，，所以实数m的取值范围．【解析】先求出a的值，根据复合函数的单调性即可求出的单调区间；，不等式的解集非空，转化为求出的最小值即可．本题考查了对数函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和不等式恒成立的问题，属于中档题．。

2019-2020学年河北省张家口市宣化一中、张北一中高一（上）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知集合2{|20}A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为()A ．{1-，1}B ．{1-，0，1}C ．{0，1}D ．∅2．已知函数()f x 的定义域为[1，5]，则(1)f x +的定义域为()A ．[0，4]B ．[2，6]C ．[1，5]D ．[2，4]3．设集合{|A y y ==，{|B x y ==，则下列关系中正确的是()A ．A B=B ．A B⊆C ．B A⊆D ．[1A B = ，)+∞4．下列各组函数中是同一个函数的是()①()f x =与()g x =；②()f x x =与()g x ；③2()f x x =与()g x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--；A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④5．幂函数()f x 的图象过点，则1()(2f =)A B ．4C ．22D ．146．下列不等式正确的是()A ．30.23log 0.20.23<<B ．0.233log 0.230.2<<C ．30.230.2log 0.23<<D ．0.2333log 0.20.2<<7．若0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x = ，()log a g x x =的图象可能是()A ．B ．C ．D ．8．53()7(f x ax bx cx a =+++，b ，c 为常数，)x R ∈，若(7)17f -=-，则f （7）(=)A ．31B ．17C ．31-D ．249．已知函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则9(log 4)(f =)A ．89B ．79C ．59D ．2910．已知函数(1)f x +是偶函数，当(,1)x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设(0)a f =，5()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<11．已知2()4f x x =-()|2|g x x =-，则下列结论正确的是()A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x = 是奇函数C ．()()()2g x f x h x x =- 是偶函数D ．()()2()f x h xg x =-是奇函数12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是()A ．{0，1}B ．{1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，0}二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若2510a b ==，则11a b+=．14．关于x 的不等式1122(1)(32)x x +<-的解集为．15．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =+，则当0x >时，()f x =．16．已知213()log (3)f x x ax a =-+在区间[1，)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17．化简求值：（1）20.50231103(5)2(2)2()16274---⨯-⨯÷；（2）322311252()log 9log 223log lg lg ++-⨯．18．已知函数()f x =的定义域为A ，()g x a =为常数）的定义域为B ．（1）若U R =，2a =，求A B 及()U A B ð；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．19．函数2()4ax b f x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =．（1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．20．某厂生产某种产品的月固定成本为10（万元），每生产x 件，需另投入成本为()C x （万元）．当月产量不足30件时，21()6C x x x =+（万元）；当月产量不低于30件时，800()55020C x x x =+--（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．（1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件)的函数解析式；（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？21．已知函数2()2f x x ax =-，()log (4)(0a g x x a =->，1)a ≠．（1）若函数()f x 的定义域为[0，1]，求()f x 的最小值；（2）当2a =时，求使不等式log ()()0a f x g x ->成立的x 的取值范围．22．已知函数()2x f x =，解关于x 的不等式(2)(1)()f x a f x a +->．2019-2020学年河北省张家口市宣化一中、张北一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知集合2{|20}A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为()A ．{1-，1}B ．{1-，0，1}C ．{0，1}D ．∅【解答】解：由题意，①当0m =时，方程为20x -=，解得0x =，满足{0}A =仅有两个子集；②当0m ≠时，方程有两个相等实根，所以△2440m =-=，解得1m =±；所以实数m 的λ构成的集合为：{0，1，1}-；故选：B ．2．已知函数()f x 的定义域为[1，5]，则(1)f x +的定义域为()A ．[0，4]B ．[2，6]C ．[1，5]D ．[2，4]【解答】解： 函数()f x 的定义域为[1，5]，则对于函数(1)f x +，应有115x + ，求得04x ，故选：A ．3．设集合{|A y y ==，{|B x y ==，则下列关系中正确的是()A ．A B=B ．A B⊆C ．B A⊆D ．[1A B = ，)+∞【解答】解： 集合{|A y y ==∴化简，得集合[0A =，)+∞又{|B x y == ∴化简，得集合2{|10}(B x x =-=+∞ ，1][1- ，)+∞因此，集合[1A B = ，)+∞故选：D ．4．下列各组函数中是同一个函数的是()①()f x =与()g x =；②()f x x =与()g x ；③2()f x x =与()g x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--；A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④【解答】解：① 对于函数()f x =与函数()g x =，它们的定义域都是{|0}x ，对应关系一样，但是，它们的值域不一样，()f x 的值域为{()|()0}f x f x ，()g x 的值域为{()|()}g x g x R ∈，故它们不是同一个函数．②对于()f x x =与()||g x x ==，由于它们的对应关系不一样，故不是同一函数．③对于2()f x x =与2()g x x ==，它们的定义域都是R ，对应关系一样，值域也一样，故它们为同一个函数．④对于函数2()21f x x x =--与2()21g t t t =--，由于它们的定义域都是R ，对应关系一样，值域也一样，故它们为同一个函数．故选：C ．5．幂函数()f x 的图象过点，则1()(2f =)A B ．4C ．22D ．14【解答】解：设幂函数()f x x α=，图象过点，∴2α=，解得12α=故()f x =，1()2f =，故选：C ．6．下列不等式正确的是()A ．30.23log 0.20.23<<B ．0.233log 0.230.2<<C ．30.230.2log 0.23<<D ．0.2333log 0.20.2<<【解答】解：根据对数函数的性质知，33log 0.2log 10<=；根据指数函数的性质知，3000.20.21<<=；且0.20331>=；所以30.23log 0.20.23<<．故选：A ．7．若0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x = ，()log a g x x =的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由()log a g x x =有意义可知0a >且1a ≠，()a f x x ∴=在[0，)+∞是过原点的增函数，排除A ；（1）若1a >，则()g x 为过点(1,0)的增函数，1()a f x ax -'=，()f x ∴'是增函数，即()f x 的增加速度逐渐变大，排除C ，（2）若01a <<，则()g x 为过点(1,0)的减函数，1()a f x ax -'=，()f x ∴'是减函数，即()f x 的增加速度逐渐减小，排除B ，故选：D ．8．53()7(f x ax bx cx a =+++，b ，c 为常数，)x R ∈，若(7)17f -=-，则f （7）(=)A ．31B ．17C ．31-D ．24【解答】解：53()7f x ax bx cx =+++ ，53(7)(7)(7)7717f a b c -=-+--+=- ，5377724a b c ∴---=-，则f （7）53777724731a b c =+++=+=．故选：A ．9．已知函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则9(log 4)(f =)A ．89B ．79C ．59D ．29【解答】解： 函数log (3)1(0a y x a =+->，1)a ≠的图象恒过定点(2,1)A --，将2x =-，1y =-代入3x y b =+得：231b -+=-，109b ∴=-，10()39x f x ∴=-，则log_329310108(log 4)(log 2)32999f f ==-=-=，故选：A ．10．已知函数(1)f x +是偶函数，当(,1)x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设(0)a f =，5()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．c b a <<D ．c a b<<【解答】解：根据题意，函数(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则(0)a f f ==（2），又由(,1)x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，则()f x 在(1,)+∞上递增，则f （2）5()2f f <<（3），则有a b c <<；故选：A ．11．已知2()4f x x =-()|2|g x x =-，则下列结论正确的是()A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x = 是奇函数C ．()()()2g x f x h x x =- 是偶函数D ．()()2()f x h xg x =-是奇函数【解答】解：2()4f x x =-()|2|g x x =-，A ．()()()|2|2h x f x g x x x =+=-=+-，[2x ∈-，2]．()2h x x -=++，不满足函数的奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．()()()2|)h x f x g x x x ==-=- ，[2x ∈-，2]．())h x x -=+，不满足奇偶性的定义．C ．()()()2g x f x h x x==- [2x ∈-，2)不满足函数的奇偶性定义．D ．()()2()f x h xg x x==-，[2x ∈-，0)(0⋃，2]，函数是奇函数．故选：D ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是()A ．{0，1}B ．{1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，0}【解答】解：函数1111()(12212x x x e f x e e =-=-∈-++，1)2当1()02f x -<<时，[()]1y f x ==-，当10()2f x <时，[()]0y f x ==．∴函数[()]y f x =的值域是{1-，0}故选：D ．二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若2510a b ==，则11a b+=1．【解答】解：因为2510a b ==，故2log 10a =，5log 10b =1010101125101log log log a b+=+==故答案为1．14．关于x 的不等式1122(1)(32)x x +<-的解集为[1-，2)3．【解答】解：关于x 的不等式1122(1)(32)x x +<-，即0132x x +<- ，求得213x -<，故答案为：[1-，2)3．15．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =+，则当0x >时，()f x =22x x-+．【解答】解：设0x >，则0x -<，0x < 时，2()2f x x x =+，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-，()f x 为R 上的奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=-，2()2f x x x ∴=-．故答案为：22x x-+16．已知213()log (3)f x x ax a =-+在区间[1，)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是1(2-，2]．【解答】解： 已知213()log (3)f x x ax a =-+在区间[1，)+∞上单调递减，则23y x ax a =-+在区间[1，)+∞上单调递增，且0y >．∴12a ，且130a a -+>，求得122a -< ，则实数a 的取值范围为1(2-，2]，故答案为：1(2-，2]．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17．化简求值：（1）20.50231103(5)2(2)2()16274---⨯-⨯÷；（2）322311252()log 9log 223log lg lg ++-⨯．【解答】解：（1）原式213()2232943999(2()21()22043441616⨯-⨯=-⨯-⨯⨯=-⨯-⨯；（2）332223*********()log 9log 25232(log 3log 2)122322log log lg lg lg lg -++-⨯=++-⨯=+-=-．18．已知函数()f x =的定义域为A，()g x a =为常数）的定义域为B ．（1）若U R =，2a =，求A B 及()U A B ð；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，3{|log (1)1}{|14}A x x x x =-=< ，{|}B x x a = ，2a =时，{|2}B x x = ，{|24}A B x x ∴= ，{|1U A x x = ð或4}x >，(){|1U A B x x = ð或2}x ；（2）A B A = ，A B ∴⊆，1a ∴ ，∴实数a 的取值范围为(-∞，1]．19．函数2()4ax b f x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =．（1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．【解答】解：（1）根据题意，函数2()4ax b f x x-=-是定义在(2,2)-上的奇函数，则(0)04b f -==，解可得0b =；又由f （1）13=，则有f （1）133a ==，解可得1a =；则2()4x f x x =-；（2）由（1）的结论，2()4x f x x =-，在区间(2,2)-上为增函数；证明：设1222x x -<<<，则1212112212(4)()()()(4)(4)x x x x f x f x x x ---=--，又由1222x x -<<<，则12(4)0x x ->，12()0x x -<，21(4)0x ->，22(4)0x ->，则11()()0f x f x -<，则函数()f x 在(2,2)-上为增函数；（3）根据题意，111(1)()0(1)()(1)()111t f t f t f t f t f t f t t t t -<-<⎧⎪-+<⇒-<-⇒-<-⇒-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：112t -<<，即不等式的解集为1(1,2-．20．某厂生产某种产品的月固定成本为10（万元），每生产x 件，需另投入成本为()C x （万元）．当月产量不足30件时，21()6C x x x =+（万元）；当月产量不低于30件时，800()55020C x x x =+--（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．（1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件)的函数解析式；（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？【解答】解：（1） 每件商品售价为5万元，x ∴件商品销售额为5x 万元，①当030x <<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()51041066L x x x x x x ∴=---=-+-；②当3050x 时，根据年利润=销售收入-成本，800800()555010402020L x x x x x ∴=--+-=-+--．综合①②可得，21410,0306()80040,305020x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪-⎩；（2）①当030x <<时，21()4106L x x x =-+-，∴当12x =时，()L x 取得最大值(12)14L =万元；②当3050x 时，80040()40203L x x =-+- 万元，综合①②，∴月产量为12件时，厂所获月利润最大．21．已知函数2()2f x x ax =-，()log (4)(0a g x x a =->，1)a ≠．（1）若函数()f x 的定义域为[0，1]，求()f x 的最小值；（2）当2a =时，求使不等式log ()()0a f x g x ->成立的x 的取值范围．【解答】解：（1）22()()f x x a a =--，定义域为[0，1]时，当01a <<时，()min f x f =（a ）2a =-；当1a >时，()min f x f =（1）12a =-．（2）当2a =，不等式可化为222log (4)log (4)x x x ->-，即22444040x x x x x x ⎧->-⎪->⎨⎪->⎩得1x <-，综上，x 的取值范围是(,1)-∞-．22．已知函数()2x f x =，解关于x 的不等式(2)(1)()f x a f x a +->．【解答】解：不等式(2)(1)()f x a f x a +->，即22(1)2x x a a +->．令2(0,)x t =∈+∞，不等式即(1)()0t t a -+>．①当1a -=，即1a =-，可得0t >且1t ≠，0x ∴≠．②当1a ->，即1a <-，可得t a >-，或01t <<，2log ()x a ∴>-，或0x <．③当1a -<，即1a >-，可得t a <-，或1t >．若0a - ，即0a ，由不等式可得1t >，0x ∴>．若01a <-<，即10a -<<，由不等式可得0t a <<-，或1t >，2log ()x a ∴<-，或0x >．综上，当1a =-时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当1a <-时，不等式的解集为2{|log ()x x a >-，或0x <}；当0a 时，不等式的解集为{|0}x x >；当10a -<<时，不等式的解集为2{|log ()x x a <-，或0}x >．。

河北省张家口市宣化区第一中学2019-2020学年高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是( )A.( －∞,－1)B. (－1,3)C. (－3,+∞)D. (－3,1)参考答案：B【分析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.2. 已知正项数列满足：，设数列的前项的和，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：B略3. 直线与互相垂直，则的值是（）A． B．1 C．0或 D．1或参考答案：D4. 函数f(x)=lnx - 的零点所在的大致区间是（）。

A．（1, 2） B．（2，3） C．（1，）和（3,4） D．（e, +∞）参考答案：B5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：A6. （5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B考点：二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．解答：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．点评：此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．7. 在中，角所对的边分别为，且若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形参考答案：C【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sin B sin C＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：C9. 在边长为1的正中，是边的两个三等分点（靠近于点），则等于（）A． B．C． D．参考答案：C考点：向量的几何运算及数量积公式的运用.【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和三角形的有关知识的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定.然后再运用向量的乘法公式及向量的数量积公式求得,从而使得问题巧妙获解.10. 设函数，若f（a）＞f（﹣a），则a的范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】通过讨论a的范围，结合对数函数的性质判断a的范围即可．【解答】解：①当a＞0时﹣a＜0，则由f（a）＞f（﹣a），可得log2a＞（a）=﹣log2a，∴log2a＞0，∴a＞1②当a＜0时﹣a＞0，则由f（a）＞f（﹣a），可得（﹣a）＞log2（﹣a），∴log2（﹣a）＜0，∴0＜﹣a＜1，∴﹣1＜a＜0，综上a的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．参考答案：0＜b＜2【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜212. 已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（1）= ．参考答案：2【考点】指数函数的图象与性质．【分析】把点（3，8）代入指数函数y=a x即可得出f（x）的解析式，求出f（1）的值即可．【解答】解：∵指数函数y=a x的图象经过点（3，8），（a＞0且a≠1），∴8=a3，解得a=2，故f（x）=2x，故f（1）=2，故答案为：2．13. 函数的定义域为 .参考答案：（-∞，-）∪（-，2）14. 已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为 .参考答案：10015. 的值是参考答案：16. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）+f （0）= ．参考答案：﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∴f（﹣2）+f（0）=﹣1，故答案为：﹣1．17. 已知集合，若，则实数=参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北省宣化第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2－1≤0}，B ＝{x|x 2－x －2＝0}，则A∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{－1}2．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∉+∞，，02x ≤1” B ．命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∈+∞，，02x ≤1” C ．命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若22a b <，则a b <” D ．命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ”3．设各项均不为0的数列{a n }满足1n n a +=（n ≥1），S n 是其前n 项和，若2452a a a =，则S 4=（ ） A ．B．C．3+D．6+4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AD DB ⋅=（ ）AB．C ．3 D ．-35．3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825 B ．2425± C ．725-D ．7256．已知x ，y 满足1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则2x -y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知x ∈[－π，π]，则“x ∈”是“sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()f x '为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<，记0.3220.322(log 5)(2)(0.2)20.2log 5f f f a b c ===，，，则 （ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a <<9．已知函数()()sin 1,02log 0,1,0ax x f x x a a x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．0,5⎛⎫⎪⎝⎭10．已知a b ∈，R ，且1e x +≥ax b +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是（ ） A ．312e B．32C．32e D ．3e二、填空题 11．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 12．已知向量(1,2)a =，(2,0)b =，若向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，则实数λ=______．13．某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C 与产量q （q ∈N *）的函数关系式为C ＝100＋4q ，销售单价p 与产量q 的函数关系式为．要使每件产品的平均利润最大，则产量q 等于_______．14．若32()21x f x x -=-，则12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________． 15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[]a b ，上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如y =| x |是[22]-，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数()cos 1f x x =-是[22]ππ-，上的“平均值函数”． ②若()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，则它的均值点x 0≥2a b+． ③若函数2()1f x x mx =--是[11]-，上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是(02)m ∈，．④若()ln f x x =是区间[a.，b ] （b >a.≥1）上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，则0ln x <． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题16．已知向量m =（sin ωx ，cos ωx ），n =（cos ωx ，cos ωx ），其中ω>0，函数()f x =2m ·n -1的最小正周期为π． （Ⅰ） 求ω的值； （Ⅱ） 求函数()f x 在[6π，4π]上的最大值．17．已知函数2()log (2)f x x =-的定义域为D . （1）求D ；（2）若函数22()2g x x mx m =+-在D 上存在最小值2，求实数m 的值.18．在△A ．BC 中，A ．，b ，c 分别是内角A ．，B ，C 的对边，15cos 5AB ABC =∠=，．（Ⅰ） 若2BC =，求sin ACB ∠的值； （Ⅱ） 若D 是边AC 中点，且72BD =，求边AC 的长． 19．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，358a a a ，，成等比数列． （Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ） 若22()n n nc a λ=⋅-，n =1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．已知函数f （x ）＝e x －ax －1（e 为自然对数的底数），a ＞0．（1）若函数f （x ）恰有一个零点，证明：a a ＝e a －1；（2）若f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值集合．21．已知函数()ln xm x n f x e +=（,m n为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是2y e=.（1）求,m n 的值；（2）求()f x 的单调区间； （3）设()()()ln 12x e x g x f x '+=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）．证明：对任意0x >，()21g x e -<+参考答案1．D 【解析】 【分析】试题分析：由题意，A ＝{x ∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1} B ＝{x|（x －2）（x ＋1）＝0}＝{－1，2} 所以，A∩B ＝{－1}，选D.考点：集合的运算，一元二次方程与一元二次不等式 【详解】请在此输入详解！ 2．B 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题判断A 、B 选项，利用逆否命题的定义判断C 、D 选项可得答案. 【详解】解：命题“(0)x ∞∀∈+，，21x >”的否定是“0(0)x ∃∈+∞，，02x ≤1”， 故A 不正确，B 正确；命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，.故C 、D 选项错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的否定与逆否命题的相关知识及命题真假的判断，属于基础题型. 3．D 【分析】由1n n a +可得数列{a n }为等比数列，且公比q =，由2452a a a =可得1a ，可得4S 的值. 【详解】解：由数列{a n }满足1n n a +=（n ≥1），可得数列{a n }为等比数列，且公比q =由2452a a a =，可得341112a q a q a q ⋅=，化简可得12a =，或10a =(舍去)，可得12342,4,a a a a ====，可得412346S a a a a =+++=+, 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的定义与基本量的计算、等比数列前n 项的和，属于基础题型. 4．D 【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】正六边形ABCDEF 的边长为1， 则2AD =,3DB =，()cos 36AD DB AD DB ππ⎛⎫⋅=⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了向量数量积的定义，解题的关键是求出向量的模以及向量的夹角，并且熟记向量数量积的定义，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 6．B 【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域内的各个点，然后将其代入2x -y 中，求出2x -y 的最大值即可. 【详解】设2z x y =-，则2y x z =-，作出不等式对应的平面区域如图BCD ， 平移直线2y x z =-，由图像可知当直线2y x z =-经过点()1,0C 时， 直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大， 把()1,0C 代入直线2z x y =-得2z =， 所以2x y -的最大值为2. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及目标函数表示的几何意义，属于基础题. 7．C 【解析】 试题分析：当x ∈时，sinx ＋cosx≤22π<所以0≤sinx ＜2π－cosx≤2π于是sin （sinx ）＜sin （2π－cosx ）＝cos （cosx ），充分性成立.取x ＝－23π，有sin （sinx ）＝sin 0 cos （cosx ）＝cos （－12）＝cos 12＞0 所以sin （sinx ）＜＜cos （cosx ）也成立，必要性不成立 故选C考点：三角函数的性质，充要条件 8．C 【分析】 构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】 解:令()()f x g x x =，可得'2()()()g x xf xx f x '-=， 由0x >时，()()0xf x f x '-<，可得'()0g x ＜，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又22log 5log 42=＞，0.3122＜＜，240.20.0=，可得0.322log 520.2＞＞，故0.322(log 5)(2()0.2g g g ＜)＜，故c a b <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题. 9．D 【分析】本题首先可以求出函数()()sin 102f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数()g x 的解析式，然后根据题意得出函数()g x 与函数()()log 0a f x x x =>的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果． 【详解】若0x >，则0x -<，因为0x <时，() sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以() sin 1sin 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以若()()sin 102f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称， 则有()()sin 12f x x f x π⎛⎫-=--=⎪⎝⎭，即()sin 102y x x π⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 设()()sin 102g x x x π⎛⎫=-->⎪⎝⎭，画出函数()g x 的图像，结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点()5,2P -处相交为临界情况，即要使()()sin 102g x x x π⎛⎫=-->⎪⎝⎭与()()log 0a f x x x =>的图像至少有3个交点，需要01a <<且满足()()55g f <，即2log 5a -<，解得0a <<，故选D ． 【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题． 10．A 【分析】由题意可得0a ≥，可得12e x a a a x b +-≤，设12e ()xf a a x x +=-，对其求导可得()f x 最小值的表示式22min ()(1)2f x f lna a a lna =-=-，令22()2g a a a lna =-，对其求导，可得ab的最大值. 【详解】解：由1e x +≥ax b +对x ∈R 恒成立，若0a ＜，函数y ax b =+单调递减，不符合题意，故0a ≥； 故1e x ax b +-≤，若0a =，则0ab =，若0a ＞，则12e x a a a x b +-≤，设函数12e ()x f a a x x +=-，可得1'2e ()x af x a +-=，令'()0f x =，可得：1x lna =-，当(,1)x lna ∈-∞-，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x lna ∈-+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增； 可得22min ()(1)2f x f lna a a lna =-=-，设22()2g a a a lna =-，可得'()32g a a alna =-，令'()0g a =，可得：32a e =，当32(0,)x e ∈，'()0g a ＞，()g a 单调递增； 当32(,)x e ∈+∞，'()0g a ＜，()f x 单调递减；可得332max 1()()2g a g e e ==，即ab 的最大值为312e ，此时：32a e =，3212b e =，故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的单调性及利用导数求函数的最值，渗透了分类讨论的思想和构造函数的思想，属于难题. 11．35【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题. 12．-1 【分析】由向量(1,2)a =，(2,0)b =，可得a b λ+，由向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，列出关于λ的方程，可得答案. 【详解】解:由向量(1,2)a =，(2,0)b =，可得：(,2)(2,0)(2,2)a b λλλλλ+=+=+， 由向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，可得：2212λλ+=-， 解得：1λ=-， 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查平面共线向量的性质，属于基础题型. 13．40 【解析】试题分析：每件产品的利润y ＝25－116q －1004q q -＝29－（10016q q +）≤29－＝24 当且仅当10016q q=且q ＞0，即q ＝40时取等号. 考点：基本不等式，函数在现实生活中的应用 14．3021 【解析】由()3221x f x x -=-可得()()13f x f x +-=，从而可得结果. 【详解】()3221x f x x -=-， ()()()()312321321211x x f x f x x x ---∴+-=+=---， 1232014...2015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭120142************...100733021201520152015201520152015f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为3021. 【点睛】本题主要考查函数的解析式，意在考查转化与划归思想的应用，以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 15．①③④ 【分析】直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m 的范围判断③的正误；利用分析法直接证明，结合导数可证明④的正误. 【详解】解：①由()cos 1f x x =-，可得0(2)(2)()022f f f x ππππ--==+由[22]x ππ∈-，，可得031132222x ππππ=-、-、、满足“平均值函数”，故①正确； ②举反例，令()12x f x =--，[22]x ∈-，，可得01x =-，又02a bx +=0＞，故②错误；③ 由函数2()1f x x mx =--是[11]-，上的“平均值函数”，所以关于x 的方程： 2(1)(1)11(1)f f x mx ----=--在区间(11)-，内有实数根，由2(1)(1)11(1)f f x mx ----=--，可得210x mx m -+-=，可得1x m =-，或1x =，又1(1,1)∉-，故1x m =-必为均值点，即1m --1＜＜1，可得02m ＜＜，故③ 正确； ④由题意得：0lnb lna lnx b a-=-，要证明0ln x ，即证明：lnb lna b lnb a a -<⇔<=-1t =＞，原式子等价于：21120lnt t lnt t t t <-⇔-+<，令1()2()1h t lnt t t t =-+＞，可得2'2221(1)()10t h t t t t -=--=-<， 故()h t 在区间(1,)+∞是减函数，故()(1)0h t h <=，故④正确； 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查新定义的应用，函数的导数及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力.16．（Ⅰ）1ω=（Ⅱ 【分析】（Ⅰ）由()f x =2m ·n -1，求出()f x 的表达式，化简，由其最小正周期为π，可得ω的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x 的表达式，可得其单调区间，结合x ∈[6π，4π]，可得函数的最大值. 【详解】（Ⅰ）()f x =2m ·n -122sin cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-=sin 2cos 2)4x x x πωωω+=+．由题意知：T π=，即22ππω=，解得1ω=．（Ⅱ） 由（Ⅰ）知())4f x x π=+，∵6π≤x ≤4π，得712π≤24x π+≤34π， 又函数y =sinx 在[712π，34π]上是减函数，∴ max 7()sin()1243f x πππ==+cossin4343ππππ=． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数周期性，单调性等知识，属于基本知识的考查，属于基础题.17．（1）[)1,2D =；（2）1m =. 【分析】（1）利用函数定义域的求法，求得D .（2）根据()g x 的开口方向，结合对称轴x m =-与D 的位置关系进行分类讨论，由最小值为2列方程，解方程求得m 的值. 【详解】 （1）依题意2010x x ->⎧⎨-≥⎩，解得[)1,2D =.（2）函数22()2g x x mx m =+-的开口向上，对称轴为x m =-.当1,1m m -≤≥-时，()g x 在D 上递增，最小值为()21122g m m =+-=，解得1m =.当12m <-<时，()g x 在D 上最小值为()2222222g m m m m m -=--=-≠，不符合题意.当2m -≥时，()g x 在D 上递减，但()g x 在2x =处没有定义，故没有最小值，不符合题意.综上所述，1m =.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查二次函数最值有关问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18．（Ⅰ）5（Ⅱ）AC =【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理求出AC 的值，然后利用正弦定理可得sin ACB ∠的值；（Ⅱ）以BABC ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ,在△BCE 中，由余弦定理可得BC 的值，在ABC ∆中，由余弦定理可得AC 的长.【详解】解：（Ⅰ） 15cos 5AB ABC =∠=，，2BC =， 由余弦定理：2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠=52+22-2×5×2×15=25， ∴ 5AC =．由正弦定理：sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得sin sin 5AB ABC ACB AC ⨯∠∠==． （Ⅱ） 以BABC ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则1cos cos 5BCE ABC ∠=-∠=-，BE =2BD =7，CE =A.B =5， 在△BCE 中，由余弦定理：2222cos BE CB CE CB CE BCE =+-⋅⋅∠． 即21492525()5CB CB =+-⨯⨯⨯-， 解得：4CB =．在△ABC 中，2222212cos 54254335AC BA BC BA BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，即AC =【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中档题.19．（Ⅰ）1n a n =+，2322n n S n =+（Ⅱ）存在，13λ>【分析】（Ⅰ）由39S =，358a a a ，，成等比数列，列出关于1d a 、的方程组，求出1d a 、的值，可得数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）数列{}n c 为单调递减数列，可得10n n c c +-＜，即42021n n λ+--+＜，分离出λ求出4221n n -++的最大值，可得答案. 【详解】解：(Ⅰ) 由39S =,2538a a a =⋅,可得：132392a d ⨯+= ，2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++ 解得：12,1a d ==．故：1,n a n =+2(21)3222n n n n S n ++==+(Ⅱ) 由题知22()nn nc a λ=⋅-． 若使{}n c 为单调递减数列，则：1122422()2(2121)2()0n n n n n c c n n n n λλλ++=⋅---+⋅-=--+++＜， 对一切*n ∈N 恒成立，即： max 21424)2120n n n n λλ---++++⇔＜＞( 又22121422222()()323n n n n n nn n n n -===++++++++ 当1n =或2n =，max 421()213n n -=++ 故：13λ＞【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的相关知识，注意灵活运用其性质解题.20．（1）见解析；（2）{1}. 【解析】试题分析：（1）先判断f （x ）的单调性，根据“f （x ）前有一个零点”，找到关于a 的等式，化简整理可得需证结论；（2）根据（1），只需f （x ）的最小值不小于0即可. 试题解析：（1）证明： 由，得．由＞0，即＞0，解得x ＞lna ，同理由＜0解得x ＜lna ，∴ f （x ）在（－∞，lna ）上是减函数，在（lna ，＋∞）上是增函数， 于是f （x ）在x ＝lna 取得最小值． 又∵ 函数f （x ）恰有一个零点，则，即．化简得：， ∴．（2）解：由（1）知，在取得最小值，由题意得≥0，即≥0， 令，则， 由可得0＜a ＜1，由可得a ＞1．∴ h （a ）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，即，∴ 当0＜a ＜1或a ＞1时，h （a ）＜0， ∴ 要使得f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，a ＝1 ∴ a 的取值集合为{1}考点：导数，函数的零点，恒成立问题21．（1）2m n ==;（2）()f x 单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,;（3）见解析. 【解析】【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：（1）由()ln x m x n f x e +=得()ln (0)x m nx mx x f x x xe '--=>.由已知得()10m nf e -'==，解得m n =.又()21n f e e ==，即2n =，2m n ∴==.（2）由（1）得()()21ln x f x x x x xe=--'，令()()1ln ,0,p x x x x x =--∈+∞，当()0,1x ∈时，()0p x >；当()1,x ∈+∞时，()0p x <，又0,x e >∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴的单调递增区间是()0,1，()f x 的单调递减区间是()1,+∞（3）由已知有()()()()ln 11ln ,0,x g x x x x x x+=--∈+∞，于是对任意()20,1x g x e -><+等价于()()21ln 1ln 1xx x x e x ---<++，由（2）知()()1ln ,0,p x x x x x =--∈+∞，()()()2ln 2ln ln ,0,p x x x e x -∴=--=--∈'+∞，易得，当()20,x e-∈时，()0p x '>，即()p x 单调递增；当()2,x e-∈+∞时，()0p x '<，即()p x 单调递减.()p x ∴的最大值为()221p ee--=+，故21ln 1x x x e ---≤+.设()()ln 1,q x x x =-+则()01xq x x +'=>，因此，当()0,x ∈+∞，()q x 单调递增，()()00q x q >>，故当()0,x ∈+∞时，()()ln 10q x x x =-+>，即()1ln 1xx >+.()()221ln 11ln 1xx x x e e x --∴--≤+<++.∴对任意()20,1x g x e -><+点睛：导数是研究函数的单调性、几何意义以极值（最值）等方面的综合运用的重要工具．解答本题的第一问时先依据导数的几何意义，建立方程，通过解方程使得问题获解；解答第二问时，通过对函数求导借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调区间使得问题获解；解答第三问时，充分借助题设中的条件，先将不等式进行等价转化，再借助导数知识分析推证，从而使得问题获解．。

河北省张家口市宣化一中2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共有12小题,每小题4分,共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( )A. 2n a n = B. 2(1)n n a n =-⋅ C. 12(1)n n a n +=-⋅D. 2(1)(1)n n a n =-⋅+【答案】C 【解析】 【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到． 【详解】因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以12(1)n n a n +=-⋅ ．故选C ．【点睛】对于根据数列前几项的值，求数列通项公式的题目，解题方法是根据前几项的值与该项序号的关系得到，属基础题．2.已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ． 【此处有视频，请去附件查看】3.已知数列1,,,,2x y z --成等比数列，则xyz =( )A. -B. 4±C. 4-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由数列1,,,,2x y z --成等比数列可知y 和xz 的值，从而求出结果.【详解】因为数列1,,,,2x y z --成等比数列，所以()()2122==-⨯-=y xz ，且y 与首项1-同号，所以y =，所以=-xyz 故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题. 4.()()35x a a =+-与()()24y a a =+-的大小关系是（ ）A. x y >B. x y =C. x y <D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】比较两个式子大小，只需将两式作差即可.【详解】()()235=215=+---x a a a a ，()()22428=+-=--y a a a a 所以222152870-=---++=-<x y a a a a ，所以x y <.故选：C【点睛】本题主要考查不等关系，作差法比较两式大小.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=（ ） A. -8 B. 22C. 20D. 24【答案】D 【解析】 分析】由等差数列性质可得出11582a a a +=，81092a a a +=，由18153120a a a ++=可求出8a 的值，从而可得出9102-a a 结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以11582a a a +=，又18153120a a a ++=，所以85120=a 即824a =，所以810911008224=+-==-a a a a a a .故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.6.在ABC ∆中，6A π=，1a =，b =B =（ ）A.3π B.6π C.23π D.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得sin sin b AB a=，代入数据即可.【详解】在中ABC ∆由正弦定理可得sin sin a b A B=，由6A π=，1a =，b =，所以sinsin 6π===b A B a ，所以3B π=或23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理，属于基础题.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若46815a a a ++=，则11S 的值为（ ） A. 55 B.552C. 165D.1652【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质知4862+=a a a ，再由46815a a a ++=求出65a =，再用前n 项和公式即可得出结果【详解】因为{}n a 为等差数列，所以4862+=a a a ，又46815a a a ++=，所以6315=a ，即65a =，所以()1111161111115=552+===⨯a a S a .故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，解题的关键时熟练应用等差数列前n 项和公式.8.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得()sin 2sin cos ,sin 2sin cos A B C B C B C =+=,即()sin 0B C -=,所以b c =,三角形ABC 为等腰三角形.考点：解三角形----正弦定理与余弦定理．9.已知x ，y 满足约束条件0{401x y x y y -≥+-≤≥，则的最大值是（ ）A. -1B. -2C. -5D. 1【答案】A 【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.考点：本题主要考查了简单的线性规划. 10.若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则+a b 的最小值等于（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】试题分析：∵直线1x ya b+=（，）过点，∴．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224b a b aa b a b=++≥+⨯=，当且仅当时取等号．故答案为C ． 考点：基本不等式.【此处有视频，请去附件查看】11.在∆ABC 中，已知2AC ，∠B=30°，则∠A= ( ) A. 45° B. 15°C. 45°或135°D. 15°或105° 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理可解得sinC ，结合范围C ∈（0，180°），可得C ，利用三角形内角和定理即可求A 的值．30AB B =∠=︒Q ，∴由正弦定理sin AB ACsinC B=，122AB sinBsinC ACAC ⋅⋅∴===, ∴由0180C ∈︒（，），可得：C=45°或135°．∴可得：A=180°-B-C=105°或15°．故选D ． 考点：正弦定理12.已知△ABC 中，30A ︒∠=，AB ,BC项，则△ABC 的面积等于 ( )4【答案】D 【解析】 【分析】由AB ,BC分别是AB ,BC 的值，再由30A ︒∠=用正弦定理可得出C ∠，从而得出B Ð，再由三角形面积公式及可求出面积.【详解】由题可知2AB =，1==BC ，由正弦定理可知sin sin BC AB A C =，又30A ︒∠=，所以sin 2C =，所以60C ︒∠=或120︒，所以90︒∠=C 或30︒，由三角形面积公式可得1sin 2∆=⋅ABC S AB BC B，所以ABC S ∆=或ABC S ∆=. 故选：D【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式． 【此处有视频，请去附件查看】14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242,8S S ==,则6S 等于_______. 【答案】18 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，再由242,8S S ==，求出42S S -，再由等差数列性质求出6410-=S S ，从而得出6S 的值.【详解】由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，所以()()422642-=+-S S S S S ，又242,8S S ==，所以426-=S S ，所以6410-=S S ，所以618S =.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，解体的关键是的等差数列前n 项和n S 、2-n n S S 、32n n S S -、L 也成等差数列.15.已知点(0,)A a 与点(1,2)B 在直线20x y +-=的同一侧，则a 的取值范围是______. 【答案】2a > 【解析】 【分析】根据题意可知把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入2+-x y 得到的符号形同，即()()021220+-+->a ，求解即可.【详解】因为点A ，B 在直线20x y +-=的同一侧，所以把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入2+-x y 得到的符号形同，所以()()021220+-+->a ，所以2a >.【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域，属于基础题.16.已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos ,34B b ==，sin 2sinC A =，则ABC ∆的面积为___.【答案】16【解析】 【分析】由sin 2sin C A =可得2c a =，再根据余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得出32a =，3c =，由1cos 4=B 可得sin =B ，再代入三角形面积公式求解即可． 【详解】由sin 2sinC A =可得2c a =，由余弦定理可知，222cos 2a c b B ac +-=，又1cos ,34B b ==，所以22214944+-=a a a ，解得32a =，所以3c =，由1cos 4=B 可得sin B ，所以1sin 2∆==ABC S ac B ． 【点睛】本题主要考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题,共56分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价. 【答案】160元 【解析】 【分析】先设出容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m （0x >），再由容积为4m 3，高为1m 得长方体的底面矩形的宽为4xm ，根据题意建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值，即可得出所求 ．【详解】设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m（0x>），因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m，依题意得，2444204102802080202160⨯⎛⎫⎛⎫=⨯++=++≥+⨯⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x xx x x(当且仅当4xx=，即2x=时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是用基本不等式求最值．18.已知等差数列{a n}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，（1）求d；（2）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（3）求数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n项和T n．【答案】（1）2（2）a n=2n﹣1，（3）21nn+【解析】试题分析：（1）利用数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，即可求d；（2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（3）利用裂项法求数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，∴，求得d=2（2）由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，（3）令()()111111212122121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪⋅-⋅+-+⎝⎭则=考点：数列的求和；等比数列的通项公式．19.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若tan 3A =，5cos C =． （1）求角B 的大小； （2）若4,c =求ABC ∆面积． 【答案】（1）4B π=；（2）6.【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用．第一问中利用已知的条件中5tan 3,cos A C ==得到C 的正弦值，然后得到C 的正切值，利用内角和定理，得到tanB 的值．从而得到角B 第二问中，由正弦定理可知得到b 的值，然后结合sinA=sin(B+C)得到A 的正弦值，结合三角形的面积公式得到． 解：（1）由55cos tan 255C sinC C === tan tan tan tan()11tan tan A CB AC A C+=-+=-=-Q ；……………………4分又04B B ππ<<∴=；……………………6分（2）由正弦定理sin sin b c B C =可得，sin 10sin cb B C==；……………………8分 由sin sin()sin()4A B C C π=+=+得，310sin A =；……………………10分 所以∆ABC 面积1sin 62ABC S bc A ∆==；……………………12分 20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) n a n =;(2) 1(1)222n n n n S ++=-+. 【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n an b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用.试题解析：（1）设数列{}n a 公差为d Q 139,,a a a 成等比数列2319a a a ∴=()()212118d d ∴+=⨯+ 0d ∴=（舍）或1d =n a n ∴=.（2）令22n an n b n n =+=+ 123n n S b b b b ∴=++++L()()()()1232122232n n =++++++++L()()()()12322221232121122n n n n n =+++++++++-+=+-L L ()11222n n n ++=-+()11222n n n n S ++∴=-+.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n a n b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．（1）若2c =，3C π=，且ABC ∆a ，b 的值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1） a ＝2，b ＝2 （2）等腰三角形或直角三角形【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理，得2224c a b ab =+-=，再由面积正弦定理得1sin 2ab C =a ，b 的值； （2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin （A+B ），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA ，最后讨论当cosA=0时与当cosA ≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论．试题解析：（1） ∵c ＝2，3C π=，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC ∴12absinC ，∴ab ＝4. 联立方程组解得a ＝2，b ＝2.（2）由sinC ＋sin （B －A ）＝sin2A ，得sin （A ＋B ）＋sin （B －A ）＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴cosA ·（sinA －sinB ）＝0，∴cosA ＝0或sinA －sinB ＝0，当cosA ＝0时，∵0<A<π，∴A ＝2π，△ABC 为直角三角形； 当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．考点：正弦定理；三角形的形状判断22.已知数列{}n a 满足11a =，()()*112,n n na n a n n N -=-≥∈,数列{}n b 满足112b =,214b =,对任意*n N ∈都有212n n n b b b ++= （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122...n n n T a b a b a b =+++求证:122n T ≤<.【答案】（1）n a n =，12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】【分析】（1）当2n ≥时，，由1(1)-=-n n na n a ， 可得11n n a n a n -=-( 2n ≥)，利用累乘求积即可得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的通项公式即可求出{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减求出n T ，即可得出结果．【详解】（1）当2n ≥时，由1(1)-=-n n na n a ， 可得11n n a n a n -=-( 2n ≥)， 132112211232112321n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---(2n ≥)， 又11a =也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =，由212n n n b b b ++=⋅知数列{}n b 是等比数列，其首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）∵2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅L ① 23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+L ② 由①式减②式得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅L 1212n n ++=-1111-1221212n n n +⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭-，所以222n n n T +=- ，又22n n +>0，所以2222n n n T +=-<， 又1111322(2)(3)12222n n n n n n n n n n n T T +++++++-++-=-+==恒正，故{}n T 是递增数列，所以112n T T ≥= ，所以 122n T ≤<． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，以及前n 项和求法，解题的关键是累乘法求通项公式，错位相减求数列前n项和．。

河北省张家口市宣化一中2021-2022高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共有12小题,每小题4分,共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( )A. 2n a n = B. 2(1)n n a n =-⋅ C. 12(1)n n a n +=-⋅D. 2(1)(1)n n a n =-⋅+【答案】C 【解析】 【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到． 【详解】因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以12(1)n n a n +=-⋅ ．故选C ．【点睛】对于根据数列前几项的值，求数列通项公式的题目，解题方法是根据前几项的值与该项序号的关系得到，属基础题．2.已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(20B x x x =-+<,则AB =（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ． 【此处有视频，请去附件查看】3.已知数列1,,,,2x y z --成等比数列，则xyz =( )A. -B. 4±C. 4-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由数列1,,,,2x y z --成等比数列可知y 和xz 的值，从而求出结果.【详解】因为数列1,,,,2x y z --成等比数列，所以()()2122==-⨯-=y xz ，且y 与首项1-同号，所以y =，所以=-xyz 故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题. 4.()()35x a a =+-与()()24y a a =+-的大小关系是（ ）A. x y >B. x y =C. x y <D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】比较两个式子大小，只需将两式作差即可.【详解】()()235=215=+---x a a a a ，()()22428=+-=--y a a a a 所以222152870-=---++=-<x y a a a a ，所以x y <.故选：C【点睛】本题主要考查不等关系，作差法比较两式大小.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=（ ） A. -8 B. 22C. 20D. 24【答案】D 【解析】 分析】由等差数列性质可得出11582a a a +=，81092a a a +=，由18153120a a a ++=可求出8a 的值，从而可得出9102-a a 结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以11582a a a +=，又18153120a a a ++=，所以85120=a 即824a =，所以810911008224=+-==-a a a a a a .故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.6.在ABC ∆中，6A π=，1a =，b =B =（ ）A.3π B.6π C.23π D.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得sin sin b AB a=，代入数据即可.【详解】在中ABC ∆由正弦定理可得sin sin a b A B=，由6A π=，1a =，b =，所以sinsin 6π===b A B a ，所以3B π=或23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理，属于基础题.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若46815a a a ++=，则11S 的值为（ ） A. 55 B.552C. 165D.1652【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质知4862+=a a a ，再由46815a a a ++=求出65a =，再用前n 项和公式即可得出结果【详解】因为{}n a 为等差数列，所以4862+=a a a ，又46815a a a ++=，所以6315=a ，即65a =，所以()1111161111115=552+===⨯a a S a .故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，解题的关键时熟练应用等差数列前n 项和公式.8.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得()sin 2sin cos ,sin 2sin cos A B C B C B C =+=,即()sin 0B C -=,所以b c =,三角形ABC 为等腰三角形.考点：解三角形----正弦定理与余弦定理．9.已知x ，y 满足约束条件0{401x y x y y -≥+-≤≥，则的最大值是（ ）A. -1B. -2C. -5D. 1【答案】A 【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.考点：本题主要考查了简单的线性规划. 10.若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则+a b 的最小值等于（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】试题分析：∵直线1x ya b+=（，）过点，∴．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224b a b aa b a b=++≥+⨯=，当且仅当时取等号．故答案为C ． 考点：基本不等式.【此处有视频，请去附件查看】11.在∆ABC 中，已知2AC ，∠B=30°，则∠A= ( ) A. 45° B. 15°C. 45°或135°D. 15°或105° 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理可解得sinC ，结合范围C∈（0，180°），可得C ，利用三角形内角和定理即可求A 的值．230AB B =∠=︒，∴由正弦定理sinAB ACsinC B=，122AB sinBsinC ACAC ⋅⋅∴===, ∴由0180C ∈︒（，），可得：C=45°或135°．∴可得：A=180°-B-C=105°或15°．故选D ． 考点：正弦定理12.已知△ABC 中，30A ︒∠=，AB ,BC项，则△ABC 的面积等于 ( )4【答案】D 【解析】【分析】由AB ,BC分别是AB ,BC 的值，再由30A ︒∠=用正弦定理可得出C∠，从而得出B ，再由三角形面积公式及可求出面积.【详解】由题可知2AB =，1==BC ，由正弦定理可知sinsin BC AB A C =，又30A ︒∠=，所以sin 2C =，所以60C ︒∠=或120︒，所以90︒∠=C 或30︒，由三角形面积公式可得1sin 2∆=⋅ABC S AB BC B，所以ABC S ∆=或ABC S ∆=. 故选：D【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式． 【此处有视频，请去附件查看】14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242,8S S ==,则6S 等于_______. 【答案】18 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，再由242,8S S ==，求出42S S -，再由等差数列性质求出6410-=S S ，从而得出6S 的值.【详解】由等差数列前n 项和性质可知2S 、42S S -、64S S -也成等差数列，所以()()422642-=+-S S S S S ，又242,8S S ==，所以426-=S S ，所以6410-=S S ，所以618S =.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，解体的关键是的等差数列前n 项和n S 、2-n n S S 、32n n S S -、也成等差数列.15.已知点(0,)A a 与点(1,2)B 在直线20x y +-=的同一侧，则a 的取值范围是______. 【答案】2a > 【解析】 【分析】根据题意可知把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入2+-x y 得到的符号形同，即()()021220+-+->a ，求解即可.【详解】因为点A ，B 在直线20x y +-=的同一侧，所以把点(0,)A a 与点(1,2)B 代入2+-x y 得到的符号形同，所以()()021220+-+->a ，所以2a >.【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域，属于基础题.16.已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos ,34B b ==，sin 2sinC A =，则ABC ∆的面积为___.【答案】16【解析】 【分析】由sin 2sin C A =可得2c a =，再根据余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得出32a =，3c =，由1cos 4=B 可得sin =B ，再代入三角形面积公式求解即可． 【详解】由sin 2sinC A =可得2c a =，由余弦定理可知，222cos 2a c b B ac +-=，又1cos ,34B b ==，所以22214944+-=a a a ，解得32a =，所以3c =，由1cos 4=B 可得sin B ，所以1sin 2∆==ABC S ac B ． 【点睛】本题主要考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题,共56分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价. 【答案】160元 【解析】 【分析】先设出容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m （0x >），再由容积为4m 3，高为1m 得长方体的底面矩形的宽为4xm ，根据题意建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值，即可得出所求 ．【详解】设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m（0x>），因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m，依题意得，2444204102802080202160⨯⎛⎫⎛⎫=⨯++=++≥+⨯⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x xx x x(当且仅当4xx=，即2x=时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是用基本不等式求最值．18.已知等差数列{a n}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，（1）求d；（2）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（3）求数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n项和T n．【答案】（1）2（2）a n=2n﹣1，（3）21nn+【解析】试题分析：（1）利用数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，即可求d；（2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（3）利用裂项法求数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，∴，求得d=2（2）由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，（3）令()()111111212122121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪⋅-⋅+-+⎝⎭则=考点：数列的求和；等比数列的通项公式．19.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若tan 3A =，5cos C =． （1）求角B 的大小； （2）若4,c =求ABC ∆面积． 【答案】（1）4B π=；（2）6.【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用．第一问中利用已知的条件中5tan 3,cos A C ==得到C 的正弦值，然后得到C 的正切值，利用内角和定理，得到tanB 的值．从而得到角B 第二问中，由正弦定理可知得到b 的值，然后结合sinA=sin(B+C)得到A 的正弦值，结合三角形的面积公式得到． 解：（1）由55cos tan 255C sinC C === tan tan tan tan()11tan tan A CB AC A C+=-+=-=-；……………………4分又04B B ππ<<∴=；……………………6分（2）由正弦定理sin sin b c B C =可得，sin 10sin cb B C==；……………………8分 由sin sin()sin()4A B C C π=+=+得，310sin A =；……………………10分 所以∆ABC 面积1sin 62ABC S bc A ∆==；……………………12分 20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) n a n =;(2) 1(1)222n n n n S ++=-+. 【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n an b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用.试题解析：（1）设数列{}n a 公差为d139,,a a a 成等比数列2319a a a ∴= ()()212118d d ∴+=⨯+ 0d ∴=（舍）或1d =n a n ∴=.（2）令22n an n b n n =+=+ 123n n S b b b b ∴=++++()()()()1232122232n n =++++++++ ()()()()12322221232121122n n n n n =+++++++++-+=+- ()11222n n n ++=-+()11222n n n n S ++∴=-+.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2n a n b n =+，求出数列n b 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n 项和公式的使用.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．（1）若2c =，3C π=，且ABC ∆a ，b 的值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1） a ＝2，b ＝2 （2）等腰三角形或直角三角形【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理，得2224c a b ab =+-=，再由面积正弦定理得1sin 2ab C =a ，b 的值； （2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin （A+B ），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA ，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论．试题解析：（1） ∵c＝2，3C π=，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 12absinC ，∴ab＝4. 联立方程组解得a ＝2，b ＝2.（2）由sinC ＋sin （B －A ）＝sin2A ，得sin （A ＋B ）＋sin （B －A ）＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴cosA·（sinA －sinB ）＝0，∴cosA＝0或sinA －sinB ＝0，当cosA ＝0时，∵0<A<π，∴A＝2π，△ABC 为直角三角形； 当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．考点：正弦定理；三角形的形状判断22.已知数列{}n a 满足11a =，()()*112,n n na n a n n N -=-≥∈,数列{}n b 满足112b =,214b =,对任意*n N ∈都有212n n n b b b ++= （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122...n n n T a b a b a b =+++求证:122n T ≤<.【答案】（1）n a n =，12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】【分析】（1）当2n ≥时，，由1(1)-=-n n na n a ， 可得11n n a n a n -=-( 2n ≥)，利用累乘求积即可得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的通项公式即可求出{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减求出n T ，即可得出结果．【详解】（1）当2n ≥时，由1(1)-=-n n na n a ， 可得11n n a n a n -=-( 2n ≥)， 132112211232112321n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---(2n ≥)， 又11a =也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =，由212n n n b b b ++=⋅知数列{}n b 是等比数列，其首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）∵2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅ ① 23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+ ② 由①式减②式得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅1212n n ++=-1111-1221212n n n +⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭-，所以222n n n T +=- ，又22n n +>0，所以2222n n n T +=-<， 又1111322(2)(3)12222n n n n n n n n n n n T T +++++++-++-=-+==恒正，故{}n T 是递增数列，所以112n T T ≥= ，所以 122n T ≤<． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，以及前n 项和求法，解题的关键是累乘法求通项公式，错位相减求数列前n项和．。

河北省宣化市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则集合M与集合P的关系是A. B. C. D.2.函数的定义域是A. B. C. D.3.已知，且，则角的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知函数，则的值是A. B. C. D.5.设，，，则A. B. C. D.6.已知函数，则是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为偶函数7.在下列图象中，二次函数及指数函数的图象只可能是A.B.C. D.8.若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变，再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是A. B. C. D.9.函数在区间上的最大值是A. 1B.C.D.10.已知是上的减函数，那么a的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数是定义在R上的奇函数．且当时，，则的值为A. B. C. D. 212.设函数，，则函数的零点个数是A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．14.已知函数，是偶函数，则______．15.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元．16.已知，若，则实数x的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求函数在区间上的最大值和最小值．18.已知集合．若集合A是空集，求a的取值范围；若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出此时的集合A．19.已知，Ⅰ求tan x的值；Ⅱ求的值．20.已知函数的一段图象如图所示求此函数的解析式；求此函数在上的递增区间．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．Ⅰ试确定点P距离地面的高度单位：关于旋转时间单位：的函数关系式；Ⅱ在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？21.已知函数是对数函数．若函数，讨论的单调性；若，不等式的解集非空，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，即，，所以，故选：D．由函数的定义域及值域得：，，即，得解本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题2.【答案】A【解析】解：由，解得．函数的定义域是故选：A．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题，由，则角的终边位于三四象限，由，可得角的终边位于二三象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：，且，，则角的终边位于三四象限，，角的终边位于二三象限，角的终边位于第三象限．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，结合分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．比较基础．根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：，，故，故选：B．5.【答案】B【解析】解：，，，则，故选：B．分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．6.【答案】B【解析】【分析】化简解析式即可求出其周期和奇偶性．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的奇偶性，属于基础题．【解答】解：是最小正周期为的偶函数．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等则二次函数的对称轴可排除B与D选项C，，，，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A．8.【答案】D【解析】解：将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变，得到：的图象，再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度，得到：，当时，所以：图象的一个对称中心是故选：D．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和函数的对称性求出结果．本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】C【解析】解：由，，．故选：C．先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到，然后再求其在区间上的最大值．本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．10.【答案】A【解析】解：因为为上的减函数，所以有，解得，故选：A．由为上的减函数，知递减，递减，且，从而得，解出即可本题考查函数单调性的性质，属中档题11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．【解答】解：，，是定义在R上的奇函数，且当时，，，所以，故选B．12.【答案】B【解析】解：可由题意在同一个坐标系中画出和的图象其中红色的为的图象，由图象可知：函数和的图象由三个公共点，即的零点个数为3，故选：B．由题意可作出函数和的图象，图象公共点的个数即为函数的零点个数．本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数来求是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为，由于弧度，可得：，由于扇形的周长为，所以：，所以解得：，扇形的弧长，扇形的面积为：故答案为4．14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础题．利用偶函数的定义及图象关于y轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于a，b的方程，即可求出的值．【解答】解：函数，是偶函数，，或1，，．偶函数的图象关于y轴对称，，．．故答案为4．15.【答案】2400【解析】解：12年后的价格可降为元．故答案为：2400．每4年后的价格成公比为、首项为8100的等比数列，由通项公式可得．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，得．由，得，即．实数x的取值范围为故答案为：由已知可得，再由有理指数幂的运算性质转化为对数不等式求解．本题考查对数不等式的解法，考查对数的运算性质，是基础题．17.【答案】解：令，由，可得，则函数，则当即时，函数y取得最小值4；当即时，函数y取得最大值53，综上可得函数的最小值为4，最大值为53．【解析】本题考查指数函数的最值和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．可令，由，可得，则函数，可得最值．18.【答案】解：若A是空集，则方程无解此时即若A中只有一个元素则方程有且只有一个实根当时方程为一元一次方程，满足条件当，此时，解得：或若，则有；若，则有【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程根的情况，是解答本题的关键．为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．19.【答案】解：Ⅰ由，；Ⅱ原式，由Ⅰ知，所以上式．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．Ⅰ由可直接求出，再由二倍角公式可得tan x的值．Ⅱ先对所求式子进行化简，再同时除以cos x得到关于tan x的关系式得到答案．20.【答案】解：由函数的图象可知，，周期，，，，函数的图象经过，，即，又，；函数的解析式为：由已知得，得，即函数的单调递增区间为，．当时，为，当时，为，，函数在上的递增区间为和．【解析】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．根据三角函数的图象求出A，，，即可确定函数的解析式；根据函数的表达式，即可求函数的单调递增区间．21.【答案】解：Ⅰ建立平面直角坐标系，如图所示；设是以x轴正半轴为始边，表示点P的起始位置为终边的角，由题意知OP在内转过的角为，即；所以以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为，即点P的纵坐标为，由题意知，所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，化简得；Ⅱ当时，解得；又，所以符合题意的时间段为或，即在摩天轮转动一圈内，有内P点距离地面超过70m．【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．Ⅰ建立平面直角坐标系，设是以x轴正半轴为始边，OP为终边的角，求出OP在t时间内转过的角度，表示出点P的纵坐标，再求点P距离地面的高度h关于t的函数关系式；Ⅱ计算时t的取值范围，再求对应的时间段．22.【答案】解：由题中可知：，解得：，所以函数的解析式：，，，即的定义域为，由于，令，则：由对称轴可知，在单调递增，在单调递减；又因为在单调递增，故单调递增区间，单调递减区间为．不等式的解集非空，所以，由知，当时，函数单调递增区间，单调递减区间为，，所以，所以，，所以实数m的取值范围．【解析】先求出a的值，根据复合函数的单调性即可求出的单调区间；，不等式的解集非空，转化为求出的最小值即可．本题考查了对数函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和不等式恒成立的问题，属于中档题．。