算法导论 第十二章 动态规划

算法导论16.2-20-1背包问题CLRS 16.2-2 请给出⼀个解决0-1背包问题的运⾏时间为O(nW)的动态规划⽅法，其中，n为物品的件数，W为窃贼可放⼊他的背包中的物品中的最⼤重量。

我们有n种物品，物品j的重量为w j，价格为p j。

我们假定所有物品的重量和价格都是⾮负的。

背包所能承受的最⼤重量为W。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。

可以⽤公式表⽰为：maximizesubject to⽅法⼀：采⽤最原始的递归⽅法，公式为V(1,...,n) = max(v k + V(1,...,k-1,k+1,...,n));时间复杂度为O(2n)，很多⼦问题被重复计算。

View Code1 #include <stdio.h>2 #include <stdlib.h>34//每件物品的价值和重量5 typedef struct goods_t6 {7int weight;8int value;9 }goods;1011//删除第i个元素后的所有元素12 goods* remain_data(goods* data, const int n, const int i)13 {14 goods* remain = (goods*)malloc((n-1)*sizeof(goods));15int j;16int count = 0;17for (j = 0; j < n; j++)18 {19if (j != i)20 remain[count++] = data[j];21 }22return remain;23 }2425//递归26int recursive(goods* data, const int n, int weight)27 {28int max = 0;29int i;30for (i = 0; i < n; i++)31 {32if (data[i].weight <= weight)33 {34int tmp = data[i].value + recursive(remain_data(data, n, i), n - 1, weight - data[i].weight);35if (tmp > max)36 max = tmp;37 }38 }39return max;40 }4142int main()43 {44//输⼊最⼤重量45int max_weight;46 scanf("%d", &max_weight);47//输⼊物品件数及其重量和价值48int num;49 scanf("%d", &num);50int n = num;51 goods* data = (goods*)malloc(n*sizeof(goods));5253 goods g;54while (num--)55 {56 scanf("%d%d", &(g.weight), &(g.value));57 data[n-num-1] = g;58 }59 printf("%d\n", recursive(data, n, max_weight));60return0;61 }⽅法⼆：我们假定w1, ..., w n和W都是正整数。

算法导论复习资料一、选择题：第一章的概念、术语。

二、考点分析：1、复杂度的渐进表示，复杂度分析。

2、正确性证明。

考点：1）正确性分析（冒泡，归并，选择）；2）复杂度分析（渐进表示O，Ｑ，©，替换法证明，先猜想，然后给出递归方程）。

循环不变性的三个性质：1）初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的；2）保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确；3）当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。

插入排序算法：INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 ▹Insert A[j] into the sorted sequence A[1，j - 1].4 i ←j - 15 while i > 0 and A[i] > key6 do A[i + 1] ←A[i]7 i ←i - 18 A[i + 1] ←key插入排序的正确性证明：课本11页。

归并排序算法：课本17页及19页。

归并排序的正确性分析：课本20页。

3、分治法（基本步骤，复杂度分析）。

——许多问题都可以递归求解考点：快速排序，归并排序，渐进排序，例如：12球里面有一个坏球，怎样用最少的次数找出来。

（解：共有24种状态，至少称重3次可以找出不同的球）不是考点：线性时间选择，最接近点对，斯特拉算法求解。

解：基本步骤：一、分解：将原问题分解成一系列的子问题；二、解决：递归地解各子问题。

若子问题足够小，则直接求解；三、合并：将子问题的结果合并成原问题的解。

复杂度分析：分分治算法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的，T(n)为一个规模为n的运行时间，得到递归式T(n)=Q(1) n<=cT(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) n>c附加习题：请给出一个运行时间为Q(nlgn)的算法，使之能在给定的一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。

动态规划初探及什么是⽆后效性？（转）对于动态规划，我是这样理解的：把待解决的问题分为⼀个规模较原问题⼩的⼦问题、然后要考虑的就是如何更具这个⼦问题如何得到原问题的解以及如何解决这个⼦问题当然、原问题和⼦问题需要有相同的解决⽅式、它们只有问题规模的区别。

这样讲有点抽象、⽤⼀个简单的图来说明下：可以简单的这样理解、把原问题划分为⼩的问题（能组合成原问题的，⼩的问题再划分、持续下去，找到简单解反⽅向计算回来（记下每⼀步结果）最后就能得到解。

听起来似乎不难，但是要作⽐较深⼊的理解还是得通过实例说话有向⽆环图的最长简单路径：对于⼀般的图，求最长路径并不向最短路径那样容易，因为最长路径并没有最优⼦结构的属性。

但DGA例外问题描述：给⼀个带权有向⽆环图G=（V，E），找出这个图⾥的最长路径。

说实话初学者直接给出这个图会看蒙的、再看看问题，不知道从何下⼿。

好了，对上图做个简单的处理：现在看起来是不是清晰多了呢⽤dilg(v)表⽰以点结尾的最长路径，现在考虑dilg(D), dilg(B), dilg(C)dilg(D)=max{dilg(B)+1, dilg(C)+3}来解释⼀下：点D的⼊度边有CD、BD。

以D结尾的最短路径必定经过C、B中的⼀点；如果是C点，则以dilg(C)+3(权值)定会⼤于等于dilg(B)+1(权值)如果没能看懂，请注意dilg(V)的定义对于任意的点V可以有如下表达式：dilg(v)=max{dilg(u)+w(u, v)，(u,v)∈E}这样、问题dilg(V)就会被转化为较⼩的⼦问题dilg(U)（当然，U是连⼊V的点）任何⼀个问题都可以⽤这样的⽅式转化、变⼩。

但总不能⽆限变⼩啊，最后回成为最简单的问题。

当有两个点，且其中的⼀个点⼊度为0的时候如图中的S-->C他们的最长距离就是权值2。

⼊门篇中说过，思考⽅向是从复杂到简单，⽽计算⽅向是从简单到复杂。

算法如下Initialize all dilg(.) values to ∞;1.Let S be the set of vertices with indegree=0; ////设集合S，⾥⾯的是⼊度为0的点2.For each vertex v in S do dilg(v)=0;3. For each v∈V\S in Topological Sorting order do //对于V中除S外的点、按照拓扑排序的顺序，依次求出最长路径并保存好 dilg(v)=max{dilg(u)+w(u, v)，(u,v)∈E} //拓扑排序可以简单的理解为从起点到终点的最短路径4. Return the dilg(v) with maximum value.现在是找到最长路径的⼤⼩了、但是如何得到最长路径呢？只需做点⼩⼩的改动：Let S be the set of vertices with indegree=0;for each vertex v in S dodist(v)=0;4. For each v∈V\S in Topological Sorting order dodilg(v)=max(u,v)∈E{dilg(u)+w(u, v)}let (u,v) be the edge to get the maximumvalue;dad(v)=u;5. Return the dilg(.) with maximum value.每⼀步都记下V的⽗节点、最后根据dad()数组即可得到路径。

第1篇一、实验背景与目的随着计算机技术的飞速发展，算法在计算机科学中扮演着至关重要的角色。

为了加深对算法设计与分析的理解，提高实际应用能力，本实验课程设计旨在通过实际操作，让学生掌握算法设计与分析的基本方法，学会运用所学知识解决实际问题。

二、实验内容与步骤本次实验共分为三个部分，分别为排序算法、贪心算法和动态规划算法的设计与实现。

1. 排序算法（1）实验目的：熟悉常见的排序算法，理解其原理，比较其优缺点，并实现至少三种排序算法。

（2）实验内容：- 实现冒泡排序、快速排序和归并排序三种算法。

- 对每种算法进行时间复杂度和空间复杂度的分析。

- 编写测试程序，对算法进行性能测试，比较不同算法的优劣。

（3）实验步骤：- 分析冒泡排序、快速排序和归并排序的原理。

- 编写三种排序算法的代码。

- 分析代码的时间复杂度和空间复杂度。

- 编写测试程序，生成随机测试数据，测试三种算法的性能。

- 比较三种算法的运行时间和内存占用。

2. 贪心算法（1）实验目的：理解贪心算法的基本思想，掌握贪心算法的解题步骤，并实现一个贪心算法问题。

（2）实验内容：- 实现一个贪心算法问题，如活动选择问题。

- 分析贪心算法的正确性，并证明其最优性。

（3）实验步骤：- 分析活动选择问题的贪心策略。

- 编写贪心算法的代码。

- 分析贪心算法的正确性，并证明其最优性。

- 编写测试程序，验证贪心算法的正确性。

3. 动态规划算法（1）实验目的：理解动态规划算法的基本思想，掌握动态规划算法的解题步骤，并实现一个动态规划算法问题。

（2）实验内容：- 实现一个动态规划算法问题，如背包问题。

- 分析动态规划算法的正确性，并证明其最优性。

（3）实验步骤：- 分析背包问题的动态规划策略。

- 编写动态规划算法的代码。

- 分析动态规划算法的正确性，并证明其最优性。

- 编写测试程序，验证动态规划算法的正确性。

三、实验结果与分析1. 排序算法实验结果：- 冒泡排序：时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)。

动态规划例⼦与复杂度动态规划的基本思路：动态规划使⽤分⽽治之的策略，但是具有针对性。

此种策略由理查德.贝尔曼（Richard E. Bellman）于1957年在dynamic programming⼀书中提出。

同年Bellman和Lester Ford⼀起设计了图论中最短路径的Bellman-Ford算法。

动态规划和贪⼼算法的区别：动态规划的特点：1 分析⼀个最有解决⽅案应该具备的结构（能否使⽤动态规划策略）；2递归定义最有解决⽅案（状态转移⽅程）；3 由底⾄上构建⼀个最优解决⽅案（备忘录构建）动态规划的⼏个例⼦：补充（以下例⼦全是基于备忘录的动态规划）流⽔装配线问题：问题描述：产品从“出发”到“到达”要经过流⽔线，经过n个步骤，每个步骤可以有两种选择：S1,i 和S2,i;图1中C i,j X i,j是花销；要求产品总花销最少。

（扩展为和图论算法最短路径的关系）最基本的想法：类似于组合数学上过程相乘的问题，每⼀个相乘的元素有2中状态，所以⽣产的路径数⼀共有2n种，程序复杂度为指数时间复杂度，空间复杂度为n。

实际操作中会发现，当固定k种处理组合⽅式，计算其他步骤取不同值时，相同处理⽅式的花销组合会重复计算。

动态规划⽅法：⼀个问题是假如整体最优解通过S1,j状态，那么从出发点到S1,j和S1,j到到达点两段路径是不是也是最优解（最短路径）？可以使⽤反证法证明：两段路径也是最优解。

这样的话我们就可以把⼤问题分解为⼦问题。

在分解的时候我们从出发点开始累计计算最优花销，也可以从到达点开始计算最优花销，这⾥我们采⽤前者，这样符合直观顺序。

考虑其中的状态转移过程，当进⼊S1,j状态时，要么从S1,j-1要么从S2,j-1流⼊。

那么到达S1,j时的处理花销C(S1,j)=C(S1,j-1)+C1,j-1 或者C(S1,j)=C(S2,j-1)+C2,j-1 +X2,j-1，最优解时取两者中的最⼩值。

下⾯来推算下时间复杂度。

算法导论上机实验报告册班级：xxxxxx学号：xxxxxxx 姓名：xxxx 教师：xxxxxx目录实验一排序算法 (1)题目一： (1)1、题目描述： (1)2、所用算法： (1)3、算法分析： (1)4、结果截图： (1)5、总结： (2)题目二： (3)1、题目描述： (3)2、所用算法： (3)3、算法分析： (3)4、结果截图： (3)5、总结： (4)题目三： (4)1、题目描述： (4)2、所用算法： (4)3、算法分析： (5)4、结果截图： (5)5、总结： (5)题目四： (6)1、题目描述： (6)3、算法分析： (6)4、结果截图： (6)5、总结： (7)实验二动态规划 (7)题目一： (7)1、题目描述： (7)2、所用策略： (7)3、算法分析： (7)4、结果截图： (8)5、总结： (8)题目二： (9)1、题目描述： (9)2、所用策略： (9)3、算法分析： (9)4、结果截图： (9)5、总结： (10)题目三： (10)1、题目描述： (10)2、所用策略： (10)3、算法分析： (10)4、结果截图： (11)题目四： (12)1、题目描述： (12)2、所用策略： (12)3、算法分析: (12)4、结果截图： (12)5、总结： (13)题目五： (13)1、题目描述： (13)2、所用策略： (13)3、算法分析： (13)4、结果截图： (14)5、总结： (14)实验三贪心算法 (14)题目一： (14)1、题目描述： (14)2、所用策略： (14)3、算法分析： (14)4、结果截图： (15)5、总结： (16)题目二： (16)1、题目描述： (16)3、算法分析： (16)4、结果截图： (17)5、总结： (17)题目三： (17)1、题目描述: (17)2、所用算法： (18)3、算法分析： (18)4、结果截图： (18)5、总结： (19)题目四： (19)1、题目描述： (19)2、所用算法： (19)3、算法分析： (19)实验四回溯法 (19)题目一： (19)1、题目描述： (20)2、所用策略： (20)3、算法分析： (20)题目二： (21)1、题目描述： (21)2、所用策略： (21)实验一排序算法题目一：1、题目描述：描述一个运行时间为θ(nlgn)的算法，给定n个整数的集合S和另一个整数x，该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。

算法导论读书笔记【篇一：《算法概论》读书笔记及读后感】《算法概论》读书笔记12计转1 12130907 李酉辰第0章本章较为简短，没有深入系统地涉及某些内容。

主要以fibonacci 数列的例子，让我体会了递归和递推思想的差别。

针对fibonacci数列例子直接递归解法中涉及的重复计算，优化出递推方式，展示了思考问题中自顶向下与自底向上的不同思考角度可能产生较大的算法效率差别，同时隐约体现记忆化搜索的思想。

另外本章较为详细介绍了大o复杂度度量标准。

第1章本章以rsa算法为例，细致深入讨论了rsa算法涉及的相关数论知识，诸如取模运算、模下的四则运算与逆元概念、取模幂运算、素性检测。

在素性检测部分有经典的欧几里德算法、扩展欧几里德算法，同时引入随机化算法概念，以极高的概率保证素性检测有效性。

通过本章的学习，我对过去不曾深入考虑或者说真正考虑的基础性运算有了更深的理解。

之前对乘除运算复杂度总是在以单元操作的概念下以o（1）带过，以后会更加细致地考虑乘除等基本运算的复杂度。

另外，本章以rsa为案例，系统地展示了针对某一问题，如何从基础性知识入手，一步一步学习案例所需基础知识，并将其整合从而解决案例。

素性检测与素因子分解，两个看似相去不远的问题，其复杂性天差地别的现实，从一般角度让人们想到的是类似问题的解决难度可能差别很大仅此而已，而rsa算法展示了如何深入的多想一步，利用这种情况设计出优雅的解决方案。

这思想很值得我借鉴与利用。

第2章本章介绍分治算法思想，提及分治，相信每一个学习算法的人都不会陌生，经典的《算法导论》中就已合并排序为例在开篇不久就引入分治概念。

本书介绍分治的角度与众不同，不似《导论》中总是介绍比较显而易见的可以分治的案例。

本书列举了矩阵相乘、快速傅立叶变换等数学领域分治的应用案例，在这些案例之中，分治的应用很多情况下隐藏的较为深，并非显而易见，加大了分析难度。

但是更能让我感受到分治应用之广泛，可能在学习本章之前，许多类型的题目我不会想到去向分治的角度思考，因为不易看出，但是本章给我的备忘录上加了一条：永远不要忽视分治，针对陌生题目，不要轻易就否决掉往分治角度思考的路线。

背包问题算法导论课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解背包问题的基础概念，掌握其定义和数学模型。

2. 学习并掌握贪心算法、动态规划算法解决0-1背包问题的基本原理和步骤。

3. 能够运用所学算法解决实际的背包问题，并对不同算法进行比较和分析。

技能目标：1. 培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用算法思想解决实际问题。

2. 提高学生的编程能力，使其能够独立编写解决背包问题的程序代码。

3. 培养学生的团队协作能力，通过分组讨论和分享，共同解决复杂问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对算法学习的兴趣，激发其探索精神和创新意识。

2. 引导学生树立正确的价值观，认识到算法在解决实际问题中的重要性。

3. 培养学生面对困难时的坚持和毅力，鼓励他们勇于挑战自我，克服困难。

本课程针对高中年级学生，结合背包问题算法的学科特点，旨在提高学生的逻辑思维和编程能力。

课程要求学生在掌握基本概念和算法原理的基础上，能够将所学知识应用于实际问题的解决。

通过本课程的学习，学生将能够具备解决类似问题的能力，并为后续学习更复杂的算法打下坚实基础。

二、教学内容1. 背包问题基本概念：介绍背包问题的定义、分类以及数学模型。

- 0-1背包问题- 完全背包问题- 多重背包问题2. 贪心算法：讲解贪心算法的基本原理，分析贪心算法在解决背包问题中的应用。

- 贪心策略的选择- 贪心算法的步骤及实现3. 动态规划算法：介绍动态规划的基本思想，分析动态规划在解决背包问题中的应用。

- 动态规划原理- 0-1背包问题的动态规划解法- 完全背包问题的动态规划解法4. 算法分析与比较：对不同算法进行时间复杂度和空间复杂度分析，比较各自的优缺点。

5. 实践环节：通过编程实践，让学生独立解决背包问题，并分组讨论、分享经验。

6. 拓展与提高：介绍其他解决背包问题的算法，如分支限界法等，拓展学生的知识面。

教学内容依据课程目标，紧密结合教材，按照教学大纲进行安排。

课程进度分为基础理论、算法分析与实践、拓展与提高三个阶段，以确保学生能够系统、科学地掌握背包问题算法的相关知识。

补充递归和分治策略•通过例子理解递归的概念；•掌握设计有效算法的分治策略；•通过下面的范例学习分治策略设计技巧：过的范例学分策略技¾Merge sort¾Multiplication of two numbers¾Multiplication of two matrices¾Finding Minimum and Maximumj y p¾Majority problem (多数问题)算法总体思想对这k个子问题分别求解。

如果子问题的规模仍然不够z 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。

题。

nT(n)=T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)算法总体思想将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

nT(n)=n/2n/2n/2n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)T(/4)算法总体思想将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

分治法的设计思想是将个难以直接解决的大问题n T(n)=分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之分而治之。

n/2n/2n/2n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4递归的概念直接或间接地调用自身的算法称为z递归算法。

动态规划：钢条切割问题问题：Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。

不同的切割⽅案，收益是不同的，怎么切割才能有最⼤的收益呢？假设，切割⼯序本⾝没有成本⽀出。

假定出售⼀段长度为i英⼨的钢条的价格为p i （i=1,2,…）。

钢条的长度为n英⼨。

如下给出⼀个价格表P。

给定⼀段长度为n英⼨的钢条和⼀个价格表P，求切割钢条⽅案，使得销售收益 r n最⼤。

(如果长度为n英⼨的钢条的价格p n ⾜够⼤，则可能完全不需要切割，出售整条钢条是最好的收益)⾃顶向下动态规划算法：1public static int buttom_up_cut(int[] p) {2int[] r = new int[p.length + 1];3for (int i = 1; i <= p.length; i++) {4int q = -1;5//①6for (int j = 1; j <= i; j++)7 q = Math.max(q, p[j - 1] + r[i - j]);8 r[i] = q;9 }10return r[p.length];11 }为什么长度为i时的最⼤收益 r[i] 可以通过注释①处的循环来求呢？假设长度为i时钢条被分割为x段{m1,m2,m3,...,mx}可得最⼤收益 r[i] ，取出其中⼀段mk，则最⼤收益可表⽰为r[i] = p[mk] + r[i - mk]如果r[i - mk] 不是长度为 i - mk 时的最⼤收益的话，则r[i]是长度为i时的最⼤收益也就不成⽴，所以最⼤收益r[i]⼀定可以表⽰成单独切出⼀段的价格p[mk] 加上余下长度的最⼤收益 r[i - mk]以下内容转载⾃： https:///szz715/blog/3103246前⾔众所周知，递归算法时间复杂度很⾼为（2^n），⽽动态规划算法也能够解决此类问题，动态规划的算法的时间复杂度为（n^2）。

动态规划问题-经典模型的状态转移⽅程状态转移⽅程动态规划中当前的状态往往依赖于前⼀阶段的状态和前⼀阶段的决策结果。

例如我们知道了第i个阶段的状态Si以及决策Ui，那么第i+1阶段的状态Si+1也就确定了。

所以解决动态规划问题的关键就是确定状态转移⽅程，⼀旦状态转移⽅程确定了，那么我们就可以根据⽅程式进⾏编码。

在前⾯的⽂章讲到了如何设计⼀个动态规划算法，有以下四个步骤：1、刻画⼀个最优解的结构特征。

2、递归地定义最优解的值。

3、计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法。

4、利⽤计算出的信息构造⼀个最优解。

对于确定状态转移⽅程就在第⼀步和第⼆步中，⾸先要确定问题的决策对象，接着对决策对象划分阶段并确定各个阶段的状态变量，最后建⽴各阶段的状态变量的转移⽅程。

例如⽤dp[i]表⽰以序列中第i个数字结尾的最长递增⼦序列长度和最长公共⼦序列中⽤dp[i][j]表⽰的两个字符串中前 i、 j 个字符的最长公共⼦序列，我们就是通过对这两个数字量的不断求解最终得到答案的。

这个数字量就被我们称为状态。

状态是描述问题当前状况的⼀个数字量。

⾸先，它是数字的，是可以被抽象出来保存在内存中的。

其次，它可以完全的表⽰⼀个状态的特征，⽽不需要其他任何的辅助信息。

最后，也是状态最重要的特点，状态间的转移完全依赖于各个状态本⾝，如最长递增⼦序列中，dp[x]的值由 dp[i](i < x)的值确定。

若我们在分析动态规划问题的时候能够找到这样⼀个符合以上所有条件的状态，那么多半这个问题是可以被正确解出的。

所以说，解动态规划问题的关键，就是寻找⼀个好的状态。

总结下⾯对这⼏天的学习总结⼀下，将我遇到的各种模型的状态转移⽅程汇总如下：1、最长公共⼦串假设两个字符串为str1和str2，它们的长度分别为n和m。

d[i][j]表⽰str1中前i个字符与str2中前j个字符分别组成的两个前缀字符串的最长公共长度。

这样就把长度为n的str1和长度为m的str2划分成长度为i和长度为j的⼦问题进⾏求解。

第1章算法在计算中的作用章算法在计算中的作用什么是算法?为什么要对算法进行研究?相对于计算机中使用的其他技术来说，算法的作用是什么?在本章中，我们就要来回答这些问题. 1. 1算法算法简单来说，所谓抹法(also*llem)就是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。

并产生出一个或一组值作为输出。

亦即，亦即，算法就是一系列的计算步驭，算法就是一系列的计算步驭，用来将输人数据转换用来将输人数据转换成输出结果。

成输出结果。

我们还可以将算法看作是一种工具。

用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。

有关该问题的表述可以用通用的语言，来规定所需的输人/输出关系。

与之对应的算法则描迷了一个特定的计算过程，用于实现这一输人/输出关系输出关系例如.假设需要将一列数按非降顺序进行排序。

在实践中，这一问皿经常山现。

它为我们引入许多标准的算法设计技术和分析工具提供了丰富的问题场景。

下面是有关该排序间题的形式化定义，的形式化定义，输入:由n 个数构成的一个序列编出:对输人序列的一个排列(重排) 例如，给定一个输人序列(31. 41. 59. 26, 41, 58).一个排序算法返回的怕出序列是(26, 31. 41. 41. 58, 59).这样的一个输人序列称为该排序问趣的一个实例G .-e)。

一般来说，。

一般来说，某一个问题的实例包含了求解该间题所需的输人(它满足有关该同题的表述中所给出的任何限制)。

在计算机科学中，排序是一种基本的操作(很多程序都将它用作一种申间步骤)。

因此，迄今为止，科研人员提出了多种非常好的排序算法。

科研人员提出了多种非常好的排序算法。

对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，如何选择最如何选择最佳的排序算法要考虑多方面的因素，其中最主要的是考虑待排序的数据项数、这些数据项已排好序的程度、对数据项取值的可能限制、对数据项取值的可能限制、打算采用的存储设备的类型打算采用的存储设备的类型〔内存、磁盘、磁带)等。

一、实验目的（1）熟练掌握动态规划思想及教材中相关经典算法。

（2）掌握用动态规划解题的基本步骤，能够用动态规划解决一些问题。

二、实验内容与实验步骤（1）仔细阅读备选实验的题目，选择一个（可选多个）作为此次实验题目，设计的程序要满足正确性，代码中有关键的注释，书写格式清晰，简洁易懂，效率较高，利用C＋＋的模板，设计的程序通用性好，适合各种合理输入，并能对不合理输入做出正确的提示。

（2）可供选择的题目有以下2个：(i）找零钱问题（难度系数为3）★问题描述设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。

现要用这些面值的硬币来找钱，可以实用的各种面值的硬币个数不限。

当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时，可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。

若只用这些硬币面值，找不出钱数j时，记C(i,j)=∞。

★编程任务设计一个动态规划算法，对1≤j≤L，计算出所有的C( n,j )。

算法中只允许实用一个长度为L的数组。

用L和n作为变量来表示算法的计算时间复杂性★数据输入由文件input.txt提供输入数据。

文件的第1行中有1个正整数n （n<=13），表示有n种硬币可选。

接下来的一行是每种硬币的面值。

由用户输入待找钱数j。

★结果输出程序运行结束时，将计算出的所需最少硬币个数输出到文件output.txt中。

输入文件示例输出文件示例input.txt output.txt331 2 59三、实验环境四、问题分析（1） 分析要解决的问题，给出你的思路，可以借助图表等辅助表达。

答：这个问题用动态规划来解，归结到动态规划上面就变成了无限背包问题（因为收银台的硬币默认是无穷的，但一种改进版本可以考察有限硬币的情况）。

区别在于，现在我们需要求一个最少的硬币数而不是最大值。

但是选择的情况也是相同的，即每次选择都可以选择任何一种硬币。

首先，找零钱问题具有最优子结构性质：兑换零钱问题的最优子结构表述：对于任意需要找的钱数j ，一个利用T[n]中的n 个不同面值钱币进行兑换零钱的最佳方案为P(T(1),j)，P(T(2),j),...,P(T(n),j)，即此时的最少钱币个数∑==n1j)P(T(k),),(k j n C ，则P(T(2),j),...,P(T(n),j)一定是利用T[n]中n 个不同的面值钱币对钱数j=j-P(T(1),j)* T(1)进行兑换零钱的最佳方案。