灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
3.1灰色系统理论的建模思想
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(X X X X
上图表明原始数据)
0(X 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K 个累加生成为)()1(K X ,并且
1)1()1()0()1(==X X
321)2()1()2()0()0()1(=+=+=X X X
5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(=++=++=X X X X
5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(=+++=+++=X X X X X
上图表明生成数列X 是单调递增数列。
3.2灰色系统预测模型建立 1. 数列预测GM （1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm 模型，G 表示gray （灰色），m 表示model （模型），Gm （1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。
Gm （1，1）建模过程和机理如下： 记原始数据序列)0(X 为非负序列
其中，n k k x ,,2,1,0)()0( =≥ 其相应的生成数据序列为)1(X
其中，n k i x k x k i ,,2,1,)()(1
)0()
1( ==∑=
)1(Z 为)1(X 的紧邻均值生成序列 {})(,),2(),1()1()1()1()1(n z z z Z =
其中，n k k x k x k Z ,2,1),1(5.0)(5.0)()1()1()1(=-+=
称b k az k x =+)()()1()0(为Gm(1,1)模型，其中a ，b 是需要通过建模求解的参数，若T =),(b a a 为参数列，且
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=)()3()2()0()0()0(n x x x Y ，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=)5(1)4(1)3(1)2()
1()1()1()1(z z z z B 则求微分方程b k az k x =+)()()1()0(的最小二乘估计系数列，满足
Y B B B a T T 1)(ˆ-= 称b ax dt
dx =+)1()
1(为灰微分方程，b k az k x =+)()()1()0(的白化方程，也叫影子方程。
如上所述，则有
1.白化方程b ax dt
dx =+)1()
1(的解或称时间响应函数为 a
b
e a b x t x
at +-=-))0(()(ˆ)1()1( 2.Gm(1,1)灰微分方程b k az k x =+)()()1()0(的时间响应序列为
()()()()()()()()()
{}
n x x x x X 00000,...,3,2,1=()()()()()()()()()
{}
n x x x x X 11111,..,.3,2,1=
