第14讲 二次函数(第1课时)

y a( x x1)( x x2 )
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
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• 完成课后作业中的题目
作业
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谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
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4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
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一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
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练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
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（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式

第十四讲 二次函数考点综述：二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

中考课标要求考点精析考点1 二次函数的概念（1）一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，且0≠a ）的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。

（2）二次函数c bx ax y ++=2的几种特殊形式：①)0(2===c b ax y ②)0,0(2=≠+=c b bx a y ③)0,0(2≠=+=c b c ax y考点2 二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像的有关概念：二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

（2）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像与性质（3）二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质 （4）二次函数c bx ax y ++=2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用“五点法”描出大致图像，其步骤是：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点（如与坐标轴的交点）； ③把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接起来； （5）二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像的平移将c bx ax y ++=2配方，得到a b ac a b x a y 44)2(22-++=，设a b h 2=，ab ac k 442-=，则有k h x a y ++=2)(。

抛物线k h x a y ++=2)(可以由抛物线2ax y =经过适当的平移得到，具体平移方法如下所示：（6）求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为k h x a y ++=2)(的形式，顶点坐标为),(k h ，对称轴为直线h x =。

第14讲 二次函数与一元二次方程不等式常考考点【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩题型一：解不含参数的一元二次不等式解题思路：①当二次项系数为正时，考虑大于取两边，小于取中间①数轴标根，穿针引线【精选例题】【例1】设x ∈R ，则2x <是220x x -<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】一元二次不等式()20x x ->的解集为（ ）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()(),20,-∞-⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【例3】一元二次不等式()()120x x -+>的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．1,2【例4】使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．51x -<<B ．52x -<<C ．71x -<<D ．72x -<<【跟踪训练】1.不等式24x x <的解集为（ ）2．不等式2560x x -+>的解集为（ ）A ．{|23}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|3}x x >D ．{2|x x <或3}x > (2,)⎫+∞⎪⎭ 12),3⎛-+∞ ⎝题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【精选例题】【例2】已知关于x的不等式22430(0) x ax a a-+<>的解集为()12,x x，则1212ax xx x++的最小值是（）A B．C D．A．-2B．-1C．1D．2【例4】已知不等式20ax bx c++<的解集为{|1x x<或}3x>，则下列结论正确的是（）【跟踪训练】)()2,+∞2.已知关于x的不等式230ax bx++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）．不等式2ax bx++3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【精选例题】【例1】若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【例2】解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,8 B ．()0,∞+ C ．()0,2 D ．[]28,【例4】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例5】设函数()()()221,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求a ，b 的值；(2)若4b =，求不等式()0f x >的解集.【跟踪训练】1.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．2.解关于x 的不等式：220ax x a -+<.3.设()212y ax a x a =+-+-．(1)命题:p x ∃∈R ，使得2y <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．题型四：不等式的恒成立问题 【精选例题】【例1】“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【例4】不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【例5】已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【跟踪训练】1.已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）2.若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．()[),25,-∞-⋃+∞C ．()[),14,∞∞--⋃+D ．[]2,5-4.（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A ．04m ≤< B ．02m << C ．14m << D ．16m -<<5.已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][),04,-∞+∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,47.若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立，则ab 的最大值为_________．。

3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。