人教版七年级数学上册第一章 有理数 全章概念汇总
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有理数 全章概念汇总
考点、热点回顾
一、学习目标
1、有理数的灵活运用。
2、有理数的概念及巧算。
3、有理数的绝对值、奇、偶数的规律的掌握。
二、知识概念
1.有理数:
(1)凡能写成)0p q ,p (p
q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.
注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π是无限循环小数,不能写成分数形式,不是有理数;有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像0,-2,-4,-6也是偶数,-1,-3,-5也是奇数,0也是整数,它可以看成分母是1,分子是0的分数。
(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数
2.数轴:
1、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。通常规定直线上从原点向右(向上)为正方向,从原点向左(向下)为负方向。选取适当的长度为单位长度。数轴三要素:原点、方向、单位长度。
2、数轴的画法
3.相反数:
(1)只要符号不同的两个数,且两个数的绝对值的大小相等,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)互为相反数的两个数和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.
4.绝对值:
举例,向东向西走,绝对值则表示距离。
绝对值的意义:一般地,数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;
(2)绝对值可表示为:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)
0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; (3)绝对值的性质:
1、0的绝对值是0,绝对值是0的数是0.即:;00=⇔=a a
2、一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0,即:;0||≥a
3、任何数的绝对值都不小于原数。即:;a a ≥
4、绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若),0(>=a a x 则;a x ±=
5、互为相反数的两数的绝对值相等。即:a a =-或若,0=+b a 则;b a =
6、绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:,b a =则b a =或;b a -=
7、若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0.即:,0=+b a 则0=a 且;0=b (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
5.有理数比大小:
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0.
6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;0没有倒数;若 a≠0,那么a 的倒数是
a
1;若ab=1⇔ a 、b 互为倒数;若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.
注意:1、0没有倒数;
2、求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
3、正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
4、倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0. 7.(1) 加法的定义:把两个数合成一个数的运算,叫做加法;
(2)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变;
(3)加法分配律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
有理数加法法则
一、 同号两数相加;取相同的符号,并把绝对值相加。
二、 异号两数相加,绝对值相等(相反数)时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符
号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。
8. 有理数减法法则: 减去一个非零的数,等于加上这个数的相反数。 其中:两变:减法运算变加法运算,减数变成它的相反数。
一不变:被减数不变。可以表示成: a -b=a+(-b )。
若a 与b 两数相减,差是负数,则a
9. 有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.(偶数个负号为正,奇数个负号为负)
有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:ab=ba ;
(2)乘法的结合律:(ab )c=a (bc );
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .
10. 有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;两数相除,同号得正,异号为负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0. 注意:零不能做除数,无意义即0a .
11. 1.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;0的任何正整数次幂都是0.任何数(不含0)的0次方都等于1.
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .
2.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
12.科学计数法和近似值
15.科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n 的形式,其中a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
13. 混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减。