2019年考研数学模拟试题(含标准答案)

;
解：因为 为奇函数，故
原式=
.
解：因为 是奇函数，故
原式=
13．设 是由方程组
所确定的隐函数，求 .
解：分别对已知方程组的两边关于 求导，得：
再对 求一次导，得
将 代入上述各式，得
14．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？
.
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
23．求下列欧拉方程的通解：
解：作变换 ，即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为
故 .
.
解：设 ，则原方程化为
①
特征方程为
故①所对应齐次方程的通解为
又设 为①的特解，代入①化简得
,
故
24．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：
;
解：原式=
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
故 即 ， ，所以
17．将函数f(x) =x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.
解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有bn=0 (n=1,2,3,…)
故 (0≤x≤2)
18．计算 ，其中L是
(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；
解：
令 ，得t=1或t=－1
则x=1，y=4或x=1，y=－4
当t>1或t<－1时， ，曲线是凹的，
当0<t<1或－1<t<0时， ，曲线是凸的，
故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).
(2)x=2acotθ，y=2asin2θ.
解：
令 ，得 或 ，
不妨设a>0，不失一般性，当 时，即 时， ，
当 或 时，即 或 时， ,
验证：
所以，结论成立.
;
解：原式=
验证：
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).
证明：略
3．一点沿对数螺线 运动，它的极径以角速度 旋转，试求极径变化率.
解：
4．一点沿曲线 运动，它的极径以角速度 旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.
解：
5．椭圆 上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？
L1： ，y：1→2；L2： ，x：1→4；
故
从而
(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故
19．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功．
解：依题意知F=kxi+kyj，且L： ，t：0→
解：因为Σ：z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ
故
当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下侧时为负号．
22．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
(其中k为比例系数)
20．证明： 在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．
证： ， ，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且．
，(x,y)∈G
因此 在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分．
由
知 ．
21．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？
解：设每年以均匀流方式存入x万元，则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元．
习题六
15．（1）解： 相当于 级数中
当 时 收敛， 时， 发散.
从而当 时， 收敛， 时， 发散.
从而 的收敛域为
从而 的收敛域为 .
（2）解：当 时， 收敛，则 收敛.
当 时， 发散，
当 时， 收敛.（莱布尼兹型级数）
解：方程 两边同时对t求导，得
由 .得
代入椭圆方程得： ，
即所求点为 .
6．设总收入和总成本分别由以下两式给出：
其中q为产量，0≤q≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？
解：(1)边际成本为：
(2)利润函数为
令 ,得
即为获得最大利润时的产量.
(3)盈亏平衡时：R(q)=C(q)
16．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
解：(1)由 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， 的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．
记 易知 的收敛域为(-1,1)，记
则
于是 ，所以
(2)由 知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记 ，易知级数 收敛域为(-1,1)，记 ，则 ，
即3.9q－0.003q2－300=0
q2－1300q+100000=0
解得q=1218(舍去)，q=82.
7．已知函数 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 ，试证：在（a，b）内至少有一点 ，使得
.
证明：令 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 ，由罗尔定理知， ，使得 ，即 ,即
8．求下列曲线的拐点：
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；
(4)曲线x= 2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．
解：(1)L： ，y：1→2，故
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2
故
(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且
故当参数 或 时，都是y的拐点，且拐点为 及 .
9．求由参数式 所确定的函数y对x的导数 .
解：
10．（略）.
11．根据下面所给的值，求函数 的 及 ：
⑴当 时；
解：
.
⑵当 时.
解：
12．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）
(1)
解：因 为[－a,a]上的奇函数，
故
;
解：因为 即被积函数为奇函数，所以原式=0.