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2015年江西省高考 文科数学 模拟样卷注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回．第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则AB =R ðA. (0,3)B. (3,5)C. (1,0)-D.(0,3]2．复数1(i)(0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于A ．第一、二象限B ．第一、四象限C ．第二、四象限D ．第二、三象限 3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是A ．2,x x x ∀∉≠R B ．2,x x x ∀∈=R C ． 2,x x x ∃∉≠R D ．2,x x x ∃∈=R4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x x x =+，那么A. ()()f x g x ⋅是奇函数B. ()()f x g x ⋅是偶函数C. ()()f x g x +是奇函数D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a +A. 有最小值6B. 有最大值6C. 有最小值6或最大值-6D.有最大值-6 6．下列程序框图中，则输出的A 的值是A ．128B ．129C ．131D ．1347．已知数列{}n a 中，122,8a a ==，数列1{2}n n a a +-是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是A. {}n a 是等差数列B. {}n a 是等比数列C. {}2n n a 是等差数列 D. {}2nna 是等比数列 8．已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为整数且不超过2015的弦的条数是A ． 4024B ． 4023C ．2012D ．2015 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象A ．向右平移3π个长度单位B ．向左平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移6π个长度单位10．已知函数1()ln 2xf x x =-（），若实数x 0满足01188()log sinlog cos88f x ππ>+，则0x 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞11．已知函数232,31,()1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()|()|g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是A. ln 31[,)3eB. 1(0,)2eC. 1(0,)eD. ln 31[,)32e12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．1 C ．43 D ．32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-2正视图侧视图俯视图ABCD A 1B 1C 1第24题为选考题，考生根据要求作答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为 . 14.已知=a,)k =b ，且a 与b 的夹角为3π，则k = . 15．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x yw =⋅的最大值是 .16.对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c的直线l交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F .类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线22':13x C y -=的右焦点为F ，过点3(,0)2P 的直线与双曲线'C 右支有两交点,M N ，若点N的坐标是，则在直线NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos sin f x a x x b x =+，x R ∈，且()112f π=，()16f π=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若3()25f α=，(,)3παπ∈-，求sin α的值. 18.某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm ）.男队员身高在180cm 以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm 以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”.用分层抽样的方法，从“高个子”和“非高个子”中共抽取5名队员.（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AA ==，3ACB π∠=，点D 是线段BC 的中点.（Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求三棱锥11A AB D -的体积.20.（本小题满分12分）FED CBA已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，直线l 的方程是4x =，点P 是椭圆C 上动点（不在x 轴上），过点2F 作直线2PF 的垂线交直线l 于点Q ，当1PF 垂直x 轴时，点Q 的坐标是(4,4). （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论. 21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()a x bf x x+=（其中0a <），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若CD EF //，证明：FB FA EF ⋅=2．23.（本小题满分10分)选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=． （Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ， 且()3f a =-，则(6)f a -=（A ）74- （B ）54-（C ）34-（D ）14- 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14.()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =o ，且2,a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=o ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积. 19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN .21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是e O 直径，AC 是e O 切线，BC 交e O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是e O 切线；（II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N 求2C MN ∆ 的面积. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.一、D A C C B B B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、 17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac +-=14……6分 （II ）由（I ）知2b =2ac. 因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的. 所以△ABC 的面积为1. ……12分18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得，GB=GD=2x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x = 故x =2 ……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为. ……12分19、解：（I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()i i i i i w w y y w w ==--==-∑∑),56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=))， 所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +),因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+)（Ⅲ）（i ）由（II ）知，当x =49时，年销售量y的预报值y 100.6=+)， 年利润z 的预报值 z=576.60.24966.32⨯-=) ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12x x ++).13.6=6.82=，即x =46.24时，z )取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分20、解：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，.解得k 所以k的取值范围为. ……5分 （II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=. 所以1212224(1)7,11k x x x x k k++==++. 1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++ ()24181k k k+=++. 由题设可得()24181k k k+=++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l 上，所以2MN =. ……12分21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)x a f x e x x '+∞=-〉. 当a ≤0时，()()0f x f x ''〉，没有零点；当0a 〉时，因为2x e 单调递增，a x -单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '〉， 当b 满足0＜b ＜4a 且b ＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点.……6分 （II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0. 故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时， ()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于02020x a e x -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a na ≥+. ……12分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分 （II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=，即MN = 由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分 （II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +. 由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分。
参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 解：{|2}A x x =≥-，{|3}B x x =< {|23}A B x x ∴=-≤<，故选D.2. 解:2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ----====-++- 故选A. 3. 解:443a = 3a ∴=，半焦距c ==e ∴==故选D. 4. 解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B. 5. 解:26=16a a ⋅，35+=10a a ，35=16a a∴⋅，35+=10a a ，32a ∴=，58a =6. 解：2sin 1x >，[0,2]x π∈ 5[,]66x ππ∴∈ 16623P π-∴== 故选C.7. 解：1i =时，1()(1)x f x x e =+；2i =时，2()(2)x f x x e =+；3i =时，3()(3)x f x x e =+；…；8i =时，8()(8)x f x x e =+，结束，故选B. +=233k ϕπ∴+即=23k ϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3ϕ∴ 故选C.9. 解：依题意，得实数,x y 满足20200x y x y y a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，画出可行域如图所示，其中(2,0)A ，(2,)B a a +，(2,)C a a -max 2(2)10z a a ∴=++= 解得2a = 故选B.10. 解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -A01602PAB PAD PBD ABC S S S S ∆∆∆∆====⨯=故此棱锥的表面积为 A.11. 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3(2,)C x -,则126x +=，解得14x =，1y = 直线AB的方程为2)y x =-，令2x =-，得(2,C --联立方程组282)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得(1,B -，123BF ∴=+=，9BC = 3λ∴=故选D.12. 解：2(1)()x f x x e -+=在[10]-，依题意得log 31log 51a a <⎧⎨>⎩，35a ∴<<，故选C.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 解：2(0,3)a b -=-，(3,3)a b +=，(2)()9a b a b ∴-⋅+=-.14. 解：222a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- 23A π∴=设ABC ∆外接圆的半径为R ，则22sin a R A === 1R ∴=1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ∴+=+=+sin cos )B C B C B C =+=-，故S B +15. 解：如图所示，BE 过球心O ，2DE ∴==1323E ABCD V -∴=⨯=.16. 解：1()20f x x a x '=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x ≥-+在1[2]3，恒成立max 18()3x x -+= 823a ∴≥ 即43a ≥.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)4242n nn S S S +++=+，4228n n n S S S ++∴+=+ 4228n n n n S S S S +++∴-=-+ 43218n n n n a a a a ++++∴+=++………2分数列{}n a 为等差数列，设公差为d 48d ∴= 即2d =………4分 又1=1a 21n a n ∴=-………6分(2)()()111111()212+12212+1n n n b a a n n n n +===--- ………9分111111[(1)()()]2335212+1n T n n ∴=⋅-+-++-- 11(1)22121nn n =-=++………12分 18.解:(1)=450.05+550.15+650.3+750.25+850.1+950.15=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯男 ……2分=450.15+550.10+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯女………4分从男、女生各自的成绩平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关………5分(2)由频数分布表可知：在抽取的100学生中，“男生组”中的优分有15（人），“女生组”中的优分有15（人），据此可得22⨯列联表如下：………8分 可得()2210015251545 1.7960403070K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………10分因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”………12分 19. 证明：(1)1λ= .D E ∴分别为AB 和BB '的中点 又AA AB '=，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱.∴平行四边形ABB A ''为正方形，DE A B '∴⊥………2分AC BC =，D 为AB 的中点，CD AB ∴⊥，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱.CD ∴⊥平面ABB A '' CD A B '∴⊥………4分又CDDE D = A B '∴⊥平面CDE CE Ü平面CDE A B CE '∴⊥………6分(2)设=BE x ，则AD x =，6DB x =-，6B E x '=-.由已知可得C 到面A DE '距离即为ABC ∆的边AB 所对应的高4h ==………8分 ()13A CDE C A DE AA D DBE A B E ABB AV V S S S S h '''''''--∆∆∆∴==---⋅四边形 ()11=[363(6)36]32x x x x h -----⋅ 22(636)3x x =-+22[(3)27]3x =-+(06x <<) ………10分∴当3x =时，即1λ=时，A CDE V '-有最小值为18………12分∴圆心O 到直线00:=2l x x y y +的距离d ==1=<(20016x ≤≤)∴直线00:2l x x y y +=与圆221O x y +=：恒有两个交点…………8分L ==…………10分20016x ≤≤ 207991616x ∴≤+≤L ≤≤…………12分 21. 解:(1)()()()()ab x a x b f x x a b x x--'=-++=………2分 ()0f e '=，a e ≠ b e ∴=………3分(2)由（1）得21()()ln 2f x x a e x ae x =-++，()()()x a x e f x x --'=①当1a e≤时，由()>0f x '得x e >；由()0f x '<得1x e e <<.此时()f x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增.2211()()ln 022f e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222f e e a e e ae e e e a e e e e=-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0f x >亦可）∴要使得()f x 在1[,)e+∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln 2a e f ae e e e e+=-+222(12)2(1)02e e e ae --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤…6分 ②当1a e e<<时，由()>0f x '得1x a e <<或x e >；由()0f x '<得a x e <<.此时()f x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e 和()e +∞，上单调递增. 此时222111()ln ln 0222f a a ae ae a a ae ae e a =--+<--+=-<，∴此时()f x 在[)e +∞，至多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0f x '>得1x e e <<或>x a ，由()0f x '<得e x a <<，此时()f x 在1(,)e e和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02f e e =-<，∴()f x 在1[,)e+∞至多只有一个零点，不合题意.综上所述，a 的取值范围为2212(]2(1+)e e e --∞,………12分 22. 证明：(1)CD 为O 圆的切线，C 为切点，AB 为O 圆的直径 OC CD ∴⊥……1分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠ BC CE ∴=………5分 (2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分 又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分 23. 解(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分∴直线l 的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的普通方程为2y x =………5分 (2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线l的距离d ………8分∴当012x =时，min d = ∴此时11()24P ， ∴当P 点为11(,)24时，P 到直线l10分 24. 解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。
2015年全国1卷高考文数试题解析（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2解析：{|32,}{6,8,12,14}{8,14}A B x x n n N ==+∈=I I ，答案选D.（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC uuu r =（-4，-3），则向量BC uuu r =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）解析：由(4,3)AC =--u u u r 及点A （0,1）可得点C （-4，-2），则(43,22)(7,4)BC =----=--uuu r ，答案选A.（3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i解析：由（z-1）i=i+1可得112i z i i+=+=-，答案选C （4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120解析：由题意可知1，2，3，4，5中只有3，4，5这一组勾股数，3335110C P C ==,答案选C.（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12解析：抛物线C ：y ²=8x 的焦点为(2,0)，则椭圆E 22221(0)x y a b a b+=>>中的22122,,4,12,||62c b c e a b AB a a ========，答案故选B.（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
数学高考数学试题汇编2015 年高考新课标一卷文科数学一、选择题： 每小题 5 分,共 60 分1. 已知集合 A { x x 3n 2, n N}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A I B 中的元素个数为 （A ） 5（B ）4（C ）3（D ）22.uuuruuur已知点 A(0,1), B(3,2) ，向量 AC ( 4, 3)，则向量 BC（A ） ( 7,4)（B ） (7, 4)（C ） ( 1,4)（D ） (1,4)3. 已知复数 z 满足 ( z 1)i 1 i ，则 z（ ）（A ） 2 i （B ） 2 i （C ） 2 i （ D ） 2 i4. 如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）3（B ）1（C ）1（D ）110510205. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为1，E 的右焦点与抛物线 C : y 28x 的焦点重合，2A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 AB（A ） 3 （B ） 6 （C ） 9 （D ） 126. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问 ”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的 体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有 （ ） （A ） 14斛 （B ） 22 斛 （C ） 36斛 （D ） 66 斛7. 已知 { a n } 是公差为 1 的等差数列， S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S 8 4S 4 ，则 a 10 （）（A ）17（B ）19（C ） 10（D ）12228. 函数 f ( x) cos(x) 的部分图像如图所示，则f (x) 的单调递减区间为（）（A ） (k π 1 , k π 3), k Z4 41 3（B ） (2 k π , 2k π ), k Z44（C ） (k1 3), k Z, k44（D ） (2 k1,2 k3), k Z44数学高考数学试题汇编9. 执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n（）开始（A） 5（B） 6（C）10（D） 1210. 已知函数 f ( x)2x 12, x1，且 f (a) 3 ，则 f (6a)输入 t log 2 ( x1), x1（ A）4（B）5（C）311 74（D）4S41,n 0, m211.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图S S m 所示，若该几何体的表面积为 1620 ，则r ( )（A）1（B） 2（C） 4（D） 8m m, n n 1 22rr是S tr2r否输出 n正视图俯视图结束12.设函数 y f ( x) 的图像与 y2x a的图像关于直线y x 对称，且 f ( 2) f ( 4) 1 ，则a( )（A） 1（B）1（C） 2（D） 4二、填空题：本大题共 4 小题 ,每小题 5 分13.数列 a n中a12, a n12a n , S n为a n的前n项和，若 S n126 ，则 n.14.已知函数 f x ax3x 1 的图像在点 1, f 1的处的切线过点 2,7，则 a.x y2015.若 x,y 满足约束条件x 2 y10 ,则z=3x+y的最大值为．2x y2016.已知 P 是双曲线C : x2y2 1 的右焦点，P是C左支上一点， A 0,66，当 APF 周长8最小时，该三角形的面积为．三、解答题：17. （本小题满分 12 分）已知 a,b, c 分别是 ABC 内角 A, B,C 的对边， sin 2 B 2sin Asin C . （I ）若 a b ，求 cos B;（II ）若 B 90o ，且 a2, 求 ABC 的面积 .18.（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， BE 平面 ABCD ，（I ）证明：平面 AEC平面 BED ；E（II ）若 ABC 120o ， AE EC , 三棱锥 E ACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积 .3AGDBC19（. 本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费， 需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量（单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 x i ，和年销售量 y i i 1,2,3,L ,8 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 .620 ◆600◆◆◆年580◆销◆售 560量 540◆ /t 520◆50048040 42 44 46 48 5034 36 3852 54 56年宣传费（千元）8 8 8 8xyw( x i x)2( w i w)2( x i x)( y i y)(w i w)( y i y)i 1i 1i 1i 146.65636.8289.81.61469108.8表中 w i18x i , ww i8 i 1（I ）根据散点图判断，y a bx 与 y c d x ，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（ I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x, y的关系为 z 0.2 y x ，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费 x 90 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（i i ）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据u1 , v1 ,u2 ,v2 ,L , u n , v n , 其回归线v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：nμ i (u i u)(v i v)μμ1,βn v βu.(u i u) 2i 122交20. （本小题满分 12 分）已知过点 A 1,0 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： x 2y 31于M,N.两点 .（I ）求 k 的取值范围；uuuur uuur12，其中 O 为坐标原点，求 MN .（II ）OM ON21. （本小题满分 12 分）设函数 f x e2 x aln x .（I ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；（II ）证明：当 a2 0 时f x 2a a ln .a数学高考数学试题汇编请考生在 22、 23、24 题中任选一题作答22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB是圆 O直径，AC是圆 O切线，BC交圆 O与点 E. （I ）若 D 为 AC 中点，求证： DE 是圆 O 切线；（II ）若OA3CE，求ACB 的大小 .CEDAO B23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 : x222 ，圆C2: x 1y 21，以坐标原点为极点 , x轴正半轴为极轴建立极坐标系 .（I ）求C1,C2的极坐标方程；（II ）若直线C3的极坐标方程为π，设 C2 ,C3的交点为 M , N ，求 C2MN的面积 .R424.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲已知函数 f x x 1 2 x a , a0 .（I ）当 a 1 时求不等式 f x 1 的解集；（II ）若 f x图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 .。
绝密★启用前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学适用地区：河南河北山西江西注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（A）5（B）4（C）3（D）2（2）已知点A（0, 1）, B（3, 2）, 向量AC=（−4，−3）, 则向量BC=（A）（−7，−4）（B）（7，4）（C）（−1，4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z−1）i = i + 1，则z =（A）−2 − i （B）−2 + i （C）2 − i （D）2 +i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12, E的右焦点与抛物线C：y² = 8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则| AB |=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周 八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米 的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆 放斛的米约有 （A ）14斛（B ）22斛 （C ）36斛（D ）66斛（7）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和. 则S 8 = 4S 4，a 10 =（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数f (x)={2x−1−2, x≤1−log2(x+1), x>1，且f (a)= −3，则f (6−a) =（A）−74（B）−54（C）−34（D）−14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
江西省2015届高三高考适应性测试数学文试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2高三文科数学第3页保密★启用前2015年江西省高考适应性测试文科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回．第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则A B =R I ðA. (0,3)B. (3,5)C. (1,0)-D.(0,3] 2．复数1(i)(0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于A ．第一、二象限B ．第一、四象限C ．第二、四象限D ．第二、三象限 3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是A ．2,x x x ∀∉≠R B ．2,x x x ∀∈=R C ． 2,x x x ∃∉≠R D ．2,x x x ∃∈=R 4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x x x =+，那么 A. ()()f x g x ⋅是奇函数 B. ()()f x g x ⋅是偶函数 C. ()()f x g x +是奇函数 D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a +A. 有最小值6B. 有最大值6C. 有最小值6或最大值-6D.有最大值-6 6．下列程序框图中，则输出的A 的值是A ．128 B ．129 C ．131 D ．1347．已知数列{}n a 中，122,8a a ==，数列1{2}n n a a +-是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是 A. {}n a 是等差数列 B. {}n a 是等比数列 C. {}2n n a 是等差数列 D. {}2nna 是等比数列 8．已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为整数且不超过2015的弦的条数是 A ． 4024 B ． 4023 C ．2012 D ．20159．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位10．已知函数1()ln 2xf x x =-（），若实数x 0满足01188()log sinlog cos88f x ππ>+，则0x 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞11．已知函数232,31,()1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()|()|g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是A. ln 31[,)3eB. 1(0,)2eC. 1(0,)eD. ln 31[,)32e12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．1 C ．43 D ．32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为 . 14. 已知(3,1)=a ,(3,)k =b ，且a 与b 的夹角为3π，则k = . 15．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x yw =⋅的最大值是 .是开始1,1A i ==结束A 输出1i i =+31A A A =+10i ≤否112正视图侧视图俯视图高三文科数学第4页FEDCBAABCD A 1B 1C 116.对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c 的直线l 交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F .类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线22':13x C y -=的右焦点为F ，过点3(,0)2P 的直线与双曲线'C 右支有两交点,M N ，若点N 的坐标是(3,2)，则在直线NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos sin f x a x x b x =+，x R ∈，且()3112f π=-，()16f π=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若3()25f α=，(,)3παπ∈-，求sin α的值. 18.某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm ）.男队员身高在180cm 以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm 以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”.用分层抽样的方法，从“高个子”和“非高个子”中共抽取5名队员.（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AA ==，3ACB π∠=，点D 是线段BC 的中点.（Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求三棱锥11A AB D -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，直线l 的方程是4x =，点P 是椭圆C 上动点（不在x 轴上），过点2F 作直线2PF 的垂线交直线l 于点Q ，当1PF 垂直x 轴时，点Q 的坐标是(4,4).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论.21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()a x bf x x+=（其中0a <），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若CD EF //，证明：FB FA EF ⋅=2．23.（本小题满分10分)选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.高三文科数学第5页OC 1B 1A 1D CB A保密★启用前 2015年江西省高考适应性测试参考答案文科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACCCBABAC二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. y ^＝2x －3. 14. 1- 15. 512 16. 92(,)55-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（Ⅰ）由()3112()16f f ππ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得232a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩………2分2()23sin cos 2sin 3sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x π=-=+-=+-………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈………6分 （注：单调递增区间也可写成(,)()36k k k Z ππππ-+∈（Ⅱ）由3()25f α=得4sin()65πα+=，………8分5(,)662πππα+∈-，3cos()65πα+=………10分31433sin sin()sin()cos()66262610ππππαααα-=+-=+-+=………12分 18. 解：（Ⅰ）由题意及茎叶图可得：“高个子”共8名队员，“非高个子”共12名队员，共抽取5名队员，所以从“高个子”中抽取2名队员，记这5名队员中“高个子”为12,C C ，“非高个子”队员为123,,D D D ，选出2名队员有：12111213212223121323,,,,,,,,,C C C D C D C D C D C D C D D D D D D D ，共10中选取方法，有“高个子”的选取方法有7种，所以选取2名队员中有“高个子”的概率是1710P =； ………5分 （Ⅱ）记“高个子”男队员分别为1234,,,A A A A ，记“高个子”女队员分别为1234,,,B B B B ，从中抽出2名队员有：12131411121314232421222324343132333441424344121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A A A A A B A B A B A B A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B ，共28种抽法，其中男女“高个子”各1名队员的抽法有16种，………9分 所以男女“高个子”各1名队员的概率是2164287P ==. ………12分 19. （Ⅰ）证明：记11A B AB O =I ，OD 为三角形1A BC 的中位线，1A C ∥OD ，⊆OD 平面1AB D , ⊄C A 1平面1AB D ，所以1A C ∥平面1AB D ………6分（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的底面积最大时，体积最大，22242cos32AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BCπ==+-⋅⋅≥⋅-⋅=⋅当AC BC =，三角形ABC 为正三角形时取最大值………8分因为1A C ∥平面1AB D ，点1A 和C 到平面1AB D 的距离相等，…9分111111333A AB DC ABD B ACD ACD V V V S BB ---∆===⋅=………12分20. 解：（Ⅰ）由已知得1c =，当1PF x ⊥轴时，点2(1,)b P a-，由220F P F Q ⋅=u u u u r u u u u r 得2(2)(41)40b a--+=222302320b a a a ⇒-=⇒--=, 解得2a =，3b =，所以椭圆C 的方程是22143x y +=；………5分 （Ⅱ）设点00(,)P x y ，则2222220000003134123434x y x y y x +=⇒+=⇒=-，设点(4,)Q t ， 由220F P F Q ⋅=u u u u r u u u u r 得：00(1)(41)0x y t --+=，所以003(1)x t y --=，高三文科数学第6页FEDCBA所以直线PQ 的方程为：0000003(1)43(1)4x y y x x x y y -+-=--+，即20000043(1)[3(1)]4x y y x y x x -+-=+--， 即200000433(1)[33(1)]44x y y x x x x -+-=-+--， 化简得：00143x x y y+=， ………9分 代入椭圆方程得：22220000(43)2448160y x x x x y +-+-=， 化简得：220042403x x x y -+-=， 判别式△220016(1)043x y=+-=，所以直线PQ 与椭圆有一个公共点. ………12分 21.解：（Ⅰ） ln ()a x bf x x+=，12ln (1),'()|x a b a xf b f x a b x=--∴===- ()(1)y b a b x ∴-=--，切线过点(3,0)，2b a ∴=22ln (ln 1)'()a b a x a x f x x x --+==-① 当(0,2]a ∈时，1(0,)x e ∈单调递增，1(,)x e ∈+∞单调递减② 当(,0)a ∈-∞时，1(0,)x e ∈单调递减，1(,)x e∈+∞单调递增 ………5分（Ⅱ）等价方程ln 222a x a a x x x +=+--在(0,2]只有一个根 即2(2)ln 220x a x a x a -++++=在(0,2]只有一个根 令2()(2)ln 22h x x a x a x a =-++++，等价函数()h x 的图像在(0,2]与x 轴只有唯一的交点(2)(1)'()x a x h x x--∴=………8分当0a <时，()h x 在(0,1)x ∈递减，(1,2]x ∈的递增当0x →时，()h x →+∞，要函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点(1)0h ∴=或(2)0h <，1a ∴=-或2ln 2a <-故a 的取值范围是1a =-或2ln 2a <-. ………12分 22. 证明：（Ⅰ） ΘD C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又ΘAEB CED ∠=∠，∴CED ∆∽AEB ∆，AB DCEB ED EA EC ==∴， Θ21,31==EA ED EB EC ，∴66=AB DC ．………5分（Ⅱ）ΘCD EF //∴EDC FEA ∠=∠，又ΘD C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EBF FEA ∠=∠，又ΘBFE EFA ∠=∠，∴FAE ∆∽FEB ∆，∴ FEFB FA EF =∴FB FA EF ⋅=2………10分23. 解：（Ⅰ）ρ2＝x 2＋y 2 ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y2224cos 242x y x ρρθ-+=+-+∴圆的普通方程为22420x y x +-+= ………5分（Ⅱ）由22420x y x +-+= ⇒(x －2)2＋y 2＝2 ………………7分设22cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩ (α为参数) π22(cos sin )22sin()4x y ααα+=++=++所以x ＋y 的最大值4，最小值0 …………………10分24. 解：（Ⅰ）由[()]20g f x m +->得|||4|2x -<，2||42x ∴-<-< 2||6x ∴<< 故不等式的解集为[6,2][2,6]--U …………5分 （Ⅱ）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即|4|||m x x <-+恒成立 ………………8分 ∵|4||||(4)|4x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <. …………………………………………10分。
— 高三数学(文科)答案第1页 — AB C D E FG2015 年 高 三 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13． 214． 2- 15． 13 16． 2212xy -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠ 1()222=---=；……………………………………………6分 （Ⅱ）因为c 23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，…8分 所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………11分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分 18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有：5日，6日，7日，11日，12日，13日，……3分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是16711313P =-=；…………………6分 （Ⅱ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，……………………………………9分所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===， 4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒ 由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC AC ⊥，— 高三数学(文科)答案第2页 —又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC AG ⊥，………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=，tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道,,CA CB CF 两两垂直，所以可以把四棱锥B AEFC -补成以,,CA CB CF 为同一顶点的一个长方体，………………………………………………8分其外接球的直径2R =所以球O的表面积是2419S ππ==．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD ==2r ==，…………………………2分 因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；…………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)， 当直线m 垂直于x轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…6分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形的面积— 高三数学(文科)答案第3页 —1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >， 记2()221g x x ax =-+…………………………………………………………………2分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………………………………………………………………………………3分（二）当0a <时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………………………………………………………………4分(三)当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈， 所以函数()f x在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．……………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，…………………………8分即对任意的(1a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记2()ln 32h a a a a =+-+，则(1)0h =， 1(21)(1)'()23a a h a a a a--=+-=，…………………………………………………10分— 高三数学(文科)答案第4页 —因为(1a ∈，所以'()0h a >，当对任意(1a ∈， ()(1)0h a h >=成立。
2015年江西省高考 文科数学 模拟样卷注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回．第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则A B =R ð A. (0,3) B. (3,5) C. (1,0)- D.(0,3] 2．复数1(i)(0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于A ．第一、二象限B ．第一、四象限C ．第二、四象限D ．第二、三象限 3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是A ．2,x x x ∀∉≠R B ．2,x x x ∀∈=R C ． 2,x x x ∃∉≠R D ．2,x x x ∃∈=R 4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x x x =+，那么 A. ()()f x g x ⋅是奇函数 B. ()()f x g x ⋅是偶函数 C. ()()f x g x +是奇函数 D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a +A. 有最小值6B. 有最大值6C. 有最小值6或最大值-6D.有最大值-6 6．下列程序框图中，则输出的A 的值是A ．128B ．129C ．131D ．1347．已知数列{}n a 中，122,8a a ==，数列1{2}n n a a +-是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是A. {}n a 是等差数列B. {}n a 是等比数列C. {}2n n a 是等差数列 D. {}2nna 是等比数列 8．已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为整数且不超过2015的弦的条数是A ． 4024B ． 4023C ．2012D ．2015 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象A ．向右平移3π个长度单位B ．向左平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位10．已知函数1()ln 2xf x x =-（），若实数x 0满足01188()log sin log cos88f x ππ>+，则0x 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞11．已知函数232,31,()1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()|()|g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是A. ln 31[,)3e B. 1(0,)2e C. 1(0,)e D. ln 31[,)32e12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．1 C ．43 D ．32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-2正视图侧视图俯视图ABCD A 1B 1C 1第24题为选考题，考生根据要求作答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为 . 14.已知=a,)k =b ，且a 与b 的夹角为3π，则k = . 15．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x yw =⋅的最大值是 .16.对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c的直线l交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F .类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线22':13x C y -=的右焦点为F ，过点3(,0)2P 的直线与双曲线'C 右支有两交点,M N ，若点N的坐标是，则在直线NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos sin f x a x x b x =+，x R ∈，且()112f π=，()16f π=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若3()25f α=，(,)3παπ∈-，求sin α的值. 18.某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm ）.男队员身高在180cm 以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm 以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”.用分层抽样的方法，从“高个子”和“非高个子”中共抽取5名队员.（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AA ==，3ACB π∠=，点D 是线段BC 的中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1AB D ；（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求三棱锥11A AB D -的体积.20.（本小题满分12分）FED CBA已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，直线l 的方程是4x =，点P 是椭圆C 上动点（不在x 轴上），过点2F 作直线2PF 的垂线交直线l 于点Q ，当1PF 垂直x 轴时，点Q 的坐标是(4,4). （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论. 21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()a x bf x x+=（其中0a <），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若CD EF //，证明：FB FA EF ⋅=2．23.（本小题满分10分)选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=． （Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.。
2015年江西省三县部分高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若xy＝0，则x2+y2＝0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）3．（5分）复数z＝1﹣i，则+z对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2）时，f （x）＝﹣（），则f（﹣）＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）6．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58B．56C．50D．458．（5分）若变量x，y满足约束条件且z＝3x+y的最小值为﹣8，则k＝（）A．3B．﹣3C．2D．﹣29．（5分）一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（）A．3B．6C．9D．1810．（5分）已知A（﹣3，0），B（0，4），M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4B．5C．10D．1511．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知，则值为．14．（5分）对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为（填上所有真命题的序号）①若AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．15．（5分）已知f（x）与g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）＝a x•g（x），+＝，有穷数列{}（n＝1，2，…，8）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率等于．16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．三、解答题：共75分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos A+a cos B ＝﹣2c cos C．（1）求角C的大小；（2）若b＝2a，且△ABC的面积为2，求边c的长．18．（12分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝．（1）设b n＝，问：{b n}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n；（2）设c n＝a n a n+1，求{c n}的前n项和．19．（12分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．20．（12分）如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BEFC的体积．21．（12分）如图，设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．选修4-5：不等式选讲22．（10分）设函数f（x）＝|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2＝a，求+的最小值．2015年江西省三县部分高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若xy＝0，则x2+y2＝0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：“若xy＝0，则x2+y2＝0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2＝0，则xy＝0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选：C．2．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【解答】解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（∁U M）∩N＝{1，2}，M∩（∁U N）＝{3，4}，（∁U M）∩（∁U N）＝∅，故选：B．3．（5分）复数z＝1﹣i，则+z对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z＝1﹣i，∴+z＝＝+1﹣i＝+1﹣i＝对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．4．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2）时，f （x）＝﹣（），则f（﹣）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝f（x+2），∵f（﹣）＝f（﹣）＝f（），∵当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣（），∴f（）＝﹣1，∴f（﹣）＝，故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）【解答】解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4（）＝2，解得ω＝1，即f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法知+φ＝π，解得φ＝，故f（x）＝2sin（x+），故选：B．6．（5分）如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以++＝++＝；故选：A．7．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58B．56C．50D．45【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，∴＝，∴1+q3＝，∴q＝∴a n＝＝27﹣2n，∴|log2a n|＝|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13＝58，故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z＝3x+y的最小值为﹣8，则k＝（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：目标函数z＝3x+y的最小值为﹣8，∴y＝﹣3x+z，要使目标函数z＝3x+y的最小值为﹣1，则平面区域位于直线y＝﹣3x+z的右上方，即3x+y＝﹣8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z＝3x+y的最小值为﹣8，由，解得，即A（﹣2，2），同时A也在直线x+k＝0时，即﹣2+k＝0，解得k＝2，故选：C．9．（5分）一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（）A．3B．6C．9D．18【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱，底面是直角边为6，8的三角形，高为12，故几何体的体积为＝288，∵橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，∴底面积为＝16，∴三棱锥的高为＝18，故选：D．10．（5分）已知A（﹣3，0），B（0，4），M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4B．5C．10D．15【解答】解：由x2﹣4x+y2＝0，得（x﹣2）2+y2＝4，∴圆的圆心（2，0），半径为2，过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于M，此时△ABM的面积最小．直线AB的方程为4x﹣3y+12＝0，|AB|＝5，∴圆心到直线AB的距离为＝4，∴△MAB的面积的最小值为＝5，故选：B．11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S＝t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t＝2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S＝t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S＝t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2；∵M，O分别是PF2，F1F2的中点；∴MO∥PF1，且|PF1|＝2|MO|＝2b；OM⊥PF2；∴PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c；∴；根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a；∴；∴；两边平方得：a2﹣2ab+b2＝c2﹣b2，c2＝a2﹣b2代入并化简得：2a＝3b，∴；∴；即椭圆的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知，则值为．【解答】解：∵+＝π，sin（π﹣α）＝sinα，∴sin＝sin（π﹣）＝sin，又，∴＝．故答案为：．14．（5分）对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为①②④（填上所有真命题的序号）①若AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．【解答】解：如图，对于①，∵AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，∴AE⊥BC，DE⊥BC，又AE∩ED＝E，∴BC⊥面AED，∴面AED⊥平面ABC．∴命题①正确；对于②，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，连结BO并延长交CD于F，连结DO并延长交BC于E，由线面垂直的判定可以证明BF⊥CD，DE⊥BC，从而可知O为底面三角形的垂心，连结CO并延长交BD于G，则CG⊥BD，再由线面垂直的判断得到BD⊥面ACG，从而得到BD⊥AC．∴命题②正确；对于③，若所有棱长都相等，四面体为正四面体，该四面体的外接球半径是四面体高的四分之三，内切球的半径是四面体高的四分之一，∴该四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1．∴命题③错误；对于④，若AB⊥AC⊥AD，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD＝A，得AB⊥面ACD，则AB⊥CD，进一步由线面垂直的判定证得CD⊥面ABO，则BO⊥CD，同理可证CO⊥BD，说明O为△BCD的垂心．命题④正确；对于⑤，如图，∵E、F、G、H分别为BC、AC、BD、AD的中点，∴HF∥DC，GE∥DC，∴EFHG为平面四边形．∴命题⑤错误．∴真命题的序号是①②④．故答案为：①②④．15．（5分）已知f（x）与g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）＝a x•g（x），+＝，有穷数列{}（n＝1，2，…，8）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率等于．【解答】解：由题意可得[]′＝＜0，∴＝a x单调递减，∴0＜a＜1，又∵+＝，∴a+a﹣1＝，解得a＝，或a＝2（舍去），∴＝（）x，∴共8项的有穷数列{}是以＝为首项，q＝为公比的等比数列，∴数列的前k项和为＝1﹣（）k，令1﹣（）k＞，可解得k＞4，∴所求概率P＝＝故答案为：．16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【解答】解：令h（x）＝f（x）g（x），则h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）＝f（﹣3）g（﹣3）＝0，∴h（x）＝f（x）g（x）＜0＝h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）＝﹣h（﹣3）＝0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．三、解答题：共75分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos A+a cos B ＝﹣2c cos C．（1）求角C的大小；（2）若b＝2a，且△ABC的面积为2，求边c的长．【解答】解：（1）由b cos A+a cos B＝﹣2c cos C及正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B ＝﹣2sin C cos C，即sin（A+B）＝﹣2sin C cos C，由A，B，C是三角形内角可知sin（A+B）＝sin C≠0，∴cos C＝﹣，故C＝．（2）由△ABC的面积可得ab sin C＝2，即＝2，∴a＝2，∴b＝4，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4+16﹣2×＝28，∴c＝2．18．（12分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝．（1）设b n＝，问：{b n}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n；（2）设c n＝a n a n+1，求{c n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a n+1＝，b n＝，∴b n+1﹣b n＝﹣＝3∴{b n}是公差为3的等差数列，又b1＝＝，∴b n＝3n﹣（2）∵b n＝，∴a n＝由a n+1＝，得：3a n+1a n+a n+1＝a n∴a n a n+1＝（a n﹣a n+1），∴c n＝（a n﹣a n+1）∴{∁n}的前n项和为S n＝[（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+…+（a n﹣a n+1）＝（a1﹣a n+1）＝（2﹣）＝．19．（12分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据计算得，＝5，＝4，）＝8.5，＝10，所以b＝0.85，a＝﹣0.25．所以，回归方程为y＝0.85t﹣0.25．…（8分）（Ⅱ）将t＝8代入（Ⅰ）的回归方程中得y＝0.85×8﹣0.25＝6.55．故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．…（12分）20．（12分）如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BEFC的体积．【解答】解：（1）证明：∵，∴DE＝AD＝AB＝2，∵F为CD边的中点，∴DE＝DF，又DE⊥DF，∴∠DEF＝45°，同理∠AEB＝45°，∴∠BEF＝45°，即EF⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；（2）取BE的中点O，连接OP，∵PB＝PE，∴PO⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴PO⊥平面BCDE，即PO为棱锥P﹣BEFC的高，PO＝2，则．21．（12分）如图，设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2＝a2﹣b2，由＝2，得|DF1|＝＝c，从而＝|DF 1||F1F2|＝c2＝，故c＝1．从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2，得＝+＝，因此|DF2|＝，所以2a＝|DF1|+|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2﹣c2＝1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2＝1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2＝1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2＝﹣x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以＝（x1+1，y1），＝（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+＝0，由椭圆方程得1﹣＝，即3+4x1＝0，解得x1＝﹣或x1＝0．当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1＝﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝．选修4-5：不等式选讲22．（10分）设函数f（x）＝|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2＝a，求+的最小值．【解答】解：（I）f（x）＝，∴当x＜﹣2时，f（x）＞f（﹣2）＝2；当﹣2≤x≤0时，f（x）＞f（0）＝1；当x＞0时，f（x）＞f（0）＝1．综上可得：函数f（x）的最小值为1，∴a＝1．（II）由（I）可知：m2+n2＝1，∴1≥2mn，∴．∵m，n＞0，∴+≥2≥2，当且仅当m＝n＝时取等号．∴+的最小值为2．。
