八年级数学下册二次根式的乘法练习题及解析

八年级下册二次根式计算题一、二次根式计算题20题及解析。

1. 计算：√(12) - √(3)- 解析：- 先将√(12)化简，√(12)=√(4×3)=2√(3)。

- 则原式= 2√(3)-√(3)=√(3)。

2. 计算：√(27)+√(48)- 解析：- 化简√(27)=√(9×3)=3√(3)，√(48)=√(16×3)=4√(3)。

- 原式= 3√(3)+4√(3)=7√(3)。

3. 计算：√(18)-√(8)- 解析：- √(18)=√(9×2)=3√(2)，√(8)=√(4×2)=2√(2)。

- 原式= 3√(2)-2√(2)=√(2)。

4. 计算：√(50)-√(32)- 解析：- √(50)=√(25×2)=5√(2)，√(32)=√(16×2)=4√(2)。

- 原式= 5√(2)-4√(2)=√(2)。

5. 计算：√(frac{1){2}}+√(frac{1){8}}- √(frac{1){2}}=(√(1))/(√(2))=(√(2))/(2)，√(frac{1){8}}=(√(1))/(√(8))=(√(2))/(4)。

- 原式=(√(2))/(2)+(√(2))/(4)=(2√(2)+ √(2))/(4)=(3√(2))/(4)。

6. 计算：√(12)+√(frac{1){3}}- 解析：- √(12)=2√(3)，√(frac{1){3}}=(√(1))/(√(3))=(√(3))/(3)。

- 原式= 2√(3)+(√(3))/(3)=(6√(3)+√(3))/(3)=(7√(3))/(3)。

7. 计算：(√(3)+1)(√(3)-1)- 解析：- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=√(3)，b = 1。

- 原式=(√(3))^2-1^2=3 - 1=2。

8. 计算：(√(5)+√(2))^2- 解析：- 根据完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，这里a=√(5)，b=√(2)。

填空题1. 有意义的条件是 。

【答案】x ≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x ≥42. 当__________【答案】-2≤x ≤21【分析】x+2≥0，1-2x ≥0解得x ≥－2，x ≤213. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。

【答案】m ≤0且m ≠﹣1【分析】﹣m ≥0解得m ≤0，因为分母不能为零，所以m ＋1≠0解得m ≠﹣14. 当__________x 是二次根式。

【答案】x 为任意实数【分析】﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

【答案】﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，﹙x －2﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－9＝﹙x 2＋3﹚﹙x 2－3﹚＝﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，运用完全平方差公式：x 2－22x ＋2＝﹙x －2﹚26. 2x =，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x ≥0，解得x ≥07. 2x =-，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x ≥0，解得x ≤28. )1x p 的结果是 。

【答案】1－x【分析】122+-x x ＝2)1(-x ，因为()21-x ≥0，x ＜1所以结果为1－x9. 当15x ≤p 5_____________x -=。

【答案】4【分析】因为x ≥1所以()21-x ＝1-x ，因为x ＜5所以x －5的绝对值为5－x ，x －1＋5－x ＝410. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

【答案】﹣a -【分析】通过a a 1-有意义可以知道a ≤0，a a 1-≤0，所以a a 1-＝﹣⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a a 12＝﹣a -11. =成立的条件是 。

初二数学二次根式试题答案及解析1.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据二次根式有意义的条件得到-（a+2）2≥0，得到a=-2，然后把a=-2代入原式进行计算．试题解析：（1）原式===（2）∵-（a+2）2≥0，∴a=-2，原式==3-5+4=2．【考点】二次根式的混合运算．2.计算：【答案】.【解析】先进行二次根式的乘法运算得到原式=3﹣3+2+2+1，然后合并即可．试题解析：原式=3﹣3+2+2+1=.【考点】二次根式的混合运算.3.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.当1≤x≤5时，【答案】4．【解析】根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．试题解析：∵1≤x≤5，∴x-1≥0，x-5≤0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．考点: 二次根式的性质与化简．6.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．7.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】根据根式运算法则.不是同类项不能合并同类项【考点】根式运算.8.=________________．【答案】6【解析】由题, .,由题, .【考点】二次根式的化简.9.函数中自变量x的取值范围是．【答案】x≥4【解析】二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义．由题意得，．【考点】二次根式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.10.的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【答案】C【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.，平方根是±2，故选C.【考点】平方根点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成．11.函数y=中，自变量x的取值范围是。

初二数学二次根式试题答案及解析1.要使代数式有意义,则x的取值范围是( )A．x≥2B．x≥-2C．x≤-2D．x≤2【答案】A．【解析】根据题意，得x-2≥0，解得，x≥2；故选A．【考点】二次根式有意义的条件.2.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】A. 不能计算，故A选项错误；B. ，故B选项正确；C. ，故C选项错误；D. ，故D选项错误.故选B．【考点】二次根式的混合运算．3.下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.因此，A、=3，不是最简二次根式，故A选项错误；B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；C、，不是最简二次根式，故C选项错误；D、，不是最简二次根式，故D选项错误；故选B.【考点】最简二次根式.4.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.5.下列说法正确的是（）A．带根号的数都是无理数B．无理数都是无限小数C．是无理数D．无限小数都是无理数【答案】B.【解析】A、如，是有理数不是无理数，故本选项错误；B、无理数都是无限小数，故本选项正确；C、是有理数，故本选项错误；D、无限不循环小数是无理数，故本选项错误.故选B.考点: 无理数.6.（1）计算： (2)解方程组：【答案】（1）；（2）方程组的解为：．【解析】（1）根据二次根式混合运算的运算顺序计算即可；（2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．试题解析：（1）；（2）②－①×3得x=5，把x=5代入①得，10﹣y=5，解得y=5，故此方程组的解为：．【考点】1.二次根式的运算，2.解方程组．7.已知实数满足，则代数式的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，知所以8.有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．3D．2【答案】D【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是2.故选D．9.下列计算中，正确的有（）①=±2 ②=2 ③=±25 ④a=－A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C.【解析】A、任何数的立方根只有一个；B、负数的奇次幂是负数，负数的立方根也是负数；C、非负数的平方根有两个，且互为相反数；D、二次根式的意义可知a＜0，再根据二次根式的性质求解据此作答，进行判断．A、=2，此选项错误；B、=-2，此选项错误；C、=±25，此选项正确；D、a=－故选C．【考点】1.立方根；2.平方根；3.算术平方根．10.若，则的值为（）A．6B．2C．－2D．8【答案】B【解析】由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.非负数和等于零,要求每一项都要等于零,由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.【考点】非负数和等于零.11.计算：（1）；（2）sin30°+cos30°•tan60°．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据特殊角的锐角三角函数值计算即可.解：（1）原式；（2）原式.【考点】实数的运算点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.12.若x、y为正实数，且x+y=12那么的最小值为 .【答案】13【解析】若x、y为正实数，且x+y=12，那么y=12-x；因此=；设S=，则==；所以S【考点】最值点评：本题考查最值，解答本题的关键是掌握求代数式最值的方法，本题难度较大，计算量比较13.计算：3÷的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的掌握。

一、选择题1．5﹣x，则x的取值范围是（）A．为任意实数B．0≤x≤5C．x≥5D．x≤52．下列二次根式中是最简二次根式的为（）A B C D3．下列运算中，正确的是 ( )A． 3 B．×=6C． 3 D．4．有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2B．x>-2 C．x<-2 D．x≠-25．下列算式：（1=2）3）=7；（4）+=）A．（1）和（3）B．（2）和（4）C．（3）和（4）D．（1）和（4）6．下列各式中，正确的是（）A．B．a3• a2=a6C．(b+2a) (2a -b) =b2 -4a2D．5m + 2m = 7m27．）B．C D．A．308．下列计算正确的是（）A=B=C6==-D1x-=成立的x的值为（）9．30A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对10．下列计算正确的是（）A．=B C3=D3=-二、填空题m3﹣m2﹣2017m+2015＝_____．11．若m12．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.14．已知函数1x f x x ，那么21f _____．15．若613-的整数部分为x ，小数部分为y ，则(213)x y +的值是___.16．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0化简43252a c b=___________ 17．已知1＜x ＜2，171x x +=-，则11x x ---的值是_____． 18．观察下列等式：11122323-=，11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭，11114-345415⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．先观察下列等式，再回答问题：2211+2+()1 =1+1=2；2212+2+()212=2 12； 2213+2+()3=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n ++=，证明见解析．【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n ++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立． 【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n ++=．证明：等式左边==n 211n n n ++==右边．=n 211n n n ++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n ++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．22．先将2x -x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析.【解析】试题分析：先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义.试题解析：原式==2x ==- 要使原式有意义,则x ＞2.所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝223．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】 （1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．24．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=；故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．25．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.26．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．27．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．【详解】==-=-，x x|5|5∴5-x≥0，解得：x≤5，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】解：A=不是最简二次根式，本选项错误；BC=不是最简二次根式，本选项错误；=D2故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据二次根式的加减法对A 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断．【详解】A 、A 选项错误；B 、×=12，所以B 选项错误；C 、3，所以C 选项正确；D 、，不能合并，所以D 选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得： 20x +>，解得：2x >-．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．5．B解析：B【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案．【详解】（1（2），正确；（3）2＝22=，错误；（4）==故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．6．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．C解析：C【解析】故选C ．点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题. 8．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】与A 选项错误；===B 选项正确；321=-=，所以C 选项错误；与D 选项错误;故选答案为B．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 10．C解析：C【分析】根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．【详解】A、A错误；B=B错误；C3=，故选项C正确；D3=，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x≥11，|7﹣x＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．13．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.=aa+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.14．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时，．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．3【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6－的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.【详解】因为34<,所以263<-<,因为6x ,小数部分为y ,所以x =2, y=4-,所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.16．【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0时，=；当b ＜0时，=.故答案为：.解析：220202a b b a b b 当时当时⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0= 当b ＜0=故答案为：220202a b b a b b ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩当时当时. 17．-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x ＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是 解析：-2【详解】∵x+11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11x -=4，即2 =4，又∵1＜x＜2,∴，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.18．【解析】上述各式反映的规律是(n⩾1的整数),得到第5个等式为： (n⩾1的整数).故答案是： (n⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n⩾1的整数),得到第5==n⩾1的整数).=n⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n个等式.19．﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

初二数学二次根式试题答案及解析1.与﹣2的乘积是有理数的是（）A．﹣2B．C．2﹣D．+2【答案】D．【解析】∵-2的有理化因式为+2，∴与-2的乘积是有理数的是+2，故选D．【考点】分母有理化．2.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x≥1C．x≤﹣1D．x＞1【答案】B．【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，所以x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．故选B．【考点】二次根式有意义的条件．3.下列计算中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据二次根式的性质化简即可：A．，计算错误；B．，计算错误；C．，计算正确；D．，计算错误.故选C．【考点】二次根式化简.4.当时，二次根式的值为【答案】5.【解析】当时，.【考点】二次根式求值.5.计算：（1）；（2）【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）根据二次根式的性质化简计算.（2）根据分配律和完全平方公式展开后合并同类根式即可.（1）原式=.（2）原式=【考点】二次根式的计算.6.化简的结果 .【答案】【解析】写成分式的形式，然后分子、分母都乘以（1+），化简整理即可..【考点】分母有理化.7.方程的解是 .【答案】1【解析】先进行分母有理化，把所给方程化为一元一次方程，求出方程的解即可.分母有理化得：去分母整理得：；解得x=1.【考点】解一元一次方程.8.是整数，则最小的正整数a的值是。

【答案】5.【解析】由于45a=5×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a 为5．试题解析：45a=5×3×3×a，若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为5．考点: 二次根式的定义．9.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．10.比较下列各组数的大小:（1）与; （2）与.【答案】（1）＞（2）小于【解析】解：（1）因为,,所以.（2）因为,,所以.11.计算：______.【答案】13【解析】12.已知正数的两个平方根是和，则＝【答案】49．【解析】∵正数x的两个平方根是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，∴3m=12，m=4，∴m+3=7，即x=72=49．【考点】平方根．13. 9的平方根是（）A．3B．C．D．【答案】B.【解析】此题主要考查了平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．根据平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数就是数a的平方根．∵(±3)2=9，∴±3是9的平方根．故选B.【考点】平方根的定义.14.以下说法正确的是（）A．B．C．16的算术平方根是±4D．平方根等于本身的数是1．【答案】A．【解析】A．，正确；B．，故本选项错误；C．16的算术平方根是4，故本选项错误；D．平方根等于本身的数是1和0，故本选项错误．故选A．【考点】1．平方根；2．算术平方根．15.若，则的值为（）A．6B．2C．－2D．8【答案】B【解析】由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.非负数和等于零,要求每一项都要等于零,由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.【考点】非负数和等于零.16.如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】因为表示2，的对应点分别为C，B，所以CB=，因为点C是AB的中点，则设点A的坐标是x，则，所以点A表示的数是．故选C．【考点】实数与数轴．17.已知是实数，且，则（）A．31B．21C．13D．13或21或31【答案】C【解析】由可得，再结合二次根式有意义的条件即可求得x的值，最后代入代数式计算即可.∵∴解得∵即∴∴故选C.【考点】解一元二次方程，二次根式有意义的条件，代数式求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.18.（1）计算: ①；②÷（2）解方程：①；②【答案】（1）①；②；（2）①；②【解析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；（2）①先移项，方程两边同加一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解因式，最后根据直接开平方法求解即可；②先去括号，再移项、合并同类项，最后选择恰当的方法解方程即可. （1）①；②；（2）①解得；②解得.【考点】实数的运算，解一元二次方程点评：点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 19.下列实数:，3.14，，，，，，无理数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．∵∴无理数有，，共3个，故选B.【考点】无理数的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握无理数的三种形式，即可完成．20.请写出一个介于1与2之间的无理数： .【答案】【解析】此题答案不唯一，，，即此无理数只要存在于和之间即可【考点】无理数的定义点评：答案不唯一，此题考查学生对无理数概念的掌握，无理数，即无限不循环小数，且不能化成整数之比21.观察下面的等式：=7，=67，=667，则＝6667。

二次根式乘除练习题带答案二次根式乘除练习题带答案二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在学习代数时经常遇到的一个知识点。

在解决实际问题或进行数学推理时，我们经常需要对二次根式进行乘除运算。

为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，下面将给出一些练习题，并附带答案供大家参考。

练习题一：计算下列二次根式的乘积，并将结果化简为最简形式：1. √3 * √52. √6 * √83. √10 * √12答案：1. √3 * √5 = √(3 * 5) = √152. √6 * √8 = √(6 * 8) = √48 = √(16 * 3) = 4√33. √10 * √12 = √(10 * 12) = √120 = √(10 * 12) = √(4 * 3 * 10) = 2√30练习题二：计算下列二次根式的商，并将结果化简为最简形式：1. √20 / √42. √27 / √93. √50 / √10答案：1. √20 / √4 = √(20 / 4) = √52. √27 / √9 = √(27 / 9) = √33. √50 / √10 = √(50 / 10)= √5练习题三：计算下列二次根式的乘积或商，并将结果化简为最简形式：1. (√2 + √3) * (√2 - √3)2. (√5 - √7) * (√5 + √7)3. (√8 + √12) / (√2 + √3)答案：1. (√2 + √3) * (√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -12. (√5 - √7) * (√5 + √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -23. (√8 + √12) / (√2 + √3)= (√4 * 2 + √4 * 3) / (√2 + √3) = (2√2 + 2√3) / (√2 + √3) = 2通过以上练习题的解答，我们可以看到二次根式的乘除运算并不复杂。

专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】1.并能逆用法则进行化简2.逆用法则进行化简。

3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。

【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则1.（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1（2项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则2.二次根式的除法法则的推广注意：知识点4：最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a ＞0，b ＞0，c ＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解y x y x y +==+++)(x222xy 2（x ≥0，y ≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算： （1）×； （2）4×；（3）6×（﹣3）； （4）3×2．【变式1-1】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝ ． 【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（ ）A ．16B ．±16C ．4D ．±4 【变式1-3】（2022春•防城区期中）化简：＝ ．【变式1-3】计算：（1）×3（2）2×【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【变式2】（秋•新郑市校级月考）．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【变式3-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝．【变式3-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【变式3-3】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【考点4：最简二次根式】【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1B．C．D．（2022秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）【变式4-1】A．B．C．D．【变式4-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为．【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．【考点5：分母有理化】【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【变式5-1】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【变式5-2】（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝．【变式5-3】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】3.并能逆用法则进行化简4.逆用法则进行化简。

专题4 二次根式的运算与应用（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一二次根式的计算典例1（2022秋•渠县校级期末）化简：（1）（2．思路引领：（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．解：（1）×―=―＝6﹣＝6﹣―（2=2﹣3＝3+4+2﹣3＝6．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．变式训练1．（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）A．=B．×=C．=D÷=思路引领：先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．解：A．B．（2×3C．D+故选：B．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．2．（2022秋•2）20212）2020的结果是（ ）A．﹣1B2C．2D．1思路引领：先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．解：―2）2021+2）2020＝[―2）×+2）]2020×―2）＝（﹣1）2020×―2）＝1×2）=―2，故选：B．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．类型二与二次根式有关的化简求值例2 （2022秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a＝6＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．思路引领：根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可．解：错在第二步，原式＝2a+2a+|a﹣5|，∵a＝3＜5，∴a﹣5＜0，∴原式＝2a+（5﹣a）＝a+5，当a＝3时，原式＝3+5＝8．总结提升：=|a|，是正确解答的关键．变式训练1．（2022春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2―+(a+1)(a―1)，其中a=思路引领：利用二次根式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．解：2―a+1)(a―1)＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1＝a2+1﹣|a﹣2|，当a2+1﹣（2―＝2+1﹣2+＝1总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b ===2+a ＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．典例3 （2022秋•x =y =13．思路引领：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x 、y 化简，代入计算即可．解：原式2•＝x ﹣y ，当x(3=3﹣y ==原式＝（3﹣总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．变式训练1．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a b a ＝1，b ＝2．思路引领：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．解：4a b +=4a b +=4+∵a ＝1，b ＝2，∴原式=2―2．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．典例4（2022春•邹城市校级月考）先化简，再求值：（1）2（a +（a ―a （a ﹣6）+6，a 1．（2）已知a ＝2+b ＝2―，求a b ―b a的值．思路引领：（1）利用乘法公式展开，然后合并同类项，再把a 的值代入计算；（2）先计算出a +b 、a ﹣b 和ab 的值，再通分和平方差公式得到原式=(a b )(a b )ab，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）原式＝2（a 2﹣3）﹣a 2+6a +6＝2a 2﹣6﹣a 2+6a +6＝a 2+6a ，当a 1―1）2+61）＝2﹣―6＝―3；（2）∵a ＝2b ＝2∴a +b ＝4，ab ＝4﹣3＝1，a ﹣b ＝∴a b ―b a =a 2b 2ab =(a b )(a b )ab =总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．已知x =2―(7+x 2+(2+x +思路引领：先根据完全平方公式求出x 2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；解：∵x ＝2―∴x 2＝（2―2＝4﹣3＝7﹣则原式＝（（7﹣+（2（2―+＝49﹣48+4﹣3+＝2总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．类型三与二次根式有关的规律探究典例5（2022秋•新蔡县校级月考）发现①2＝ ，2＝ ；② ；= ；总结通过①②2（a≥0）与a a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用2的值．思路引领：发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．解：发现：①2＝2，2=2 3，故答案为：2，2 3；|2|＝2|―23|=23，故答案为：2，2 3；总结：2＝a（a≥0）=|a|=a(a≥0)―a(a＜0)；应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，2＝8．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及乘除法的计算法则是正确解答的前提．变式训练1．（2022秋•忻州月考）综合与实践小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．等式1等式2等式3等式4： ．（2）观察、归纳，得出猜想．n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．（3）应用运算规律．①×②=n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．思路引领：（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证；（3）①②利用（2）中的规律进行求解即可．解：（1==（2）猜想等式n=（n+1（n+1证明：等式左边==（n+1右边，故猜想成立；（3）①原式＝××＝100×200×××＝②n ＞0），符合上述规律，∴m 2﹣2m +1＝9，n ＝11，解得m ＝﹣2或4，∴m ﹣n ＝﹣13或﹣7．故答案为：﹣13或﹣7．总结提升：本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．典例6 （2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由―1)=11（2）由―=1，得1……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：1⋯+1)．思路引领：（1）根据已知算式得出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．解：（1）1n 为正整数）；（2―1++•+―1）―1）1）＝2019﹣1＝2018．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G •波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．==1+解决问题：（1=③①： ，②： ，③　．（2思路引领：（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成522，7看成222，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．解：（13则①＝5，②=③＝3+故答案为：①5；③3（2==＝5+2+＝7．总结提升：本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．类型四二次根式的应用典例1（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．思路引领：（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为，共4个面，即可得答案．解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：2=cm3），答：长方体盒子的容积为3；（2）长方体盒子的侧面积为：×4=24（cm2），答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．总结提升：本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．变式训练1．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为，宽为的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．（1，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？（2）求这个长方体盒子的侧面积．思路引领：（1）利用长方体的体积公式计算即可；（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）解：（1）无盖长方体盒子的体积为：（―×（×＝××＝cm3）；答：制作成的无盖长方体盒子的体积是3．（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：×4××（（＝256﹣8﹣168＝80（cm 2）；答：这个长方体盒子的侧面积为80cm 2．方法二，长方体盒子的侧面积为：（―×2+（―×2＝×××2＝24+56＝80cm 2．答：这个长方体盒子的侧面积为80cm 2．总结提升：本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式．典例2 （2022春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a ＞0，b ＞0时，有2=a ﹣b ≥0，∴a +b ≥a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ；当x ＜0时，x +1x 的最大值为 ．（2）当x ＞0时，求y =x 23x 25x的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为12和27，求四边形ABCD 面积的最小值．思路引领：（1）当x ＞0时，直接根据公式a +b ≥当x ＜0时，先将x +1x 变形为﹣（﹣x ―1s），再根据公式a +b ≥（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a +b ≥（3）根据等高三角形的性质计算即可．解：（1）当x ＞0时，x +1x≥=2；当x ＜0时，x +1x =―（﹣x ―1x），∵﹣x ―1x ≥2，∴﹣（﹣x ―1x ）≤﹣2，即x +1x≤―2．故答案为：2；﹣2；（2）当x ＞0时，y =x 23x 25x=x+25x +3≥3＝13，∴当x ＞0时，y 的最小值13；（3）设S △BOC ＝x ，∵S △AOB ＝12，S △COD ＝27，∴由等高三角形可得：S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，∴x ：27＝12：S △AOD ，∴S △AOD =324x，∴四边形ABCD 面积＝12+27+x +324x =39+x +324x≥75．总结提升：本题是四边形综合题，考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．针对训练1．（2021秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时，∵2=a ―+b ≥0，∴a +b ≥a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．（2）当m ＞0时，求m 25m 12m的最小值．（3）请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x 米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？思路引领：（1）根据阅读中的公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设所需的篱笆长为L 米，由题意得L ＝2x +200x，再阅读中的公式计算即可．解：（1）当x ＞0时，1x＞0，∴x +1x≥=2，∴x +1x的最小值为2．故答案为：2；（2）m 25m 12m=m +5+12m ，∵m ＞0，∴m +5+12m≥+5，∴m +5+12m ≥+5，即m 25m 12m ≥+5，∴m 25m 12m的最小值为+5；（3）设所需的篱笆长为L 米，由题意得L ＝2x +200x，由题意可知：2x +200x≥又∵=40，∴2x +200x≥40，∴需要用的篱笆最少是40米．总结提升：本题考查了配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．第二部分 专题提优训练1．下列计算正确的是（ ）AB =4C D ．25思路引领：应用分母有理化及二次根式的乘除法法则进行计算即可得出答案．解：A ==A 选项计算不正确，故A 选项不符合题意；B2，∴B 选项计算不正确，故B 选项不符合题意；C =C 选项计算正确，故C 选项符合题意；D ．∵255=D 选项计算不正确，故D 选项不符合题意；故选：C ．总结提升：本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除法，熟练掌握分母有理化及二次根式的乘除法法则进行求解是解决本题的关键．2．（2022春•+4x =13，y ＝4．思路引领：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=x 、y 的值代入计算．解：∵x =13＞0，y ＝4＞0，∴原式＝+―=当x =13，y ＝4时，原式总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．3．（2022春•呼和浩特期末）（12)0；（2）先化简，再求值：(3―2x 1)÷3x 2xx 1，其中x =+1．思路引领：（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．解：（1）原式＝11（2）原式＝（3x 3x 1―2x 1）•x 1x (3x 1)=3x 1x 1•x 1x (3x 1)=1x，当x +1时，原式=1=总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．4．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x ﹣1|+x ＝9．小明同学是这样计算的：解：|x ﹣1|+=x ﹣1+x ﹣10＝2x ﹣11．当x ＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x ﹣1|+=x ﹣1+10﹣x ＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x ﹣1|+=x ﹣1+x ﹣10（应为x ﹣1+10﹣x ）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a |=a (a ≥0)―a (a ＜0)．5．（2022春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x =13，求(1x )2x 1思路引领：原式利用二次根式化简，约分得到最简结果，由x 的值求出x ﹣1与1x的值，分别代入计算即可求出值．解：∵x =133﹣∴x ﹣1＝3﹣―1＝2﹣0，1x =则原式=(x 1)2x 1+|x 1|x (x 1)＝x ﹣1+(x 1)x (x 1)＝（x﹣1）―1 x＝2﹣（＝2﹣3﹣＝﹣1﹣总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①式①验证：式②验证：（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；（2）猜想　；（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．思路引领：（1）根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可；（2）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；（3）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质进行计算即可．解：（1）=（2）（3）证明：===总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．7．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．=1；=3；=6；=10；…根据上面的规律，解决问题：（1 ＝ ；（2n的代数式表示）．思路引领：（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；（2）利用（1）发现的规律解答即可．3中，1+2＝3，=6中，1+2+3＝6，=10中，1+2+3+4＝10，∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1=21．21；（2）由（1）中发现的规律可得：1+2+3+•+n=n(n1)2．总结提升：本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．8．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为82，2=2”=的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．思路引领：根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案．解：如图，大正方形的面积为2小正方形的面积为12，则小正方形的边长为观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，总结提升：此题主要考查了算术平方根，正方形的面积，利用已知结合相似图形的性质得出是解题关键．9．（2022春•周至县期末）在一个长为求剩余部分的面积．思路引领：根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．解：×―（2＝60﹣（60﹣5）＝60﹣―5＝（5）平方米，答：剩余部分的面积为（5）平方米．总结提升：本题考查了二次根式的应用，掌握（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2是解题的关键．10．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p =a b c2，那么三角形的面积为S =【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．思路引领：（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴p=47.58.52=10，∴S△ABC=15．即△ABC的面积为15；（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴AC2=42=16=644，BC2=(152)2=2254，AB2=(172)2=2894，∴AC2+BC2=644+2254=2894=AB2，∴∠C＝90°，∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15．总结提升：本题考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键．11．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 21+16 25+5 2（2）由（1）中各式猜想m+n与m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．思路引领：（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥m+n﹣联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为a 米，宽为b 米，需要篱笆的长度为（a +2b ）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．解：（1）∵4+3＝7，=∴72＝49，（2＝48，∵49＞48，∴4+3＞∵1+16=76＞1，1，∴1+16＞∵5+5＝10，=10，∴5+5＝故答案为：＞，＞，＝．（2）m +n ≥m ≥0，n ≥0）．理由如下：当m ≥0，n ≥0时，2≥0，2﹣2≥0，∴m ﹣n ≥0，∴m +n ≥（3）设花圃的长为a 米，宽为b 米，则a ＞0，b ＞0，S ＝ab ＝200，根据（2）的结论可得：a +2b ≥2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．总结提升：本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．。