2020-2021学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年长春市绿园区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知a为任何实数，那么下列各式一定有意义的是()A. √a2−1B. √a2+1C. √1(a−1)2D. √1(a+1)22.如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为()A. 1：16B. 1：8C. 1：4D. 1：23.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为()A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零4.标号为A、B、C、D的四个盒子中都装有一定数量的白球和黑球，如果分别从各盒子中任意取出一个球，取到黑球的概率最大的盒子是()A. 6个黑球和2个白球B. 4黑球和4个白球C. 3个黑球和4个白球D. 10个黑球和5个白球5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为()A. 24B. 25C. 26D. 306.△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，那么下列各式正确的是()A. ADDB =BFECB. ABAC=EFFCC. ADDB=BFFCD. AEEC=ADBF7.在△ABC中，已知∠B=90°，那么是∠A的……………………………………()A. 正弦；B. 余弦；C. 正切；D. 余切．8.二次函数y=−x2+2x的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当0<x<3时，化简√(2x+1)2−|x−5|的结果是．10.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过点A(1,−1)，B(−5,−1)两点．下列四个结论：①ab>0；②一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根在1和2之间；③当c=−11时，方程ax2+(b+1)x+c=−6的解是x1=−5，x2=0.5；④对于任意的实数m，总有am2+bm≥−b．其中正确的结论是______(填写序号)．11.当x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．12.如图，点A，B分别在x轴、y轴上，点O关于AB的对称点C在第一象限，将△ABC沿x轴正方向平上，连接BE交该双曲线于点G.若移k个单位得到△DEF(点B与E是对应点)，点F落在双曲线y=kx∠BAO=60°，OA=2GE，则k的值为______．13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)不等式ax2+bx+c>0的解集为______．(2)若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是______．(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是______．(k>0,x>14.如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kxOB，延长AC交y轴于点D，0)的图象上，点B，C在x轴上，OC=15连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.解方程(Ⅰ)2x2−4x−1=0(Ⅱ)(x+1)(x+3)=2x+6．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.计算：(4√2−3√6)×√8+|1−√3|.17.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，A(−2,4)，B(−2,0)，按要求解答下列问题：(1)以原点O为位似中心画出△A1OB1，使它与△AOB的相似比为3：2；(2)将Rt△A1OB1绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2OB2；(3)用点A1旋转到点A2所经过的路径与OA1、OA2围成的扇形做成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，求这个圆锥的高.(保留精确值)18.为了解中考体育科目训练情况，山东省阳信县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格)，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是______；(2)图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；(3)该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______；(4)测试老师想从4位同学(分别记为E、F、G、H，其中E为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．19.随着开学季的到来，我校观音桥校区旁水果超市生意火爆，老板发现甲、乙两种水果的销量很好，于是第一次果断购进甲、乙水果共200千克，甲种水果进价每千克5元，售价每干克8元；乙种每千克进价8元，每干克售价10元．(1)由于进货资金有限，第一次购进甲乙两种水果的金额不得超过1360元，则乙种水果至多购进多少千克？(2)由于学生数量庞大，甲、乙水果供不应求，开学一周甲乙水果随即售罄．超市决定第二次购进甲、乙水果，它们的进价不变．甲种进货量在(1)中甲的最少进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的售价和第一次相同，进货量为100千克，但是由于乙种水果不易存放，在销售过程中乙种水果损耗了其进货量的10%.结果第二次两种水果销售完后超市获利536.8元，求m的值．20.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？21.(1)操作发现：如图①，在正方形ABCD中，过A点有直线AP，点B关于AP的对称点为E，连接DE交AP于点F，当∠BAP=20°时，则∠AFD=______；(2)数学思考：如图②，若将“正方形ABCD中”改成“菱形”(且∠BAD=120°)，其他条件不变(∠BAP=20°不变)，则∠AFD=______；(3)类比探究：如图③，若将“正方形”改成“菱形”(且∠BAD=β)，其他条件不变，∠BAP=20°不变，则∠AFD=______请写出你的推导过程．22.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．(1)若AC=4，BC=2，求OE的长．(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中有，AD//BC，AD=16，OB=4，OA=，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒2个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它与在x轴的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t>0)．(1)填空：①M点坐标为___________，②在点P从M向B的运动过程中，PQ的长为____________(用含有t的式子表示)，③在点P从B向M的运动过程中，点P的坐标为__________(用含有t的式子表示)；(2)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，求出这个最大值，并直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由；(3)当点P从B向M的运动过程中，求△EPQ与重叠部分的面积S关于t的函数关系式，并注明t的取值范围．24. 已知二次函数y=ax2+bx−2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4,0)，且当x=−2和x=5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a、b的值；(2)如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，点F以每秒√5个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．参考答案及解析1.答案：B解析：解：当−1<a<1时，√a2−1无意义，A错误；a为任何实数，√a2+1有意义，B正确；当a=1时，√1(a−1)2无意义，C错误；当a=−1时，√1(a+1)2无意义，D错误，故选：B．根据分式有意义，分母不为0和二次根式的被开方数是非负数进行判断即可．本题考查的是分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0和二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.答案：D解析：解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，∴它们的相似比=√14=12．故选D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=√14，然后化简即可．本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3.答案：B解析：本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用平方根的定义可确定m的范围．解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．4.答案：A解析：解：A、摸到黑球的概率为66+2=34，B、摸到黑球的概率为44+4=12，C、摸到黑球的概率为33+4=37，D、摸到黑球的概率为1010+5=23，∵34>23>12>37，∴取到黑球的概率最大的盒子是A；故选：A．分别计算出每个选项中摸到黑球的概率可得答案．此题主要考查了概率公式，解答此题的关键是分别求出从4个盒子中摸到黑球的概率各是多少．5.答案：A解析：解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故选：A．由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．6.答案：C解析：解：∵DE//BC，∴ADDB =AEEC，所以D选项错误；∵EF//AB，∴AEEC =BFFC，∴ADDB =BFFC，所以A选项错误，C选项正确；∵EF//AB，∴EFAB =FCBC，∴ABBC =EFFC，所以B选项错误．故选：C．根据平行线分线段成比例定理，由DE//BC得到ADDB =AEEC，则可对以D进行判断；再由EF//AB得AEEC=BFFC，则ADDB =BFFC，于是可对A、C进行判断；由EF//AB得EFAB=FCBC，利用比例的性质可对B进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．7.答案：B解析：解：∵∠B=90°，∴cosA=．故选B．8.答案：B解析：解：∵y=−x2+2x，a<0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x=−2−2=1，而D的对称轴是x=0，∴只有B符合要求．故选：B．利用排除法解决：首先由a=−1<0，可以判定抛物线开口向下，去掉A、C；再进一步由对称轴x=−2−2=1，可知B正确，D错误；由此解决问题．本题考查了二次函数图象与性质，观察图象得到二次函数经过的点的坐标是解题的关键．9.答案：3x−4解析：试题分析：先根据二次根式的性质得出|2x+1|−|x−5|，再去掉绝对值符号，即可得出答案．∵0<x<3，∴√(2x+1)2−|x−5|=|2x+1|−|x−5|=2x+1−5+x=3x−4，故答案：3x −4．10.答案：①③④解析：解：把A 、B 两点坐标代入函数解析式可得：{a +b +c =−125a −5b +c =−1， 解得：{b =4a c =−1−5a， ∴y =ax 2+4ax −1−5a ，ab =a ×4a =4a 2>0，故①正确；把a =18代入ax 2+bx +c =0，即18x 2+14x −138=0，其正根为：x =√17−2>2，故②错误；当c =−11时，−11=−1−5a ，∴a =2，∴b =8，原方程可化为：2x 2+9x −5=0，解得：x 1=−5，x 2=0.5，故③正确；∵y =ax 2+4ax −1−5a =y =a(x +2)2−1−9a ，a >0，∴当x =−2时，函数有最小值−1−9a ，∴am 2+bm +c ≥−1−9a ，∴am 2+bm ≥−1−9a −c ，∵−1−9a −c =−1−9a −(−1−5a)=−4a =−b ，∴am 2+bm ≥−b ，故④正确；故答案为：①③④．把A 、B 两点坐标代入函数解析式可得b =4a ，c =1−5a ，根据a >0，可判断①；当a =18时，可得方程ax 2+bx +c =0的一个根大于2，可判断②；把c =−11代入后解方程，即可判断③；由am 2+bm ≥−b 可得am 2+bm +c ≥−b +c ，而−b +c =1−9a 正好是函数的最小值，可判断④． 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的解法等知识，难点是对②④的判断． 11.答案：2或−√3解析：本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．求出二次函数对称轴为直线x =m ，再分m ≤1，m >1两种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．解：二次函数对称轴为直线x=m，①m≤1时，当x=m时y取得最大值，即m2+1=4，解得m=±√3，∵m=√3不满足m≤1的范围，∴m=−√3；②m>1时，当x=1时y取得最大值，即−(1−m)2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=−√3或2时符合题意．故答案为2或−√3．12.答案：25√324解析：解：作CM⊥x轴于M，设OA=m，∵∠BAO=60°，∴OB=√3OA=√3m，∵点O、C关于AB的对称，∴∠BAC=∠BAO=60°，AC=OA=m，∴∠CAM=60°，∴AM=12AC=12m，CM=√32AC=√32m，∴C(32m,√32m)，∵将△ABC沿x轴正方向平移k个单位得到△DEF，∴F(k+32m,√32m)，∴OA=2GE，∴GE=12m，∴G(k−12m,√3m)，∵G、F在双曲线y=kx上，∴(k+32m)⋅√32m=(k−12m)⋅√3m，整理得m=25k，∴F(85k,√35k)，∴85k⋅√35k=k，解得k=25√324，故答案为25√324．设OA=m，解直角三角形求得OB=√3m，C(32m,√32m)，根据题意得出F(k+32m,√32m)，G(k−1 2m,√3m)，根据反比例函数系数k的几何意义得出k+32m)⋅√32m=(k−12m)⋅√3m，整理得m=25k，得出F(85k,√35k)，代入解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平移的性质，表示出F、G的坐标是解题的关键．13.答案：1<x<3x>2k<2解析：解：(1)依题意因为ax2+bx+c>0，得出x的取值范围为：1<x<3；(2)如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x>2；(3)由顶点(2,2)设方程为a(x−2)2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为(1,0)，(3,0)，∴a=−2，∴抛物线方程为y=−2(x−2)2+2，y=−2(x−2)2+2−k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k<2时，曲线与x轴有两个交点．故k<2．故答案为：(1)1<x<3；(2)x>2；(3)k<2．(1)看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；(2)在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；(3)得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．本题考查的是二次函数的图象与实际应用的综合题；采用数形结合的方法可使问题简化是解题关键．14.答案：6解析：解：设OC=a，则C(a,0)，∵OC=15OB，∴B(5a,0)，CB=4a，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则∠AEC =∠DOC =90°，∵∠ACE =∠DCO ，∴△COD∽△CEA ，∴OD AE =OC CE ， ∵AB =AC ，点A 在反比例函数图象上，∴A(3a,k 3a )，CE =2a ， ∴ODk 3a =a 2a ，∴OD =k 6a ，∵S △BCD =12⋅BC ⋅OD =12⋅4a ⋅k 6a =2，∴k =6．故答案为：6．设OC =a ，表示点B 、点A ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，得△COD∽△CEA ，结合△BCD 的面积求出k 的值．本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的性质和三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．15.答案：解：(Ⅰ)∵a =2，b =−4，c =−1，∴b 2−4ac =(−4)2−4×2×(−1)=24>0，∴x =4±2√64=2±√62， 即x 1=2+√62，x 2=2−√62；(Ⅱ) (x +1)(x +3)=2(x +3)(x +1)(x +3)−2(x +3)=0(x +3)(x −1)=0∴x 1=−3，x 2=1．解析：(Ⅰ)套用求根公式可得；(Ⅱ)因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键．16.答案：解：原式=4√2×√8−3√6×√8+√3−1=16−3√48+√3−1=16−12√3+√3−1=15−11√3解析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 17.答案：解：(1)如图，Rt △A 1OB 1即为所求作．(2)如图，Rt △A 2OB 2即为所求作．(3)A 1O =3√5L =90π×3√5180=3√52π，∴圆锥底面圆周长为3√52π， ∴圆锥底面圆半径R =3√52π2π=3√54， ∴圆锥的高ℎ=√(3√5)2−(3√54)2=15√34． 解析：(1)分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1即可．(2)分别作出A 1，B 2的对应点A 2，B 2即可．(3)Q 求出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理即可解决问题．本题考查位似变换，旋转变换，圆锥的有关计算等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．18.答案：(1)40；(2)54°；C 级的人数是：40−6−12−8=14(人)，如图：(3)900；(4)根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P(选中小明)=612=12．解析：解：(1)本次抽样测试的学生人数是：1230%=40(人)，故答案为：40；(2)根据题意得：360°×640=54°，答：图1中∠α的度数54°；C级的人数是：40−6−12−8=14(人)，如图：故答案为：54°，14；(3)根据题意得：=900(人)，4500×840答：不及格的人数为900人；故答案为：900；(4)见答案．(1)用B级的人数除以所占的百分比求出总人数；(2)用360°乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；(3)用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；(4)根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．19.答案：解：(1)设甲种水果购进x千克，根据题意得5x+8(200−x)≤1360，解得x≥80，则200−x≤120．答：乙种水果至多购进120千克；(2)根据题意，得80(1+2m%)[8(1+m%)−5]+100×(1−10%)×10−100×8=536.8，解得m1=15，m2=−102.5(不合题意舍去)，即m的值为15．解析：(1)设甲种水果购进x千克，根据第一次购进甲乙两种水果的金额不得超过1360元列出不等式，求解即可；(2)根据第二次共获利536.8元列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解或解集．20.答案：解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，，BC=100千在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=CDBC米，=50(千米)，∴CD=BC⋅sin30°=100×12BD=BC⋅cos30°=100×√3=50√3(千米)，2在直角△ACD中，AD=CD=50(千米)，=50√2(千米)，AC=CDsin45∘∴AB=50+50√3(千米)，∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC−AB=50√2+100−(50+50√3)=50+50√2−50√3≈35(千米)．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，，解得x≈0.54，经检验x≈0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建约0.54千米．解析：本题考查解直角三角形的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间−实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．β21.答案：45°30°90°−12解析：解：(1)如图①中，连接BF、作AH⊥AF交DE于H．当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=130°，∵AB=AE=AD，(180°−∠EAD)=25°，∴∠E=12∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°，故答案为45°(2)如图②中，连接BF、作∠FAH=120°交DE于H，当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAD=120°，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=160°，∵AB=AE=AD，(180°−∠EAD)=10°，∴∠E=12∴∠AFD=∠E+∠PAE=30°，故答案为30°；(3)如图③中，当∠BAD=β时，连接BF、作∠FAH=β交DE于H，当∠PAB=20°时，∵点E是点B关于AP的对称点，∴AB=AE，∠PAB=∠PAE=20°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAD=β，∴∠EAD=∠BAD+∠PAB+∠PAE=β+40°，∵AB=AE=AD，∴∠E=12(180°−∠EAD)=70°−12β，∴∠AFD=∠E+∠PAE=90°−12β，故答案为90°−12β；(1)先求出∠EAD，进而求出∠E，即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，求出∠E是解本题的关键．22.答案：解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5，∴OA=12AB=√5，∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴OEBC =OAAC，即OE2=√54，解得：OE=√52；(2)∠CDE=2∠A，理由如下：连接OC，如图所示：∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．解析：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解决问题的关键．AB=√5，(1)由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB=√AC2+BC2=2√5，得出OA=12证明△AOE∽△ACB，得出对应边成比例即可得出答案；(2)连接OC，由等腰三角形的性质得出∠1=∠A，由切线的性质得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，证出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论．23.答案：解：(1)①M(12,0)；②4t；③P(2t−4,0)(2)该最大值是4，能持续一个时段能，此时，4≤t≤5，理由如下，如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，作FN⊥OC 于点N，在平行四边形ABCD中，∵AD=16，∴BC=AD=16，易得四边形AONF为矩形，∴NF=OA=，∵△PEQ为等边三角形，∴BE=BC=16，∠EPC=60°，∴∠BFN=30°，在Rt△BFN中，NF=OA=，∴BN=NF=×=6，BF=2BN=12，∴AF=ON=OB+BN=4+6=10，在等边△EFG中，FG=EF=BE−BF=16−12=4，∴GD=AD−AF−FG=16−10−4=2，所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，恒为4，∴4≤t≤5；(3)①如图，当4≤t≤5时，设EQ与CD交于点I，作IH⊥OQ于点H，−S△ICG=60−6(t−4)⊃2;；S1=S梯形FPQG②如图，当5<t≤7时，S为梯形FPCD的面积，S2=−12t+114；③如图，当7<t≤8时，设EP与CD相交于点K，作KR⊥OC于点R，S为△KPC的面积，．解析：本题主要考查的是四边形的综合应用、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出图形是解题的关键．(1)①根据题意，求出BM=BC=8，即可求出OM的长，从而求得点M的坐标；②根据PQ=PM+ MQ即可求出PQ的长；③首先求出BP=2t−8，然后求出OP的长，即可求出点P的坐标；(2)由图可知，当t=4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，此后△EPQ沿射线BC平移，从而可求得t的取值范围；(3)分三种情况：①当4≤t≤5时，设EQ与CD交于点I，作IH⊥OQ于点H，S梯形FPQG的面积−△ICG 的面积；②当5<t≤7时，S为梯形FPCD的面积；③当7<t≤8时，设EP与CD相交于点K，作KR⊥OC于点R，S为△KPC的面积．解：(1)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=16，∵点M是BC的中点，∴BM=BC=8，∴OM=OB+BM=12，∴M(12,0)；故答案为(12,0)；②PQ=PM+MQ=2t+2t=4t；故答案为4t；③BP=2t−8，OP=BP+OB=2t−8+4=2t−4，∴P(2t−4,0)；故答案为P(2t−4,0)；(2)见答案；(3)见答案．24.答案：解：(1)由题意得{16a+4b−2=04a−2b−2=25a+5b−2，解得a=12,b=−32；(2)①抛物线解析式为y=12x2−32x−2，当y=0时，12x2−32x−2=0，解得x1=−1，x2=4，则B(−1,0)，当y=0时，y=12x2−32x−2=−2，则C(0,−2)∴OA=4，OB=1，OC=2∴AB=5，AC=2√5，BC=√5，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵AE=2t，AF=√5t，∴AFAE =ABAC=√52，又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，∴DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=√(√5t)2−(2t)2=t，∵点F在线段AC上时若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2∴AE=12AB，即2t=12×5，解得t=54；若D为直角顶点，如图3∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF= 90°∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF= 90°∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC∵OC ⊥BD ，∴OD =OB =1，∴AD =3，∴AE =32，解2t =32，解得t =34；综上所述，当t =34或t =54时，使得△DCF 为直角三角形；②当0<t ≤54时，重叠部分为△DEF ，如图1、图2，∴S =12×2t ×t =t 2； 当54<t ≤2时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH ⊥BE 于H ，设GH =a ，∵∠BGH =∠BCO =∠ODF ，而tan∠BCO =12，∴BH =12a ，DH =2a ，∴DB =2a −12a =32a ，∵DB =AD −AB =4t −5，即32a =4t −5，∴a =23(4t −5)， ∴S =S △DEF −S △DBG =12×2t ×t −12(4t −5)×23(4t −5)=−133t 2+403t −253．解析：解：(1)把A 点坐标代入解析式，再利用当x =−2和x =5时二次函数的函数值y 相等列方程，然后解方程组求出a 和b 即可；(2)①利用抛物线解析式确定B(−1,0)，C(0,−2)，再计算出AB =5，AC =2√5，BC =√5，则利用勾股定理的逆定理可证明△ABC 为直角三角形，接着证明△AEF∽△ACB 得到∠AEF =∠ACB =90°，所以△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处，根据折叠的性质得DE =AE ，且AD =2AE =4t ，EF =t ，讨论：若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，易得2t =12×5，解得t =54；若D 为直角顶点，如图3，证明∠ODC =∠OBC 得到BC =DC ，则OD =OB =1，所以2t =32，解得t =34；②讨论：当0<t≤54时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，直接利用三角形面积公式得到S=t2；当54<t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=a，利用正切的定义易得BH=12a，DH=2a，则DB=32a，所以32a=4t−5，则a=23(4t−5)，然后根据三角形面积公式，利用S=S△DEF−S△DBG可用t表示S．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、折叠的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；理解坐标与图形性质；会应用分类讨论的思想解决数学问题．。

2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．B．C．D．4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．18%B．20%C．36%D．40%5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4B．6.25C．7.5D．97．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）A．B．C．D．8.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y39.若二次函数的与的部分对应值如下表：x-2-10123y1472-1-2-1则当x=5时，y的值为（）A．-1B．2C．7D．1410.已知，则函数和的图象大致是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.方程x2＝3x根为．12.关于x的一元二次方程（x+3）2＝m有实数根，则m的值可以为（写出一个即可）．13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是m．14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′的长为．15.一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．17.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）第14题第16题第17题三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解方程：19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．⑴画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标；⑵在⑴的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．19.如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.如图，反比例函数和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．⑴求一次函数的表达式；⑵求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．22.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．⑴用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；⑵你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．23.新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：售价（元/件）150160170180日销售量（件）200180160140另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．注：日销售纯利润=日销售量×（售价-进价）-每日固定成本.（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）日销售纯利润为（元），求出与的函数表达式；（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；⑶在⑵的条件下，若OA＝18，求的长．25．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．⑴求抛物线解析式；⑵当点P运动到什么位置时，DP的长最大？⑶是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．惠城区2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷答案一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.C10.A二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.0，312.略（m即可）13.1014.15.6π16.417.②③④三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解：19.解：⑴如图所示，点A1的坐标是（1，﹣4）；……2分⑵∵点A（4，1），∴OA＝，∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：．……6分20.解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，……2分∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，……4分∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，∴OB＝……6分三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.解：⑴∵A（m，2m）在反比例函数图象上，∴2m＝，∴m＝1，∴A（1，2）．……2分又∵A（1，2）在一次函数y＝kx﹣1的图象上，∴2＝k﹣1，即k＝3，∴一次函数的表达式为：y＝3x﹣1．……4分⑵由解得或，∴B（﹣，﹣3）……6分∴由图象知满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞1．……8分22.解：树状图如图所示，……3分⑴共有16种等可能的结果数；……5分⑵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴P（甲胜）＝P（乙胜），∴这个游戏对双方公平．……8分23.解：(1)(3分)设一次函数的表达式为y=kx+b，将点(150,250)，(160,180)代入上式得解得故y关于x的函数解析式为y=-2x+500.(2)（2分）由题意得：=y(x-100)-2000=(-2x+500)(x-100)-2000=-2x2+700x-52000(3)（3分），∵-2＜0，∴有最大值，∴当175(元/件)时，的最大值为9250（元）．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.⑴证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠PBC，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝90°，∴BC是⊙O的切线；……4分⑵解：∵∠BAO＝25°，∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°……7分⑶解：由⑵得，∠AQB＝65°，∴∠AOB＝130°，∴的长＝的长＝＝．……10分25.解：⑴∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3……2分⑵过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝∵∴当时，DP的长最大此时，点P运动到坐标为（﹣，）.……6分⑶存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴E、P关于对称轴对称∴﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t∴＝﹣2﹣t∴PE＝|﹣|＝|﹣2﹣2t|……8分∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，如图(1)∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，如图(2)∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．……10分图(1)图(2)备用图。

吉林省长春市绿园区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在实数范围内，√x有意义，则x的取值范围是()A. x≥0B. x≤0C. x>0D. x<02.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是()。

A. (−2,−3)B. (2,−3)C. (2,3)D. (−2,3)3.下列各式中与√2是同类二次根式的是()A. √3B. √4C. √8D. √124.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y<6时，x的取值范围是()x…−2−1012…y…116323…A. −1<x<3B. −3<x<3C. x<−1或X>3D. x>35.如图l1//l2//l3，若ABBC =32，DF=10，则DE=()A. 4B. 6C. 8D. 96.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A. 4：9B. 2：5C. 2：3D. √2：√37.在平面直角坐标系中，将点(3,2)绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标为()A. (2,−3)B. (−2,3)C. (−3,2)D. (3,−2)8.已知二次函数y=ax2+2ax+b，当−5≤x≤−3时，y≥0；当−1≤x≤1时，y≤0.则b与a满足的关系式是()A. b=−15aB. b=−3aC. b=aD. b=6a二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√2×√3=________．10.一元二次方程4(x−1)2−9=0的解是__________．11.计算：−1+√4=______．12.一元二次方程2x2+3x−1=0的根的判别式△的值为________．13.如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．14.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y=−15(x+1)(x−7)的一部分，铅球落在A点处，则OA=________米．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：3√5+2√12−√20−12√32．16.解方程：(1)2(x−2)=3x(2−x)(2)x2−x−1=017.某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？18.一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字2，3，4，每个小球除数字不同外其他都相同，小颖先从口袋中随机摸出个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求小颖两次摸出的小球上的数字之和为6的概率．19.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯AB的长为6√2m，坡角∠ABE=45°，改造后的斜坡自动扶梯坡角∠ACB=15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长，(精确到0.1m，参考数据；sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27)20.已知y=(k+2)x k2+k−4+2x+3是二次函数，且函数图象有最高点．(1)求k的值和顶点坐标．(2)若图象与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，求△ABC面积．(3)若以AB为直径的圆D与y轴相交于点E，求点E的坐标．21.在4×4的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上．(1)在图1中画出与△ABC全等且以BC为公共边的格点三角形(不与△ABC重合)；(2)在图2中画出与△ABC相似(不全等)且以AC为公共边的格点三角形(画出一个即可)．22.已知等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过点A作AE//BC交BD的延长线于点E，∠CAE的平分线交BE于点F．(1)①如图1，若∠BAC=36°，求证：BD=EF；②如图，若∠BAC=60°，求BD的值；EF(2)如图2，若∠BAC=60°，过点D作DG//BC，交AB于点G，点N为BC中点，点P，M分别是GD，BG上的动点，∠MNP=60°，求证：AP=PN=MN．23.如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO为平行四边形，点C在x轴正半轴上，AB=10，BC=6，∠A=60°．(1)求B点坐标；(2)点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AB−BC向终点C运动，分别连接PO、BO，设△BPO的面积为S，点P运动时间为t，试写出S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接AC，当P在线段AB上，过P作PQ//AC交BC于Q，PQ交BO于点K，当PK：QC=7：6时，求四边形OPBQ的面积．24.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的函数表达式;(2)直接写出点C与点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：二次根式有意义的条件可知：x≥0．故选：A．根据二次根式有意义的条件可直接解答．本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子√a(a≥0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2.答案：A解析：解：抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标为(−2,−3)．故选：A．根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标为(−2,−3)．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，顶点式为y=a(x−ℎ)2+k，对称轴为直线x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k).3.答案：C解析：本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．先化简二次根式，再判定即可．解：A、√3与√2不是同类二次根式，B、√4=2，所以√4与√2不是同类二次根式，C、√8=2√2，所以√8与√2是同类二次根式，D、√12=2√3，所以√12与√2不是同类二次根式．故选C．4.答案：A解析：解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，x=3时，y=−6，所以，y <6时，x 的取值范围为−1<x <3． 故选：A ．根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x =3时，y =6，然后写出y <6时，x 的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y =6的另一个x 的值是解题的关键．5.答案：B解析：解：l 1//l 2//l 3， ∴AB BC=DE EF=32， 又∵DF =10， ∴DE =35DF =6， 故选：B ．根据平行线分线段成比例定理由l 1//l 2//l 3可以得出ABBC =DEEF =32，再根据条件就可以求出结论． 本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，解答时找准对应线段是解答的关键．6.答案：A解析：解：∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ：OA′=2：3， ∴DA ：D′A′=OA ：OA′=2：3，∴四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为：(23)2=49， 故选：A ．根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．7.答案：B解析：把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解：如图，点(3,2)绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标为(−2,3)．故选B．8.答案：B解析：本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过(−3,0)和(1,0)，再代入函数的解析式得到b=−3a求解．属中档题．先求出二次函数的对称轴为直线x=−1，可得函数过点(−3,0)和(1,0)，进而可解．解：二次函数y=ax2+2ax+b(a≠0)的对称轴为直线x=−1，∴x=−3和x=1时，y值相同，∵当−5≤x≤−3时，y≥0；当−1≤x≤1时，y≤0，∴函数过点(−3,0)和(1,0)，∴9a−6a+b=0，即：b=−3a，故选B．9.答案：√6解析：本题主要考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则计算即可．解：原式=√2×3=√6．故答案为√6．10.答案：x1=2.5 , x2=−0.5解析：本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．解：4(x−1)2−9=0，4(x−1)2=9，x−1=±1.5，x1=2.5 , x2=−0.5．故答案为x1=2.5 , x2=−0.5．11.答案：1解析：解：原式=−1+2=1．故答案为：1．直接利用二次根式的性质化简，进而求出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．12.答案：17解析：此题主要考查一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与根的判别式：△=b2−4ac，有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．解答此题由一元二次方程的根判别式为：△=b2−4ac，代入计算即可．解：依题意，一元二次方程2x2+3x−1=0，a=2，b=3，c=−1，∴根的判别式为：△=b2−4ac=32−4×2×(−1)=17.故答案为17．13.答案：47解析：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，∴使△ABC为直角三角形的概率是47．故答案为47．14.答案：7解析：本题考查了二次函数的解析式，二次函数在实际问题中的运用.把y=0时代入解析式y=−15(x+ 1)(x−7)，求出x的值即可．解：由题意，得当y=0时，0=−15(x+1)(x−7)，解得x1=−1(舍去)，x2=7．故答案为7．15.答案：解：3√5+2√12−√20−12√32=3√5+2×√22−2√5−12×4√2 =3√5+√2−2√5−2√2=√5−√2．解析：首先化简二次根式进而合并计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．16.答案：解：(1)∵2(x−2)=3x(2−x)，∴2(x−2)+3x(x−2)=0，∴(x−2)(3x+2)=0，∴x=2或x=−23(2)∵x2−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1，∴△=1+4=5，∴x=1±√5；2解析：(1)根据因式分解法即可求出答案；(2)根据公式法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．17.答案：20％解析：[分析]如果设平均每月增长的百分率是x，那么10月份的利润是2500(1+x)元，11月份的利润是2500(1+x)2元，而此时利润是3600元，根据11月份的利润不变，列出方程．[详解]解：设平均每月增长的百分率是x，依题意，得2500(1+x)2=3600，解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)．所以平均每月增长的百分率应该是20%．[点睛]本题主要考查了一元二次方程的应用，是平均增长率问题.解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量．18.答案：解：列表如下：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出小球上的数字之和为6的结果数为3，∴小颖两次摸出的小球上的数字之和为6的概率39=13．解析：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．利用列表法展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出小球上的数字之和为6的结果数，然后根据概率公式求解．19.答案：解：如图，过点A作AD⊥CE于点D，在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AB=6√2m，∴AD=AB⋅sin45°=6√2×√22=6(m)．在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=ADAC，∴AC=ADsin15∘=60.26≈23.1(m)，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．解析：先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．20.答案：解：(1)∵y=(k+2)x k2+k−4+2x+3是二次函数，∴k2+k−4=2，k2+k−6=0，∴(k+3)(k−2)=0，∴k=−3或k=2，∵函数图象有最高点，∴k+2<0，当k=−3时，k+2=−1<0，符合要求，当k=2时，k+2=4>0，不符合要求，舍去；∴二次函数解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为：(1,4)；(2)令y=0，则0=−x2+2x+3，解得x1=−1，x2=3，∴AB=4，当x=0时，y=3，∴OC=3×4×3=6；∴S△ABC=12(3)∵A(−1,0)，B(3,0)∴D(1,0)∵以AB为直径的圆D与y轴相交于点E，∴OD=1，DE=2，∴OE=√3，∴点E的坐标为(0,√3)或(0,−√3).解析：本题主要考查了二次函数的定义、二次函数上点的坐标以及数形结合思想和分类讨论思想的运用，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解决问题的关键．(1)根据二次函数的定义得出k2+k−4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2<0，即可得出k的值，利用k的值得出二次函数的解析式，利用顶点式求出二次函数顶点坐标；(2)求出(1)中抛物线与x轴、y轴的交点坐标，即可计算△ABC面积；(3)根据A、B的坐标，可知圆心D的坐标，根据勾股定理求出OE的长，可确定点E的坐标．21.答案：解：(1)如图1所示：(2)如图2所示：解析：(1)直接利用全等三角形的性质进而得出符合题意答案；(2)利用相似图形的性质进而得出答案．此题主要考查了相似变换以及全等三角形的判定，正确掌握相似图形和全等图形的性质是解题关键．22.答案：证明：(1)①∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BAC=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵AE//BC，∴∠ACB=∠EAC=72°，∠E=∠EBC=36°，∵AF平分∠CAE，∴∠EAF=∠DAF=36°，∴∠EAF=∠E，∴EF=AF，∵∠ADF=∠BAC+∠ABD=72°，∠AFB=∠E+∠FAE=72°，∴∠ADF=∠AFB，∴AF=AD，∴BD=EF；②∵AB=AC，∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，BD⊥AC∴BD=√3AD，∵AE//BC，∴∠ACB=∠EAC=60°，∠E=∠EBC=30°，∵AF平分∠CAE，∴∠EAF=∠DAF=30°，∴∠EAF=∠E，∴EF=AF，∵∠CAF=30°，∠ADF=90°，∴AF=2DF，AD=√3DF，∴AF=2√33AD，∴BDEF =BDAF=32；(2)如图2，连接BD，DN，GN，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，且BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°，AD=CD=12AC，AB=AC=BC，∵点N是BC中点，∴BN=NC=12BC=12AC=12AB，∴CN=CD，且∠C=60°，∴△CDN是等边三角形，∴DN=CD=AD，∠DNC=60°∵DG//BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，∠GDN=∠DNC=60°，∴∠ADG=∠GDN=60°，且AD=DN，PD=PD，∴△ADP≌△NDP(SAS)∴AP=PN，∵∠AGD=∠ADG=60°，∴AG=AD=12AC=12AB，∴BG=AG=12AB，∴BG=BN，且∠ABC=60°，∴△GBN是等边三角形，∴GN=BN，∠ABC=∠BGN=∠BNG=60°，∴∠DGN=180°−∠AGD−∠BGN=60°，∵∠MNP=∠BNG=60°，∴∠BNM=∠GNP，且BN=GN，∠ABC=∠DGN，∴△MBN≌△PGN(ASA)∴MN=PN，∴AP=PN=MN．解析：(1)①由平行线的性质和等腰三角形的性质可求∠E=∠EAF=36°=∠ABD=∠BAC，∠ADF=∠AFD=72°，可得BD=EF；②由直角三角形的性质和等边三角形的性质可得BD=√3AD，EF=AF=2√3AD，即可求解；3(2)如图2，连接BD，DN，GN，通过证明△ADP≌△NDP，△MBN≌△PGN，可得AP=PN，PN=MN，即可得结论．本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，是一道很好的中考题．23.答案：解：(1)如图1中，作BH⊥OC于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=10，∠BCO=∠A=60°，在Rt△BCH中，∵BC=6，∠BCH=60°，∴CH=1BC=3，BH=√3CH=3√3，2∴HO=7，∴B(7,3√3).(2)①如图2中，当0<t≤5时，S=12(10−2t)⋅3√3=−3√3t+15√3．②如图2−1中，当5<t≤8时，∵S平行四边形ABCO=OC⋅BH=BC⋅OM，∴OM=OC⋅BHBC =10×3√36=5√3，∴S=12⋅BP⋅OM=12(2t−10)⋅5√3=5√3t−25√3．(3)如图3中，作AM⊥OC于M．由△AMO≌△BHC，可知AM=BH=3√3，OM=CH=3，在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√(3√3)2+132=14，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AD=CD=7，∵PQ//AC，∴PBBA =BQBC=PKAD，∴10−2t 10=BQ 6=PK 7， ∴BQ =65(5−t)，PK =75(5−t)，∵PK ：QC =7：6，∴75(5−t)：[6−65(5−t)]=7：6， 解得t =52，∴S 四边形OPBQ =S 平行四边形ABCO −S △APO −S △OCQ=30√3−12×5×3√3−12×3×5√3 =15√3．解析：(1)如图1中，作BH ⊥OC 于H.在Rt △CBH 中，求出BH ，CH 即可解决问题；(2)分两种情形分别求解即可：①如图2中，当0<t ≤5时，②如图2−1中，当5<t ≤8时；(3)如图3中，作AM ⊥OC 于M.由PQ//AC ，可得PB BA =BQ BC =PK AD ，推出10−2t 10=BQ 6=PK 7，推出BQ =65(5−t)，PK =75(5−t)，由PK ：QC =7：6，可得75(5−t)：[6−65(5−t)]=7：6，解得t =52，根据S 四边形OPBQ =S 平行四边形ABCO −S △APO −S △OCQ ，计算即可；本题考查相似综合题、平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24.答案：解：(1)将点A(−1,0)和点B(3,0)代入y =−x 2+bx +c 中，得{−1−b +c =0−9+3b +c =0,解得{b =2c =3所以此抛物线的函数表达式为y =−x 2+2x +3．(2)当x =0时，y =3，所以点C 的坐标为(0,3)．因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，所以顶点D 的坐标为(1,4)．(3)设点P 的坐标为(x,y)(x >0,y >0)．由题意，得AB =3−(−1)=4，CO =3，直线BC 的函数表达式为y =−x +3．又E 为抛物线对称轴与直线BC 的交点，所以点E 的坐标为(1,2)，所以S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y．因为S△ABP=4S△COE，所以2y=4×32，解得y=3，由−x2+2x+3=3，解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2．所以点P的坐标为(2,3)．解析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程．(2)令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标．(3)设P(x,y)(x>0,y>0)，根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．。

2020—2021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=. 使△ADE与△ACB一定相似的是A．①②B．②③C．①③D．①②③2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为A．πB．2πC．3πD．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B．12C．14D．154．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点5. 如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是A．65°B．60°C．55°D．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是A．1802xx=+B．180xx=+C．802xx=+D．803xx=+cCBA7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是 A ．4 B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．10.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()214y x =--+的图象如图，将二次函数()214y x =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm.12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________. 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06x s ()y m ()182014O yx4O 1EDBCA二班一班成绩/分109876109876543201514. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接P A ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+--.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB=∠A ． （1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值． 图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B .（1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整； x /cm 0 1 2 3 4 5 61y /cm5.20 4.36 3.60 2.65 2.65 2y /cm5.204.564.224.244.775.606.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y ），（x ，y ），并画出函数y 的图象；y 2cm6543学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2. （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接 写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.图2图127. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点．（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P1（-1，0），P2（1，P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________．②点P在直线y b=+上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，．若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2020—202021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11+-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. …………………5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC =. ………………… 4分9=.∴5BF=. …………………5分∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB.∴CF DCBF BE=.∴45ABBE=. …………………6分20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ………………1分∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形.∴四边形DECO是矩形. ………………2分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO OC=.∵四边形DECO是矩形，∴DE OC=.∴2DE AO==. ………………3分∵DE∥AC，∴OAF DEF∠=∠.∵AFO EFD∠=∠，∴△AFO≌△EFD.∴OF DF=. ………………4分在Rt△ADO中，tanOAADBDO∠=.∴2DO=.∴DO=………………5分∴FO=∴AF===. ………………6分方法二：∴△AFO≌△EFD.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD=∴AE=∴AF =12AE. 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB =. ∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，y 2cm 65432∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分 （3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。

2019-2020学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（每小題3分，共24分）1．（3分）若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围正确的是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x≤﹣2D．x≥﹣2 2．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）3．（3分）下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125 4．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：x…0123…y…﹣5﹣5﹣9﹣17…则该函数的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=325．（3分）如图：已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝（）A．5B．3C．3.2D．46．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）A．3B．4C．6D．97．（3分）如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（1，﹣2）D．（﹣2，1）8．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3二、填空题（共6小題，满分18分，每小题3分）9．（3分）计算：2√3×√3=．10．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝1的解是．11．（3分）计算（√3）2+1的结果是．12．（3分）一元二次方程x2+3x＝0的根的判别式的值为．13．（3分）如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是．14．（3分）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点（4，3）为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（5分）计算：√18−2√18+14√3216．（6分）解方程：2x2＝4x﹣117．（6分）某工厂1月份的产值为50000元，3月份的产值达到72000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？。

2020-2021学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷1.使代数式√x−1有意义的x的取值范围是()A. x≥−1B. x>−1C. x≥1D. x>12.若△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的周长的比为()A. 2：1B. 4：1C. 1：2D. 1：43.若一元二次方程(x+6)2=64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=8，则另一个一元一次方程是()A. x−6=−8B. x−6=8C. x+6=8D. x+6=−84.在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是()A. 25B. 35C. 12D. 135.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m，则A，B之间的距离是()A. 5mB. 10mC. 20mD. 40m6.如图，a//b//c，AB=6，BC=2，DE=9，则EF的长为()A. 4B. 3C. 2.5D. 27.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，AB=5，则AC的长为()A. 5tanαB. 5cosαC. 5cosαD. 5sinα8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，使y≥−1成立的x的取值范围是()A. x≥−1B. x≤−1C. −1≤x≤3D. x≤−1或x≥39.计算：−(√5)2=______．10.一元二次方程x2−x−3=0根的判别式的值是______．11.二次函数y=−2(x−1)2−3的最大值是______ ．12.将一点A(1,2)向右平移2个单位得到一个对应点A′，则点A′的坐标是______．13.2x…−2−10123…y…830−103…则这个二次函数图象的对称轴是直线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是AC的动点，当∠BDC=______ °时，△ABC∽△BDC．15.计算：(√24−√6)÷√3+√1．216.解方程：3x2+6x−4=0．17.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．18.在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．19.某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：(1)求每次下降的百分率；(2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？20.图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度(结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)．21.如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过B，C两点．(1)求b，c的值；(2)若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内(不包括边上)，求m的取值范围．22.【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE//AC交BC于点E，则DE：BC=______ ．23.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿AC向终点C匀速运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒)．(1)用含t的代数式表示线段PQ的长度为______ ；(2)当点N落在线段BC上时，求t的值；(3)求S与t之间的函数关系式；(4)当点N恰好落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m,−2m+3)，过点A作y轴的平行线交二次函数y=x2的图象于点B．(1)点B的纵坐标为______ (用含m的代数式表示)；(2)当点A落在二次函数y=x2的图象上时，求m的值；(3)当m<0时，若AB=2.求m的值；(4)当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：使代数式√x−1有意义，则x−1≥0，解得，x≥1，故选：C．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴△ABC与△DEF的周长的比为2：1，故选：A．根据相似三角形周长的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵(x+6)2=64，∴x+6=8或x+6=−8，故选：D．利用直接开平方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，共5个球，∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是25．故选：A．根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可．此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．5.【答案】C【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB=2CD=20(m)，故选：C．根据三角形中位线定理解答即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵a//b//c，∴ABBC =DEEF，即62=9EF，∴EF=3．故选：B．利用平行线分线段成比例定理得到ABBC =DEEF，然后根据比例的性质可求出EF的长．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=ACAB，∴AC=AB⋅sinB=5sinα，故选：D．根据正弦的的原因列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．观察函数图象在y=−1上和上方部分的x的取值范围便可．【解答】解：由函数图象可知，当y≥−1时，二次函数y=ax2+bx+c不在y=−1下方部分的自变量x满足：−1≤x≤3，故选：C．9.【答案】−5【解析】【解答】解：−(√5)2=−5，故答案为：−5．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．本题考查了二次根式的性质，能熟记(√a)2=a(a≥0)是解此题的关键．10.【答案】13【解析】解：∵a=1，b=−1，c=−3，∴△=b2−4ac=1+12=13．所以一元二次方程x2−x−3=0根的判别式的值为13．故答案为：13．根据一元二次方程根的判别式△=b2−4ac即可求出值．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．11.【答案】−3【解析】解：y=−2(x−1)2−3，∵a=−2<0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为−3．故答案为−3．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a(x−k)2+ℎ，当a>0时，x=k时，y有最小值h，当a<0时，x=k时，y有最大值h．12.【答案】(3,2)【解析】解：将一点A(1,2)向右平移2个单位得到一个对应点A′，则点A′的坐标是(1+2,2)即(3,2)，故答案为：(3,2)．根据点的平移方法可得答案．此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．13.【答案】x=1【解析】解：∵x=0、x=2时的函数值都是0相等，∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．故答案为：x=1．由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．14.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠BDC=70°时，∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，∴△ABC∽△BDC．故答案为：70．根据题意得出∠ABC=∠C=70°，进而由∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，得出答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出∠ABC=∠C=70°是解题关键．15.【答案】解：原式=√24÷3−√6÷3+√22=2√2−√2+√2 2=3√22．【解析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16.【答案】解：a=3，b=6，c=−4，∴b2−4ac=62−4×3×(−4)=84，x=−6±√846=−3±√213，∴x 1=−3+√213，x 2=−3−√213．【解析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2−4ac =28，根据公式即可求出答案．本题主要考查对解一元二次方程−提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键． 17.【答案】解：(1)如图②，△DFE 为所作； (2)如图③，△A 1B 1C 1为所作．【解析】(1)利用网格特点和相似的判定，画出DE =√2，DF =4，EF =√10即可； (2)利用网格特点，延长AO 到A 1使A 1O =2AO ，延长BO 到B 1使B 1O =2BO ，延长CO 到C 1使C 1O =2CO ，从而得到△A 1B 1C 1．本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为(确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)．18.【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为5， 所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率=59．【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 19.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为x ， 依题意，得：2500(1−x)2=1600，解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8(不合题意，舍去)． 答：每次下降的百分率为20%． (2)1600×(1−20%)=1280(元)．答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．【解析】(1)设每次下降的百分率为x ，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)根据该种品牌手机9月份的售价=该种品牌手机8月份的售价×(1−下降率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，延长AD 交地面于点E ， ∵sin∠ABD =ADAB ，∴AD =92×0.94≈86.48， ∵DE =6，∴AE =AD +DE =92.5，∴把手A 离地面的高度为92.5cm ．【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，延长AD 交地面于点E ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 21.【答案】(1)∵正方形OABC 的边长为2， ∴点B 、C 的坐标分别为(2,2)，(0,2)，∵二次函数y =−x 2+bx +c 的图象经过B ，C 两点， ∴{2=−4+2b +c2=c，解得{b =2c =2；(2)由(1)可知抛物线为y =−x 2+2x +2， ∵y =−x 2+2x +2=−(x −1)2+3， ∴顶点为(1,3)， ∵正方形边长为2，∴将该抛物线向下平移m 个单位，使其顶点落在正方形OABC 内(不包括边上)，m 的取值范围是1<m <3．【解析】(1)根据正方形的性质得出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求解即可； (2)求得抛物线的顶点坐标，结合正方形的边长即可求得结论．本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象与几何变换，根据正方形的性质求出点B 、C 的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单． 22.【答案】1：6【解析】解：(1)连接DE ，如图①， ∵D 、E 分别为BC 、BA 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE//AC ，DE =12AC ， ∴△DEG∽△ACG ， ∴EG CG=DG AG=DE AC =12， ∴EG CG+EG =GDAG+GD =12+1，即GECE =GDAD =13；(2)∵D 、F 分别是边BC 、AB 的中点， ∴DGDA =13，BD =CD ， ∵GE//AC ，∴△DEG∽△DCA，∴DEDC =DGDA=13，即DC=3DE，∴BC=2CD=6DE，∴DE：BC=1：6．故答案为1：6．(1)连接DE，如图①，先利用三角形中位线的性质得到DE//AC，DE=12AC，则证明△DEG∽△ACG，利用相似三角形的性质得EGCG =DGAG=DEAC=12，然后利用比例的性质得到结论；(2)由(1)得DGDA =13，再证明△DEG∽△DCA，利用相似比得到DC=3DE，则BC=2CD=6DE．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．23.【答案】4t【解析】解：(1)∵AC2+BC2=25=AB2，∴∠C=90°，由题意可得AP=5t，∵sin∠A=BCAB =PQAP，∴45=PQ5t，∴PQ=4t，故答案为：4t；(2)如图1，∵PN//AB，∴PCAC =PNAB，∴3−5t3=4t5，∴t=1537；(3)当0<t≤1537时，S=PQ2=16t2，当1537<t<35时，如图2，∵PC =3−5t ，cos∠EPC =cos∠BAC =PC PE =35， ∴PE =53(3−5t)， ∴EN =PN −PE =4t −5+25t 3=37t 3−5， ∵tan∠FEN =tanB =FN EN =34， ∴FN =34×(37t3−5)=374t −154， ∴S =16t 2−12FN ⋅EN =−98524t 2+1854t −758， 综上所述：S ={16t 2(0<t ≤1537)−98524t 2+1854t −758(1537<t <35)； (4)如图3，过点N 作ND ⊥AC 于D ，NK ⊥BC 于K ，∵tan∠NPD =tanA =45，∴NDPN =45， ∴ND =165t ， ∴PD =125t ，∴NK =CD =3−5t −125t =3−375t ，当点N 在∠ABC 的平分线上时，且MN ⊥AB ，NK ⊥BC ，∴NM =NK ，∴3−375t =4t ，t=519，当点N在∠ACB的平分线上时，NK⊥BC，ND⊥AC，∴ND=NK，∴3−325t=165t，∴t=1553，综上所述：t的值为519或1553．(1)由三角函数可得BCAB =PQAP，即可求解；(2)由平行线分线段成比例可得PCAC =PNAB，即可求解；(3)分两种情况讨论，由面积关系可求解；(4)分两种情况讨论，由角平分线的性质可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的性质判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24.【答案】m2【解析】解：(1)根据题意知，点B的横坐标是m，∴将x=m代入y=x2，得y=m2．即点B的纵坐标为m2．故答案是：m2；(2)把A(m,−2m+3)代入y=x2，得−2m+3=m2．解得m1=−3，m2=1；(3)根据题意知：|−2m+3−m2|=2．①−2m+3−m2=2，解得m1=−√2−1，m2=√2−1．∵m<0，∴m=−√2−1，符合题意；②−2m+3−m2=−2，解得m1=−√6−1，m2=√6−1．∵m<0，∴m=−√6−1，符合题意．综上所述，m的值为−√2−1或−√6−1；(4)由(2)知，当点A、B重合时，点A的坐标是(−3,9)或(1,1)．设AB=d，当−3<m<0时，d=−2m+3−m2=−(m+1)2+4时，对称轴是直线m=−1且抛物线开口向下，∴线段AB的长度随m的增大而增大时，−3<m≤−1．当m>1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m>1．综上所述，m的取值范围是−3<m≤−1或m>1．(1)根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；(2)把点A代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；(3)根据等量关系AB=2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；(4)利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答．主要考查了二次函数综合题，注重培养二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.计算(−√6)2的结果是()A. −6B. 6C. ±6D. 362.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是()A. √6B. √12C. √20D. √83.一元二次方程x2−2x−1=0根的情况是()A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根4.将抛物线y=(x−1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5)5.下列说法正确的是()A. 可能性很小的事情是不可能发生的B. 可能性很大的事情是必然发生的C. 投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的D. 投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的6.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB=6，BC=3，DF=12，则DE的长为()A. 4B. 6C. 8D. 97.如图，电线杆的高度为CD=m，两根拉线AC与BC互相垂直(点A、点D、点B在同一条直线上)，若∠CAB=α，则拉线BC的长度可以表示为()A. msinαB. mcosαC. mtanαD. mcosα8.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是()B. b2−4ac>0C. 4a+2b+c>0D. 3b<2c二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为______ ．10.一元二次方程x2−7x=0的较大根为______ ．11.如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使AOCO =BODO=3，测得CD=36m，则池塘两端AB的距离为______ m.12.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB=4，BC=6，则EF的长为______ ．13.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为13，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6.则点C的坐标为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：√12−2sin60°⋅tan45°．雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．17.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？18.如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA=36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度.(精确到0.1m)【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73】19.图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．(1)在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB=1；3(2)在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB=1；(3)在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB=3．420.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线对应的函数关系式；(2)通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．21.如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE=∠ACB，BE交边AD于点E，交AC于点F．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若EF=1，E是边AD的中点，求边BC的长．22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容．结合图①，写出解题过程．【结论应用】(1)如图②，作图①中的△ABC斜边上高CD，求CD的长．(2)如图③，E是图②上线段AD上的点，连结CE，将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，连结A′B，直接写出四边形A′BCE的面积．23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD−DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t(s)(1)当点P在边AD上时，求PD的长(用含t的代数式表示)．(2)当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．(3)当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．(4)设F为线段BD上的点(点F不与点D、P重合)，当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2−x−32与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y=kx+b(k≠0)与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD=1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．(1)求直线AB对应的函数关系式；(2)当点P与点A重合时，求点E的坐标；(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：(−√6)2=6，故选：B．根据二次根式的乘方法则计算即可．本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：A、√6与√2被开方数不同，不是同类二次根式；B、√12=2√3与√2被开方数不同，不是同类二次根式；C、√20=2√5与√2被开方数不同，不是同类二次根式；D、√8=2√2与√2被开方数相同，是同类二次根式．故选：D．先化简，再根据同类二次根式的定义解答．本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．3.【答案】D【解析】解：∵△=(−2)2−4×(−1)=8>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5.【答案】D【解析】解：A、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误；B、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误；C、投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是随机事件，本选项说法错误；D、投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的，故本选项说法正确；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BE//CF，∴ABAC =DEDF，∵AB=6，BC=3，DF=12，∴66+3=DE12，解得：DE=8，故选：C．根据平行线分线段成比例定理得出ABAC =DEDF，再求出DE的长度即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC，∴BC=CDcos∠BCD =mcosα，故选：B．根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=CDBC，即可求出BC的长度．8.【答案】D【解析】解：A、由抛物线的开口方向向下知a<0，抛物线与y轴交于正半轴知c>0，则ac<0，故本选项结论正确．B、由抛物线与x轴有两个交点知b2−4ac>0，故本选项结论正确．C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点(2,0)的右侧，所以当x=2时，y>0，即4a+ 2b+c>0，故本选项结论正确．D、由抛物线的轴对称性质知，当x=3时，y<0，即y=9a+3b+c<0，且对称轴是直线x=−b2a =1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得3b>2c，故本选项结论错误；故选：D．抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．9.【答案】2245【解析】解：老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为2223+22=2245，故答案为：2245．用女生人数除以学生总数即为所求的概率．本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．10.【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x2−7x=0，即x(x−7)=0，∴解得x1=0，x2=7，∴此方程较大根是7，故答案为：7．首先提取公因式x得到x(x−7)=0，然后解两个一元一次方程求出方程的根即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．【解析】解：∵AOCO =BODO=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴ABCD =AOCO=BODO=3，∵CD=36m，∴AB=3CD=108米．故答案为：108．由题意可证明△AOB∽△COD，然后利用相似三角形的性质列式计算即可．考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，难度不大．12.【答案】1【解析】解：连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，在△BFA和△BFH中，{∠ABF=∠HBF ∠AFB=∠HFB FA=FH，∴△BFA≌△BFH(AAS)，∴BH=AB=4，∵AD=DB，AF=FH，∴DF=12BH=2，∴EF=DE−DF=1，故答案为：1．延长AF交BC于H，根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，证明△BFA≌△BFH，根据全等三角形的性质求出BH，结合图形计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13.【答案】(3,2)【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，相似比为13，EF=6，∴BC//EF，AB=BC=2，∴△OBC∽△OEF，∴OBOE =BCEF，即OBOB+6=13，解得，OB=3，∴点C的坐标为(3,2)，故答案为：(3,2)．根据位似图形的概念得到BC//EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质求出OB，根据点的坐标解答即可．本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．14.【答案】8【解析】解：由抛物线y=−x2+2x=−(x−1)2+1知，A(1,1)．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B=−3．则−x2+2x=−3，即x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1．∵BC⊥y轴，∴B(−1,−3)，C(3,−3)．∴BC=4．∴S△ABC=12×4×4=8．故答案是：8．根据抛物线解析式得到点A的坐标，易得点A到BC的距离、线段BC的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题时，运用了配方法求得抛物线的解析式，运用抛物线的对称性质求得点C的坐标．15.【答案】解：原式=2√3−2×√32×1=2√3−√3=√3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.【答案】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，∴P(小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片)=4．9【解析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：(8−2x)(5−2x)=18，整理，得：2x2−13x+11=0，．解得：x1=1，x2=112又∵5−2x>0，∴x<5，2∴x=1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．【解析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据题意得：∠EDA=36°，BE=CD=1.5m，DE=BC=18m，，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠EDA=AEDE∴AE=DE×tan36°≈18×0.73=13.14(m)，∴AB=AE+BE=13.14+1.5≈14.6(m)．答：建筑物AB的高度约为14.6m．【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △ADE 中，利用锐角三角函数定义求出AE ，即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 19.【答案】解：(1)答案不唯一，以下答案供参考．(2)答案不唯一，以下答案供参考．(3)如图所示：【解析】(1)在图①中，依据tan∠CAB =13，即可得到点C 的位置；(2)在图②中依据tan∠DAB =1，即可得到点D 的位置；(3)在图②中依据tan∠AEB =34，即可得到点E 的位置．本题考查了作图−运用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 20.【答案】解：(1)如图②中，A(4,0)，C(0,4)，设抛物线解析式为y =ax 2+k ，由题意，得{16a +k =0k =4，解得：{a =−14k =4， ∴抛物线表达式为y =−14x 2+4．(2)2+0.42=2.2，当x =2.2时，y =−14×2.22+4=2.79，当y =2.79时，2.79−0.5=2.29 (m)．答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m ．【解析】(1)设抛物线的函数关系式为y =ax 2+k ，找出函数图象上A 和C 的坐标，求出函数解析式即可；(2)根据题意，求出当x =2+0.42=2.2时，y 的值，根据车辆顶部与隧道的空隙不少于0.5米可得出等式，从而得出通过隧道车辆的高度的最大值．本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式等知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∵∠ACB =∠ABE ，∴∠EAF =∠EBA ，∵∠AEF =∠BEA ，∴△EAF∽△EBA ，∴EA ：EB =EF ：EA ，∴AE 2=EF ⋅BE ；(2)解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD =BC ，∵E 是边AD 的中点，∴BC =2AE ，∵AE//BC ，∴△EAF∽△BCF ，∴AE BC =EF BF =12，∴BF =2EF =2，∴BE =3，∵AE 2=EF ⋅BE =1×3=3，∴AE=√3，∴BC=2AE=2√3．【解析】(1)根据平行四边形的性质得AD//BC，则∠DAC=∠ACB，再证明∠EAF=∠EBA，于是可判断△EAF∽△EBA，然后利用相似比和比例的性质得到结论；(2)根据平行四边形的性质得AD=BC=2AE，再证明△EAF∽△BCF，利用相似比计算出BF=2，然后利用(1)的结论求出AE，从而得到BC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．22.【答案】解：【教材呈现】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得AB=2+AC2=√82+152=√289=17．sinA=BCAB =817，cosA=ACAB =1517，tanA=BCAC =815．【结论应用】(1)在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∵sinA=CDAC =817，∴CD=AC⋅sinaA=15×817=12017．(2)60．∵将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，∴AC=A′C=15，∠A=∠EA′C，∴tan∠A=tan∠EA′C=815，∵CD=12017，∴A′D=A′C−CD=15−12017=13517，∴ED=A′D⋅tan∠EA′D=13517×815=7217，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°，∴∠A=∠BCD，∴tan∠A=tan∠BCD=815，∴BD=CD⋅tan∠BCD=12017×815=6417，∴BE=DE+BD=7217+6417=8，∵BE⊥A′C，∴S四边形A′BCE =12×BE×A′C=12×8×15=60．【解析】【教材呈现】根据锐角三角函数的定义可求出答案；【结论应用】(1)在Rt△ACD中，根据sinA=CDAC =817可求出答案；(2)由折叠的性质得出AC=A′C=15，∠A=∠EA′C，求出ED的长，由直角三角形的性质得出tan∠A=tan∠BCD=815，可求出BD的长，则可求出BE的长，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=BCAC =√33．∴BC=√33AC=√3．在Rt△BCD中，∠C=90°，tan∠CBD=CDBC =√33．∴CD=√33BC=1．∴AD=2．∴PD=2−2t．(2)如图1中，当点E在边AB上时，PE=PD=AP．∴2t=1．∴t=12．∴当12≤t<1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．如图2中，当点E与点C重合时，AD+PD=AC．∴2t=3∴t=32．∴当1<t≤32时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．综上所述，当12≤t<1或1<t≤32时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．也可以写成：当12≤t≤32且t≠1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．(3)如图③，当0≤t<1时，四边形CPMB为轴对称图形，则CP=CB．∴3−2t=√3．解得t=3−√32．如图④，当1<t≤2时，四边形CAMN为轴对称图形，则AM=AC．∴2√3−√3(2−t)=3．解得t=√3．综上所述，满足条件的t的值为3−√32或√3．(4)如图5中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB=8：9时，可得DFDB =2√23，∴DF=4√23，如图6中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB=1：9时，可得DFDB =13，∴DF=23，如图7中，当DP的垂直平分线经过点F，且S△BFM：S△BDA=1：9时，可得12⋅BF⋅FM=19×12×2×√3，∴BF⋅√33BF=2√39，∴BF =√63， ∴DF =BD −BF =2−√63， 综上所述，DF =4√23或DF =23或DF =2−√63． 【解析】(1)解直角三角形求出PD ，即可解决问题．(2)求出点E 落在AB 上，t 的值，点E 与C 重合时，t 的值，即可判断．(3)分两种情形：如图③，当0≤t <1时，四边形CPMB 为轴对称图形，则CP =CB.如图④，当1<t ≤2时，四边形CAMN 为轴对称图形，则AM =AC.分别构建方程求解即可．(4)分三种情形：如图5中，当DE 的垂直平分线经过点F ，且S △DPF ：S △DAB =8：9时，如图6中，当DE 的垂直平分线经过点F ，且S △DPF ：S △DAB =1：9时，如图7中，当DP 的垂直平分线经过点F ，且S △BFM ：S △BDA =1：9时，分别求解即可．本题属于四边形综合题，考查了轴对称图形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当x =2时，y =12×22−2−32=−32．∴点B 的坐标为(2,−32)，当y =0时，12x 2−x −32=0．解得x 1=−1，x 2=3．∵抛物线y =12x 2−x −32与x 轴正半轴交于点A ，∴点A 的坐标为(3,0)．由题意，得{2k +b =−32,3k +b =0.， 解得{k =32,b =−92.， ∴直线AB 对应的函数关系式为y =32x −92．(2)当点P 与点A 重合时，m +1=3．解得m =2．∴2m =4．∵点D 的纵坐标为1．∴点E 的坐标为(4,1)．(3)将y =12x 2−x −32配方，得y =12(x −1)2−2． ∴抛物线的顶点坐标为(1,−2)． 由题意，得点E 的坐标为(2m,12m 2−1)．∵点E 在该抛物线上，∴12m 2−1=12(2m)2−2m −32． 解得m 1=2+√73，m 2=2−√73． 当2m <1时，即m <12，顶点(1,−2)在EF 的右边．∵m =2−√73<12，∴抛物线的顶点到EF 的距离为1−2m =1−2(2−√7)3=−1+2√73． 当2m >1时，即m >12，顶点(1,−2)在EF 的左边．∵m =2+√73>12， ∴抛物线的顶点到EF 的距离为2m −1=2(2+√7)3−1=1+2√73． 综上所述，抛物线的顶点到EF 的距离为−1+2√73或1+2√73． (4)当点F(2m,32m −3)在抛物线上时，32m −3=2m 2−2m −32，解得m =34或1，当E 在抛物线时时，m =2+√73，当点P 与A 重合时，m =2，观察图1，图2，图3可知，当34≤m <1或1<m ≤2+√73或m ≥2时，矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交． 也可以写成：当34≤m ≤2+√73或m ≠1或m ≥2时，矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交．【解析】(1)求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．(2)构建方程求解即可．m2−1).代入抛物线的解析式，构建方程求解即可．(3)由题意，得点E的坐标为(2m,12(4)求出三种特殊情形m的值，利用图象法判断即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊点，解决问题，属于中考压轴题．。

2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷1.√3×√5=( )A. √15B. √8C. 3√5D. 5√32.若sinα=12，则锐角α=( )A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°3.若3x=4y，则x y=( )A. 34B. 74C. 43D. 734.一元二次方程x2−8x+20=0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根5.若点(3,a)、(4,b)都在二次函数y=(x−2)2的图象上，则a与b的大小关系是( )A. a>bB. a<bC. a=bD. 无法确定6.在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是( )A. (−1,2)B. (2,−1)C. (1,−2)D. (−2,1)7.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则AD=( )A. 2B. 1C. 32D. 528.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα=3√1313，则满足条件的∠α是( )A. B. C. D.9.分母有理化1√2=______．10.抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线______．11.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______．12.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC=6cm，则线段DE=______cm．13.如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为______．14.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平x2，当水面的宽度AB为面直角坐标系，其函数关系为y=−11616米时，水面离桥拱顶的高度OC为______m.15.计算：√12−√9÷√3．16.解方程：2x2−4x+3=5．17.在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．18.学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？19.已知某二次函数的图象的顶点为(−2,2)，且过点(−1,3)．(1)求此二次函数的关系式．(2)判断点P(1,9)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．20.图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．②所画的两个三角形不全等．21.“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量(如示意图)和查阅资料，得到了以下信息：信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．信息三：测得DD′=20米，点D、D′、B在同一条直线上．信息四：参考数据：sin32.6°=0.54，cos32.6°=0.84，tan32.6°=0.64．请根据以上信息，回答下列问题：(1)在Rt△ACE中，AE=______(填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°)，CE=______(填0.54、0.84或0.64)．∴AECE设AE=x米，则CE=______(用含x的代数式表示)米，C′E=______(用含x的代数式表示)米．(2)在(1)的条件下，结合题中信息求出x的值．(3)“太阳鸟”的高度AB约为______(精确到0.1)米．22.(感知)如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90°.可知△DAP∽△PBC．(探究)如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，∠A=∠B=∠DPC．(1)求证：△DAP∽△PBC；(2)若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长；(应用)如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，连接CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．23.如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ.作线段PQ的垂直平分线交折线AC−CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG.设点P的运动时间为t(秒)．(1)用含t的代数式表示线段CP的长度为______．(2)当PQ与AB平行时，求t的值．(3)当△PEG是等腰三角形时，求t的值．(4)当CG=√13时，直接写出t的值．424.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)．(1)此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．(2)求此二次函数的关系式．(3)当−2≤x≤3时，求二次函数y=ax2+bx+2的最大值和最小值．(4)点P为二次函数y=ax2+bx+2(−3<x<1)图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作2PQ//x轴，点Q的横坐标为−2m−4.已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减)的图象只有1个公共点时，m的小．直接写出线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3<x<12取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：√3×√5=√3×5=√15．故选：A ．直接利用二次根式的乘法法则：√a ⋅√b =√ab(a ≥0,b ≥0)，即可得出答案．此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法法则是解题关键．2.【答案】A【解析】解：∵sinα=12，∵锐角α=30°．故选：A ．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3.【答案】C【解析】解：∵3x =4y ，∴除以3y ，得3x 3y =4y 3y ，即x y =43，故选：C ．根据比例的性质求出答案即可．本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果a b =c d ，那么ad =bc ． 4.【答案】B【解析】解：根据题意可得，a =1，b =−8，c =20．∵△=b 2−4ac =(−8)2−4×1×20=−16<0，∴一元二次方程无实数根．故选：B．利用一元二次方程根的判别式(△=b2−4ac)判断方程的根的情况．①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵y=(x−2)2，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=2，∵2<3<4，∴a<b，故选：B．根据二次函数的性质即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，所以OB1=OB=2，A1B1=AB=1，所以点A1的坐标是(−1,2)．故选：A．将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1=OB=2，A1B1=AB=1，从而得到点A1的坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．7.【答案】B【解析】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CD CB =CBCA，即CD√6=√63，∴CD=2，∴AD=AC−CD=3−2=1．故选：B．由∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3可证明△CBD∽△CAB，由此可得CDCB =CBCA，代入可求得CD，即可得到AD．本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出△CBD∽△CAB是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图1，∵AB=2，BC=3，∴AC=√22+32=√13，∴cosα=ABAC =2√13=2√1313，如图2，由上得：AC=√13，AB=3，∴cosα=ABAC =3√13=3√1313，cosα=2√5=2√55，如图4，cosα=√3+1=√10=3√1010故选：B．求出α的邻边和斜边，根据cosα=α的邻边斜边求得．本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数定义．9.【答案】√22【解析】解：√2=√2√2×√2=√22．分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为√2，因此将分子、分母同乘以√2，消去分母中的根式即可．本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式解决此类题的关键．10.【答案】x=1【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2，∴此函数的对称轴就是直线x=1．故答案为x=1．由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．本题考查了二次函数的性质．11.【答案】1000(1+x)2=1210【解析】解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，依题意得：1000(1+x)2=1210，故答案为：1000(1+x)2=1210．设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用五月份的产量=三月份的产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×6=3(cm)，故答案为：3．根据三角形中位线定理解答即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13.【答案】1：4【解析】解：根据网格可知：AB//CD，AB=√2，CD=2√2，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，∴S△ABO：S△CDO=(AB：CD)2，∴S△ABO：S△CDO=(√2：2√2)2=1：4，故答案为：1：4．△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．14.【答案】4【解析】解：∵水面的宽度AB为16米∴B的横坐标为8，把x=8代入y=−116x2，得y=−4，∴B(8,−4)，∴OC=4m．水面离桥拱顶的高度OC为4m．故答案为：4．根据题意，把x=8直接代入解析式即可解答．此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法和联系实际是解决问题的关键．15.【答案】解：√12−√9÷√3=2√3−√3=√3．【解析】根据二次根式的除法和减法可以解答本题．本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的除法和减法的运算法则．16.【答案】解：原方程可化为：2x 2−4x−2=0，∵a=2，b=−4，c=−2，∴b 2−4ac=(−4)2−4×2×(−2)=32>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =4±√322×2=1±√2．∴x 1=1+√2，x 2=1−√2．【解析】先求出Δ的值，再代入求根公式计算即可．此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出Δ的值，注意Δ≥0．17.【答案】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一次摸出的两个球都是红球的结果数为6，所以一次摸出的两个球都是红球的概率=612=12．【解析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一次摸出的两个球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．18.【答案】解：设道路的宽为xm，依题意有(32−x)(20−x)=540整理，得x2−52x+100=0．∴(x−50)(x−2)=0，∴x1=2，x2=50(不合题意，舍去)答：小道的宽应是2m．【解析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为(32−x)m，宽为(20−x)m.根据长方形面积公式即可求出道路的宽．本题应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)由顶点(−2,2)，可设抛物线为：y=a(x+2)2+2，将点(−1,3)代入上式可得：(−1+2)2a+2=3，解得a=1，所以二次函数的关系式y=(x+2)2+2=x2+4x+6．(2)点P(1,9)不在这个二次函数的图象上，理由如下：把x=1代入y=x2+4x+6得，y=1+4+6=11≠9，∴点P(1,9)不在这个二次函数的图象上．【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)利用顶点式求解二次函数解析式即可．(2)把x=1代入函数的解析式求得函数值即可判断．20.【答案】解：如图②③中，△DEF即为所求．【解析】根据相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】tan32.6°0.64x0.64x36.8【解析】解：(1)在Rt△ACE中，∵tan∠ACE=AECE，∴tan32.6°=AECE=0.64．设AE=x米，∴CE=AE0.64=x0.64．∵∠AC′E=45°，AE⊥CE，∴C′E=AE=x．故答案为：tan32.6°，0.64，x0.64，x．(2)∵CE−C′E=CC′，CC′=DD′，∴x0.64−x=20．解得x=3209．∴x的值为3209米．(3)∵CD=BE，∴AB=AE+BE=3209+1.2≈35.56+1.2=36.76≈36.8(米)．故答案为：36.8．(1)在Rt△ACE中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；(2)用含x的代数式表示出CE、C′E，再利用线段的和差关系得方程，求解即可；(3)利用线段的和差求出AB．本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．22.【答案】(1)证明：∵∠DPB是△APD的外角，∴∠DPB=∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB=∠A+∠PDA，∵∠A=∠DPC，∴∠PDA=∠CPB，∵∠A=∠B，∴△DAP∽△PBC；(2)解：∵△DAP∽△PBC，∴PD PC =APBC，∵PD=4，PC=8，BC=6，∴4 8=AP6，解得：AP=3；(应用)∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP>∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB−PB=12−8=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴AC BP =APBE=PCEP，即8PB=12−PBBE=PB8−BE，解得：PB=163，∴AP=AB−PB=203，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或203．【解析】(1)根据三角形的外角性质得到∠DPB=∠A+∠PDA，得到∠PDA=∠CPB，根据相似三角形的判定定理证明结论；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；(应用)证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．23.【答案】4−2t【解析】解：(1)∵动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，∴AP=2t，∴CP=4−2t，故答案为：4−2t；(2)由题意得：CQ=t，CP=4−2t，∵PQ//AB，∴CP CA =CQCB，∴4−2t4=t3，解得：t=65，答：当PQ与AB平行时，t=65；(3)由题意得：∠PGE=90°，当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，当点E在AC上，∠CPQ=45°，∴△PCQ是等腰直角三角形，∴CP=CQ，此时点E和点C重合，∴t=4−2t，解得：t=43，答：当△PEG是等腰三角形时，t=43；(4)∵点G是PQ中点，∠PCQ=90°，∴PQ=2CG=2×√134=√132，∵CQ=t，CP=4−2t，∴t2+(4−2t)2=(√132)2，化简得：20t2−64t+51=0，解得：t=32或1710，∵0<t<2，都符合题意，当CG=√134时，t=32或1710．(1)由题意得CP=4−2t；(2)由题意得：CQ=t，CP=4−2t，根据PQ//AB，得4−2t4=t3，解方程即可；(3)由题意得：∠PGE=90°，当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，分析出△PCQ 是等腰直角三角形，t=4−2t，解方程即可；(4)由题意PQ=2CG=2×√134=√132，根据勾股定理得t2+(4−2t)2=(√132)2，解得：t=32或1710．本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，解题关键是利用等量关系得方程．24.【答案】2【解析】解：(1)在y =ax 2+bx +2中，令x =0得y =2， ∴二次函数的图象与y 轴的交点的纵坐标为2， 故答案为：2；(2)将A(−3,0)和B(1,0)代入y =ax 2+bx +2得： {0=9 a −3b +20=a +b +2，解得{ a =−23b =−43， ∴二次函数的关系式为y =−23x 2−43x +2； (3)∵y =−23x 2−43x +2=−23(x +1)2+83， ∴抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x =−1， ∵−2<−1<3，且−1<0，∴当−2≤x ≤3时，二次函数y =−23x 2−43x +2在x =−1时取得最大值，最大值是83，而|−2−(−1)|<|3−(−1)|，∴x =3时，二次函数y =−23x 2−43x +2在x =3时取得最小值，最小值是−8，∴当−2≤x ≤3时，二次函数y =−23x 2−43x +2最大值是83，最小值是−8， (4)PQ =|−2m −4−m|=|−3m −4|，当−3m −4>0时，PQ =−3m −4，PQ 的长度随m 的增大而减小， 当−3m −4<0时，PQ =3m +4，PQ 的长度随m 增大而增大， ∴−3m −4>0满足题意，解得m <−43，①P 到对称轴直线x =−1的距离为−1−m ，当PQ <2(−1−m)时，线段PQ 与二次函数y =ax 2+bx +2(−3<x <12)的图象只有1个公共点，如图：∴−3m −4<2(−1−m)， 解得m >−2， ∴−2<m <−43， ②如图：x =12时，y =−23x 2−43x +2=76，在y =−23x 2−43x +2中，令y =76得−23x 2−43x +2=76， 解得x =12或x =−52，∴当−3<m <−52时，线段PQ 与二次函数y =ax 2+bx +2(−3<x <12)的图象只有1个公共点．综上所述，线段PQ 与二次函数y =ax 2+bx +2(−3<x <12)的图象只有1个公共点，m 的范围是−2<m <−43或−3<m <−52．(1)令x =0得y =2，即可得答案； (2)用待定系数法即可得答案；(3)求出抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x =−1，由|−2−(−1)|<|3−(−1)|，计算顶点坐标及x =3时的函数值，即可得答案；(4)PQ =|−2m −4−m|=|−3m −4|，由PQ 的长度随m 的增大而减小，得m <−43，①P 到对称轴直线x =−1的距离为−1−m ，当PQ <2(−1−m)时，线段PQ 与二次函数y =ax 2+bx +2(−3<x <12)的图象只有1个公共点，故−3m −4<2(−1−m)，即得−2<m <−43，②x =12时，y=−23x2−43x+2=76，在y=−23x2−43x+2中，令y=76得x=12或x=−52，故当−3<m<−52时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3<x<12)的图象只有1个公共点．本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，数形结合解决问题．。

2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷1.方程x2−2x=0的根是()A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−22.抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为()A. (3,0)B. (0,−1)C. (2,−1)D. (0,3)3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是()A. 6个B. 14个C. 20个D. 40个4.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED的面积为()A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 6√35.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上.若∠1=55°，则∠2的大小为()A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°6.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,m)，且OP与x轴正，则m的值为()半轴的夹角α的正切值是43A. 5B. 4C. 3D. 947.如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为()A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6(x+3)2+k经过坐标原点O，与x轴的8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23另一个交点为A.过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为()A. 18B. 12C. 9D. 69.计算：tan245°+1=______ ．10.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．11.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠C的大小为______．12.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，AE：AD=2：3，BE与AC交于点F.若AC=20，则AF的长为______ ．13.圆心角为90°的扇形如图所示，过AB⏜的中点C作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E.若半径OA=2，则图中阴影部分图形的面积和为______ ．14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+5−t=0(t为实数)在−1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围为______ ．15.解方程：x2−4x−3=0．16.有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机摸出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．17.图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画出线段AB的中点C；(2)在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD=4：5．18.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米.求该建筑物的高度BC(精确到1米)．[参考数据：sin63°=0.89，cos63°=0.45，tan63°=1.96]19.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标．(3)点(x1,y1)、(x2,y2)均在此抛物线上，若x1>x2>4，则y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．20.如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，∠A=30°，求DC⏜的长.(结果保留π)21.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元)152030…y(袋)252010…(1)若日销售量y(袋)是每袋的销售价x(元)的一次函数，求y与x之间的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w(元)；①求w与x之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？(x−1)2−2与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，第一象限22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12内的点C在该抛物线上．(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若△ABC的面积为12，求点C坐标；(x−1)2−2>mx+n时，直接写出x的取值范围．(3)在(2)问的条件下，直线y=mx+n经过点A、C.当1223.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止.设点P的运动时间为t(t>0)秒．(1)求BC的长；(2)用含t的代数式表示线段QM的长；(3)设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；(4)连接QN，当QN与△ABC的一边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，将函数y=x2−2mx+4m(m为常数)的图象记为G，图象G的最低点为P(x0,y0).(1)当m=0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．(2)当y0=−1时，求m的值．(3)求y0的最大值．(4)当m>0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2−2x=0x(x−2)=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．2.【答案】D【解析】解：令x=0，则y=3，∴抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为(0,3)．故选：D．令x=0，求出y的值即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1−15%−35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20(个)．故选：C．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=60°，又∵DE为中位线，∴DE=12BC=2，BD=12AB=2，DE//BC，∴DF=BD⋅sin∠B=2×√32=√3，∴四边形BCED的面积为：12DF×(DE+BC)=12×√3×(2+4)=3√3．故选：B．过点D作DF⊥BC于点F.根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DF=√3，再利用梯形的面积公式求出四边形BCED的面积．此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据DE为中位线，得出DF=√3是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：连接OE，如图，∵∠AOE=2∠1=2×55°=110°，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−110°=70°，∵∠BOE=2∠2，∴∠2=12×70°=35°．故选：C．连接OE，如图，先利用圆周角定理得到∠AOE=2∠1=110°，则利用邻补角计算出∠BOE=70°，然后再利用圆周角定理计算∠2的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.【答案】B【解析】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中，tanα=PHOH =43，∵P(3,m)，∴OH=3，PH=m，∴m3=43，∴m=4，故选：B．如图，过点P作PH⊥x轴于H.根据正切函数的定义求解即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接OM，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG=120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM=60°，OM=OF，∴△OFM是等边三角形，∴OM=OF=FM=2√2．则⊙O的半径为2√2．故选：C．连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8.【答案】A【解析】解：把(0,0)代入y=−23(x+3)2+k，得−23(0+3)2+k=0，解得k=6，∴抛物线解析式为y=−23(x+3)2+6，∴B点坐标为(−3,6)，∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．故选：A．先把原点坐标代入解析式，求出k的值，得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9.【答案】2【解析】解：tan245°+1=12+1=1+1=2．故答案为2．把tan45°=1代入原式计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键，比较简单．10.【答案】k>1【解析】解：根据题意得△=b2−4ac=22−4k<0，解得k>1．故答案为：k>1．根据判别式的意义得到△=22−4k<0，然后解不等式即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△= 0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．11.【答案】120°【解析】解：根据题意得∠A+∠C=180°，所以∠C=180°−60°=120°．故答案为：120°．根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠A的度数代入计算即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．12.【答案】8【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFFC，∵AE：AD=2：3，∴AFFC =23，∴AFAC =25，又∵AC=20，∴AF=8，故答案为：8．由平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，可证△AEF∽△CBF，可得AEBC =AFFC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键．13.【答案】π−2【解析】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC，在△COD与△COE中，{∠CDO=∠CEO ∠DOC=∠EOC OC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=2，∴OE=√2，∴图中阴影部分的面积=90π×22360−√2×√2=π−2．故答案为：π−2．根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．14.【答案】4≤t<13【解析】解：∵y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1，∴b=−2，∴y=x2−2x+5，∴一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+5与函数y=t的有交点，∵方程在−1<x<4的范围内有实数根，当x=−1时，y=8；当x=4时，y=13；函数y=x2−2x+5在x=1时有最小值4；∴4≤t<13．故答案为4≤t<13．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+5，将一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y= x2−2x+5与函数y=t的有交点，再由−1<x<4的范围确定y的取值范围即可求解．本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15.【答案】解：移项得x2−4x=3，配方得x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=√7，开方得x−2=±√7，∴x1=2+√7，x2=2−√7．【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．16.【答案】解：根据题意得：∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是26=13．故答案为：13．【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)如图，点C即为所求作．(2)如图，点D即为所求作．【解析】(1)取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作．(2)取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求作．本题考查作图−应用与设计，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：在△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=80(米)，在△ACD中，∠ADC=90°，∴CD=AD⋅tan63°=80×1.96≈156.8(米)，∴BC=BD+CD=80+156.8=236.8≈237(米)，答：该建筑物的高度BC约为237米．【解析】根据题意可得BD=AD=80(米)，再根据锐角三角函数求解即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)，∴{4a+2b=436a+6b=0解得{a=−12 b=3∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=−12x2+3x(2)因为y=−12x2+3x=−12(x−3)2+92，该抛物线开口向下．顶点坐标为(3,92).(3)<．【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)∵x1>x2>4，对称轴为x=3，a=−12<0∴y1<y2故答案为：<．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．(3)根据二次函数的性质求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.【答案】(1)证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠ODB=∠A，∴OD//AC，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：∵BC =4，∴OB =2，∵∠B =∠A =30°，∴∠DOC =60°，∴DC ⏜的长为60π⋅2180=23π．【解析】(1)连接OD ，由平行线的判定定理可得OD//AC ，利用平行线的性质得∠ODE =∠DEA =90°，可得DE 为⊙O 的切线；(2)求出∠DOC =60°，由弧长公式可得出答案．本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 21.【答案】解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y =kx +b 得 {20k +b =2030k +b =10，解得{k =−1b =40， 故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y =−x +40；(2)①依题意，设利润为w 元，得w =(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400；②w =−x 2+50x −400=−(x −25)2+225；∵−1<0∴当x =25时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可；(2)利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22.【答案】解：(1)令y =0，则12(x −1)2−2=0，解得x 1=−1，x 2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB =4，∵S △ABC =12AB ⋅y C =12，∴12×4×y C=12，解得y C=6，∴12(x−1)2−2=6，解得x1=5，x2=−3(不符题意，舍去)，∴C(5,6)；(3)由图象可知，当12(x−1)2−2>mx+n时，x的取值范围是x<−1或x>5，【解析】(1)令y=0，然后解方程即可求得；(2)根据三角形ABC的面积求得C的纵坐标，代入解析式即可求得C的坐标；(3)根据图象即可求得．本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，(2)∵sinB=ACAB =PQBP，BP=5t，∴610=PQ5t，∴PQ=3t，在Rt△PQB中，BQ=√PB2−PQ2=4t，当点M与点Q相遇，10=4t+6t，∴t=1，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，∴MQ=10−4t−6t=10−10t，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，∴MQ=4t+6t−10=10t−10，综上所述：当QM的长度为10−10t或10t−10；(3)当0<t<1时，S=3t×(10−10t)=−30t2+30t；当1<t≤85时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN=QM=10t−10，PQ=3t，PN//AB，∴∠B=∠NPE，∴tanB=tan∠NPE，∴ACBC =NEPN，∴NE=68×(10t−10)=152t−152，∴S=3t×(10t−10)−12×(10t−10)×(152t−152)=−152t2+45t−752；(4)∵点Q在AB上，QN不可能平行于AB，∴QN平行于△ABC的一边时可分两种情况：①如图，若NQ//BC，∴∠B=∠MQN，∴tanB=tan∠MQN，∴ACBC =MNMQ，∴68=3t10−10t，∴t=57，②如图，若NQ//AC，∴∠A=∠BQN，∴tanA=tan∠BQN，∴BCAC =MNQM，∴86=3t10t−10，∴t=4031．综上所述：当t=57s或4031s时，QN与△ABC的一边平行．【解析】(1)由勾股定理可求出答案；(2)分两种情况讨论，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，则可得出答案；(3)分两种情况讨论，由面积公式可求出答案；(4)分两种情况讨论，由锐角三角函数可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)当m=0时，这个函数的表达式为y=x2，图象如下：(2)y=x2−2mx+4m=(x−m)2−m2+4m，∵y0=−1时，−m2+4m=−1∴m1=2+√5，m2=2−√5(3)∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，∴当m=2时，y0的最大值是4.；(4)当抛物线顶点在x轴上时，−m2+4m=0，∴m=4或0(舍弃)，∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，当m=2时，y的最大值是4，∴观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是2<x1<4，【解析】(1)当m=0时，解析式为y=x2，画出函数图象即可；(2)把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为−1，解关于m的方程即可求得．(3)把y0=−m2+4m化成顶点式，即可求得结果；(4)求得抛物线与x轴有一个交点时的m的取值，再根据当y0的最大值时m的值，即可解决问题．本题属于考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。

2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √27C. √15D. √18 2. 二元一次方程组{x −y =32x +y =0的解为( ) A. {x =−1y =2B. {x =1y =−2C. {x =−2y =1D. {x =2y =−1 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b =28，sinA +sinB =75，则斜边c 的长为( )A. 10B. 14C. 20D. 24 4. 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为( )A. 2：3B. √2：√3C. 4：9D. 9：4 5. 把抛物线y =−2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( ) A. y =−2 B. y =−2C. y =−2D. y =−2 6. 已知抛物线y =a(x −ℎ)2−7，点A(1,−5)、B(7,−5)、C(m,y 1)、D(n,y 2)均在此抛物线上，且|m −ℎ|>|n −ℎ|，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 1=y 2D. 不能确定 7. 下列检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是 ( )A. 测量两条对角线是否相等B. 测量两条对角线是否互相平分C. 测量门框的三个角是否都是直角D. 测量两条对角线的夹角是否为直角8. 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除颜色外，其它都相同．小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%左右．则口袋中红球大约有( )个．A. 5个B. 10个C. 12个D. 15个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当x满足______的条件时，√−2在数范围内有意义．x10.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2−4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为______ ．11.成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是______．12.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为m.13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=______．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，则BD=___________.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．17.某体育老师统计了七年级A，B两个班女生的身高，并绘制了如图不完整的统计图表.根据图表中提供的信息，解答下列问题．身高(cm)人数A：145≤x<1502B：150≤x<1556C：155≤x<160mD：160≤x<16513E：165≤x<170nF：170≤x<1755(1)两个班共有女生______ 人，表中m=______ ，扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角是______ 度.(2)身高在170≤x<175(cm)的5人中，A班有3人，B有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队，求这两人来自同一班级的概率．18. 已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2)，B(3,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC；(2)以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；(3)在(2)中，△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1，直接写出P1的坐标．19. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点A处，周围200km都会受到台风影响．现在台风正往南偏东60°的方向移动，在A的正南方300km出有一座小镇B.在台风移动过程中，小镇B是否会受到影响，判断并说明理由．20. 已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为(−1,0)．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．21. 某化妆品店在销售某品牌化妆品时，每套以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该品牌化妆品10套与按标价直降100元销售9套获利相同(1)求该品牌化妆品每套的进价和标价分别是多少元？(2)若该品牌化妆品每套的进价不变，按(1)中的每套的标价出售一批该品牌化妆品，该店平均每月可售出49套；若每套品牌化妆品每降价50元，每月可多售出7套，这批该品牌化妆品总利润w元，求该品牌化妆品降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，E是AC延长线上一点，作BE⊥AD交AD的延长线于点F．(1)若BF=EF，求证：△ABF≌△AEF；(2)求证：CD=CE．23. 已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB、AC于E、F．(1)直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？(2)在(1)的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．(3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F，请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．24. 已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x−1交于点P(1,m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x在和范围内时，y随x的增大而增大．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A 、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B 、27=3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√15是最简二次根式，符合题意；D 、18=2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C ．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2.答案：B解析：解：{x −y =3①2x +y =0②②+①得：3x =3，解得：x =1，把x =1代入①得：1−y =3，解得：y =−2，所以原方程组的解是{x =1y =−2， 故选：B ．②+①得出3x =3，求出x ，把x =1代入①求出y 即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.答案：C解析：解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴sinA =a c ，sinB =b c． 又a +b =28，sinA +sinB =75，∴a+b c =75， ∴c =20．故选C ．根据锐角三角函数的概念，结合已知条件得到a，b，c的方程，从而求得c的值．能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解．4.答案：C解析：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：9，故选：C．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.答案：C解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可．把抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x+1)2+2．故选：C．6.答案：B解析：解：∵点A(1,−5)、B(7,−5)均在此抛物线上，∴ℎ=1+7=4，2∴抛物线的顶点坐标为(4,−7)，∴a>0，开口向上，∵C(m,y1)、D(n,y2)均在此抛物线上，且|m−ℎ|>|n−ℎ|，∴y1>y2，故选：B．先求得抛物线的对称轴为x=4，再抛物线开口向上，最后根据|m−ℎ|>|n−ℎ|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．7.答案：C解析：解：A、B、D均不符合矩形的判定方法，C符合“有三个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理．故选C．8.答案：A解析：解：设有红球x个，根据题意得：x÷20=25%解得：x=5，故选A．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可．本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．9.答案：x<0≥0，且x≠0，解析：解：由题意得，−2x解得x<0．故答案为：x<0．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10.答案：4解析：解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16−4m=0，∴m=4．若直线和圆相切，则d=r.即方程有两个相等的实数根，得16−4m=0，m=4．考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．11.答案：翁中捉鳖解析：解：水中捞月是不可能事件，翁中捉鳖是必然事件，守株待兔是随机事件，故答案为：翁中捉鳖根据事件的分类进行逐一分析即可．本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.答案：4解析：试题分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，∴∠CED=∠FCD，又∵∠EDC=∠CDF=90°，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，∴EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，∴代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．13.答案：43解析：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，且EF=12BD，∵EF=4，∴BD=8，∵BD=8，BC=10，CD=6，∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tanC=BDDC =86=43，故答案是：43．连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可．此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．14.答案：5解析：过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，∴CD=ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴，∴BE=10−6=4，设BD=x，则CD=BC−BD=8−x，∴ED=8−x，在Rt△DEB中，，解得：x=5，即BD=5．故答案为：5．15.答案：解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元．则a=x(1+25%)；a=y(1−25%)．∴x=45a，y=43a．∴x+y=45a+43a=3215a，32 15a−2a=215a>0故该商贩在这次买卖中赔了．赔了215a元．解析：此题首先要设出原来各自的成本，再根据题意表示售价，最后比较总售价和总进价，进行判断．注意无论是赔，还是赚，其基数都是原来的进价．16.答案：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．解析：本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．17.答案：501472解析：解：(1)两个班共有女生：13÷26%=50(人)，C部分对应的人数为：50×28%=14(，人)，即m=14，E部分所对应的人数为：50−2−6−13−14−5=10(人)；扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为360°×1050=72°，故答案为：50，14，72；(2)画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，∴这两人来自同一班级的概率是820=25．(1)根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E 部分人数，用360°乘以E部分所占百分比可求E部分所对应的扇形圆心角度数；(2)利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和统计图表．18.答案：解：(1)如图所示：△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1即为所求；(3)P1坐标为：(2a,2b)．解析：(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．19.答案：解：作BD⊥AC与点D，∵∠BAD=60°，AB=150√3，∴BD=√32∵150√3>200，∴小镇B不会受到台风影响．解析：作BD⊥AC与点D，构造直角三角形，解直角三角形求得BD的长后与200km比较后即可得到是否收到影响．考查了勾股定理及方向角的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．20.答案：解：(1)∵点A(−1,0)在抛物线y=x2+4x+4+m上，∴m=−1，∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，∴C点的坐标为(0,3)，则B点的坐标为(−4,3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，{−k+b=0−4k+b=3，解得，k=−1b=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x−1，即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=−x−1；=−2，(2)∵二次函数y=x2+4x+3的对称轴为直线x=−42×1由题意可知A和B关于对称轴x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x=−2代入y=−x−1得y=1，∴P(−2,1)，∵A(−1,0)，B(−4,3)，C(0,3)，由勾股定理可得AB=√(−4+1)2+32=3√2，AC=√12+32=√10，∴△PAC周长的最小值为AB+AC=3√2+√10．解析：(1)根据题意，可以求得m的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，根据解析式求得对称轴为直线x=−2，把x=−2代入直线AB的解析式求得P的坐标，由题意可知A和B关于直线x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，利用勾股定理求出AC和BC的长即可求出最小值．本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键．21.答案：解：(1)设该化妆品的进价为x元，根据题意得：[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，∴x=900，∴(1+50%)x=1350元，∴该化妆品进价900元，标价1350元．(2)设该化妆品降价y元，根据题意得：W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，当y=50时，W有最大值22400，∴降价50元，每月获利最大，最大利润为22400元．解析：(1)根据题意列出一元一次方程[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，即可求解；(2)利润等于销售量×每件的利润，故有W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，借助二次函数即可求最大值；本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用；熟练掌握利润的求法，能够结合二次函数求函数的最大值是解题的关键．22.答案：解：(1)证明：∵BE⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠AFB=∠AFE=90°，又∵BF=EF，AF=AF，∵△ABF≌△AEF(SAS)；(2)∵∠AFB=∠ACB=90°，∴∠CBE=180°−∠AFB−∠BDF=90°−∠BDF，∠CAD=180°−∠ACB−∠ADC=90°−∠ADC，又∵∠ADC=∠BDF，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BCE=∠ACD=90°，BC=AC，∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE=CD．解析：(1)根据SAS即可证明三角形全等；(2)根据三角形内角和及对顶角的性质得∠CBE=∠CAD，结合已知条件利用ASA即可证明△BCE≌△ACD，进而得出结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和，垂线等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法．23.答案：解：如(1)图1中，等腰三角形有；△EOB、△FOC仍为等腰三角形结论：EF=BE+CF．理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；(2)△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25．(3)结论：EF=BE−FC．理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形；∵EO//BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO−FO=BE−FC．解析：(1)△OEB、△OFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证EF=BE+FC；(2)利用(1)中结论即可解决问题；(3)思路与(1)相同，只不过结果变成了EF=BE−FC．此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．24.答案：解：(1)点P(1,m)在y=2x−1的图象上∴m=2×1−1，解得m=1，把(1,1)代入y=ax2∴a=1(2)二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大．解析：(1)把点P(1,m)分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x−1即可求出未知数的值；(2)把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质．。

2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1. 方程x2-2x=0的根是（）A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=-2【答案】C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.2. 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（）A. (3，0)B. (0，﹣1)C. (2，﹣1)D. (0，3)【答案】D【解析】【分析】把x=0代入抛物线解析式即可．【详解】解:把x=0代入y＝x2﹣4x+3，y=3,∴抛物线与y轴交点坐标为（0,3），故选D．【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，知道y轴上的点的横坐标为0是解题关键．3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（）A. 6个B. 14个C. 20个D. 40个【答案】C【解析】【分析】根据题意先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1-15%-35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20（个）．故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．4. 如图, 边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A. 23B. 33C. 3D. 63【答案】B【解析】【分析】作DF⊥BC，根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DE＝2，BD＝2，解直角三角形求出DF 3详解】解：作DF⊥BC，∵在边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝2，BD＝2，∴DF＝BD•sin∠B＝2×3 2＝3，∴四边形BCED的面积为：12DF×（DE＋BC）＝12×3×（2＋4）＝33．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线的性质以及解直角三角，根据DE为中位线，得出DE、BD的长是解决问题的关键．5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°【答案】C【解析】【分析】如图，连接,OE由圆周角定理可得，21110AOE∠=∠=︒，再利用平角的定义求解∠BOE，再利用圆周角定理可得：1 22BOE∠=∠，从而可得答案．【详解】解：如图，连接,OE1=55∠︒，21110AOE∴∠=∠=︒，18011070BOE∴∠=︒-︒=︒，12352BOE ∴∠=∠=︒， 故选：.C【点睛】本题考查的是圆周角定理，平角的定义，掌握圆周角定理是解题的关键．6. 如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则m 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 94【答案】B【解析】【分析】 过P 作PQ x ⊥轴于Q ，利用坐标分别求解,OQ PQ ，再利用tan PQ OQα=，从而可得答案． 【详解】解：过P 作PQ x ⊥轴于,Q ()3,,P m3,OQ PQ m ∴==，tan ,PQ OQ α= 4,33m ∴= 4.m ∴=故选：.B【点睛】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的含义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键．7. 如图，⊙O 与正六边形OABCDE 的边OA 、OE 分别交于点F 、G ，点M 为劣弧FG 的中点．若FM ＝22，则⊙O 的半径为（ ）A. 2B. 6C. 22D. 26【答案】C【解析】【分析】 连接OM ，根据正六边形OABCDE 和点M 为劣弧FG 的中点，可得△OFM 是等边三角形，进而可得⊙O 的半径．【详解】解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝22．则⊙O 的半径为22．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2233y x k =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于点C 、BD ⊥y 轴于点D ，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）A. 18B. 12C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】 先把原点坐标代入解析式，求出k 的值，得到B 点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积，从而根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：把（0，0）代入()2233y x k =-++， 得()220303k -++=， 解得k=6，∴抛物线解析式为()22363y x =-++， ∴B 点坐标为()3,6-， ∵BC ⊥x 轴于C ， 结合抛物线的对称性可得：∴图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积=3×6=18．故选：A ．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9. 计算：tan 245°+1＝_____． 【答案】2 ．【解析】【分析】把tan45°＝1代入原式计算即可．【详解】解：tan 245°+1 ＝12+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题． 10. 若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，则k 的取值范围是_．【答案】k ＞1.【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，可得：＜0，再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根， ∴＜0，2241k ∴-⨯⨯＜0，44k ∴-＜0，4k ∴-＜4,-k ∴＞1.故答案为：k ＞1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ＝60°，则∠C 的大小为_____．【答案】120°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C＝180°，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．12. 如图，在ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为_____．【答案】8【解析】【分析】由题意根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF，∵▱ABCD，AD=BC，∴23 AE AE AFBC AD CF＝＝＝，∵AC=20，即AF+CF=20，∴AF=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握并能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．13. 圆心角为90°的扇形如图所示，过AB 的中点作CD ⊥OA 、CE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ．若半径OA ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．【答案】2π-【解析】【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD=OE ，得到矩形CDOE 是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．【详解】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE 是矩形，如图，连接OC ，∵点C 是AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC ，在△COD 与△COE 中，CDO CEO DOC EOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COE （AAS ），∴OD=OE ，∴矩形CDOE 是正方形，,OD CD ∴=∵OC=OA=2， 222OD CD OC +=, 2,OD CD ∴==∴图中阴影部分的面积= ()229022 2.360ππ⨯-=-故答案为：2π-． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．14. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx+5的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程250x bx t ++-=（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围为_____．【答案】4≤t ＜13．【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为225y x x =-+，将一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点，再由-1＜x ＜4的范围确定y 的取值范围即可求解．【详解】解：∵25y x bx =++的对称轴为直线x=1，∴2b =-，∴225y x x =-+，∴一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点， ∵方程在-1＜x ＜4的范围内有实数根，如图，当1x =-时，y=8； 当x=4时，y=13；函数225y x x =-+在x=1时有最小值4；∴4≤t ＜13．故答案为4≤t ＜13．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．三、解答题15. 解方程：x 2﹣4x ﹣3＝0．【答案】x 1＝x 2＝2【解析】【分析】利用配方法解方程.【详解】移项得x 2﹣4x ＝3，配方得x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2开方得x ﹣2＝，∴x 1＝，x 2＝2【点睛】考查了利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率． 【答案】13【解析】【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：根据题意列表得：甲袋乙袋02311344467∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是21=63．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．掌握“列表法与概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．17. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即所求；（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．18. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]【答案】高度BC约为237米．【解析】【分析】根据题意可得BD＝AD＝80（米），再根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC约为237米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在此抛物线上，若x 1＞x 2＞4，则y 1 ________ y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．【答案】（1）y ＝－12x 2＋3x ；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为(3，92)；（3）＜. 【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组求出a 、b 即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx 经过点A (2,4)和点B (6,0)， ∴4243660a b a b +=⎧⎨+=⎩解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为2132y x x =-+ (2)因为221193(3)222y x x x =-+=--+， 该抛物线开口向下. 顶点坐标为9(3,).2(3)∵124,x x >>对称轴为x =3,102a =-< ∴y 1<y 2故答案为<.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数表达式之间的转化，二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.20. 如图，在ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝4，∠A ＝30°，求DC 的长．（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）2.3π 【解析】【分析】 （1）首先连接OD ，CD ，由以BC 为直径的⊙O ，可得CD ⊥AB ，得出AD=BD ，即可证得//OD AC ，继而可证得结论；（2）由等腰三角形的性质求解30B ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解60DOC ∠=︒， 结合4BC =， 由弧长公式直接求解DC 的长即可．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 直径，∴∠BDC=90°，即CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AD=BD ，∵OB=OC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵D 点在⊙O 上，∴DE 为⊙O 的切线；（2）30,A AC BC ∠=︒=，30B A ∴∠=∠=︒，60DOC ∴∠=︒，4BC =，2OB OC ∴==，6022.1803DC l ππ⨯∴== 【点睛】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．21. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x （元）与该土特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：（1）若日销售量y （袋）是每袋的销售价x （元）的一次函数，求y 与x 之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w （元）；①求w 与x 之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【答案】（1）40y x =-+；（2）①250400w x x =-+-；②每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【解析】【分析】（1）设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可；（2）①利用每件利润×总销量=总利润，进而列出二次函数关系式即可；②把①中的二次函数化为顶点式，再利用二次函数的性质求解最大利润可得答案．【详解】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩ ， 故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：40y x =-+（2）①依题意，设利润为w 元，得：()()2104050400w x x x x =--+=-+-②由250400w x x =-+-，整理得：()225225w x =--+∵1-＜0∴当x=25时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【点睛】本题考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解最大利润，掌握以上知识是解题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ﹣1）2﹣2与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），第一象限内的点C 在该抛物线上．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）若ABC 的面积为12，求点C 坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y ＝mx+n 经过点A 、C ，12（x ﹣1）2﹣2＞mx+n 时，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）A （-1，0），B （3，0）；（2）C （5，6）；（3）x ＜-1或x ＞5，【解析】【分析】（1）根据题意令y=0，列出方程然后解方程即可求得A 、B 两点的坐标；（2）由题意根据三角形ABC 的面积求得C 的纵坐标，进而代入解析式即可求得C 的坐标；（3）由题意直接根据图象进行观察分析即可求得x 的取值范围．【详解】解：（1）令y=0，则12（x-1）2-2=0， 解得1213x x =-=，， ∴A （-1，0），B （3，0）；（2）∵A （-1，0），B （3，0），∴AB=4， ∵1122ABC C SAB y ==， ∴12×4×y C =12， 解得y C =6， ∴21(1)262x --=， 解得1253x x ==-，（不符题意，舍去），∴C （5，6）；（3）由图象可知，当21)(122x mx n --+＞时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞5， 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，注意掌握二次函数图象的基本性质以及利用数形结合是解题的关键．23. 如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点P 从点B 出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC 向点C 运动，同时点M 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 、MQ 为邻边作矩形PQMN ，当点P 到达点C 时，整个运动停止．设点P 的运动时间为t （t ＞0）秒．（1）求BC 的长；（2）用含t 的代数式表示线段QM 的长；（3）设矩形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为S （S ＞0），求S 与t 之间的函数关系式； （4）连结QN ，当QN 与ABC 的一边平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）8；（2）1010t -或1010t -；（3）23030S t t =-+（0＜t ＜1），215754522S t t =-+-（1＜t ≤1.6）；（4）57t =或4031t =． 【解析】【分析】（1）由90106ACB AB AC ∠=︒==，，，利用勾股定理求解即可； （2）先求解6,4AM t QB t ==，分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，当1＜t ≤1.6时，利用线段的和差可得答案；（3）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，分别求解：,PQ MQ 利用矩形的面积公式即可得到答案，当1＜t ≤1.6时，分别求解：,,PQ MQ MH ，利用直角梯形的面积公式即可得到答案；（4）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，证明MNQ QPB ∽，再利用相似三角形的性质证明：MQ QB =，再列方程求解即可，当1＜t ≤1.6时，证明PQN CBA ∽，再利用相似三角形的性质列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵90106ACB AB AC ∠=︒==，，, ∴22221068BC AB AC =-=-=，（2）由题意得：5,6,BP t AM t ==90810C BC AB ∠=︒==，，，4cos ,5BC B AB ∴== 由AM QB AB +=时，1010,t =1,t ∴=当0＜t ＜1时，,PQ AB ⊥cos ,5QB QB B PB t ∴== 4,55QB t ∴= 4,QB t ∴=1010QM AB AM QB t ∴=--=-；P 的最长运动时间为：8=1.6,5s 而M 的最长运动时间为：105=63s ， 当1＜t ≤1.6时，同理：6,4,AM t QB t == 1010,QM AM QB AB t ∴=+-=-（3）当0＜t ＜1时，如图，由5,4,BP t QB t == 四边形PQMN 为矩形，()()22543,PQ t t t ∴=-=()2310103030,S t t t t =-=-+当1＜t ≤1.6时，同理可得：1010,3,4,QM PN t PQ NH t BQ t ==-===()41010106,BM t t t ∴=--=-3tan ,4AC B BC == 34MH MB ∴=， ()3159106,422MH t t ∴=-=- ()2115915753101045,22222S t t t t t ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭（4）如图，当0＜t ＜1时，如图，当//QN BC 时，,MQN B ∠=∠,NMQ PQB ∠=∠,MNQ QPB ∴∽MN MQ QP QB∴=， ,PQ MN =,MQ QB ∴=10104,t t ∴-=57t ∴=，当1＜t ≤1.6时，如图，当//QN AC 时，同理可得：3,1010,PQ t QM PN t ===-由四边形PQMN 为矩形，90QPN PQM ∴∠=∠=︒，90PQN BQN ∴∠+∠=︒，90//,C QN AC ∠=︒，,QN BC ∴⊥90B BQN ∴∠+∠=︒，,B PQN ∴∠=∠90C QPN ∠=∠=︒，,PQN CBA ∴∽,PN PQ CA CB ∴= 10103,68t t -∴= 808018,t t ∴-=40.31t ∴= 综上，当57t =或4031t =，QN 与ABC 的一边平行 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，锐角三角函数三角形相似的判定与性质，重叠部分的面积，列二次函数关系式，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+4m （m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当m ＝0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G ．（2）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（3）求y 0的最大值．（4）当m ＞0，且当图象G 与x 轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x 1，直接写出x 1的取值范围．【答案】（1）2yx ，作图见解析；（2）1225,25m m ==（3）4；（4）2＜1x ＜4．【解析】【分析】 （1）当m=0时，解析式为2y x ，利用描点法画出函数图象即可；（2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为1-，解关于m 的方程：2410m m --=，解方程即可求得答案．（3）把204y m m =-+化成顶点式，利用二次函数的最值性质即可求得结果；（4）先求得抛物线与x 轴有一个交点时的m 的取值，再根据当0y 的最大值时m 的值，再确定当2x =时的函数值y ＞0， 从而即可解决问题．【详解】解：（1）当m=0时，这个函数的表达式为2y x ，列表： x2- 1- 0 1 2 y 4 1 0 1 4 描点并连线：图象如下：（2）由()222244y x mx m x m m m =-+=--+， ∵01y =-时， 241m m ∴-+=-2410,m m ∴--=∴425m ±= 1225,2 5.m m ∴==（3）∵()220424y m m m =-+=--+，∴当m=2时，0y 的最大值是4．（4）当抛物线顶点在x 轴上时，240m m -+=，∴m=4或0m =，m ＞0， 4,m ∴=∵()220424y m m m =-+=--+，当m=2时，0y 的最大值是4，∴如图，观察图象可知，当2x =时，2244y x mx m =-+=＞0，所以当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为1x ，则1x 的取值范围是2＜1x ＜4，【点睛】本题属于考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。