电磁场与电磁波例题详解
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第1章 矢量分析
例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为
0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ：
0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=
例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x
++=的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：
z
y dz
y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy
dx y
x dy xy dx 2222
解之即得矢量方程???=-=2
2
21c y x x
c z ，c 1和c 2是积分常数。
例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角
3
,4
,3
π
γπ
βπ
α=
=
=
的方向导数。
解：由于
1)
2,1,1(2)
2,1,1(-=-=??==M M yz
y x ?, 02)
2,1,1()
2,1,1(=-=??==M M xz
xy y
?,
32)
2,1,1()
2,1,1(=-=??==M M xy
z z
?,
2
1cos ,22cos ,21cos ===
γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??=
??γ?β?α??z
y x l
M
例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为
1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l
++=-+-+-=
其单位矢量
3147
31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,
10,
2)
2,1,5()2,1,5()2,1,5()
2,1,5()
2,1,5()
2,1,5(==??==??==??xy
z
xz
y
yz
x
?
??
所求方向导数
314
123
cos cos cos =
??=??+??+??=?? l z y x l
M
?γ?β?α??
例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x
?
所以 623)
0,0,0(z y x a a a
---=?? ，36)
1,1,1(y x a a +=??
例1.6 运用散度定理计算下列积分：
??++-+=S
z y x S d z y xy a z y x a xz a I
)]2()([2322
S 是0=z 和2
2
22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。
解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=
则由散度定理???=??τ
τs
S d A d A
可得
50
420
20
420
2022225
2sin sin )(a dr
r d d d drd r d r d y x z d A S d A I a
a
s
πθθ??
θθτ
ττπ
π
π
π
τ
ττ====++=??=?=????
??
????
例1.7 试求A ??和A
??:
(1) 2
2332y x a z x a z xy a A z y x ++=
(2) ???sin cos ),,(22r a r a z r A z r
+=
(3) θθθ?θ?θcos 1
sin 1sin ),,(2r a r a r a r A r ++=
解：
323200)
1(z y z y z
A y A x A A z
y x =++=??+??+??=??
)
23()23()2(32222322
2332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=??????=
??????=??
?????cos 3)sin (0)cos (11)(1)
2(23r r z
r r r z A A r rA r r A z r =??++??=??+??+??=??
]
sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0cos 112222???????
????????r a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r z r
+-=++-+-=??????=
??????=
??
θ
θθ?θ
θθθθ?θθθθθ?
θcos 2
sin 3)cos 1
(sin 1)sin 1(sin 1)sin (1sin 1)(sin sin 1)(1)
3(22
23222r
r r r r r r r A r A r A r r r A r +=??+??+??=??+
????+??=?? θ
θθθθθθθθθθθ
θ
?θθθθ?θθθ?θ?θ?
θ?
θ
?
θcos cos 1sin 2cos )]cos 0(sin )2sin 210()02cos 1([sin 1cos sin 1
sin sin sin sin 1
sin sin sin 133222
2
a r
a r a r a r r a r r a r r
r r a r a r a r A r rA A r
a r a r a r A r r r r
r
-+=-+++-=
??????=??????=??
例1.8 在球坐标中，已知2
04cos r
p e πεθ
φ=
，其中e p 、0ε为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即φ-?=E
。
解： 在球坐标戏中，?
φθθφφφ?θ??+??+??=?sin 11r a r a r a r
)
sin cos 2(44sin 2cos 04)
sin (1)2(4cos )4cos (sin 1)4cos (1)4cos (3
0303
020302
02020θθπεπεθ
πεθπεθπεθπεθ?θπεθθπεθφθθ
θ
?θa a r p r p a r p a r p r a r p a r p r a r p r a r p r a E r e e e r e e r e e e r
+=
+=-----=??-??-??-=-?=∴
例1.9 在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域上，对矢量z a r a A z r 22
+=验
证高斯散度定理。
解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算???τ
τd A
和
??s
S d A ，得到二者结果相同的结论。
在柱坐标系下，有
23)2(0)(11)(13+=??++??=??+??+??=??r r z
r r r z A A r rA r r A z r ??
在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域内取一个小体积元τd ，可知
dz rdrd d ?τ=，其中50≤≤r 、π?20≤≤、40≤≤z ，故
ππ??τππτ
120042150)23()23(4
20
50
50
20
40
=??=+=+=?????????dz d rdr r dz rdrd r d A
而5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱
上表面1S （面元矢量?rdrd a S d z
=1，50≤≤r 、π?20≤≤、4=z ）、圆柱下表
面2S （面元矢量?rdrd a S d z
-=2，50≤≤r 、π?20≤≤、0=z ）和圆柱侧表面3S （面元矢量dz rd a S d r ?
=3，π?20≤≤、40≤≤z 、5=r ），故有：
π
ππ?????
ππ
π
π
π
120042125225412508)2()
()2()2(20
4
50
20
5
4
20
20
5
20
24
5
20
23
213
2
1
=??+??=++=?++-?++?+=?+?+?=???
?
?
??
?
?
?
?????===dz
d drd r dz
rd a z a r a rdrd a z a r a rdrd a z a r a S d A S d A S d A S d A r r z r z z z r z z z r S S S S
πττ
1200=?=??∴??s
S d A d A
，即证。
例1.10 现有三个矢量场A 、B
、C ,分别为：
??θ?θ?θsin cos cos cos sin a a a A r
-+=，????sin 2cos sin 22rz a z a z a B z r
++=，
z a x a x y a C z y x 2)23(22
++-=。
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？