电磁场与电磁波例题详解

电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。

② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。

③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。

解：①Amm r rmm r d d d r rd J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm mmr t ⨯-==∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。

解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为t∂∂=⨯∇ ∴ H tJ d ⨯∇=∂∂=yy H y a ∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a y /)9.201028.6sin(1092-⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。

解：由麦克斯韦第二方程E t⨯-∇=∂∂yy E y a ∂∂=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。

电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。

② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。

③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。

解：①Amm r rmm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ⨯-==⋅∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。

解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为tDH ∂∂=⨯∇ ∴ H tDJ d ⨯∇=∂∂=yz y x H z y x a a a ∂∂∂∂∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。

解：由麦克斯韦第二方程E tB⨯-∇=∂∂0yzy x E z y x a a a ∂∂∂∂∂∂-=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tBB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。

电磁场与电磁波习题答案第四章习题解答★【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ==；② (,0)0x ϕ=； ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑ 由条件③，有 01sinh()sin()n n n b n xU A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n xa π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d sinh()an U n x A x a n b a a ππ==⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n xx y n n b a a aππϕππ==∑4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。

上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：22(,0)(,)0x x b ϕϕ==① 2(,)0()x y x ϕ=→∞②③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩； 根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为21(,)sin()en x bn n n yx y A b ππϕ∞-==∑；由条件③有 00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n ybπ，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d bn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d bππ 故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d nb b ππππ∞-=+∑ 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

电磁场与电磁波计算题解电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：①通过半径r=1mm 的球⾯的电流值。

②在r=1mm 的球⾯上电荷密度的增加率。

③在r=1mm 的球内总电荷的增加率。

解：①Amm r r mm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====?=?π?θθθππ②因为 5.25.1225)10(1--==r r r rd d r J c 由电流连续性⽅程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ?-==??-==??ρ③在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在⽆源的⾃由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-??=-求位移电流密度d J 。

解：由于0=c J ，麦克斯韦第⼀⽅程成为tDH ??=?? ∴ H tDyz y x H z y x a a a=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-??-=??=-例3 在⽆源的区域中，已知调频⼴播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-?=-求空间任⼀点的磁感强度B 。

解：由麦克斯韦第⼆⽅程E tB ?-?=??0yzy xE zy x a a a ??-=z E a y x= )9.201028.6cos(109.2092z t a x --=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.209 2z t a t d tBB x -??-=??=?- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-??-=- 例4 已知⾃由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。

《电磁场与电磁波》试题1一、填空题（每小题1分，共10分）1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B ϖ和磁场H ϖ满足的方程为： 。

2．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为 方程。

3．时变电磁场中，数学表达式H E S ϖϖϖ⨯=称为 。

4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。

5．矢量场)(r A ϖϖ穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。

6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。

7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。

9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表示。

二、简述题 （每小题5分，共20分）11．已知麦克斯韦第二方程为t B E ∂∂-=⨯∇ϖϖ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。

12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题 （每小题10分，共30分）15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz ey B ˆˆ2+-=ϖ是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。

16．矢量z y x e e e A ˆ3ˆˆ2-+=ϖ，z y x e e eB ˆˆ3ˆ5--=ϖ，求（1）B A ϖϖ+ （2）B A ϖϖ⋅17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E eE --=004ˆ3ˆϖ（1） 试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向；四、应用题 （每小题10分，共30分）18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。

试求（1） 球任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。

第5章 时变电磁场例5.1 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。

解： 将E Jσ=代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 0)()(=∂∂+⋅∇=∂∂+⋅∇tE t E ρσρσ由于：ρερερ=⋅∇=⋅∇=⋅∇E E D,)(,所以：0=⋅+∂∂ρεσρt ，t e t ⋅-=εσρρ0)(例5.2 设z =0 的平面为空气与理想导体的分界面，z <0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为)cos(sin ),0,,(0ay t ax H a t y x H x -=ω，试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。

解：)cos(sin )cos(sin 00ay t ax H a ay t ax H a a H n J y x z S -=-⨯=⨯=ωω),()cos(sin )sin(sin )]cos(sin [000y x c ay t ax aH ay t ax aH ay t ax H yt S S +-=-=-∂∂=∂∂-ωωρωωρ假设t =0 时，0=s ρ，由边界条件s D n ρ=⋅以及n 的方向可得)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x D z -=ωω)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x E z -=ωω例5.3 试求一段半径为b ，电导率为σ，载有直流电流I 的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。

图5.1解：如图5.1，一段长度为l 的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z 轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有：σπσπ22,1b I a J E b a J z z===在导线表面bIa H πφ2 =因此，导线表面的坡印廷矢量 3222bI a H E S rσπ-=⨯=它的方向处处指向导线的表面。

将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有R I b l I bl b I dS a S S d S Sr S 22232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=⋅-⎰⎰σππσπ例5.4 在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传播的电磁波，其电场强度矢量)cos(])/sin[(0x y k t z d E a E -=ωπ，其中x k 为常数。

电磁场与电磁波复习材料简答1.简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。

.1、答「恒定盛场是连续的场或无散场，即礙感应强度沿任一闭合曲面的积分尊于專。

产生恒定磁场的源是矢量源0 ©分〉两个基本方程：M-^ = 0 （1 分）（写出徹分形式也对）2.试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。

12•答：设理想导体内部电位为0空空气燥质中电位为孙。

由于理想导体表面电场的切冋分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有仏=妣（3分）=—(T3.试简述静电平衡状态下带电导体的性质。

答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。

（3分）4.什么是色散？色散将对信号产生什么影响？答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。

（3分）色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。

（2分）5•已知麦克斯韦第二方程为"，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。

答2意义匕随时间变化的磁场可以产生电场。

其和分形式为订事龙二一［罟庖6.试简述唯一性定理，并说明其意义。

答:在静电场中’在给定的边界条件下，拉晋拉斯方程或泊松方程的解是唯一的’这一定理称为唯一性定理. g分）它的意义|给出了定解的充要条件I既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

7.什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

方程的微分形式: VxE = -&B dtii.什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。

分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

（2分）极化可以12•已知麦克斯韦第一方程为式。

.:D可汇H = J + —ct，试说明其物理意义，并写出方程的积分形答：它表明时变场中械场是由传导电流加位移电溢罟共同产生该方程的积分形式対严"叩+豎■dS答’电磁波包络或能量的传播速度称为群速。

群速％与相速V*的关系式为’V p = J （2分）耳*1一血兀片do&写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？悝移电济］,=^位移电流产主磁效应代表了变化的电场能够产主磯场，使&麦克斯韦能够预言电谨场以波的形式恃播、为现代通信打下理论基础-9 •简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。

专题三十四电磁场与电磁波基本知识点1．麦克斯韦电磁理论的两个基本假设(1)变化的磁场能够在周围空间产生电场(如图所示)．(2)变化的电场能够在周围空间产生磁场(如图所示)．变化的磁场在其周围空间产生电场变化的电场在其周围空间产生磁场2．电磁场：变化的电场和变化的磁场交替产生，形成不可分割的统一体，称为电磁场．3．电磁波(1)电磁波的产生：变化的电场和磁场交替产生而形成的电磁场是由近及远地传播的，这种变化的电磁场在空间的传播称为电磁波．(2)电磁波的特点：①电磁波是横波，电磁波在空间传播不需要介质；②电磁波的波长、频率、波速的关系：v＝λf，在真空中，电磁波的速度c＝3.0×108m/s.(3)电磁波能产生反射、折射、干涉和衍射等现象．例题分析一、麦克斯韦电磁场理论例1根据麦克斯韦电磁场理论，下列说法正确的是A．有电场的空间一定存在磁场，有磁场的空间也一定能产生电场B．在变化的电场周围一定产生变化的磁场，在变化的磁场周围一定产生变化的电场C．均匀变化的电场周围一定产生均匀变化的磁场D．周期性变化的磁场周围空间一定产生周期性变化的电场(对应训练一)麦克斯韦建立了完整的电磁场理论，______用实验证明了麦克斯韦预言的正确性，第一次发现了________，测定了电磁波的________和________，得到了电磁波的________，证实在真空中它等于________．(对应训练二)下列关于电场与磁场的产生的理解正确的是()二、电磁波和机械波例2关于电磁波与声波，下列说法正确的是A．电磁波是由电磁场发生的区域向远处传播，声波是声源的振动向远处传播B．电磁波的传播不需要介质，声波的传播有时也不需要介质C．由空气进入水中传播时，电磁波的传播速度变小，声波的传播速度变大D．由空气进入水中传播时，电磁波的波长不变，声波的波长变小(对应训练)以下关于机械波与电磁波的说法中，正确的是()A．机械波与电磁波本质上是一致的B．机械波的波速只与介质有关，而电磁波在介质中的波速，不仅与介质有关，而且与电磁波的频率有关C．机械波可能是纵波，而电磁波必定是横波D．它们都能发生反射、折射、干涉和衍射现象三、电磁波的特点【例3】下列关于电磁波的叙述中，正确的是()A．电磁波是电磁场由发生区域向远处的传播B．电磁波在任何介质中的传播速度均为3×108 m/sC．电磁波由真空进入介质传播时，波长变短D．电磁波不能产生干涉、衍射现象E．电磁波具有波的一切特征(对应训练)关于电磁波，以下说法正确的是()A．电磁波是能量存在的一种方式B．电磁波能够传递能量C．电磁波不是真实的物质D．微波炉就是用微波的能量来煮饭烧菜的专题训练1．真空中所有电磁波都具有相同的()A．频率B．波长C．波速D．能量2．下列关于电磁波的说法正确的是()A．均匀变化的磁场能够在空间产生电场B．电磁波在真空和介质中传播速度相同C．只要有电场和磁场，就能产生电磁波D．电磁波在同种介质中只能沿直线传播3．关于电磁波，下列说法中正确的是()A．在真空中，频率越高的电磁波速度越大B．在真空中，电磁波的能量越大，传播速度越大C．电磁波由真空进入介质，速度变小，频率不变D．只要发射电路的电磁振荡停止，产生的电磁波立即消失4．电磁波与机械波具有的共同性质是()A．都是横波B．都能传输能量C．都能在真空中传播D．都具有恒定的波速5．某空间中出现了如图中虚线所示的一组闭合的电场线，这可能是()A．在中心点O有一静止的点电荷B．沿AB方向有一段通有恒定电流的直导线C．沿BA方向的磁场在减弱D．沿AB方向的磁场在减弱6．手机A的号码是133××××0002，手机B的号码是133××××0008。

第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。

解：空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？ 解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91bZ abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。

解：005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L L S+Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。

电磁场与电磁波习题及答案1麦克斯韦方程组的微分形式是：.D H J t∂∇⨯=+∂,BE t∂∇⨯=-∂,0B ∇=,D ρ∇= 2静电场的基本方程积分形式为：CE dl =⎰SD ds ρ=⎰3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：3.00n S n n n Se e e e J ρ⎧⋅=⎪⋅=⎪⎨⨯=⎪⎪⨯=⎩D B E H4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5电流连续性方程的微分形式为：5.J t ρ∂∇=-∂ 6电位满足的泊松方程为2ρϕε∇=-；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。

12ϕϕ=1212n n εεεε∂∂=∂∂ 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是: 唯一性定理。

8.电场强度E的单位是V/m ，电位移D的单位是C/m2 。

9．静电场的两个基本方程的微分形式为0E ∇⨯= ρ∇=D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令B A =∇⨯的依据是（ 0B ∇= ） 2. “某处的电位0=ϕ，则该处的电场强度0=E”的说法是（错误的 ）。

3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln(1aaD C -=πε ）。

4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。

5. N 个导体组成的系统的能量∑==Ni i i q W 121φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。

6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ）7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。

8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。

8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。

第1章矢量分析1.1复习笔记一、标量场和矢量场1.一个只用大小描述的物理量为标量。

若所研究的物理量为一标量，则该物理量所确定的场为标量场，如温度场，密度场等。

用一个标量函数来表示该场为2.一个既有大小又有方向特性的物理量为矢量。

若所研究的物理量为一矢量，则该物理量所确定的场为矢量场，如力场、电场等。

用一个矢量函数来表示该场为二、标量场的方向导数与梯度1.在直角坐标系中方向导数的计算公式为式中，是方向l的方向余弦。

特点：方向导数既与所研究的点有关，也与方向有关。

2.标量场的梯度是一个矢量，在直角坐标系中，梯度的表达式为在柱坐标系和球坐标系中，梯度的表达式为标量场的梯度意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。

3.梯度运算的基本公式：三、矢量场的散度与旋度1.散度矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。

矢量场的散度是个标量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中的计算式分别为2.散度定理（高斯定理）矢量场F的散度在体积V上的体积分，等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面积分。

3.旋度旋涡源密度矢量。

矢量场的旋度是个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中分别表示为4.斯托克斯定理矢量场F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积分。

四、无旋场与无散场1.仅有散度源而无旋度源的矢量场为无旋场，如静电场，。

梯度矢量的重要性质：它的旋度恒等于零，即。

2.仅有旋度源而无散度源的矢量场为无散场，如恒定磁场，。

旋度矢量的重要性质：它的散度恒等于零，即。

五、格林定理1.格林第一恒等式2.格林第二恒等式3.格林定理的应用：（1）利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

（2）格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。

因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。

六、亥姆霍兹定理在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可表示为：1.2课后习题详解（一）思考题1.1如果A·B＝A·C，是否意味着B＝C？为什么？答：并不意味着B＝C。

第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。

解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。

其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ϖϖϖϖ++=的矢量线方程。

解： 矢量线应满足的微分方程为 ：zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ，c 1和c 2是积分常数。

例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点（1，1，2）处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。

解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy x ϕ, 02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xzxy yϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。

解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ϖϖϖϖϖϖϖ++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ϖϖϖϖϖϖϖο++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂οϖl z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。

第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。

解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。

其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x++=的矢量线方程。

解： 矢量线应满足的微分方程为 ：zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ，c 1和c 2是积分常数。

例 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点〔1，1，2〕处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。

解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy x ϕ, 02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xzxy yϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。

解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。