专题7 立体几何中的翻折、探究及最值问题(课件)高考数学二轮复习(新高考地区专用)

1第10讲立体几何翻折与旋转问题

一．选择题（共9小题）

1．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：

①ACBD；②ADC是正三角形；③AB与CD成60角；④AB与平面BCD成60角．

则其中正确结论的个数是()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：取BD的中点E，则AEBD，CEBD．

BD面AEC．

BDAC，故①正确．

设正方形边长为a，则ADDCa

，2

2AEaEC．

ACa．

ADC为等边三角形，故②正确．

ABD为AB与面BCD所成的角为45，

以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，

则(0A，0，2)

2a，(0B，2

2a，0)，(0D，2

2a，0)，

2(

2Ca，0，0)．

(0AB，2

2a，2)

2a，2(

2DCa，2

2a，0)．

cosAB，1

2DC

，

AB

，60DC

，故③正确．

ABD为AB与面BCD所成的角为45，故④不正确．

故选：C．

22．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂

直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面

积最大值为()

A．1

4B．2

4C．3

4D．1

【解答】解：补成正方体如图：

由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得1KLKN；

又//KLBC，//KNAD，且ADBC；

KNKL，

(

2MNKLNKKLSNKKL四边形󰀭21)

4，

当且仅当NKKL时取等号．

故选：A．

3．矩形ABCD中，3AB，1BC，将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中

直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为()

3A．[0,]

6B．[0,]

3C．[0,]

2D．2[0,]

3

【解答】解：由题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，

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专题7-1立体几何压轴小题；截面与球

目录

讲高考................................................................................................................................................................................1

题型全归纳......................................................................................................................................................................2

【题型一】截面最值....................................................................................................................................................2

【题型二】球截面.........................................................................................................................................................3

【题型三】截面综合难题...........................................................................................................................................3

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第三篇立体几何

专题06立体几何中折叠问题

类型对应典例

折叠问题中的点线面位置关系典例1

折叠问题中的体积典例2

折叠问题中的线面角典例3

折叠问题中的二面角典例4

【典例1】如图，在直角梯形ABCD

中，//ABDC

，90BAD

，4AB，2AD，3DC

，点E

在CD

上，且2DE，将ADE沿AE折起，使得平面ADE平面ABCE

（如图）.G

为AE中点.

（1）求证:DG

平面ABCE

；

（2）求四棱锥DABCE

的体积；

（3）在线段BD上是否存在点P，使得//CP

平面ADE？若存在，求BP

BD的值；若不存在，请说明理由.【典例2】如图1,在正方形ABCD

中，E是AB的中点，点F在线段BC

上,且1

4BFBC

.若将

,AEDCFD

分别沿,EDFD

折起，使,AC

两点重合于点M,如图2.

图1图2

(1)求证:EF平面MED；

(2)求直线EM与平面MFD所成角的正弦值.

【典例3】如图1，已知菱形AECD

的对角线,ACDE

交于点F，点E为线段AB的中点，2AB，

60BAD，将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，6

2PC

，如图2所示．

（Ⅰ）证明：平面PBC平面PCF

；

（Ⅱ）求三棱锥EPBC

的体积．【典例4】如图，ABC

中，4ABBC

， 90ABC

，,EF

分别为 AB

，AC

边的中点，以EF

为折痕把AEF折起，使点 A

到达点 P

的位置，且 PBBE．

（1）证明： BC

平面 PBE

；

（2）求平面 PBE

与平面 PCF

所成锐二面角的余弦值．

【针对训练】

1.在RtABC△

中，90ABC，1

tan

2ACB

．已知E，F分别是BC

，AC

的中点．将CEF△沿

EF折起，使C

到'C

的位置且二面角'CEFB

的大小是60

．连接C'B

，'CA，如图：

（Ⅰ）求证：平面'FAC⊥

平面'ABC

；

（Ⅱ）求平面'AFC

与平面'BEC

所成二面角的大小．2．已知长方形ABCD

第 1 页 共 7 页 第四章 立体几何

专题17 立体几何中的最值问题

【压轴综述】

在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.

一、涉及几何体切接问题最值计算

求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；

二.涉及角的计算最值问题

1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．

2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．

3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.

（2）利用向量法求线面角的方法

(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；