考研数学一真题2015年
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考研数学一真题2015年
(总分：150.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为______。
（分数：4.00）
A.0
B.1
C.2
√
D.3
解析：[考点]
拐点的判定。
[解析]
若曲线函数在拐点处有二阶导数，则在拐点处二阶导数异号(由正变负或由负变正)或不存在。因此，由f"(x)由的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点，故选C项。
2.设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则______。
（分数：4.00）
A.a=-3，b=2，c=-1
√
B.a=3，b=2，c=-1
C.a=-3，b=2，C=1
D.a=3，b=2，C=1
解析：[考点] 二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——由已知解来确定微分方程的系数。
[解析]
由题意可知， 为二阶常系数齐次微分方程y"+ay"+by=0的解，所以由常系数齐次微分方程的解与其特征方程根的关系知2，1为特征方程r 2 +ar+b=0的根，从而a=-(1+2)=-3，b=1×2=2，从而原方程变为y"-3y"+2y=ce x ，再将特解y=xe x 代入得c=-1，故选A项。
3.若级数条件收敛，则和x=3依次为幂级数的______。
（分数：4.00）
A.收敛点，收敛点
B.收敛点，发散点 √
C.发散点，收敛点
D.发散点，发散点
解析：[考点] 幂级数的收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
[解析] 已知 条件收敛，即x=2为幂级数 的条件收敛点，所以 的收敛半径为1，收敛区间为(0，2)。因幂级数与其导数的收敛区间相同，故 的收敛区间还是(0，2)，则 与x=3依次为幂级数 的收敛点，发散点，故选B项。
4.设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x， 围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则 =______。 A．
B．
C．
D．
（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[考点] 将二重积分化成极坐标系下的累次积分和极坐标变换。
[解析] 平面区域D的图形为图中阴影部分。
作极坐标变换，令
，则该二重积分的积分区域变为 ，所以 ，故选B项。
5.设矩阵 ，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为______。
A．
B．
C．
D．a∈Ω，d∈Ω
（分数：4.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[考点] 线性方程组Ax=b有无穷多解的充要条件。
[解析] 线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为r(A)=r(A，b)＜n。(A，b)=
由r(A)=r(A，b)＜3，故(a-1)(a-2)=0且(d-1)(d-2)=0，则a=1或a=2，且d=1或d=2，故选D项。
6.设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换为x=Py下的标准形为 ，其中P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，若Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换x=Qy下的标准形为______。
A．
B． C．
D．
（分数：4.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：[考点]
二次型在正交变换下的标准型。
[解析] 由x=Py，得 ，且 ，
则 ，故选A项。
7.若A，B为任意两个随机事件，则______。
A．P(AB)≤P(A)P(B)
B．P(AB)≥P(A)P(B)
C．
D．
（分数：4.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[考点] 随机事件概率的基本性质。
[解析] 由于 ，根据概率的基本性质，有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)，从而 ，故选C项。
8.设随机变量X，Y不相关，且EX=2，EY=1，DX=3，则E[X(X+Y-2)]=______。
（分数：4.00）
A.-3
B.3
C.-5
D.5 √
解析：[考点] 随机变量的均值与方差。
[解析] 随机变量X，Y不相关，因此E(XY)=E(X)E(Y)。进而得：E[X(X+Y-2)]=E(X 2 +XY-2X)=E(X
2 )+E(XY)-2E(X)=D(X)+E 2 (X)+E(X)E(Y)-2E(X)=3+2 2 +2×1-2×2=5，故选D项。
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9. = 1。
（分数：4.00）
解析： [考点] 应用洛必达法则或等价替换求 型未定式极限。
[解析] 可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换。 方法一：
方法二：
10. = 1。
（分数：4.00）
解析： [考点] 定积分的计算。
[解析]
用奇偶函数在对称区间上的性质化简：
11.若函数z=z(x，y)由方程e z +xyz+x+cosx=2确定，则dz| (0,1) = 1。
（分数：4.00）
解析：-dx [考点]
隐函数求导。
[解析]
令F(x，y，z)=e
z +xyz+x+cosx-2，则
F" x (x，y，z)=yz+1-sinx，F" y (x，y，z)=xz，F" z (x，y，z)=e z +xy，又当x=0，y=1时，e z =1，所以z=0。
所以 ，因而dz| (0，1) =-dx。
12.设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则 dxdydz= 1。
（分数：4.00）
解析： [考点] 三重积分的计算。
[解析] 由轮换对称性，得
其中D z 为平面z=z截空间区域Ω所得的截面，其面积为 。
13.n阶行列式 = 1。
（分数：4.00）
解析：2 n+1 -2 [考点] 行列式的展开公式。
[解析] 将n阶行列式按第一行展开。
14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY-Y＜0}= 1。
（分数：4.00）
解析： [考点] 二维正态分布的性质。
[解析] 由题设知，X～N(1，0)，Y～N(1，1)，并且X，Y相互独立，从而
P{XY～Y＜0}=P{(X-1)Y＜0}=P{X-1＞0，Y＜0}+P{X-1＜0，Y＞0}
=P{X＞1，Y＜0}+P{X＜1，Y＞0} =P(X＞1)P(Y＜0)+P(X＜1)P(Y＞0)(X，Y相互独立)
又X～N(1，0)，则 ，可得
。
三、解答题(总题数：9，分数：94.00)
15.设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 ，若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
（分数：10.00）
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正确答案：()
解析：解：此题为
型极限，可用泰勒展开公式，也可直接用洛必达法则。
方法一：因f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，则有
由于ln(1+x)与sinx的泰勒展开式分别为
则
即1+a=0，
[考点]
函数等价无穷小的定义。
16.设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x
0
∈I，曲线y=f(x)在点(x 0
，f(x
0 ))处的切线与直线x=x 0 及x轴所围成区域的面积恒为4，f(0)=2，求f(x)的表达式。
（分数：10.00）
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正确答案：()
解析：解：设f(x)在点(x 0 ，f(x
0 ))处的切线方程为：y-f(x 0
)=(x-x
0 )f"(x 0
)，令y=0，得到 。故由题意，得 ，即 ，可以转化为一阶微分方程，即 ，可分离变量得到通解为： 。已知y(0)=2，得到 ，因此 ，即 。 [考点] f(x)切线的定义与一阶微分方程。
17.已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x 2 +y 2 +xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数。
（分数：10.00）
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正确答案：()
解析：解：f(x，y)沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因为f" x (x，y)=1+y，f" y (x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，
模为 ，此题目转化为求函数 在约束条件C：x 2 +y 2 +xy=3下的最大值，即为条件极值问题。
为了计算简单，可以转化为求d(x，y)=(1+y) 2 +(1+x) 2 在约束条件C：x 2 +y 2 +xy=3下的最大值。
构造函数：F(x，y，λ)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +λ(x 2 +y 2 +xy-3)，
