微分中值定理的应用

２０１　０　Ｎ０．０１　；　’　；；。　ｉ：；　Ｉｎｎ０ｖａｔｌｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　微分中值定理的应用　陈小燕　（海南省琼台师范高等专科学校数理系　海口　５７Ｉ　１　００）　理论前沿　

摘要：本文主要介绍常用截分中值定理在证明中值等式问题，证明不等式，讨论方程根的存在性与个数，研究函数性态和求未定式极限　五个方面的应用。　关键词：微分中值定理　联系　应用　中图分类号：Ｏ１　７　２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—９７９５（２０１０）０ｌ（ａ）一００８４—０１　中值定理揭示了函数在某区间的整体　性质和区间内某一点导数之间的关系，是　联系局部和整体的纽带，是微分学应用以　及自身发展的理论基础，因此说中值定理　是微分学的基本定理。它在数学中占了很　重要的位置，本文主要介绍它在解题中的　一些应用。　中值定理有四个：罗尔（Ｒｏｌｌｅ）中值定　理，拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理，柯西中　值定理，泰勒定理。　１常用微分中值定理及内在联系　如表１所示。　２微分中值定理的应用　２．１中值等式的证明　例１：设ｆ（ｘ）在【ａ，ｂ】上有一至三阶导数，　且ｆ（ａ）：ｆ（ｂ）＝ｆ’（６）＝ｆ　（６）＝０。　证明：在（／７／，６）内至少存在一点　使　，　（　）＝０。　证明：将ｆ（ｘ）在ｘ＝ｂ处写成二阶泰勒公　式，有：　（　）：　（６）＋，，（６）（　一６）＋　：　芋　（　一６）ｚ　＋　（　）　（　＜　＜６）　由题设ｆ（ｂ）＝ｆ　（６）＝ｆ　（６）＝０，于是　上式成为　）：　（ｘ一６），（　＜　＜６）　再由上式中令　＝ａ，得　）＝　（　，　故存在　（口，ｂ），使　（号）＝０。　２．２不等式的证明　表１　例２：证明不等式：而ｈ＜ｌＩｌＯ＋　＜＾对　一切ｈ＞一ｌ，ｈ≠０成立。　证明：令ａ＝１，／（　）＝ｌｎｘ，则有　ｌｎ（１　）＿１ｎｏ“）－ｌｎ１＝　，０＜０＜１．…．（１）　当ｈ＞０时，有不等式０＜０＜１可推得　１　１　／ｌ＋ｈ话　＜　＜　…．．（２】１＜１＋　＜　及而＜而＜只…一（２）　当一１＜ｈ＜０时，由不等式０＜０＜１可　得ｌ＞１＋　＞１＋ｈ＞０，由于ｈ＜０时也　能推得（２）式成立，把（１）代入（２）得　！＿－＜ｌｎｆ１＋ｈ１＜ｈ　１＋ｈ　３方程根的存在性与个数的证明　例３：设ｆ（ｘ）在［口，ｂ】上二阶可导，且恒有　，　（　）＜０，证明：若方程ｆ（ｘ）＝Ｏ在（口，６）内　有根，则最多有两个根。　证明：设ｆ（ｘ）在内（口，６）有三个根　ｘＩ，　２，ｘ３，且设ａ＜Ｘｌ＜　２＜Ｘ３＜ｂ，即有　厂（五）＝ｆ（ｘ：）＝ｆ（ｘ３）＝０，分别在区间　［　，　］与［　，　］上应用罗尔定理，有　厂　１）＝０，薯ｌ∈（ＸＩ，　２），，　（亏２）＝０，号２∈（Ｘ２，Ｘ３），　又　）在　，　］上也满足罗尔定理，故　（　）＝０，　∈（　，　）ｃ　，ｂ）这与假设　ｆ　（　）＜０矛盾，故ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）内最多有　两个根　定理　条件　结论　罗尔　ｆ在　ｂ】上连续，（ｄ，　）内可导，，（　）＝　，　）　ｊ　∈（口，６），使得，　（　）＝０　拉格朗日　ｆ在　上连续，（。，６）内可导　ｊ　（　，６），使得，　ｉｆ）＝　ｆ（ｂ　）－ｆ一（ａ）　柯西　ｆ，ｇ在　６】上连续，（ｄ，ｂ）内可导，ｇ　≠０，ｇ　）≠ｇ（６）　；川　，，使得　＝　泰勒　ｆ在　，加上有直到ｎ阶连续导数，　Ｖｘｅ（　），ｊ　Ｅ　），　（　６）内有直到ｎ｝ｌ阶导数　：毫　＋　ａ）　关系　柯西和泰勒都是拉格朗Ｈ的推广，拉格朗ｋｌ是罗尔的推广。　８４　中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　４研究函数性态（抽象函数极值　拐　点的判定）　例４：设ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ：Ｘｏ的某领域内具有　三阶连续导数，如果厂　）＝ｏ，ｆ（Ｘｏ）＝Ｏ，　而ｆ　（　）≠０，试问Ｘ＝ＸＯ是否为极值点，　又（Ｘｏ，ｆ（Ｘｏ））是否为拐点？　解：设　（Ｘｏ）＞０，而厂　）连续，　即ｌｉｍｆ　（　）＝ｆ　（ｘｏ），所以存在Ｘｏ的　某个领域，使＿厂　（Ｘｏ）＞０。由泰勒定理得　ｆ（　ｆ（Ｘｏ）＋／，（ｘｏ）（ｘ一　）＋　（ｘ－Ｘｏ）２＋　（　介于ｘ与　之间）ｆ（　ｆ（Ｘｏ）：　（Ｘ－－Ｘ０）　，因　为　（　）＞０，当　＜Ｘｏ时，ｆ（ｘ）＜ｆ（ｘｏ）；　当　＞Ｘｏ时，厂（　）＞ｆ（Ｘｏ），所以ｆ（ｘ）在点　Ｘｏ处不取极值，即Ｘ＝ＸＯ不是极值点。由　拉格朗日得，　（ｘ）一厂　（ｘｏ）＝ｆ　（　）　—Ｘｏ）　（，７介于Ｘ与　之间），当　＜Ｘｏ时，　／　（Ｘｏ）＜０；当　＞Ｘ０时，厂　（　）＞０，从而　（Ｘｏ，ｆ（Ｘｏ））是拐点。　５未定式的极限　Ｘ２　例５：求极限：ｌｉｍ　！兰　！：　｝０　’　￣：ＣＯＳＸ＝Ｉ－ｘ　２　＋著＋。（　），　＝　＝ｌ＋（一萼）＋　（一　＋Ｄ（　）　于是Ｃ０ＳＸ－ｅ　＝～ｌ１．－￣２－Ｘ４＋Ｏ（Ｘ４），故原　…１　＋Ｄ（ｘ　）１　式＝ｌｉｍ—　—。　一　前面介绍了微分中值定理在解题中的　简单应用，我们在解决实际问题时，要根据　所给条件选择恰当的方法来解，使计算简　易可行　参考文献　【ｌ】华东师范大学数学系．数学分析（第二　版）【Ｍ】．高等教育出版社．　【２】吴赣昌．高等数学（理工类）【Ｍ】．中国人　民大学出版社．　【３】王元．大学数学［Ｍ】．人民教育出版社．

摘 要

微分中值定理是微分学的基本定理，也是微分学的核心定理。中值定理论是导数应用的基础

理论。它把函数的变化与导数联系起来，从而把有型的无形的结合在一起，通过局部状态的导数的反应，研究函数在区间上的整体状态。在微分学里，由费马定理奠定理论基础，中值

定理包括罗尔定理，拉格朗日中值定理与柯西中值定理。本文主要介绍在微分中值定理证明

过程中，辅助函数的构造方法；利用微分中值定理证明等式，证明不等式，求极限，判断函

数的单调性，证明方程根的存在性；同时给出两个中值定理的推广和逆向证明的方法。着重

介绍了利用微分中值定理解决的实际问题，使其应用更加广泛，进而体现了微分中值定理在《数学分析》中的重要性.

关键词：中值定理，辅助函数，应用，推广

第２３卷第２期　２００７年ｌＯ月　山西大同大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｘｉ　Ｄａｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２３．Ｎｏ．２　Ｏｃｔ．２ｏｏ７　

微分中值定理及其应用　

刘章辉　

（福建水利电力职业技术学院，福建永安３６６０００）　

摘要：运用推广与收缩的观点阐述了微分中值定理之间的关系，讨论了微分中值定理在微分学中的地　

位与作用，介绍了微分中值定理在解题中的应用　

关键词：高等数学微分中值定理解题应用　

中图分类号：０１７２、１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—０８７４（２００７）０２—００７９—０３　

微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、　

柯西中值定理和泰勒中值定理的统称．微分中值定　

理是微分学的理论基础，其共同点是：在一定的条件　

下，可以肯定在所给区间内至少有一点，使得所研究　

的函数在该点具有一定的微分性质．本文拟运用推　

广与收缩的观点讨论微分中值定理之间的关系即微　

分中值定理在解题中的应用．　１　微分中值定理之间的关系　

通俗说，推广是将问题普遍化，而收缩则是将问　

题特殊化．推广是事物发展所遵循的规律之一．综观　

整个“高等数学”内容的展开，就是一个不断推广的　

过程．运用推广与收缩的观点得到微分中值定理之　

间的关系，见图１．　

推广　

—————————　●●—————————一　

特例　

Ｆ｛ｘ）＝ｘ　

图１微分中值定理之间的关系　

从图１可以看出：罗尔定理是微分中值定理的　基石，而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核　

收稿日期：２００７—０９—０５　

作者简介：刘章辉（１９４９一），男，福建长乐人，副教授，研究方向：数学教育学　一

　维普资讯 ・８０・　山西大同大学学报（自然科学版）　２００７年　

心．拉格朗日中值定理添加条件Ｉ厂（ｏ）＝Ｉ厂（ｂ），则收　

缩为特例罗尔定理．反之，如果罗尔定理中放弃条件　

浅议微分中值定理及应用

摘要:微分中值定理是高等数学中很重要的部分，许多书把其作为单独一章讲解，微分中值定理通常包括费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、达布定理等。本文就微分中值定理的概念和应用做了简单的介绍。

关键词:费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态，从而能把握住函数图象的各种几何特征．此外，极值问题有重要的实际应用．在用微分中值定理去证明一些问题时,我们通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等变换以后而实现。微分中值定理主要应用在那几个方面，本文进行了简单讲解。

一、微分中值定理的含义

实际上,自从极限的概念被确立后,微积分的概念才有了比较合理的基础,这为函数的分析提供了有力的工具。有了极限的概念,就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特殊的极限---导数。有了导数,当然可以继续研究高阶导数。在有了导数以后,为了沟通函数与其各阶导数的性质,就有了中值定理。学习这些中值定理，将会给我们重要的启示(依照逻辑顺序排列) 。

1.费马定理Fermat 1601-1665。

2.罗尔定理Rolle 1652-1719(标准教科书证明利用了费马定理)。

3.拉格朗日 1736-1813(证明利用了罗尔定理)。

4.柯西定理 1789-1857(证明利用了拉格朗日定理)。

5.罗比达定理 1661-1704 (证明利用了柯西定理)。

6.泰勒公式 1685-1731(证明利用了柯西定理)。

拉格朗日中值定理和柯西中值定理的过程是基于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广,找出辅助函数满足罗尔定理的条件得证的；柯西中值定理作为拉格朗日中值定理的推广,再应用参数方程所确定的函数的导数,找出辅助函数满足罗尔定理的条件得证的。