高考数学真题汇编---平面向量(有解析)

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高考数学真题汇编---平面向量

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一．选择题（共10小题）

1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ）

A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||

2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ）

A．3 B．2 C． D．2

3．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（ ）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1

4．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（ ）

A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3

5．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）

A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．8

7．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（ ）

A．﹣ B． C． D．

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8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（ ）

A． B． C． D．

10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）

A． B． C． D．

二．填空题（共20小题）

11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ= ．

12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= ．

13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．

14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．

15．（2017•山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是

．

16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为 ．

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18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= ．

19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为

．

20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ．

21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是 ．

22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．

23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为 ．

24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ．

25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是

．

26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是 ．

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27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是 ．

28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为 ．

29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是 ．

30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是 ．

三．解答题（共1小题）

31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．

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高考数学真题汇编---平面向量

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．

【分析】由已知得，从而=0，由此得到．

【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，

∴，

解得=0，

∴．

故选：A．

2．

【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD==

∴BC•CD=BD•r，

∴r=，

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∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故选：A．

3．

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），

则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]

∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，

故选：B．

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4．

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．

【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，

∴AC=2，

∴∠AOB=∠COD＞90°，

由图象知OA＜OC，OB＜OD，

∴0＞•＞•，•＞0，

即I3＜I1＜I2，

故选：C．

5．

【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．

【解答】解：，；

∴；

又0°≤∠ABC≤180°；

∴∠ABC=30°．

故选：A．

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6．

【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．

【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），

∴+=（4，m﹣2），

又∵（+）⊥，

∴12﹣2（m﹣2）=0，

解得：m=8，

故选：D．

7．

【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．

【解答】解：如图，

∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，

∴•==

==

===

=．

故选：C．

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8．

【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．

【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），

∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，

解得：t=﹣4，

故选：B．

9．

【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，

又•=•=•，可得

•（﹣）=0，•（﹣）=0，

即•=•=0，

即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，

则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．

由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，

解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，

以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，

可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），

由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），