离散数学定义列表

离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。

以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。

集合论研究集合之间的关系、运算和性质。

2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。

3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。

4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。

离散数学研究这些结构的性质和应用。

5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。

6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。

7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。

总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。

命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。

它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。

▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。

•若n =0，则称为0元函数。

▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。

▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。

由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。

•⑵原子公式是由S生成的公式。

•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。

▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。

•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。

•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。

•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。

▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。

•解释：用论域的对象对应变元。

•结构：论域和解释称为结构。

•语义：符号指称的对象。

公式所指称对象。

合式公式的语义是其对应的逻辑真值。

▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。

由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。

•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。

•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。

离散数学基础概念汇总离散数学是数学的一个分支领域，它研究离散化的数学对象和离散化的数学结构。

它与连续数学形成鲜明对比，涉及的内容包括集合论、图论、逻辑、数字逻辑、关系代数等。

在计算机科学、信息技术和其他领域中有广泛的应用。

一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合及其元素之间的关系和操作。

以下是集合论中常见的基本概念：1. 集合：集合是一组具有共同特征的对象的总体。

例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中包含了元素1、2和3。

2. 元素：集合中的个体被称为元素。

在上述例子中，1、2和3是集合的元素。

3. 包含关系：如果一个集合的所有元素都同时也是另一个集合的元素，则称前者包含于后者。

用符号表示为A ⊆ B，读作“A包含于B”。

4. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含了A和B中所有元素的集合。

用符号表示为A ∪ B。

5. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是同时属于A和B的所有元素构成的集合。

用符号表示为A ∩ B。

6. 补集：给定一个集合A和它所在的全集U，除去A中所有元素后剩下的元素构成的集合称为A的补集。

用符号表示为A'。

二、图论图论是离散数学中的又一个重要分支，它研究图及其性质和应用。

以下是图论中常见的概念：1. 图：图由节点（顶点）和边组成。

节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

2. 顶点度：有向图中，顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量。

无向图中，顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。

3. 路径：路径是指图中一系列顶点和边的序列。

路径的长度是指路径中边的数量。

4. 连通图：在无向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，则称该图为连通图。

5. 强连通图：在有向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，并且逆向也成立，则称该图为强连通图。

三、逻辑逻辑是离散数学中研究命题、推理和证明的科学。

以下是逻辑中常见的概念：1. 命题：命题是陈述某个事实的句子，每个命题要么是真的，要么是假的。

说明：定义：红色表示。

定理性质：橙色表示。

公式：蓝色表示。

算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则，CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补,对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称闭包s(R), 传递闭包t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。

3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图） 3. 图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4. 欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5. 无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal ，根树，m 叉树，最优二叉树，Huffman 算法6. 平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski 定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。

离散数学基础知识离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

这门学科主要研究离散对象的结构及其相互关系，包括集合、关系、图、逻辑等方面的内容。

集合是离散数学中最基本的概念之一。

简单来说，集合就是一堆具有某种共同特征的元素的总体。

比如，｛1, 2, 3, 4, 5}就是一个由数字 1 到 5 组成的集合。

集合的运算包括并集、交集、差集等。

并集就是把两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。

关系也是离散数学中的重要概念。

关系可以理解为两个集合之间元素的对应规则。

比如，在一个班级中，“同学关系”就是一种关系。

从数学角度来看，我们可以用一个矩阵或者一个有序对的集合来表示关系。

关系具有自反性、对称性、传递性等性质。

图论在离散数学中占据着重要的地位。

图由顶点和边组成，可以用来表示很多实际问题。

比如，交通网络可以用图来表示，顶点代表城市，边代表城市之间的道路。

图的类型有很多，比如无向图、有向图、加权图等。

在图论中，我们研究图的连通性、最短路径、最小生成树等问题。

例如，通过算法可以找到两个顶点之间的最短路径，这在物流配送、网络通信等领域有着重要的应用。

逻辑是离散数学中用于推理和判断的工具。

包括命题逻辑和谓词逻辑。

命题逻辑中，我们研究简单的陈述句的真假情况，并通过逻辑连接词（如“与”“或”“非”等）来组合命题。

谓词逻辑则更加复杂，它可以处理涉及变量和量词（如“存在”“所有”）的命题。

在计算机科学中，离散数学的应用无处不在。

比如，在数据库设计中，集合和关系的概念用于组织和管理数据；在算法设计中，图论的知识可以帮助优化算法的效率；在人工智能中，逻辑推理用于知识表示和推理。

另外，离散数学对于培养逻辑思维和解决问题的能力也非常有帮助。

通过学习离散数学，我们能够更加严谨地思考问题，学会用数学的方法去分析和解决实际问题。

离散数学教程——的基本概念离散数学是一门研究离散的、不连续的数学结构和对象的学科。

它涉及了数理逻辑、集合论、图论、代数、组合数学等多个领域，其基本概念构成了离散数学的基础，下面将介绍其中的几个重要概念。

1.集合：集合是离散数学中最基本的概念之一、集合是由一些对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示，并用花括号括起来。

例如，{1,2,3}是一个包含了元素1、2和3的集合。

2.二元关系：二元关系是一种描述两个对象之间关系的数学概念。

通常用有序对来表示。

例如，对于集合A={1,2,3}和B={4,5,6}，我们可以定义一个二元关系R，其中每个有序对(x,y)表示x属于A，y属于B。

例如，(1,4)表示1和4之间存在这个关系。

3.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。

图可以分为有向图和无向图，有向图中边有方向，无向图中边没有方向。

图的顶点数和边数分别用，V，和，E，表示。

图的最短路径、连通性、最大流等是图论中常见的问题。

4.排列与组合：排列和组合是组合数学中的两个重要分支。

排列是指从n个元素中取出k个，按照一定顺序排列的方式。

组合是指从n个元素中取出k个，不考虑排列顺序的方式。

排列数和组合数可以用公式来计算，例如排列数的计算公式是P(n,k)=n!/(n-k)!，组合数的计算公式是C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)。

5.布尔代数：布尔代数是对逻辑运算进行抽象和推广后所形成的一种代数系统。

它由逻辑与、或、非等运算符以及逻辑变量组成，可以表示和操作命题逻辑中的各种逻辑关系。

布尔代数在计算机科学中有广泛的应用，可以用于逻辑电路设计、布尔函数的表示与化简等。

以上是离散数学中的一些基本概念，这些概念在离散数学的理论研究和实际应用中起着重要作用。

离散数学的研究方法和思维方式与连续数学不同，强调离散结构的分析和推理，对于计算机科学、信息技术等领域的学习和研究都具有重要意义。

离散数学第一章命题逻辑定义1。

设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。

若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。

联结词“¬”表示命题的否定。

否定联结词有时亦可记作“¯”。

（P3）定义2。

两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。

当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。

（P4）定义3。

两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。

当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。

（P5）定义4。

给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。

当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。

我们称P为前件，Q为后件。

（P6）定义5。

给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。

（P7）定义6。

命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。

（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。

（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。

（P9）定义7。

在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

（P12）定义8。

给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。

记作A⇔B。

（P15）定义9。

如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。

（P16）定理1。

设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。

图1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.3G=<V ,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.4无向完全图Kn, 有边数 5有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).6有n 个结点的有向完全图, 有边数 n2.12 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等. 2.边数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的结点的度数相等.17 在一个有n 个结点的图中,如果从结点vi 到vj 存在一条路,则从vi 到vj 必存在一条长度不多于n-1的路.19 连通分支:令G=<V ,E>是无向图, R 是V 上连通关系, 设R 对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n 个等价类构成的n 个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(Vn),并称它们为G 的连通分支. 并用W(G)表示G 中连通分支数.28 如果从u 到v 不可达,则d<u,v>=∞29 图的直径: G 是个有向图, 定义D=max{d<u,v>} u,v ∈V 为图G 的直径.30强连通、单侧连通和弱连通：在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通. 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通.31一个有向图G 是强连通的,当且仅当G 中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次. 32一. 邻接矩阵这是以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵.1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵A=(aij)称为G 的邻接矩阵. 其中:aij ={ 1 vi 与vj 邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E0 否则33从邻接矩阵看图的性质:无向图:每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图:每行1的个数=对应结点的出度每列1的个数=对应结点的入度34在(A(G1))2 中a342 =2 表示从v3到v4有长度为2的路有2条:在(A(G1))3中a233 =6 表示从v2到v3有长度为3的路有6条:设G=<V ,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G 的邻接矩阵(A(G))k 中的第 i 行第j 列元素aijk=m, 表示在图G 中从vi 到vj 长度为k 的路有m 条.35二.可达性矩阵1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵P=(pij)称为G 的可达性矩阵. 其中: pij ={1 vi 到vj 可达, (至少有一条路)0 否则)1(21 n n37三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个无向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中:mij ={ 1 vi与ej关；0 否则2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有二个1.(因为每条边只关联两个结点)b)每行中1的个数为对应结点的度数.c)如果两列相同,则说明对应的两条边是平行边.2.有向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个简单有向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中: mij ={1 vi是ej的起点；-1 vi是ej的终点；0 vi与ej不关联2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有一个1和一个-1.(每条边有一个起点一个终点)b)每行中1的个数为对应结点的出度.-1个数是结点入度38关键路径:就是各个结点的缓冲时间均为0的路径.39 欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.40 欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.41有欧拉路与有欧拉回路的判定:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.42无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.43汉密尔顿图：定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.44汉密尔顿图的判定:到目前为止并没有判定H图的充分和必要条件.(充分条件):G是完全图,则G是H图.(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n-1(n),则G 有一条H路(H回路)注意:上述条件只是充分条件,而不是必要条件,即不满足这个条件的, 也可能有H路.45 (必要条件) 若图G=<V,E>有H回路,则对V的任何非空子有限集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图的连通分支数. 48完全二部图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的二部图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则称G是完全二部图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,n 49.二部图的判定: 定理G=<V,E>是二部图当且仅当它的所有回路的长度都是偶数.52两个重要的非平面图:K5和K3,353 欧拉公式G是个连通的平面图, 设v、e、r分别表示G中结点数、边数、面数, 则有v-e+r=2. 称此式为欧拉公式.54 平面图的判定(必要条件) 设G是有v 个结点、e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e ≤3v-6.55一个图是平面图的充分且必要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2度结点内同构的子图.56如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2度结点内同构.树1度数为1的结点,称为叶结点. 分支结点(内结点):度数大于1的结点.2无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.3如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.4图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.5连通图至少有一棵生成树. 寻找生成树的方法：深度优先；广度优先.6一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.7根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树. 1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点. 3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. 8在有向树中,如果规定了每一层上的结点的次序,称之为有序树.9 1.m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同, 则称之为正则m叉树.10 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .11 m叉有序树转化成二叉树：方法是:1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉的结点如下处理.2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.12 1.先序遍历⑴访问根结点.⑵先序遍历左子树⑶先序遍历右子树2.中序遍历⑴中序遍历左子树⑵访问根结点.⑶中序遍历右子树3.后序遍历⑴后序遍历左子树⑵后序遍历右子树⑶访问根结点.代数系统20 <X,★>和<X,★, ο>是代数系统, ★,ο是二元运算：1.封闭性：∀x,y∈X, 有x★y∈X。

数学的离散数学分支数学作为一门学科，包含了许多不同的分支，其中离散数学是一种重要的分支。

离散数学主要研究非连续、离散的数学结构和对象。

在现代计算机科学、密码学、网络通信等领域，离散数学扮演着重要的角色。

本文将介绍离散数学的定义、内容及其在实际应用中的重要性。

一、离散数学的定义离散数学是数学的一个分支，它研究离散的对象，如整数、有限集合以及离散的数学结构，而不是连续的对象。

离散数学注重于离散问题的求解和分析，以及逻辑推理和集合论等数学工具的应用。

二、离散数学的内容离散数学包含了多个重要的内容，下面将介绍其中的几个主要方面：1. 集合论：离散数学中的一个重要组成部分是集合论。

集合论是研究集合、元素和包含关系的学科，它为离散数学提供了基础。

2. 逻辑和证明：逻辑是离散数学中另一个重要的内容。

逻辑关注于正确推理和证明的方法，它为解决离散问题提供了基础。

3. 图论：图论是离散数学中研究图和网络的学科。

图是由节点和边组成的离散结构，图论主要研究图的性质、算法和应用。

4. 组合数学：组合数学是研究离散结构中的组合和排列的学科。

它涉及排列组合、图论、概率论等内容，是离散数学的一个重要分支。

5. 离散数学的应用：离散数学的应用非常广泛，特别是在计算机科学和信息技术领域。

它在网络通信、密码学、算法设计等方面发挥着重要的作用。

三、离散数学在实际应用中的重要性离散数学在多个领域中发挥着重要的作用，下面将介绍其中的几个方面：1. 计算机科学：离散数学是计算机科学的基础，它提供了计算机算法、数据结构和计算模型的理论基础。

离散数学的概念和方法在计算机科学中被广泛应用，帮助解决了很多复杂的计算问题。

2. 密码学：密码学是研究保护信息安全的学科，离散数学在密码学中起着重要的作用。

离散数学的知识可以帮助我们理解和设计密码系统，保护敏感信息的安全。

3. 网络通信：在网络通信中，离散数学的概念和方法可以帮助我们理解和分析网络的拓扑结构、通信协议和网络安全等问题。

离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。

(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。

(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。

(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。

1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。

（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。

定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。

A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。