北京市第八十中学2015-2016学年高二上学期期中数学(文)试题(含答案)

绝密★启用前2015-2016学年北京市东城区高二上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。

现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快； ②前三年该产品产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品年产量保持不变。

其中说法正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2、过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知抛物线上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．125、若满足，则的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．26、已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m ⊥，则m ⊥nB ．若m ⊥，m ⊥n ，则n ∥C ．若m ∥⊥n ，则n ⊥D ．若m ∥∥，则m ∥n7、双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．C ．4D ．C． D．9、直线的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°10、圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．4第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、如图所示，正方体的棱长为1，，M是线段上的动点，过点M作平面的垂线交平面于点N，则点N到点A距离的最小值为__________。

12、设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为________。

2016北京八十中高二（上）期中数学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）圆x2+y2+2y=1的圆心为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，2）D．（0，﹣2）2．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是（）A．∀x∈R，B．∃x0∈R，C．∃x0∈R，D．∀x∈R，3．（4分）双曲线的焦点坐标是（）A．（﹣6，0），（6，0）B．C．（﹣2，0），（2，0）D．4．（4分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题5．（4分）抛物线y2=4ax（a＜0）的焦点坐标是（）A．（a，0）B．（﹣a，0）C．（0，a）D．（0，﹣a）6．（4分）“k=1”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相交”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）圆x2+y2=2与圆x2+y2+4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．外切 C．内切 D．相交8．（4分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是圆C：（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则点P到直线AB的距离d 的最大值与最小值分别是（）A．+1，﹣1 B．+1，﹣1 C．，D．+1，﹣19．（4分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．（4分）已知点P为椭圆+=1上位于第一象限内的点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则点P的坐标是（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（2，）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．12．（4分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：．13．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．14．（4分）若点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，则点P的轨迹方程是．15．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= ．16．（4分）点P是直线kx+y+3=0上一动点，PA，PB是圆C：x2﹣2x+y2=0的两条切线，A，B为切点．若四边形PACB的最小面积为2，则此时线段PC的长为；实数k的值是．三、解答题（共3小题，满分36分）17．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．18．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）O为抛物线顶点，求证：OA⊥OB．19．（12分）已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】由题意可得：圆的方程为：x2+y2+2y=1，所以圆的标准方程为：x2+（y+1）2=2，所以圆的圆心为（0，﹣1）．故选：B．2．【解答】∵命题：“∃x0∈R，”是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R，”的否定是：“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．3．【解答】因为双曲线，可知焦点在X轴上，a=2，b=，所以c2=4+2=6，所以双曲线的焦点坐标是．故选B．4．【解答】∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．5．【解答】整理抛物线方程得y2=4ax，p=2a∴焦点坐标为（a，0）故选A6．【解答】k=1时，直线为x﹣y+1=0，圆x2+y2=1的圆心O到直线的距离为d=＜1，直线与圆相交，充分性成立；直线y=x+k与圆x2+y2=1相交时，圆心到直线的距离d=＜1，解得k∈（﹣，），必要性不成立；所以“k=1”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】圆x2+y2=2的圆心（0，0），半径为R=；圆x2+y2+4y+3=0化为标准方程得：x2+（y+2）2=1，故圆心坐标（0，﹣2），半径为r=1，∵圆心之间的距离d=2，R+r=1+＞2，R﹣r=，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：D．8．【解答】∵点A（﹣1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为+=1，即 x﹣y+1=0．圆心（1，0）到直线AB的距离d==，圆的半径为1，故点P到直线AB的距离d的最大值为d+r=+1，最小值为d﹣r=﹣1，故选：B．9．【解答】∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．10．【解答】由椭圆+=1可得a=3，=2．设P（x，y）（x，y＞0）．∵△PF1F2的面积S=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=．∴=y×2×2解得y=．代入椭圆方程可得：=1，解得x=．∴P．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：12．【解答】∵“x＞y”的否定是“x≤y”，“|x|＞|y|”的否定是“|x|≤|y|”；∴命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：“若x≤y，则|x|≤|y|”；故答案为：“若x≤y，则|x|≤|y|”．13．【解答】由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．14．【解答】∵点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，∴点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=﹣3为准线的抛物线，因此，设P的轨迹方程为x2=2px，（p＞0）可得p=3，解得p=6，2p=12∴动点P的轨迹方程为x2=12y．故答案为：x2=12y．15．【解答】由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．16．【解答】圆C：x2﹣2x+y2=0的圆心（1，0），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长），∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，=∴k=2或k=﹣∵k＞，∴k=2或k=﹣故答案为：；k=2或k=﹣三、解答题（共3小题，满分36分）17．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有，…（2分）即a2=a2﹣4a+8，解得a=2，…（4分）所以圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，…（8分）所以直线x=1符合题意．…（9分）设直线l方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，则，…（11分）解得，…（12分）所以直线l的方程为，即3x+4y﹣11=0．…（13分）综上，直线l的方程为x﹣1=0或3x+4y﹣11=0．18．【解答】（Ⅰ）联立直线与抛物线方程：，消去y，整理得k2x2+（2k2+1）x+k2=0，∵抛物线和直线相交于两点，∴，不等式组恒成立，即解得k∈R且k≠0．（Ⅱ）证明：联立直线与抛物线方程：，消去y，整理得ky2+y﹣k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1，∵点A，B在抛物线y2=﹣x上，∴，，，∵k OA•k OB====﹣1，所以OA⊥OB．19．【解答】（Ⅰ）由，得3x2+4x=0，解得x=0或，∴A，C两点的坐标为（0，1）和，∴．（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，∴，求得，∴△OAC的面积等于．②若B不是椭圆的左、右顶点，设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，则，，∴AC的中点P的坐标为，∴，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．计算|AC|===．∵点O到AC的距离d O﹣AC=．∴△OAC的面积=．综上，△OAC面积为常数．。

北京市第八十中学2015—2016学年度第一学期期中考试高二数学文试卷（考试时间：100分钟 总分：100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、圆2221x y y ++=的圆心为（ ） A 、()0,1B 、()0,1-C 、()0,2D 、()0,2-2、命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（ ）A 、x R ∀∈，3210x x -+≤B 、0x R ∃∈，320010x x -+<C 、0x R ∃∈，320010x x -+≤D 、x R ∀∈，3210x x -+>3、双曲线22142x y -=的焦点坐标是（ ）A 、()6,0-，()6,0B 、()，)C 、()2,0-，()2,0D 、()，)4、若p 是真命题，q 是假命题，则（ ） A 、p q ∧是真命题 B 、p q ∨是假命题 C 、p ⌝是真命题D 、q ⌝是真命题5、抛物线()240y ax a =<的焦点坐标是（ ） A 、(),0aB 、(),0a -C 、()0,aD 、()0,a -6、“1k =”是“直线y x k =+与圆221x y +=相交”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件7、圆222x y +=与22430x y y +++=的位置关系是（ ） A 、相离B 、外切C 、内切D 、相交8、已知两点()1,0A -，()0,1B ，点P 是圆C ：()2211x y -+=上任意一点，则点P 到直线AB 的距离d 的最大值与最小值分别是（ ）A 、12+，12-B 11CD 119、设点P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 、2BC 、2D10、已知点P 位椭圆22195x y +=上位于第一象限内的点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若12PF F ∆的内切圆的半径为12，则点P 的坐标是（ ）A 、,25⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、544⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、588⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、52,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l0的方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C到直线l0的距离d==1，平方并整理可得3k2﹣8k+3=0，解得k=，∵sin∠MPC===，∴cos∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p进行求解即可．【解答】解：∵p：存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意，∴非p形式的命题是：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q必要（充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．55．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=．12．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为．14．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即P={x|0≤x≤1}，∵M={0，1，3，4}，∴P∩M={0，1}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．2．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．5=2n﹣1（n≥2），【解答】解：∵S n﹣S n﹣1∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A 正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．【解答】解：角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=﹣sinα=﹣=，故答案为：．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=n﹣5．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3+a9=a10﹣a8，∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣（﹣4+7d），解得d=1∴a n=﹣4+n﹣1=n﹣5故答案为：n﹣512．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为（2，4）．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣4，2x﹣4）．∵∥，∴0﹣（2x﹣4）=0，解得x=2，∴B（2，4），故答案为：（2，4）．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为6．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin （ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：614．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．【解答】解：（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则==m+n，由得m+n≥t，∵∀m，n∈N*（m≠n），∴当m+n=1+2时，t≤3，则t的最大值为3．（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则≥7恒成立，即==m+n+≥7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+≥7，即≥4则a≥8．故答案为：3，a≥8三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．【解答】（I）解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（）=sin（2×﹣）+cos（2×﹣）===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（x）=2（sin（2x﹣）+cos（2x﹣））=2sin（2x﹣+）=2sin2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以周期T==π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是a≥1．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（Ⅱ）∵2S n=a n a n+1，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得到：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1时，a n=a1+2（k﹣1）=a+2k﹣2=a+n﹣1，当n=2k时，a n=2+2（k﹣1）=2k=n，∴a n=．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，∵2S n=a n a n+1，∴S n=，∴当n为奇数时，S n的最小值为S5=﹣15；当n为偶数时，S n的最小值为S4=﹣10，所以当n=5时，S n取得最小值为﹣15．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（）=f（[]）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（﹣）=f（[﹣]）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N•，取a∈（k2，k2+k），令[m]=k，m=，则一定有m﹣[m]=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N•，取a∈（k2﹣k，k2），令[m]=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣[m]=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。

2015-2016学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）A．{2，1}B．{（2，1）}C．{1，2}D．{（1，2）}2．（5分）若直线y=kx+1与直线2x﹣y+1=0垂直，则k的值为（）A．k=2 B．k=﹣2 C．D．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．04．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．55．（5分）过点P（2，3）且平行于直线2x+y﹣5=0的直线的方程为（）A．2x+y﹣7=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y+7=0 D．2x﹣y+7=06．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆（x+1）2+（y﹣1）2=2都相切的半径最小的圆方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y+1）2=47．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．8．（5分）四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．二、填空题9．（5分）直线y=﹣x+1的倾斜角是．10．（5分）将半径为4的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面的面积为．11．（5分）某边长为1的正方体展开图如图所示，在原正方体中，△ABC的面积为．12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．13．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．14．（5分）已知圆C过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为．15．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）三、解答题.16．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．17．（15分）如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点E，F分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ADE的体积；（Ⅱ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅲ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF．18．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为C，过点P（1，0）的直线l与圆C交于不同的两点A、B．（1）若|AB|=2，求直线l的方程；（2）求证：为定值；（3）以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，是否存在直线l，使得直线OD 与直线PC平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．20．（15分）圆O：x2+y2=16与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），l1，l2是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A，B重合的动点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C，D两点，且AD，BC两直线交于点M．（1）设切点P坐标为（x0，y0），求证：切线CD的方程为x0x+y0y=16；（2）设点M坐标为（m，n），试写出m2与n2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）；（3）判断是否存在点Q（a，0）（a＞0），使得||的最小值为？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）A．{2，1}B．{（2，1）}C．{1，2}D．{（1，2）}【解答】解：A∩B中的元素即直线4x+y=6 和直线3x+2y=7 交点的坐标，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为（1，2），故A∩B={（1，2）}，故选：D．2．（5分）若直线y=kx+1与直线2x﹣y+1=0垂直，则k的值为（）A．k=2 B．k=﹣2 C．D．【解答】解：∵直线y=kx+1与直线2x﹣y+1=0垂直，∴2k=﹣1；．故选：D．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：考察正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD．对于①：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中A1B与AB不垂直；对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直；对于③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中：A1B；对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD．故选：C．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．5．（5分）过点P（2，3）且平行于直线2x+y﹣5=0的直线的方程为（）A．2x+y﹣7=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y+7=0 D．2x﹣y+7=0【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为：2x+y+m=0，把点P（2，3）代入可得：4+3+m=0，解得m=﹣7．∴要求的直线方程为：2x+y﹣7=0．故选：A．6．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆（x+1）2+（y﹣1）2=2都相切的半径最小的圆方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=4【解答】解：圆（x+1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（﹣1，1）、半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上．又圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为．设所求圆心坐标为（a，b），则=，且a+b=0．解得a=1，b=﹣1，故要求的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2，故选：A．7．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．8．（5分）四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故选：B．二、填空题9．（5分）直线y=﹣x+1的倾斜角是135°．【解答】解：直线y=﹣x+1的斜率为：﹣1，直线的倾斜角为：135°．故答案为：135°．10．（5分）将半径为4的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面的面积为4．【解答】解：半圆的画出计算圆锥的底面周长：4π，底面半径为2，轴截面是正三角形，边长为4．所以轴截面面积为=4．故答案为：4．11．（5分）某边长为1的正方体展开图如图所示，在原正方体中，△ABC的面积为．【解答】解：由边长为1的正方体展开图还原得到如图所示的正方体，∴△ABC的面积S==．故答案为：．12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．13．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：14．（5分）已知圆C过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（x+1）2+y2=2．【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=，∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r==，整理得：x=3（不合题意，舍去）或x=﹣1，∴圆心C（﹣1，0），半径为，则圆C方程为（x+1）2+y2=2．故答案为：（x+1）2+y2=215．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为②④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图①中，AD 1与C1P是共面直线，是相交直线，∴①不正确；对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，PA=PC=，AC=a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，）不正确；对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵==（﹣2，﹣2，2），∴=+（﹣2，﹣2，2）=（1，1，2）．==（﹣2，1，2），=（1，﹣2，2）∴cos∠APC==0，∠APC=90°．若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．正确，故答案为：②④三、解答题.16．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=====．∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，则2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．17．（15分）如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点E，F分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ADE的体积；（Ⅱ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅲ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF．【解答】（Ⅰ）解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA为三棱锥P﹣ADE的高．（2分），所以．（4分）（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，因为AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF．（6分）因为PA=AB，点F是PB的中点，所以PB⊥AF，又因为BC∩PB=B，所以AF⊥平面PBC．（8分）（Ⅲ）证明：连结BM交AE于N，连结PM，FN．因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，且AD=BC，又M，E分别为AD，BC的中点，所以四边形AMEB是平行四边形，所以N为BM的中点，又因为F是PB的中点，所以PM∥FN，（10分）因为PM⊄平面AEF，NF⊂平面AEF，所以PM∥平面AEF．（12分）18．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A 1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A 1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为C，过点P（1，0）的直线l与圆C交于不同的两点A、B．（1）若|AB|=2，求直线l的方程；（2）求证：为定值；（3）以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，是否存在直线l，使得直线OD 与直线PC平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线l：x=1或y=k（x﹣1），当直线为x=1时，代入圆的方程，可得y=3，即有弦长|AB|=2，满足题意；当直线为y=k（x﹣1），圆心（0，3）到直线的距离d=，由弦长公式可得2=2=2，解得d=1，由=1，解得k=﹣，即有直线l：y=﹣x+．故直线l的方程为x=1或y=﹣x+；（2）证明：设直线l的参数方程为（t为参数），代入圆x2+（y﹣3）2=4，可得t2+t（2cosα﹣6sinα）+6=0，解得t1t2=6，由于A，B在P的同侧，即有=||•||=|t1t2|=6；（3）解：以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，假设存在直线l，使得直线OD与直线PC平行．即有+=，显然直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），代入圆的方程，可得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+（k+3）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x，y），即有△=4k2（k+3）2﹣4（1+k2）[（k+3）2﹣4]＞0，化简得3k2﹣6k﹣5＞0，x1+x2==x，y1+y2=k（x1+x2﹣2）==y，由直线OD与直线PC平行，则有k OD=k PC=﹣3，即为=﹣3，即=﹣3•，解得k=0或﹣，代入3k2﹣6k﹣5＞0，检验k=0不成立，k=﹣成立．故存在直线l，且方程为y=﹣x+，使得直线OD与直线PC平行．20．（15分）圆O：x2+y2=16与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），l1，l2是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A，B重合的动点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C，D两点，且AD，BC两直线交于点M．（1）设切点P坐标为（x0，y0），求证：切线CD的方程为x0x+y0y=16；（2）设点M坐标为（m，n），试写出m2与n2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）；（3）判断是否存在点Q（a，0）（a＞0），使得||的最小值为？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：设直线CD上任意一点N（x，y），则，∴（x0，y0）•（x﹣x0，y﹣y0）=0，∴x0（x﹣x0）+y0（y﹣y0）=0，∵x02+y20=16，∴x0x+y0y=16；（2）解：圆O：x2+y2=16与x轴交于A（﹣4，0）、B（4，0），l1、l2是分别过A、B点的圆O的切线，∴l1：x=﹣4，l2：x=4．设P（4cosu，4sinu），过P的圆O的切线方程是xcosu+ysinu=4，这切线交l1于C（﹣4，），交l2于D（4，），AD的斜率=，BC的斜率=﹣，AD：y=（x+4），BC：y=﹣（x﹣4），解得x M=4cosu，y M=2sinu，∴m=4cosu，n=2sinu，∴．（3）解：|QM|的最小值=|y M|=2|sinu|=，∴|sinu|=，∴sinu=±，cosu=±．此时QM⊥x轴，a=x M=±3，∴Q（±3，0）．。

北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试高二语文学科2024年10月班级姓名考号(考试时间150分钟满分150分)提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成1-5题。

材料一日前，为欢迎法国总统来访，古琴演奏家李蓬蓬在广州松园奏响了古琴名曲《流水》，以源自春秋时期的琴曲和有千年历史的唐代古琴“九霄环佩”，向世人展示着中国传统文化的无限魅力。

古琴原称“琴”，二十世纪初，为区别西方的小提琴、钢琴等始以“古琴”名之。

古琴是我国最古老的乐器之一.相传为伏羲、神农所创，《新论·琴道》中记载了神农继伏羲之后“上观法于天，下取法于地，近取诸身，远取诸物，削桐为琴，绳丝为弦”的故事。

《诗经》中有“倚桐梓漆，爱伐琴瑟”的诗句。

古人选梧桐木为琴材，充分体现了他们认识自然的智慧。

梧桐木纹理通顺，横向纤维较一般木材多，木质结构呈网络状，形成了天然的微小共鸣腔，具有很好的传声效果。

梧桐树生长时，年轮是均匀增加的，树干整体木质差别不大，可以让声音凝聚而不过度发散。

古人又选用密度更大的梓木做底料。

在古人的认知里，桐木为虚，梓木为实，斫琴选择桐梓，也寄寓着顺应自然，虚实相宜之意。

‘九霄环佩”就是以桐木为琴面，以梓木为琴底制作的。

古人用蚕丝制作琴弦。

明代《琴苑要录》中记载，丝弦的制作从选材到成弦需经过几十道工艺，体现了古人于繁复中求精益的精神。

与现代的钢弦相比，丝弦虽然发出的声音较小，却可弹出悠长醇厚、苍古圆润的天籁之声，细腻、微妙、绕梁不绝，令人回味无穷。

(取材于杨致俭的文章)材料二在历史发展进程中，古琴与中国传统文化中的很多器物一样，逐渐由单纯的“器”发展成某种文化的载体，功能变得更加丰富。

儒家认为“琴者，禁也”。

“琴禁说”始自《新论·琴道》“琴之言禁也，君子守以自禁”，后在《白虎通》中发展为“禁人邪恶，归于正道”的传统琴道。

海淀区2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a ≥成立”，则p ⌝为（ ）A. 0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．SABCDEFA 1B 1C 1D 1三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；CBC 1B 1A 1A班级 姓名 学号 装订线（3）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求PEEB的值.DC BAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在下表中.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADB三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. 234； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂直线面D 1BQ M ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD, 则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分 且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，班级 姓名 学号 装订线 班级 姓名 学号 装订线 M则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQAP ⊂面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP 又1=BQ D B B ⋂，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQD∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC平面11AB C ，11B C 平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1ABBB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . …………………6分因为 1B C平面11BB C C ， 所以 1AB B C . ………………………………7分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，所以 1B C 平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分CBC 1B 1A 1A18.（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.………………3分明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，（Ⅱ）证所以PD AD ⊥. ………………5分因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD . ………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =， 所以13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PEAB EB=. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分O EDCBAP。

2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3}2．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．3．（5分）下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=log2|x|D．y=﹣2x4．（5分）已知tanθ=，那么tan（）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣5．（5分）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平单位D．向右平移单位6．（5分）下列命题正确的是（）A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件B．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x﹣1≥0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2”7．（5分）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）A．5 B．C．6 D．88．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）若集合{a，0，1}={c，，﹣1}，则a=，b=．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a6=12，S4=8，则a9的值是．11．（5分）给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是．12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=，f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=．13．（5分）若函数f（x）=asinx+cosx在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是．14．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量=+m•，且的终点M在△ACD的内部（不含边界），则•的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．16．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．18．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB=﹣．（Ⅰ）若a=2，b=2．求△ABC的面积；（Ⅱ）求sinA•sinC的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=alnx+﹣（a+1）x，a∈R．．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，证明f（x）≥．20．（14分）已知函数f（x）=e x（ax2+bx+1）（其中a，b∈R），函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（﹣1）=0．（Ⅰ）若b=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为0，求b的值．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．【解答】解：由已知=（x，1），=（4，x），•=﹣1，得到4x+x=﹣1，解得x=﹣；故选：D．3．（5分）下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=log2|x|D．y=﹣2x【解答】解：由于y=﹣x2 、y=﹣2x、y=x﹣1在（0，+∞）上单调递减，故排除A、B、D；再根据y=log2|x|是偶函数，且在在（0，+∞）上单调递增，故满足条件，故选：C．4．（5分）已知tanθ=，那么tan（）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：tanθ=，那么tan（）===2．故选：A．5．（5分）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平单位D．向右平移单位【解答】解：要得到函数的图象可将y=sin2x的图象向左平移．或向右平移单位故选：D．6．（5分）下列命题正确的是（）A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件B．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x﹣1≥0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2”【解答】解：对于A：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件．因为“x2﹣3x+2＞0”等价于“x＜1，x＞2”所以：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．故A 错误．对于B：对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x ﹣1≥0．因为否命题是对条件结果都否定，所以B正确．对于C：若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误．对于D：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0则x≠2”．因为否命题是对条件结果都否定，故D错误．故选：B．7．（5分）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）A．5 B．C．6 D．8【解答】解：如图，设BC的中点为O，由，得==，∵，∴，由此可得：，而===|AO|2﹣|OM|2，由已知，∴|AO|2﹣|OM|2=，∴=6．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）若集合{a，0，1}={c，，﹣1}，则a=﹣1，b=1．【解答】解：∵集合{a，0，1}={c，，﹣1}，显然c=0，a=﹣1，则=1，b=1，故答案为：﹣1，1．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a6=12，S4=8，则a9的值是15．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a6=12，S4=8，∴，解得a1=﹣1，d=2．则a9=﹣1+8×2=15．故答案为：15．11．（5分）给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是①④．【解答】解：由α∥β，α∥γ，得β∥γ，即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确；若a∥α，a∥β，则α与β平行或相交，故②错误；若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误；若a⊥α，a⊥β，则α与β平行，故④正确．∴正确的命题是①④．故答案为：①④．12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=2，f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=．【解答】解：∵三角函数的周期是π，则=π，则ω=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin=2×=，由f（x）=0得sin2x=0，∵x∈（0，π），∴2x∈（0，2π），则2x=π，故x=，故x0=，故答案为：2，，13．（5分）若函数f（x）=asinx+cosx在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx﹣sinx，∵函数f（x）=asinx+cosx在区间上单调递增，∴f′（x）≥0在区间上恒成立，即f′（x）=acosx﹣sinx≥0，即acosx≥sinx，即a≥=tanx∵x∈，∴tan＜tanx＜tan，即＜tanx＜1，则a≥1，故答案为：[1，+∞）14．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量=+m•，且的终点M在△ACD的内部（不含边界），则•的取值范围是（﹣2，6）．【解答】解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），则=+m•=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m），又∵的终点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，则•=（1，4m）•（﹣3，4m）=16m2﹣3，∵＜m＜，∴﹣2＜16m2﹣3＜6；故答案为：（﹣2，6）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．【解答】（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：=．所以f（x）的最小正周期为2π．…（7分）（II）由，k∈Z，得，k∈Z．因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．…（13分）16．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ）依题意，．T n=b1+b2+…+b n=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（I）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CC1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以CC1⊥AC．又AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．而BC1⊂平面BCC1B1，则AC⊥BC1．…（4分）（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，因为D是AB的中点，E是BC1的中点，所以DE∥AC1．因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．…（9分）（Ⅲ）在线段A1B1上存在点M，使得BM⊥CB1，且M为线段A1B1的中点．证明如下：因为AA1⊥底面ABC，CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．由已知AC=BC，D为线段AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，所以CD⊥平面AA1B1B．取线段A1B1的中点M，连接BM．因为BM⊂平面AA1B1B，所以CD⊥BM．由已知AB=2AA1，由平面几何知识可得BM⊥B1D．又CD∩B1D=D，所以BM⊥平面B1CD．又B 1C⊂平面B1CD，所以BM⊥CB1．…（14分）18．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB=﹣．（Ⅰ）若a=2，b=2．求△ABC的面积；（Ⅱ）求sinA•sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，由三角形正弦定理可得：，∴，…（5分）…（7分）（Ⅱ）…（11分）∵∴∴…（12分）则…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=alnx +﹣（a+1）x，a∈R．．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，证明f（x ）≥．【解答】解：（I）函数的定义域为（0，+∞）．因为．又因为函数f（x）在（1，3）单调减，所以不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0在（1，3）上成立．设g（x）=（x﹣1）（x﹣a），则g（3）≤0，即9﹣3（a+1）+a≤0即可，解得a ≥3．所以a的取值范围是[3，+∞）．…（7分）（Ⅱ）当a=﹣1时，f（x）=﹣lnx +，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1或x=﹣1（舍）．当x变化时，f（x），f'（x）变化情况如下表：所以x=1时，函数f（x）的最小值为f（1）=，所以成立．…（13分）20．（14分）已知函数f（x）=e x（ax2+bx+1）（其中a，b∈R），函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（﹣1）=0．（Ⅰ）若b=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为0，求b的值．【解答】解：因为f（x）=e x（ax2+bx+1），所以f'（x）=e x[ax2+（2a+b）x+b+1]．因为f'（﹣1）=0，所以a﹣（2a+b）+b+1=0．所以a=1．…（2分）（Ⅰ）当a=1时，b=1时，f（0）=1，f'（0）=2，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣0）．即2x﹣y+1=0．…（4分）（Ⅱ）由已知得f（x）=e x（x2+bx+1），所以f'（x）=e x[x2+（2+b）x+b+1]=e x（x+1）（x+b+1）．（1）当﹣b﹣1＜﹣1，即b＞0时，令f'（x）=e x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＞﹣1或x＜﹣b﹣1；令f'（x）=e x（x+1）（x+b+1）＜0得，﹣b﹣1＜x＜﹣1．所以函数f（x）在（﹣1，+∞）和（﹣∞，﹣b﹣1）上单调递增，在（﹣b﹣1，﹣1）上单调递减．所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增．所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为f（﹣1）=e﹣1（2﹣b）=0．解得b=2．显然合题意．（2）当﹣b﹣1=﹣1时，即b=0时，f'（x）=e x（x+1）2≥0恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增．所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为f（﹣1）=e﹣1（2﹣b）=0．解得b=2．显然不符合题意．（3）当﹣b﹣1＞﹣1时，即b＜0时，令f'（x）=e x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＜﹣1或x＞﹣b﹣1；令f'（x）=e x（x+1）（x+b+1）＜0得，﹣1＜x＜﹣b﹣1．所以函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣b﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣b ﹣1）上单调递减．①若﹣b﹣1≥1，即b≤﹣2时，函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为f（1）=e（2+b）=0．解得b=﹣2．显然合题意．②若﹣b ﹣1＜1，即﹣2＜b ＜0时，函数f （x ）在在（﹣1，﹣b ﹣1）上单调递减，在（﹣b ﹣1，1）上单调递增．此时，函数f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值为f （﹣b ﹣1）=e ﹣b ﹣1（b +2）=0． 解得b=﹣2．显然不合题意．综上所述，b=2或b=﹣2为所求． …（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

1/192015-2016学年北京市八一中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共10小题，40分，每题只有一个正确选项）1．若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l 和α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．l ∥αC ．l ⊂α或l ∥αD ．l 和α相交2．过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（）A ．1或3B ．4C ．1D ．1或43．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值为（）A ．B．C．D ．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x ﹣2y +3=0的直线方程为（）A ．2x +y ﹣1=0B ．2x +y ﹣5=0C ．x +2y ﹣5=0D ．x ﹣2y +7=05．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣26．如图所示，是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A ．B．C．D ．8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论中错误的是（）2/19A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值9．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC中，，AB=AC=A 1A=1，已知G 与E 分别是棱A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C ．[1，）D．[，）10．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．B．C．D ．二、填空题（每小题4分，共6小题，24分）11．已知α∥β，平面α与平面β的法向量分别为，，且=（1，﹣2，5），=（﹣3，6，z ），则z=______．3/1912．直线y=kx +2（k ∈R ）不过第三象限，则斜率k 的取值范围是______．13．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为______．14．正六棱柱的高为5cm ，最长的对角线为13cm ，则它的表面积为______．15．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m ，n ∥m ；且n ∉α，n ∉β，则n ∥α且n ∥β．其中正确的命题的序号是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）16．设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有______条．三、解答题（共4题，36分）17．已知在△ABC 中，A （3，2）、B （﹣1，5），C 点在直线3x ﹣y +3=0上，若△ABC 的面积为10，求C 点的坐标．18．如图．在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA 1=3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．（1）证明：AD ⊥C 1E ；（2）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1﹣A 1B 1E的体积．19．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD=60°，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E ﹣A 1B ﹣C 的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．4/1920．已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）是直线l ：y=kx +b 上的n 个不同的点（n ∈N *，k 、b 均为非零常数），其中数列{x n }为等差数列．（1）求证：数列{y n }是等差数列；（2）若点P 是直线l 上一点，且，求证：a 1+a 2=1；（3）设a 1+a 2+…+a n =1，且当i +j=n +1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i ≠j ）．试探索：在直线l 上是否存在这样的点P ，使得成立？请说明你的理由．5/192015-2016学年北京市八一中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共10小题，40分，每题只有一个正确选项）1．若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l 和α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．l ∥αC ．l ⊂α或l ∥αD ．l 和α相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题设条件知：直线l 在平面α内，则l ⊂α，若直线l 不在平面α内，则l ∥α，由此能求出结果．【解答】解：一条直线l 与平面α内的一条直线m 平行，若直线l 在平面α内，则l ⊂α，若直线l 不在平面α内，则l ∥α，∴直线l 与平面α的位置关系为l ⊂α，或l ∥α．故选：C ．2．过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（）A ．1或3B ．4C ．1D ．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C ．3．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值为（）6/19A ．B．C．D ．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB 即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE 即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：不妨设正四面体为A ﹣BCD ，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE ⊥CD ，BE ⊥CD ，则∠AEB 即为侧面与底面所成二面角的平面角在△ABE 中，cos ∠AEB==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是故选A ．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x ﹣2y +3=0的直线方程为（）A ．2x +y ﹣1=0B ．2x +y ﹣5=0C ．x +2y ﹣5=0D ．x ﹣2y +7=0【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据题意，易得直线x ﹣2y +3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x ﹣2y +3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x +y ﹣1=0．5．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣2【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=+=+λ×（0+1+0）=0，解得λ=﹣2．故选：D ．6．如图所示，是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是（）7/19．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意知几何体是一个三棱锥，底面是一个直角三角形，一条侧棱与底面垂直，画出几何体的图形如图，共有3个直角三角形，得到结论．【解答】解：由题意知几何体是一个三棱锥，底面是一个直角三角形，一条侧棱与底面垂直，画出几何体的图形如图，共有3个直角三角形，故选C ．7．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A ．B．C．D ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），C 1（0，2，1）8/19∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos ＜，＞═=．∴BC 1与平面BB 1D 1D所成角的正弦值为故答案为D ．8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用证线面垂直，可证AC ⊥BE ；判断A 正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B 正确；根据三棱锥的底面面积与EF 的位置无关，高也与EF 的位置无关，可判断C 正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D 错误．【解答】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF ×1=，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A ﹣BEF 的高，∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，故C 正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sin α=，α=30°；当F 与B 1重合时tan α=，∴异面直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误；9/19故选D．9．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC中，，AB=AC=A 1A=1，已知G 与E 分别是棱A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C ．[1，）D．[，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量，利用GD ⊥EF 求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，1，），G （，0，1），F （x ，0，0），D （0，y ，0）由于GD ⊥EF ，所以x +2y ﹣1=0DF===10/19∵0＜x ＜1，0＜y ＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF 长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．10．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．B．C．D ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做AF ∥CD ，过点E 做EF ⊥AE ，连接BF ，∵AE ⊥l∴∠EAC=90°∵CD ∥AF 又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt △BEA 中，设AE=a ，则AB=2a ，BE=a ，在Rt △AEF 中，则EF=a ，AF=a ，在Rt △BEF 中，则BF=2a ，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF ，11/19∴cos ∠BAF===．故选：B．二、填空题（每小题4分，共6小题，24分）11．已知α∥β，平面α与平面β的法向量分别为，，且=（1，﹣2，5），=（﹣3，6，z ），则z=﹣15．【考点】平面的法向量．【分析】由题意可得：∥，再利用向量共线定理即可得出．【解答】解：由题意可得：∥，∴，解得z=﹣15．故答案为：﹣15．12．直线y=kx +2（k ∈R ）不过第三象限，则斜率k 的取值范围是（﹣∞，0]．【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据直线方程的特点求出斜率k 的范围即可．【解答】解：∵直线y=kx +2（k ∈R ）不过第三象限，故k ≤0，故答案为：（﹣∞，0]．13．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1，侧面积是底面积的2倍，∴圆锥的母线长l=2，12/19故圆锥的高h==，故圆锥的体积V===，故答案为：．14．正六棱柱的高为5cm ，最长的对角线为13cm ，则它的表面积为180+108cm 2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，求出棱柱的底面边长，然后求出侧面积．【解答】解：正六棱柱的高为5cm ，最长的对角线为13cm ，就是底面对角线长为：=12cm ，底面边长为：6cm ．它的侧面积为：6×5×6=180（cm 2）．它的底面积为：2×=108（cm 2）故答案为：180+108cm 2．15．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m ，n ∥m ；且n ∉α，n ∉β，则n ∥α且n ∥β．其中正确的命题的序号是②④．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题材设条件知道，要由线面、面面的位置关系来对四个命题正确性做逐一判断①用面面平垂直线线垂直；②用面面平行证线线平行③线面垂直与线线垂直的问题；④线与面的交线平行，研究此线与两面的位置关系问题．【解答】解：①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；正确性无法判断，直线n 在与交线m 垂直的平面上，故位置关系不确定．②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；正确，由面面平行的性质定理可证得．③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；不正确，任意一条直线都可以在平面内有无数条与之垂直的直线．④若α∩β=m ，n ∥m ；且n ∉α，n ∉β，则n ∥α且n ∥β．正确，由线面平行的判定定理知线n与两平面都是平行的．13/19故应填②④．16．设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有13条．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ 比过正方体中心，由此分三种情况，即P ，Q 为正方体一体对角线两顶点时，P ，Q 为正方两相对棱中点时，P ，Q 为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ 的条数．【解答】解：若正方体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ 比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P ，Q 为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ 旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P ，Q 为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ 旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P ，Q 为正方体对面中心时，把正方体绕PQ 旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ 有4+6+3=13条．故答案为：13．三、解答题（共4题，36分）17．已知在△ABC 中，A （3，2）、B （﹣1，5），C 点在直线3x ﹣y +3=0上，若△ABC 的面积为10，求C 点的坐标．【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出AB 的距离，利用三角形的面积求出C 到AB 的距离，求出AB 的方程，利用点到直线的距离公式求出C 的坐标．【解答】（本小题满分12分）解：设点C 到直线AB 的距离为d14/19由题意知：…∵…直线AB 的方程为：，即3x +4y ﹣17=0…∵C 点在直线3x ﹣y +3=0上，设C （x 0，3x 0+3）∴…∴C 点的坐标为：（﹣1，0）或…18．如图．在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA 1=3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．（1）证明：AD ⊥C 1E ；（2）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1﹣A 1B 1E的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD ⊥BB 1，等腰△ABC 中利用“三线合一”证出AD ⊥BC ，结合线面垂直判定定理，得AD ⊥平面BB 1C 1C ，从而可得AD ⊥C 1E ；（2）根据AC ∥A 1C 1，得到∠EC 1A 1（或其补角）即为异面直线AC 、C 1E 所成的角．由A 1C 1⊥A 1B 1且A 1C 1⊥AA 1，证出A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，从而在Rt △A 1C 1E 中得到∠EC 1A 1=60°，利用余弦的定义算出C 1E=2A 1C 1=2，进而得到△A 1B 1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C 1﹣A 1B 1E 的体积．【解答】解：（1）∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD⊥BB 1∵△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC又∵BC 、BB 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ∩BB 1=B15/19∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，结合C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，可得AD ⊥C 1E ；（2）∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，∴∠EC 1A 1（或其补角）即为异面直线AC 、C 1E 所成的角∵∠BAC=∠B 1A 1C 1=90°，∴A 1C 1⊥A 1B 1，又∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，可得A 1C 1⊥AA 1，∴结合A 1B 1∩AA 1=A 1，可得A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，∵A 1E ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥A 1E因此，Rt △A 1C 1E 中，∠EC 1A 1=60°，可得cos ∠EC 1A 1==，得C 1E=2A 1C 1=2又∵B 1C 1==2，∴B 1E==2由此可得V=S △×A 1C 1=×=19．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD=60°，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E ﹣A 1B ﹣C 的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明DC ⊥平面A 1DE ，可得DC ⊥A 1E ，利用A 1E ⊥DE ，DC ∩DE=D ，可得A 1E ⊥平面BCDE ；（2）以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，求出平面A 1BE 、平面A 1BC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角E ﹣A 1B ﹣C 的余弦值；（3）设P （t ，0，0）（0≤t ≤2），求出平面A 1DP 的法向量，利用平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，可得结论．【解答】（1）证明：∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ，16/19∴DE ⊥DC ，∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE=D ，∴DC ⊥平面A 1DE ，∴DC ⊥A 1E ，∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE=D ，∴A 1E ⊥平面BCDE ；（2）解：由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE=2，A 1（0，0，2），B （2，0，0），C （4，2，0），D （0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A 1BE 的一个法向量为=（0，1，0），设平面A 1BC 的一个法向量为=（x ，y ，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos ＜，＞=，∴二面角E ﹣A 1B ﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P （t ，0，0）（0≤t ≤2），则=（t ，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A 1DP 的法向量为=（a ，b ，c ），则，∴=（2，，t ），∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC．17/1920．已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）是直线l ：y=kx +b 上的n 个不同的点（n ∈N *，k 、b 均为非零常数），其中数列{x n }为等差数列．（1）求证：数列{y n }是等差数列；（2）若点P 是直线l 上一点，且，求证：a 1+a 2=1；（3）设a 1+a 2+…+a n =1，且当i +j=n +1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i ≠j ）．试探索：在直线l 上是否存在这样的点P ，使得成立？请说明你的理由．【考点】数列与向量的综合．【分析】（1）将y n +1和y n 分别代入y=kx +b ，令两者相减得定值，便可证明数列{y n }为等差数列；（2）由题中条件可知PA1A2共线，令，即可证明a 1+a 2=1；（3）先写出满足条件的x 的函数，再根据a 1+a 2+…+a n =1和a i =a j 及数列{x n }为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P 店坐标．【解答】解：（1）证：设等差数列{x n }的公差为d ，∵y n +1﹣y n =（kx n +1+b ）﹣（kx n +b ）=k （x n +1﹣x n ）=kd ，∴y n +1﹣y n 为定值，即数列{y n }是等差数列；（2）证：因为P 、A 1和A 2都是直线l 上一点，故有（λ≠﹣1），于是，===+λ（），∴（1+λ）=+λ∴=+，令a 1=，a 2=，则有a 1+a 2=1；（3）假设存在点P （x ，y ），满足要求，则有x=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，又当i +j=n +1时，恒有a i =a j ，则又有x=a n x 1+a n ﹣1x 2+…+a 2x n ﹣1+a 1x n ，∴2x=a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n ﹣1）+a 3（x 3+x n ﹣2）+…+a n （x n +x 1），又∵数列{x n }为等差数列；于是x 1+x n =x 2+x n ﹣1=x 3+x n ﹣2=…=x n +x 1∴2x=（a 1+a 2+a 3+…+a n ）（x 1+x n ）=x 1+x n18/19故x=，同理y=，且点P （，）在直线上（是A 1、A n 的中点），即存在点P （，）满足要求．19/192016年10月1日。

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤03．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．276．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=．17．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．18．（5分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，则a30=．三、解答题19．（14分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．20．（14分）已知等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}【解答】解：∵A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，∴A∩B={2}．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是：∃x∈R，（）x≤0，故选：D．3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα==﹣1，故选：B．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=【解答】解：对于A，y=2x的值域为（0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除A；对于B，y=x2的值域为[0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除B；对于C，y=log2x的定义域为（0，+∞），值域为R，定义域与值域不同，可排除C；对于D，y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域与值域相同，符合题意．故选：D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．27【解答】解：由题意，设等差数列的公差为的d，则d==1，故a4=a3+d=4，故S7===7×4=28故选：C．6．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选：B．7．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.152＜1，b=20.15＞1，c=log20.15＜0，∴b＞a＞c，故选：A．8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当α=β时，sinα=sinβ，成立．当，时，满足sinα=sinβ，但α=β不成立，∴sinα=sinβ是α=β的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知“α≠β”是“sinα≠sinβ”必要不充分条件．故选：B．9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x﹣，为增函数，且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，可得ω=2则设将y=f（x）的图象向左平行a个单位得到函数的图象则即2a=解得a=故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）【解答】解：∵f（）==2，且函数f（x）=的最大值是2，∴当x时，log a x≤2恒成立；当a＞1时，log a x≤2不可能恒成立；当0＜a＜1时，log a x≤2恒成立可化为≥a2，即0＜a≤；故选：A．12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，∵函数的周期T==4，∴MN=2，CN=1，∵∠PMQ=90°，∴PQ=2MN=4，即PN=2，则PC==，即A=，故选：C．二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．【解答】解：△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则由正弦定理可得sinA=3sinBsinA，求得sinB=，故答案为：．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=﹣．【解答】解：∵＜α＜π，且tanα=﹣，∴sin（α+）=cosα=﹣=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=﹣1．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣1，∵f（x）在x=﹣1处取得极值，∴3+2a﹣1=0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．17．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．18．（5分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，则a30=2．【解答】解：∵a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，∴a2=1﹣2=﹣1，a3=2，a4=1﹣=，…，=a n．∴a n+3则a30=a3×10=a3=2，故答案为：2．三、解答题19．（14分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）化简已知函数可得f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]k∈Z；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴当2x+=即x=时，f（x）有最大值+1，当2x+=﹣即x=﹣时，f（x）有最小值﹣+120．（14分）已知等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3，∴27a1q﹣a1q4=0，a12q=a1q2，∴a1=3，q=3，∴a n=3n；（Ⅱ）证明：b n=3log3a n+3=3n+3，﹣b n=3，∴b n+1∴{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x2﹣2x]=x2+2x．∴a=1，b=2，∴a﹣b=﹣1．（2）f（x）=，即有f（x）在[﹣1，1]上递增，由于函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，∴[﹣1，m﹣2]⊆[﹣1，1]，∴，解得，1＜m≤3．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，得，满足条件．（12分）③当a≥e时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x）在单调递减，（13分）故当时，g（x）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高二年级统一考试数学文科试卷 2016.1（考试时间100分钟 满分120分）一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件（2）下列选项中，满足焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线的标准方程为（ ）A ． 2212x y -=B ． 2212x y -= C ． 2212y x -=D ． 2212y x -= （3）若函数3()f x x ax =-在2x =处取得极小值，则a =（ ） A ．6B ． 12C ． 2D ． 2-(4)圆22240x y x y +-+=的圆心到直线0x y -=的距离为（ ） A ．22B ．1C ．2 D ．322(5)已知圆1O ：2244410x y x y +-+-=，圆2O ：22+1+24x y -=（）（），则两圆的位置关系为( )A ．外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切(6)已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线022=--y x 上，则此抛物线的标准方程是( ).A.x y 82=B. y x 42=C. x y 82= 或y x 42-=D. x y 82=或y x 42=(7)设1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点， P 为直线43x a =-上一点, △12F PF 是底角为30 的等腰三角形，则此椭圆C 的离心率为（ ）A ．23 B ．12 C ．34 D ．8922侧视图42正视图俯视图NC1D1B1A1CADBM(8)某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3(9)若()elnf x x x=-，0ea b<<<，则下列说法一定正确的是( )A. f(a)<f(b)B. f(a)> f(b)C. f(a)>f(e)D. f(e) >f(b)(10)如图，正方体1111ABCD A BC D-中，N为1CD中点，M为线段1BC上的动点（M不与,B1C 重合），以下四个命题：（1）1CD⊥平面BMN；（2）//MN平面11AB D；（3）△1D MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D MNC-的体积有最大值其中真命题的个数为（）A 1B 2C 3D 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上) （11）命题“2,220x x x ∀∈++>R ”的否定是_______________.（12）从点20（，）引圆221x y +=的切线,则切线长为（13）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度（单位 C）为2()715y f x x x ==-+（08x ≤≤），则第4 h 时原油温度的瞬时变化率是_______________C /h；在第4 h 时附近，原油的温度在_______________.(此空填上升或下降)（14）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是_ _；此三棱锥的最长棱的长度为 _ .（15）已知,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同平面，则以下命题不成立．．．的是_______ （1）若//αβ,m α⊂,n β⊂，则 //m n （2）若//m β，βα⊥，则 m α⊥ （3）若m α⊥，m β⊂，则 αβ⊥ (4) 若//m α，//n β，//m n ，则 //αβ(16)已知圆C ：2240xy x +-=与直线+y x b =相交于,M N 两点，且满足CM CN ⊥(C 为圆心)，则实数b 的值为_______.221 1正视图侧视图俯视图三、解答题(本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上) 17. （本题满分12分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在区间(0,]t （0t >）上的单调性.18. （本题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，AP ⊥平面PBC ,//AB DC ，112AP AD DC AB ====，120ADC ∠= ，,E F 分别为线段AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面EFD ； （Ⅱ）求证：平面EFD ⊥平面APC ； （III ）求锥体P ADC -的体积．19. （本题满分14分）椭圆W 的中心在坐标原点O ，以坐标轴为对称轴，且过点03(,)，其右焦点为10F (，).过原点O 作直线1l 交椭圆W 于,A B 两点，过F 作直线2l 交椭圆W 于,C D 两点,且AB //CD.（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程； （Ⅱ）求证：24AB CD =.北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高二年级统一考试数学文科答案 2016.1BEFCDPA一、选择题（满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDDCABCB二、填空题（满分30分）题号 1112131415 16答案2000,220x x x ∃∈++≤R3 1;上升43;3 ①②④0或4-三、解答题（满分40分） 17. （本题满分12分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞, '()1ln f x x =+.这个函数的图象在1x =处的切线的斜率为(1)1k f '==. 把1x =代入()ln f x x x =中得(1)0f =，即切点坐标为()1,0.则这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-. ……………………5分 （Ⅱ）令'()1ln =0f x x =+，得1ex =. （1） 当10e t <≤时，在区间(0,]t 上，()0f x '≤成立，所以函数()f x 为减函数. （2）当1e t >时，在区间10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x '<，()f x 为减函数；在区间1,e t ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 为增函数.……………………12分 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ）设AC DE O = ，连接,OF EC ， 由于E 为线段AB 的中点，12AD DC AB ==且//AB DC ， 所以//AE DC ，AE DC =.所以四边形ADCE 为菱形，故O 为AC 中点， 又F 为PC 中点，因此，在△APC 中，//AP OF又OF ⊂平面EFD ，AP ⊄平面EFD ，所以//AP 平面EFD ……………………5分（Ⅱ）由题意，//BE CD ，BE CD =，所以四边形BCDE 为平行四边形所以//BC ED .而AP ⊥平面PBC ，所以AP BC ⊥，故AP ED ⊥. 因为四边形ADCE 为菱形，所以AC ED ⊥， 又AP AC A = ，,AP AC ⊂平面PAC ， 所以ED ⊥平面PAC ，又ED ⊂平面EFD ，所以平面EFD ⊥平面APC . ……………………10分 （III ）在△ADC 中，1AD CD ==，120ADC ∠=，所以3AC =. 因为AP ⊥平面PBC ，所以AP PC ⊥，又1AP =，所以222PC AC AP =-=.所以11212222APC S AP PC =⨯⨯=⨯⨯=. 又ED ⊥平面PAC ，所以D 点到平面APC 的距离为12DO =. 131122.32212P ADC D APCAPC V V DO S --==⨯⨯=⨯⨯= ……………………14分19. （本题满分14分）（Ⅰ）因为已知焦点在x 轴上，设椭圆W 的标准方程为：22221y xa b+=，0a b >>.由题意：31b c ==，,则24a =.所求椭圆W 的标准方程为：22143y x +=. ……………………4分 （Ⅱ）当直线1l 垂直于x 轴时，则直线2l 也垂直于x 轴，把1x =代入椭圆W 的方程，得32y =±，即此时=3CD ，而23AB =，所以24AB CD =. 当直线1l 不垂直于x 轴时，设直线1l 的斜率为k ,则依题意2l 的斜率也为k ，其方程为1y k x =-（）.设点00,)A x y （，00,)B x y --（，11,)C x y （，22,)D x y （. 则()222004AB x y =+.把1y k x =-（）代入椭圆方程中，整理得，()22224384120k x k x k +-+-=. 显然0∆>，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+. 则222121212=))=1+CD x x y y k x x -+--（（=21+k 21212)4x x x x +-（.即=CD 21+k222144(1)(43)k k ++=2212(1)43k k ++. 由()222004AB x y =+，且00,)A x y （在椭圆上，得222200043(1)=4+344x x AB x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（）. 则2AB 243k +（）=222200434836k x x k +++.因为直线1l 过原点，所以00y kx =，则2AB 243k +（）=22200434836y x k +++.因为00,)A x y （在椭圆上，所以22003412x y +=,所以2AB 243k +（）2=481k +（）. 所以2AB 243k +（）=24121)k ⨯+（，即24AB CD =. ………………14分。

首师大附中2015-2016学年第一学期期中考试高二 数学（文） 第I 卷（共32分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）A. 100B. 150C.200D.250 2. 已知直线l 过()0,3，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程是A.20x y +-=B. +3=0x y -C.30x y +-=D.20x y -+=3. 设,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂ ，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂ ，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂ ，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β， 则αβ⊥4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 8+8π B.816π+ C. 168π+ D. 16+16π5. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D.双曲线的一支第四题图6. 如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个经过球心的平面截它，所得的截面图形不可能是（ ）7. 设P 是双曲线22219x y a -= ()0a >上一点，其一条渐近线方程是320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若18PF = ，则2PF 等于（ ）A. 4B. 12C. 4或12D.2或14 8. 某三棱锥的正视图如右图所示，则在下列图①②③④中,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）① ② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D.①②③④第II 卷 （共68分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 一个圆锥底面半径是1,母线和轴的夹角是6π，则圆锥的侧面积为____________.10. 已知底面边长为1,面积为_________，体积为_________.11. 长方体1111A B C D A B C D -中，4AB =,3AD =,12AA =,点P 在棱1BB 上，则1A P P C +的最小值为____________.12. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图）.从图中可以估计，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次洪水．．．．．．．．．．．．的最低水位是_________米13. 在直角坐标系xOy 中，1F ,2F 分别为椭圆22221x y a b+= 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若2POF ∆______________.14. 已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，E 是棱1AA 上动点，过点1,,D E B 作该正方体的截面与棱1CC 交于点F .设AE x =，则下列关于四棱锥11B BFD E -的命题，其中正确的序号有_________________①底面1BFD E 的面积随着x 增大而增大；②四棱锥11B BFD E -的体积随着x 增大先增大后减少； ③底面1BFD E 的面积随着x 增大先减少后增大；④四棱锥11B BFD E -的体积与x 取值无关，且总保持恒定不变三、 解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆22:2240C x y x +--=，直线50ax y -+=()0a >与圆交于A ,B 两点.（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -，求三角形ABC 的面积.16. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ,PA AD =.E F ，分别为底边AB 和侧棱PC 的中点. （I ）求证：//EF 平面PAD ; （II ）求证：EF FD ⊥FEDCBAP17. 如图1，在R t A B C ∆中，30ACB ∠=︒,90ABC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 与F ,将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示 (I) 求证：平面AEF ⊥平面BCD ；(II) 在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.CDFBACFEDBA图1 图218. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ,2F ,且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，且2AF B ∆的面积为7， 求直线l 的方程.首师大附中2015-2016学年第一学期期中考试高二 数学（文）参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9.310. 44,3ππ 11.12. 5013.114. ③④三、解答题（本大题共4小题，共44分）15.解:（I ）依题意可知：直线()':500l ax y a -+=>与圆22:2240C x y x +--=即()22125x y -+=有两个不同交点则圆心C ()1,0到直线'l 的距离d r <（r 表示圆C 的半径） 于是有：5d r =<= ⇒ 5a +< 不等式两边同时平方可得：()()225251a a +<+化简整理可得：21250a a -> ()0a > 解之得：512a >故所求实数a 的取值范围是5,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭（II ）由垂径定理易知：弦AB 的垂直平分线l 过圆心()10C ，又直线l 过点()2,4P -故可得直线l 的斜率404213PC k -==--- 而弦AB 所在直线'l 斜率AB k 满足1AB CP k k ⋅=-于是可得：134AB CP k k =-= 即有34AP a k == 从而弦AB 所在直线'l 的方程为3504x y -+= 即34200x y -+= 由点到直线的距离公式可得： 圆心C ()1,0 到直线'l 的距离d 为235d ==根据垂径定理：22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：()22222338444255255AB r d AB ⎡⎤⎛⎫=-=-=⇒=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故三角形ABC 的面积1123225ABC S AB d ∆===16. 解:（1）证明：如图所示，取线段DP 的中点G ，连接AG 、FG由题意易知：FG 为PCD ∆的中位线，故有//FG CD 且12FG CD =而//AE CD ，且1122AE AB CD ==， 于是可得：线段AE 与FG 平行且相等从而四边形AEFG 为平行四边形，得//EF AG 而EF PAD ⊄平面，AG PAD ⊆平面故由线面平行的判定定理可得：//EF PAD 平面（II ）PA ABCD ⊥底面，CD ABCD ⊂底面 ∴ PA CD ⊥由四边形ABCD 为正方形知AD CD ⊥ 又PAAD A =且,PA AD PAD ⊆平面故由线面垂直的判定定理可得：CD PAD ⊥平面而AG PAD ⊂平面，所以AG CD ⊥又在Rt PAD ∆中，,PA AD PG GD == 故有AG PD ⊥而CD PD D =，,CD PD CDP ⊂平面 从而可得：AG PCD ⊥平面由（I ）知：//EF AG 于是EF PCD ⊥平面又FD PCD ⊂平面 故有EF FD ⊥17. 解：（I ）由题意易知：AE BD ⊥，EF BD ⊥ 而AEEF E =，,AE EF AEF ⊂平面故根据线面垂直的判定定理可得：BD AEF ⊥平面又BD BCD ⊂平面，故有平面AEF ⊥平面BCD（II ）线段AF 上存在满足条件的点M 使得//EM ADC 平面，理由如下：过点E 作//EN CD 交BC 于点N ，再过点N 作//NM AC 交AF 于点M 而ENNM N =，AC CD C =.,EN NM ENM ⊂平面，,AC CD ACD ⊂平面故有平面//ENM 平面ACD又EM ENM ⊂平面 所以，//EM ACD 平面由题意易知点F 为线段BC 的三等分点，且223FC BF BC ==, 而点N 为线段BC 的中点，12CN BN BC ==于是111236FN FC NC BC BC BC =-=-= 可得点N 为线段CF 的四等分点，且3CN FN = 从而点M 为线段AF 的四等分点，且3AM FM =因此，存在线段AF 上满足条件的点M 使得//EM ADC 平面， 点M 位于线段AF 的四等分点处，且3AM FM =18. 解：（I ）依题意可设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，有焦距1222F F c == ，点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，坐标满足椭圆标准方程，于是 222223121c a b =⎧⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩ 又222a b c =+解之可得：2,a b ==故所求椭圆C 的方程为22143x y += （II ）由（I ）可得椭圆C 的左焦点1F 的坐标为()1,0-①当直线l 的斜率不存在时，即直线与x 轴垂直时，易得A 、B 两点坐标分别为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 于是弦长32=32AB =⨯ 而焦距122F F =，故此时2AF B ∆的面积为2121132322AF B S AB F F ∆==⨯⨯= 不符合题意，故此种情况不成立；②当直线l 的斜率存在时，可设其为k ，则由直线的点斜式： 直线l 的方程可表示为：()1y k x =+ 将其与椭圆方程联立()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理可得：()22224384120k x k x k +++-=设A B 、两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y 由韦达定理可得：2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩则12x x -====法一：根据弦长公式12AB x =-=()2212143k k ==+=+由点到直线的距离公式，右焦点()21,0F到直线l 的距离为：d =于是再利用三角形的面积公式得：()22212111=2243ABF k S AB d k ∆+=⋅==+ 解得：1k =±故所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--即10x y -+=或10x y ++=法二：212121211221212111222ABF AF F BF F S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=+=- 而()()12121211y y k x k x k x x -=+-+=-=，122F F =于是2122ABF S ∆=⨯== 解得：1k =±故所求直线l 的方程为1y x =+或1y x =--即10x y -+=或10x y ++=。

2024—2025学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★) 2. 圆：与圆：的位置关系为（）A．相交B．相离C．外切D．内切(★) 3. 双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．D．(★) 4. 下列命题中，正确的是（）.A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★) 5. 两平行直线与之间的距离为（）A．B．C． 0D．(★★) 6. 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 设，直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（）A．B．或C．或D．(★★★★) 10. 如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 11. 已知向量，，且，则x的值为 ___________ . (★★) 12. 方程表示一个圆，则m的取值范围是．(★★) 13. 双曲线的离心率为 ______ ，渐近线方程为 ____________ ．(★★) 14. 已知椭圆，则此椭圆的焦距长为 __________ ；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 __________ .(★★★) 15. 已知实数a，b满足，则的最小值为 ___________ .(★★★) 16. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中.已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为 ________ 秒（精确到0.1）三、解答题(★★) 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.(★★★) 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点．(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l所过的定点；(3)当的面积最大时，求直线l的方程．(★★★) 19. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.(1)求证：平面；(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定.求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.条件①：条件②：条件③：平面注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 20. 已知和为椭圆上的两点.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围.(★★★★★) 21. 设有限集合，对于集合，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.。