2014年春季新版新人教版七年级数学下学期8.4、三元一次方程组的解法课件3

①与④组成方程组
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2

把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=

所以
=

=

= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3

y z 5
z x 4

小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①

解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8

如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4

三、研学教材
3x+4z=7 ①
2x+3y+z=9 ②
5x-9y+7z=8 ③
解：②×3+③，得__1_1_x_+_1_0_z_=_3_5__④
①与④组成方程组 _3_x_+__4_z_=_7______
_1_1_x_+__1_0_z_=__3_5__
y 把解这个zx 方 _程_-5__2组____，代__得__入②xzx，__得5____5-_2___________13
三、研学教材
下列各方程组不是三元一次方程组的是（D）
x5
A. x y 7
xyz6
x y 3
B. y z 4
zx2
x 3y z 1
C. 2x y z 3
3x y 2z 5
x yz 7
D. xyz 1
x 3y 4
三、研学教材
④上面问题的解必须同时满足上面三个条件 ，因此，我们如何解这三元一次方程组？
3、掌握解三元一次方程组过程中化三 元为二元或一元的思想
三、研学教材
知识点一 三元一次方程组
问题 小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸 币共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸 币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少 张？ 分析： 1、题目中有_3___个未知数，含有_3___ 个相等关系？
∴方程组的解是
y
0_._5____
z _3_____
三、研学教材
a b 3, ①
2、解方程组 b c 2, ②
c a 7. ③
解：①－②得 a-c=5 ④ ③＋④得 a=6 把a=6代入①、③得 b=-3, c=1
∴方程组的解为

所以x=2，y=4，z=10.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1

2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.

到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”
一、出示学习目标
学习目标: 学习三元一次方程组及其解法和应用.
二、引入概念
学习任务:了解三元一次方程组的概念.
x y z 12, x 2y 5z 22, x 4 y.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程 组叫做三元一次方程组.
问题：怎样解三元一次方程组？
三、探究三元一次方程组的解法
问题:如何解这个方程组?
y=2x-7， 5x+3y+2z=2， 3x-4z=4. 分组进行讨论、探究,自主学习、交流,然后 归纳总结.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程

①
解三元一次方程组
2
x
＋
3
y
＋
z
9
②
5 x － 9 y ＋ 7 z 8 ③
分析：方程①中只含x,z,没有y,因此，可以 由②③消去y，得到一个只含x，z的方程， 与方程①组成一个二元一次方程组.
解三元一次方程组
x＋3z=2， 2x＋2y＋z=11，
加 ①
②
减 3x－2y＋2z=11. ③
解：②＋③ ，得 5x＋3z=22 ④
x+y+z=12 ① x+2y+5z=22 ②
x=4y
③
解法2： ①×5－② 得：
4x3y38 ④
加
减 由 ③ ④
组成方程组得：
x 4y
③
4x3y38④
解这个方程组得： x8,y2
把 x8,y2代 入 ①得： z 2
x8
所以，原方程组的解为： y 2
z2
法
方法小结
1、解三元一次方程组的思想和方法过程为：
三元
加减法 代入法
二元
加减法 代入法
一元
2、关键点：
如何消去一个未知数由“三元”化为为“二元”
一般情况下： （1）代入法：变形一个方程，代入另两个方程式，得两个新方程； （2）加减法：a.确定消去的目标（未知数）；b.使相同未知数的
系数相同或相反；c.两两相加或相减得两个新方程。
例题讲解
3x＋ 4z 7
①
解三元一次方程组 2x＋2y＋z=11， ②
3x－2y＋2z=11. ③
解:由①得： x=2-3z ④
把④分别代入②和 ③得：2y-5z=7 ⑤,
-2y-7z=5 ⑥

⑤－②,得
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1

y

2
z 3
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么? （三）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注 意什么？
作业 习题8.4：1题，2题
本节内容结束
提出问题：1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知 数，我们自然会想到设1元、2元、5元的纸币分 别是x张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三 个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
定义
三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程。
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
前面我们学习了二元一次方程组及其解 法——消元法。对于有两个未知数的问题， 可以列出二元一次方程组来解决。实际上， 在我们的学习和生活中会遇到不少含有更多 未知数的问题。
纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元 纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各 多少张？
2. 化“二元”为“一元” 。
① x+y+z=2,
x-y+z=0,
③② x-z=4. 解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤
(z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得，

x z 2 0 3x 6 y 7 0 3y 3z 4 0
x 3
解得
y
1 3
Байду номын сангаас
z 1
所以xyz＝3× 1×1＝1。
3
随堂练习
4. 某区中学足球赛共赛8轮，胜一场得3分，平一场得1分，负 一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队平的场数是所负 场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？ 解：设猛虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
设1元、2元、5元的纸币分别 为x张、y张、z张
x＋y＋z＝12 x＋2 y＋5z＝22 x＝4 y
这样的方程组我们叫它什么呢，该怎样解呢？
新知讲解
x＋y＋z＝12
三元一次方程组 x＋2 y＋5z＝22
x＝4 y
特点：（1）方程组中含有三个未知数； （2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1； （3）方程组中一共有三个方程。
随堂练习
解：
解得
x
-
1 2
y
23 4
把x＝－
1 2
，y＝
23 4
代入②，得z＝－
21 4
。
所以原方程组的解是
x＝- 1 2
y＝ 23 4
z＝- 21 4
随堂练习
3. 已知有理数x、y、z满足条件|x－z－2|＋|3x－6y－7|＋（3y＋3z －4）2＝0，求xyz的值。
解：依题意有
随堂练习
解：
x y z 8
y
2z
3x y 17
解得
x 5
y
2
z 1
答：该队胜了5场。
课堂小结
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

x 4 y.
③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4y y z 12， 用的是什么消元方法？还 4y 2y 5z 22． 有什么方法？
即
5y z 12， 6y 5z 22．
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12，
解决问题
x y z 12， x 2 y 5z 22， x 4 y． 如何解这个三元一次方程组呢？
（1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法 求解？
x y z 12， x 2 y 5z 22，
① ②
①
解方程组
x+y+z=2, x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2
xz 1 ④
x-z = 4 ③
xz 1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
①
x+y+z=2,
x-y+z=0,
1课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？ （2）如何解一个三元一次方程组？
（3）三元一次方程组的解题思路是什么？
2.知识延伸：
在等式 y=ax2＋ ＋c中,当x=-1 时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求 a,b, c 的值. 作业：
教科书第106页练习 第1题第(1)小题． 习题8.4 第1题、第2题第(1)小题．
②
解法二：消去x x-z=4.
③

纸币各多少张？ 分析： （1）题目中有几个未知量？ （2）题目中有哪些等量关系？ （3）如何用方程表示这些等量关系？
新知探究 1.三元一次方程的概念
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
X+y+z=12 ①
X+2y+5z=22 ②
X=4y
③
观察方程①、②你能得出什么？
②
x 4 y
③
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
必备条件：①都是整式方程；②共含有三个未知数；③都是1次方程；④三个方程联立组 成。
辨析
判断下列方程组是不是三元一次方程组?
a b c d 1 b d 3 a c 2
谢谢聆听
2021/5/14
18
如何解三元一次方程组呢？
议 一 议
x y z 12
①
x
2
y
5z
22
②
x 4 y
③
是不是类似于解二元一次方程组先把三元 化为二元，再把二元化为一元呢？
新知探究
x y z 12 ①
x
2
y
5
z
22
②
x 4 y
③
5y z 12
解法一：把③分别代入①②，得：6 y 5z 22
×
方程组中共含
有三个未知数
m n 18
n
t
12
t m 0
√
方程组中共含
有三个未知数
辨析
x y 1
y
z
0
xz 2
×
方程组中含有未知数的 项的次数都是一次

把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有 个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路： 三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册 第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖 牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌 多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚， 根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①

3.某牧场用卖2头牛、5只羊的钱买13头猪,还剩下1 000元; 用卖3头牛、3头猪的钱买9只羊,钱正好花完;用卖6只羊、8头猪 的钱买5头牛,还差600元.求牛、羊、猪的价钱各是多少.
解:设每头牛的价格是 x 元,每只羊的价格是 y 元,每 头猪的价格是 z 元,根据题意得 ������������ + ������������-������������������ = ������ ������������������, ������������ + ������������-������������ = ������, ������������ + ������������-������������ = -������������������. ������ = ������ ������������������ 解得 ������ = ������������������, ������ = ������������������. 答:每头牛的价格是 1 200 元,每只羊的价格是 500 元,每头猪的价格是 300 元.
������������ + ������������-������ = ������, 1.解方程组 ������������-������������ + ������ = ������������,时,宜先消去 z ,得 ������ + ������ + ������ = ������������
解法 1:由②+③,得 x+y=3. ④ ������������-������������ = ������, ①与④组成方程组,得 ������ + ������ = ������. 解这个方程组,得 ������ = ������, ������ = ������.

一元一次方程
二元一次方程组
三元一次
方程组
消元
二元一次
方程组
消元
一元一
次方程
题型3 三元一次方程组求字母的值
例 在等式 y=ax2＋bx＋c中，当x=－1时，y=0；当x=2时，
y=3；当x=5时，y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
二元一次方程组 消元
加减
化二元为一元
一元一次方程
化归转化思想
若含有3个未知数的方程组如何求解？
思考
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步
题型2 三元一次方程组的解法
①
3 + 4 = 7，
例 解三元一次方程组 2 + 3 + = 9，②
5 − 9 + 7 = 8．
③
方程①中只含x, z，因此，可以由
②③消去y，得到一个只含x, z的方程，
与方程①组成一个二元一次方程组.
例 解三元一次方程组
3 + 4 = 7， ①
因此，我们把三个方程合在一起写成
+ + = 12,
+ 2 + 5 = 22,
= 4.
三
这个方程组中含有_____个未知数，每个方程中
含未知数的项的次数是_____.

2、已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都 成立，求A、B的值。
m 0 n 2
m0
12.当m≠＿＿＿＿时，方程组有一2xxm3yy121 组解。
解
:
解方程组2x
x 3y 1 my 1
2
(1) (2)
(2) 2 (1) 得 (2m 3) y 0
(3)
当 (2m 3) 0 , 即 m 3 时 , (3)式有唯一解. 2
解：①×4-②，得：2x 46 x 23
代入①，得： 23 y 35 y 12
是原xy方 程1223组的解．
课堂练习
1、方程是xm关1于x(、n y1的) y二n元一5 次方程，
则m=；n=。0-1
方程为二元一次方程
m 1 1


n
1
n -1 0
x 2y z 0 7x 4 y 5z 0
求x:y:z的值。
解 : 把一个字母当作己知数 , 则原方程组可变形为
x 2y z
(1)
7x 4 y 5z
(2)
(1) 2 (2) 9x 3z 故 x z 3
把 x z 代入 (1) 得 z 2 y z
(1) (2)
(2) 4 (1) 得 11y 22z , y 2z
把 y 2z 代入 (2) 得 x 3z ,
把 x 3z y 2z 代入下式
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2

2(3z)2 3(2z)2 6z2 (3z)2 5(2z)2 7z2

x 10m