深圳外国语学校高二数学第16周测试题(1)

广东省深圳市第二外国语学校高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120 B．720C．1440 D．5040参考答案：B2. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设A表示事件“4个人去的景点不相同”，B表示事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.参考答案：A3. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A．B．1 C．D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，故选 D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．4. 设，则A. －B.C. －D.参考答案：B令，得到，再令，得到∴故选：B5. 从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】条件概率与独立事件．【分析】先求出P（A），P（B），根据条件概率公式计算得到结果．【解答】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52=10种方法，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32=4种结果，则P（A）=事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有=3种结果，则P（B）=，所以P（B|A）=故选：C【点评】本小题主要考查等可能事件概率求解问题，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6. 下列说法中，正确的个数是（）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

第1页/（共4页） 第2页/（共4页）高二上学期数学文科第十六次周练试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数31iz i，则（ ） A ．B ．5C ．D ．2．双曲线2231x y -=的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．3y x =± C.13y x =± D ．33y x =± 3．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是（ ）．A ．2,210x R x ∀∈+≤ B.2,210x R x ∃∈+> C.2,210x R x ∃∈+< D.2,210x R x ∃∈+≤4．“10m < ”是“方程2211810y x m m -=-- 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．233B ．433C ．2D ．5336．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5,12.5B ．13,13C ．13.5,12.5D ．13.5,137．甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4,则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.32B ．0.56C ．0.44D ．0.688．已知,m n 表示两条不同的直线， αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，,则下列命题正确的是 （ ）A ．若m β⊥，则αβ⊥B ．若//αβ，则//m nC ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥ 9．在如图所示的程序框图中，若输出的，则判断框内可以填入的条件是（ ） A ．B ．C ．D ．10．在“吃鸡”游戏中，某玩家被随机降落在边长为4的正三角形绝地岛上，已知在离三个顶点距离都大于的区域内可以搜集枪支弹药、防弹衣、医疗包等生存物资，则该玩家能够获得生存物资的概率为（ ）A.136π-B ．34C ．36πD ．1411．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与圆222x y b +=相切于点M ，且213MF MF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．312．定义在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的函数()f x ，()'fx 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x <成立，则（ ）A.363f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭ C.264f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.3243f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．观察下列各式：，...，则__________．14．已知x 与y 之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系，则y 与x 的回归直线方程ˆybx a =+必过定点__________． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.16．已知球表面上有三个点、、满足，球心到平面的距离等于球半径的一半，则球的表面积为________.三、解答题(本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设命题:p 实数x 满足2x ≤，或6x >，命题:q 实数x 满足22320x ax a -+<（其中0a >） （1）若2a =，且p q ⌝∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.第3页/（共4页） 第4页/（共4页）18．已知函数（，，）. （Ⅰ）若函数在和处取得极值，求，的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[]3,2-∈x 时，()c x f 2> 恒成立，求的取值范围.19．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 10 40 学习成绩一般 30 总计100（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，求所抽取的6人中“学习成绩优秀”和“学习成绩一般”的人数；（3）从（2）中抽取的6人中再随机抽取3人，求其中“学习成绩优秀”的学生恰有2人的概率.0.050 0.010 0.001 3.8416.63510.82820．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2)4cos(=+πθρ，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．21．如图，在四面体PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ， PA AC =， 90ACB ∠=， D 为PC 的中点．（1）求证： AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =， 求证：直线AD //平面CMN ．22．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B ，离心率22e =， O 为坐标原点，圆O ： 2223x y +=与直线AB 相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ： ()2y k x =-（0k ≠）与椭圆C 相交于,E F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足//OP l ，求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .。

深圳外国语学校高二数学周测题(10.8)新学号： 班级： 姓名：一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 数列3，33，333，3333，…前n 项的和为 （ ）A ．)910(2711n n -+ B.)1910(2711-+n C ．)10910(271--n n D.)10910(2711--+n n,,(0,),ABC m n t ABC ∆∈+∞∆2.已知其中则是: A 、直角三角形 B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、以上三种情况都有可能3ABC ,,2ABC S ∆∆=03.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边;a,b,c边成等差数列,B=30则b=( )4．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定5．数列 的一个通项公式是 （ ） A. B ． C ． D ． 6. 在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =A.B.C.D..7. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20,,,ABC ABC S ∆∆8.已知中，AB=6AC=5BC=3=( )9. 设{}n a 为公差为－2的等差数列，如果5097741=++++a a a a ，那么99963a a a a ++++ 的值为 （ ）A. －82B. －78C. －148D. －18210．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶412)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n⋯--,924,715,58,111. 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A ．12. 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）ABC ∆13.在中,a=xcm,b=2cm,B=45,若利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是 .14.数列{n a }中，71=a ,242=a ,对所有自然数n, 都有21+++=n n n a a a ，则2005a = . 15. 在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。

凍圳外国语学校2Q1KH9学年度高二第i学期学段考试数学〔理科［试堆本试卷分选撮题和非选删a两都井i咒际滿分巧。

分，考试用时1加分恂【"袴專眦常生并必用用色字迹的悯笔耐宇帥自己闾妙名，岗*座位号軒粕曲息填马在甞般卡榕宦区域肉*2.瑟择題部小题逸出答案后r用2B铅瞻把誓题卡上对应题目的苦枭标号漁黒t如需改新用棣皮擦干净启*撐逸涂具它答案；不能需在懐摆上H3，非罐择題蠹烦用砒字迹的钢笔或淀宇第作岳善案必陨写在答题卡各题目指定区據內的捐应位置上；如需改动，先划掉原来的答峯，撼后再写上新的程案；不准便用描笔和涂改瓶不技以上要求作答的答案无兹’4*考生喏頌保持答题卡的整洁.第一部分选择题僕6B分）一，进择題（本部分共戊小麵*每题5分［共切分）_1.已知点M在平面低內，曲且对空闾任一点6 阪二泅十扑耳+亍兀则工的值为（）111儿6 氐3 c 3 乩02.已知方<（2严1諾）》=（耳』0）也与/井线侧北亠尸J+扎5 B. 6 G 3 D. 92.已知禺/?表示两个不同的平面，搭为平面盘内的—条直线，则“盘丄0”是“梆丄#”的1 〕*L充要条件B*充分不必要条梓C.必勇不充分条件D.既不充分也不必要条杵生有关命题的说法鬧诱的是『、A. ^pV q为假谕题，则恥Q均为假命题0 “口” M “八3时2珥T的充分不必要瑕件匚命题"若启3』鼻0・则日"的逆否命軀知'语详1,则?-3x=2^0w乩对于命题A 3x^0, 2" =3.则十；Vx<0, 2耒工3&双曲线疋-芝口！的渐近线方程是（）―" 4 8第OL总4MA ' 八±子B y =〔j=±岳乩它关于原点的对歉点为氏点尸为取曲线的右焦駄 且満足/F 丄濟曲吐册・设亦F-令 则取曲蟻宵心率 卫的值为-1A. 2 + VI 乩 5/3 4*1 C. 72 血巧8.如图.在平拧六面榕血CD-&BGQ 中，AB^5, AD = 3,曲]=4, £DAB = 90' T Z&4^ =ZfJj<4 =fiD\ E 是OC ；的中"乳d则dE 的长为I ）A.4-/5 B,47e CJ T S D .疝E 在平面宜角坐^xOy 中”F 是櫛医专十亍・1上的一个前点，点丄门，1）, B （0, lh 则|PA|打PBl 的堀大值为〔）A, 5 B, 4 C, 3 D. 2[0■左仙C 中心®点4』）血胆的畔是】乩戦M 的轨迹方覷<乩在四梗链户-曲CD 中”底面脑7D 是正方册, E^fPD 中昴 若 FA^a t PB = b ，PCh 、则匪二（3-入如图’已知双總》-話二咆》哄》。

2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞23.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.24.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）5.（单选题.5分）过点P（0.1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.1条6.（单选题.5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.直线l与椭圆C交于A.B两点.且线段AB的中点为M（-2.1）.则直线l的斜率为（）A. 13B. 32C. 12D.17.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √39.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤511.（多选题.5分）已知双曲线C过点（3. √2）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（）A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C有两个公共点12.（多选题.5分）设椭圆的方程为x22 + y24=1.斜率为k的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B两点.M为线段AB的中点．下列结论正确的是（）A.直线AB与OM垂直B.若点M（1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M（13 . 34）D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√2313.（填空题.5分）抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ．14.（填空题.5分）与椭圆x249+y224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．15.（填空题.5分）已知椭圆C：x28 + y26=1的左、右顶点分别为A、B．点P为圆x2+y2=8上不同于A、B两点的动点.直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是[1.2].则直线QA斜率的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）已知命题p：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x2+2ax+2-a＞0成立”则命题p的否定是___ ；若￢p是假命题.则a的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点M(23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．20.（问答题.12分）已知点A.B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上关于x轴对称的两点.点E是抛物线C的准线与x轴的交点．（1）若△EAB是面积为4的直角三角形.求抛物线C的方程；（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D.证明：直线AD过定点．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球【正确答案】：B【解析】：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题.书写其否定时不光要否定结论还要改变量词.由此规律易得其否定．【解答】：解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题. 考察四个命题.（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．【点评】：本题考查命题的否定.要注意研究命题的类型.根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞2【正确答案】：A【解析】：由于命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.可得命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.通过△≤0.解出即可．【解答】：解：∵命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.∴命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.∴△≤0.即4m2-4（m+2）≤0.解得-1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[-1.2]．故选：A．【点评】：本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系.属于基础题．3.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.2【正确答案】：C【解析】：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程.进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等.进而推断出y p+1=2.求得y p．【解答】：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0.1）.准线方程为y=-1.根据抛物线定义.∴y p+1=2.解得y p=1．故选：C．【点评】：本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等.常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．4.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）【正确答案】：C【解析】：若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】：解：已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右焦点为F. 若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点. 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba . ∴b a≥ √3 .离心率e 2= c 2a 2=a 2+b 2a 2≥4 .∴e≥2. 故选：C ．【点评】：本题考查双曲线的性质及其应用.解题时要注意挖掘隐含条件．5.（单选题.5分）过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条【正确答案】：B【解析】：过点P （0.1）的直线与抛物线y 2=x 只有一个交点.则方程组 {y =kx +1y 2=x 只有一解.分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；【解答】：解：（1）当过点P （0.1）的直线存在斜率时.设其方程为：y=kx+1. 由 {y =kx +1y 2=x.消y 得k 2x 2+（2k-1）x+1=0.① 若k=0.方程为-x+1=0.解得x=1.此时直线与抛物线只有一个交点（1.1）； ② 若k≠0.令△=（2k-1）2-4k 2=0.解得k= 14.此时直线与抛物线相切.只有一个交点； （2）当过点P （0.1）的直线不存在斜率时. 该直线方程为x=0.与抛物线相切只有一个交点；综上.过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有3条． 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想.解决基本方法是：（1）代数法.转化为方程组解的个数问题；（2）几何法.数形结合；6.（单选题.5分）已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .直线l 与椭圆C 交于A.B 两点.且线段AB 的中点为M （-2.1）.则直线l 的斜率为（ ）A. 13B. 32C. 12D.1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的离心率可得a.b的关系.得到椭圆方程为x2+4y2=4b2.设出A.B的坐标并代入椭圆方程.利用点差法求得直线l的斜率．【解答】：解：由e=ca =√32.得c2a2=a2−b2a2=34.∴a2=4b2.则椭圆方程为x2+4y2=4b2. 设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则x1+x2=-4.y1+y2=2.把A.B的坐标代入椭圆方程得：{x12+4y12=4b2①x22+4y22=4b2②.① - ② 得：（x1-x2）（x1+x2）=-4（y1-y2）（y1+y2）.∴ y1−y2 x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−−44×2=12．∴直线l的斜率为12．故选：C．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.训练了利用“点差法”求中点弦的斜率.是中档题．7.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x【正确答案】：B【解析】：利用已知条件推出渐近线的斜率关系.然后求解渐近线的斜率.得到渐近线方程．【解答】：解：由题意可得OB2+OA2=4c2.设渐近线的倾斜角为α.可得tanα= ADDF =√c2−4a2= ba.可得4a4=b4-2a2b2.解得ba=2．所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：B．【点评】：本题考查思想的简单性质的应用.是基本知识的考查．8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √3【正确答案】：B【解析】：求出P的坐标.代入双曲线方程.得出e的方程.即可求出双曲线的离心率．【解答】：解：由题意.∠PF2x=60°.∴P（2c. √3 c）.代入x 2a2 - y2b2=1.可得4c2a2- 3c2b2=1.∴4e4-8e2+1=0. ∵e＞1.∴e= 1+√32．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率.考查学生的计算能力.正确求出P的坐标是关键．9.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}【正确答案】：AD【解析】：直接利用反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：利用反证法.假设x≤1和y≤1.则x+y≤2.故与x+y＞2相矛盾.故A正确；对于B：对∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x ≥ 2√sin2x•2sin2x.当且仅当sinx=±√2 .等号成立.与函数y=sinx的值域相矛盾.故B错误；对于C：a+b=0的充要条件为a和b互为相反数.故C错误；对于D：若∃x∈R.x2+m≤0.则m≤（-x2）max=0.故m的取值范围为{m|m≤0}.故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查的知识要点：反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤5【正确答案】：AB【解析】：本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≤4}.从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≤4}的真子集.由选择项不难得出答案．【解答】：解：命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题. 即只需a≤（x 2）max =4.即命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题的充要条件为a≤4.而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≤4}的真子集.由选择项可知AB 符合题意． 故选：AB ．【点评】：本题为找命题一个充分不必要条件.还涉及存在性问题.属于基础题．11.（多选题.5分）已知双曲线C 过点（3. √2 ）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23 -y 2=1 B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C 有两个公共点 【正确答案】：AC【解析】：根据条件可求出双曲线C 的方程.再逐一排除即可．【解答】：解：设双曲线C的方程为 x 2m +y 2n=1（mn ＜0）. 根据条件可得 9m + 2n =1.且- nm = 13 . 解得m=3.n=-1. 所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1 .故A 对；离心率e= c a = √a 2+b 2a 2 = √3+13 = 2√33.故B 错；双曲线C 的焦点为（2.0）.（-2.0）.将x=2代入得y=e 0-1=0.所以C 对；联立 {x 23−y 2=1x −√2y −1=0.整理得y 2-2 √2 y+2=0.则△=8-8=0.故只有一个公共点.故D 错.故选：AC ．【点评】：本题考查双曲线的性质.根据条件求出双曲线C 的方程是关键.属于中档题． 12.（多选题.5分）设椭圆的方程为 x 22 + y 24 =1.斜率为k 的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B 两点.M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（ ） A.直线AB 与OM 垂直B.若点M （1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M （ 13 . 34 ） D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√23 【正确答案】：BD【解析】：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.将A.B 的坐标代入椭圆方程.两式相减.运用平方差公式和中点坐标公式、斜率公式.可判断A ；求得OM 的斜率.可得AB 的斜率.可判断B ；联立直线y=x+1与椭圆方程.运用韦达定理和中点坐标公式.可判断C ；联立直线方程和椭圆方程.运用弦长公式可判断D ．【解答】：解：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.由 y 124 + x 122 =1. y 224 + x 222 =1.两式相减可得 (y 1−y 2)(y 1+y 2)4 + (x 1−x 2)(x 1+x 2)2 =0.由m=x 1+x 22 .n= y 1+y 22.代入上式可得k AB k OM =-2.故A 错误；由上面可得k AB k OM =-2.且k OM =1.可得k AB =-2.则直线方程为y-1=-2（x-1）.即2x+y-3=0.故B 正确；由 {y =x +12x 2+y 2=4可得3x 2+2x-3=0.可得x 1+x 2=- 23 .则中点M （- 13 . 23 ）.故C 错误； 由 {y =x +22x 2+y 2=4 可得3x 2+4x=0.解得x 1=0.x 2=- 43 .则|AB|= √1+1 •|0+ 43 |= 4√23 .故D 正确． 故选：BD ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质.以及直线和椭圆的位置关系.注意运用点差法和联立直线方程和椭圆方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．13.（填空题.5分）抛物线y 2=12x 上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（6.±6 √2 ）【解析】：根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标.即可求得结论．【解答】：解：抛物线y 2=12x 的准线方程为x=-3 ∵抛物线y 2=12x 上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标为6 代入抛物线方程.可得y 2=72.∴y=±6 √2 即所求点的坐标为（6.±6 √2 ）故答案为：（6.±6 √2 ）．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查学生的计算能力.属于基础题． 14.（填空题.5分）与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．【正确答案】：[1] x 216 - y 29 =1【解析】：求出椭圆的焦点.可得c=5.由离心率公式可得a=4.由a.b.c 的关系可得b=3.即可得到双曲线的方程．【解答】：解：椭圆 x 249+y 224=1的焦点为（ ±√49−24 .0）即为（±5.0）.则双曲线的c=5.由离心率e= 54.则 c a= 54.则有a=4.b= √c 2−a 2 =3.则双曲线的方程为 x 216 - y 29=1.故答案为： x 216 - y 29 =1．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质.考查离心率公式的运用.考查运算能力.属于基础题和易错题．15.（填空题.5分）已知椭圆C ： x 28 + y 26 =1的左、右顶点分别为A 、B ．点P 为圆x 2+y 2=8上不同于A 、B 两点的动点.直线PB 与椭圆C 交于点Q.若直线PA 斜率的取值范围是[1.2].则直线QA 斜率的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 34，32]【解析】：由椭圆的第三定义可知.直线QA 与直线QB 的斜率之积为 −b 2a 2 .结合直线PA 与QB 的斜率之积为-1.即可将QA 的斜率用PA 的斜率表示出来.问题即可解决．【解答】：解：易知：AB 既是圆的直径.也是椭圆的长轴. 且a 2=8.b 2=6.由椭圆的第三定义可知： kQA •k QB =−b 2a2=−34① .又P 在圆上.所以PA⊥PB .所以k PA •k QB =-1． ② . 结合 ① ② 可知： k QA =34k PA .因为k PA ∈[1.2]. 故 k QA ∈[34，32] ．故答案为：[ 34，32 ]．【点评】：本题考查椭圆的性质、圆的性质的综合应用.以及函数思想在解题时的应用．属于中档题．16.（填空题.5分）已知命题p ：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x 2+2ax+2-a ＞0成立”则命题p 的否定是___ ；若￢p 是假命题.则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解; [2]（-3.+∞） 【解析】：根据特称命题的性质进行求解即可．【解答】：解：￢p ：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. ∵￢p 是假命题. 令f （x ）=x 2+2ax+2-a. 则 {f (1)≤0f (2)≤0.即 {1+2a +2−a ≤04+4a +2−a ≤0 .解得a≤-3．故命题p 中.a ＞-3．即参数a 的取值范围为（-3.+∞）． 故答案为：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. （-3.+∞）．【点评】：本题主要考查特称命题的应用.将条件转化为求不等式组的范围． 17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点 M (23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．【正确答案】：【解析】：由题意可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．把点代入M(23，−2√63)抛物线方程即可得到m．把点M(23，−2√63)代入椭圆的方程可得49a2+249b2=1 .又2a=4.联立即可解得．【解答】：解：∵椭圆的焦点在x轴上.且两曲线的焦点在同一坐标轴上. ∴抛物线的焦点也在x轴上.可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．∵ M(23，−2√63)在抛物线上.∴ (−2√63)2=23m .解得m=4.∴抛物线的方程为y2=4x．∵ M(23，−2√63)在椭圆上.∴ 49a2+249b2=1①又2a=4 ②由① ② 可得a2=4.b2=3．∴椭圆的方程是x24+y23=1．【点评】：本题考查了抛物线与椭圆的焦点的标准方程及其性质.属于基础题．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由焦距和离心率及a.b.c之间的关系求出a.b的值.分椭圆的焦点在x.y轴可得椭圆的方程；（2）由椭圆的定义可得P到两个焦点的距离之和及焦距.在三角形中有余弦定理可得P到两个焦点的距离之积.由面积公式求出三角形的面积．【解答】：解：（1）由题意可得2c=2.e= ca = 12.所以可得a=2.而b2=a2-c2=22-12=3.当焦点在x轴上时.椭圆的方程为：x 24 + y23=1；当焦点在y轴上时.椭圆的方程为：y 24 + x23=1；（2）由（1）可得2c=2.设焦点F1.F2.则F1F2=2c=2.PF1+PF2=2a=4.在△PF1F2中有余弦定理可得：cos∠F1PF2= PF12+PF22−F1F222PF1•PF2= (PF1+PF2)2−2PF1•PF2−F1F222PF1•PF2.由题意可得12 = 42−2PF1•PF2−42PF1•PF2.解得：PF1•PF2=4.所以S △PF1F2 = 12PF1•PF2•sin∠F1PF2= 12× 4× √32= √3；所以△PF1F2的面积为√3．【点评】：本题考查求椭圆的方程.椭圆的性质及余弦定理的应用.属于中档题．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得M.F1.F2的坐标.由等腰直角三角形得12a2=1.b=c.以及a.b.c的关系.解方程可得a.b.进而得到椭圆方程；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立直线方程和椭圆方程.消去y.得到x的方程.运用判别式大于0和韦达定理.可得AB中点坐标.运用弦长公式可得|AB|.AB为直径的圆与y轴相切可得半径r= 12 |AB|= 23|m|.解方程即可得到m的值．【解答】：解：（1）由题意可得M（0.b）.F1（-c.0）.F2（c.0）. 由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得12a2=1.b=c.且a2-b2=c2.解得b=c=1，a=√2 .则椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立 {x 22+y 2=1−x +m =y⇒3x 2−4mx +2m 2−2=0 . 即有△=16m 2-12（2m 2-2）＞0.即为- √3 ＜m ＜ √3 . x 1+x 2=4m 3 .x 1x 2= 2m 2−23. 可得AB 中点横坐标为2m3. |AB|= √1+1 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √2 • √16m 29−8m 2−83 = 43√3−m 2 .以AB 为直径的圆与y 轴相切. 可得半径r= 12 |AB|= 2|m|3. 即为 23√3−m 2 =2|m|3. 解得m=± √62 ∈（- √3 . √3 ）. 则m 的值为± √62 ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.注意运用等腰直角三角形的定义和基本量的关系.考查直线方程和椭圆方程联立.运用判别式大于0和韦达定理.中点坐标公式和弦长公式.考查直线和圆相切的条件.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.12分）已知点A.B 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上关于x 轴对称的两点.点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点．（1）若△EAB 是面积为4的直角三角形.求抛物线C 的方程； （2）若直线BE 与抛物线C 交于另一点D.证明：直线AD 过定点．【正确答案】：【解析】：（1）求得抛物线的准线方程.可得E 的坐标.由题意可得△EAB 为等腰直角三角形.且EA⊥EB .设出直线AE 的方程.联立抛物线方程.求得A 的坐标.再由三角形的面积公式.解方程可得p.进而可得所求抛物线方程；（2）设B （x 1.y 1）.A （x 1.-y 1）.D （x 2.y 2）.设EB 的方程为x=ny- p2 =0.联立抛物线方程.运用韦达定理.求得直线AD 的斜率和方程.结合点在抛物线上.满足抛物线方程.以及韦达定理.直线恒过定点的求法.可得定点．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（p2 .0）.准线方程为x=- p2.由△EAB是面积为4的直角三角形.且A.B两点关于x轴对称. 可得△EAB为等腰直角三角形.且EA⊥EB.可设AE的方程为y=x+ p2 .联立抛物线C：y2=2px.可得x= p2.y=p.则A（p2 .p）.B（p2.-p）.E（- p2.0）.可得S△EAB= 12p•2p=4.解得p=2.则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设B（x1.y1）.A（x1.-y1）.D（x2.y2）. 设EB的方程为x=ny- p2=0.联立抛物线C：y2=2px.可得y2-2pny+p2=0.可得y1+y2=2pn.y1y2=p2.k AD= y2+y1x2−x1 = 2pnn(y2−y1)= 2py2−y1.直线AD的方程为y= 2py2−y1（x-x2）+y2.即有y= 2py2−y1 x- 2px2y2−y1+ y22−y1y2y2−y1.即为y= 2py2−y1 x- p2y2−y1.即y= 2py2−y1（x- p2）.可得直线AD恒过定点（p2.0）．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.考查直线方程和抛物线方程联立.运用韦达定理.考查直线恒过定点的求法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两点之间的距离公式及椭圆的定义即可求得a 和b 的值.求得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程.代入椭圆方程.根据韦达定理及直线的斜率公式求得直线P'Q 的方程.求得D 点坐标.利用三角形的面积公式表示出△DPQ 面积.换元利用基本不等式的性质.即可求得△DPQ 面积的最大值．【解答】：解：（I ）由椭圆的定义.可知2a=|AF 1|+|AF 2|= √(2√3)2+(12)+12=4 ．………1分 解得a=2．…………2分又 b 2=a 2−(√3)2=1 ．……3分 所以椭圆C的标准方程为 x 24+y 2=1 ． (4)（Ⅱ）由题意.设直线l 的方程为x=my+4.m≠0．设P （x 1.y 1）.Q （x 2.y 2）.则P'（x 1.-y 1）． 由 {x =my +4x 24+y 2=1.消去x.可得（m 2+4）y 2+8my+12=0．…………5分因为△=16（m 2-12）＞0.所以m 2＞12所以 y 1+y 2=−8m m 2+4 . y 1y 2=12m 2+4 ． (6)因为 k P′Q =y 2+y1x 2−x 1=y 2+y 1m (y2−y 1).所以直线P'Q 的方程为 y +y 1=y 2+y 1m (y2−y 1)(x −x 1) ．…………7分令y=0.可得 x =m (y 2−y 1)y 1y 1+y 2+my 1+4 ．………8分所以 x =2my 1y 2y 1+y 2+4 =2m•12m 2+4−8m m 2+4+4=24m−8m +4=1 .所以D （1.0）．…………9分所以 S △DPQ =|S △BDQ −S △BDP |=12|BD |•|y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 = 6√m 2−12m 2+4．……10分令 t =√m 2−12 .t∈（0.+∞）． 则 S △DPQ =6tt 2+16=6t+16t≤34.当且仅当t=4即 m =±2√7 时等号成立.．……12分所以△DPQ面积的最大值为34【点评】：本题考查椭圆的标准方程.直线与椭圆的位置关系.考查韦达定理.三角形的面积公式.考查基本不等式的应用.考查计算能力.属于中档题．。

一、选择题1．(0分)[ID ：13881]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f -<< B ．()()()220f f f <-< C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．(0分)[ID ：13875]已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）A ．6B ．6±C ．2D ．2±3．(0分)[ID ：13874]设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )A B ．C D ．4．(0分)[ID ：13860](1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1B ．0C ．1D ．25．(0分)[ID ：13857]在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．12D ．346．(0分)[ID ：13854]在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( )A B ．C ．6 D ．1527．(0分)[ID ：13891]已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称8．(0分)[ID ：13864]在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+B ．CP a b =-C ．12CP a b =- D ．1233CP a b =+ 9．(0分)[ID ：13842]设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ） A ．20B ．15C ．9D ．610．(0分)[ID ：13926]已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴11．(0分)[ID ：13920]延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为312．(0分)[ID ：13911]已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：13910]在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH14．(0分)[ID ：13903]已知非零向量a ⃑ =(t,0),b ⃑ =(−1,√3)，若a ⃑ ⋅b ⃑ =−4，则a ⃑ +2b ⃑ 与b⃑ 的夹角（ ） A ．π3B ．π2C ．π6D ．2π315．(0分)[ID ：13900]已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题16．(0分)[ID ：14025]已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________．17．(0分)[ID ：14013]已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 18．(0分)[ID ：14010]已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________.19．(0分)[ID ：13979]已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b 3，则a 在b 方向上的投影是__________．20．(0分)[ID ：13976]将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．21．(0分)[ID ：13973]已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．22．(0分)[ID ：13962]已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________．23．(0分)[ID ：13954]已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα-=___________ . 24．(0分)[ID ：13940]已知A ，B ，C 是圆O 上的三点(点O 为圆的圆心），若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为______.25．(0分)[ID ：13937]已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______．三、解答题26．(0分)[ID ：14105]在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若23cos 0S bc A +=． （1）求cos A ； （2）若39,3a b c =-=，求,b c 的值．27．(0分)[ID ：14096]设函数()sin 3cos 1f x x x =++. （1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间； （2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 28．(0分)[ID ：14079]假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 29．(0分)[ID ：14055]已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 30．(0分)[ID ：14060]在ABC ∆中，满足AB AC ⊥，M 是BC 中点. （1）若AB AC =，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值； （2）若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，求OA OB OC OA ⋅+⋅的最小值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．D 9．C 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A二、填空题16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；18．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟21．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求22．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题23．【解析】∵∴∴∴故答案为24．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO的直径则以ABAC为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90°25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：三、解答题26．27．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）．2．C解析：C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4．D解析：D 【解析】()()1tan171tan28++00000000001tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与5．D解析：D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理sin sin c aC A= 2sin cos aC C=得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的值，于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ． 【详解】2A C =，由正弦定理sin sin c a C A=，即sin sin 22sin cos c a aC C C C ==， ()1cos 221a n C c n +∴==-， ()()()()222222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63cos 244C ==⨯，故选D ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．6．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单7．B解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．8．D解析：D 【解析】 【分析】利用向量三角形法则得到：1212++3333CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】利用向量三角形法则得到：221212++()++333333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==故选：D 【点睛】本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.9．C解析：C 【解析】【分析】 根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.10．C解析：C 【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位，可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==，()2f ϕ=-不正确，故选C. 11．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．12．C解析：C 【解析】 【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭， 即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选C. 【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．13．C解析：C 【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.14．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件容易求出t=4，从而得出a ⃑ =(4,0)，从而得出a ⃑ +2b ⃑ =(2,2√3)可设a ⃑ +2b ⃑ 与b⃑ 的夹角为θ，这样根据cosθ=(a ⃑ +2b ⃑ )·b ⃑ |a⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ | 即可求出cosθ，进而得出θ的值．【详解】因a ⃑ ⋅b⃑ =−4=−t ∴t=4；∴a ⃑ =(4,0)，b ⃑ =(−1,√3)，a ⃑ +2b⃑ =(2,2√3) 设a ⃑ +2b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，则：cosθ=(a ⃑ +2b⃑ )·b ⃑ |a ⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ |=-2+64×2=12， ∴θ=π3 故答案为A ． 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ⃑ ⋅b ⃑ =|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑ ⋅b ⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a ⃑ |·|b ⃑ | （此时a⃑ ·b ⃑ 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影是a⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |；（3）a ⃑ ,b ⃑ 向量垂直则a ⃑ ⋅b ⃑ =0;(4)求向量ma ⃑ +nb ⃑ 的模（平方后需求a ⃑ ⋅b ⃑ ）. 15．C解析：C 【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.二、填空题 16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条 解析：-1 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，2ka b -与a 垂直，则()20ka b a -⋅=，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】 将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.18．【解析】【分析】设向量的夹角为在不等式两边平方利用数量积的运算律和定义求出的取值范围于此可求出的取值范围【详解】设向量的夹角为两边平方得都是单位向量则有得因此向量的夹角的取值范围是故答案为【点睛】本解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设向量a 、b 的夹角为θ，在不等式2a b b a +≥-两边平方，利用数量积的运算律和定义求出cos θ的取值范围，于此可求出θ的取值范围． 【详解】设向量a 、b 的夹角为θ，2a b b a +≥-，两边平方得2222244a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，a 、b 都是单位向量，则有22cos 54cos θθ+≥-，得1cos 2θ≥， 0θπ≤≤，03πθ∴≤≤，因此，向量a 、b 的夹角的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.21．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求解析：17-【解析】分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用2cos 212sin 1212cos sin sin θθθθθ-=++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，43,cos 55y x sin r r θθ∴====， 那么216712cos 212sin 1252543491212cos 7125525sin sin θθθθθ-⨯--====-+++⨯⨯，故答案为17-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.22．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题解析：65【解析】 分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，即可求得其值.详解：tan tantan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4παπαααπαα--⎛⎫-===∴= ⎪+⎝⎭+ 由()()22cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+⎪⎝⎭22222sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15αααααααα++===++ 即答案为65. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．23．【解析】∵∴∴∴故答案为 解析：7-【解析】 ∵3,,sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭∴4cos 5α=- ∴3tan 4α=- ∴tan 1tan 741tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故答案为7-24．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO 的直径则以ABAC 为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90° 解析：90︒【解析】 在圆中若AO =12(AB +AC )， 即2AO =AB +AC ，即AB +AC 的和向量是过A ，O 的直径，则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形， 则AC ⊥AB ，即AB 与AC 的夹角为90°， 故答案为：90°25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.三、解答题 26． （1）12-；（2）52b c =⎧⎨=⎩ 【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c 点的值.【试题解析】（1）由1sin 2S bc A =有sin cos 0bc A A =，得tan A = 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos32A π==-． （2）由余弦定理有：22222cos3a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即()2339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：52b c =⎧⎨=⎩．27．（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，；（2）2425-. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间． （2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论． 【详解】（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 即函数()f x 的值域是[]1,3-. 令32222k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈.（2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以2sin 2sin233ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525-⨯⨯=-. 【点睛】三角函数求值的类型如下：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.28．（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】 【分析】（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==， 于是有2112.354512.3 1.23905410b -⨯⨯===-⨯， 51,2340.08a y bx =-=-⨯=.（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元），即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元.【点睛】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.29．（1）2π；（2）6x π=时，()f x 取得最大值为3；当6x π=-时，()f x 取得最小值为0． 【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求出函数的半周期得答案；（2）由x 的范围求出26x π+的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数取得最值时的x 值．【详解】 ()223cos 2cos 32cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭． （1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为22T π=；（2）5,,2,63666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值为3； 当ππ266x ，即6x π=-时，()f x 取得最小值为0． 【点睛】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．30．(1)45；(2)12-. 【解析】 试题分析： （1）由向量的夹角公式cos a ba b θ⋅=可求；（2）OA x =，则1OM x =-，2OB OC OM +=，由此可用x 表示出⋅+⋅OA OB OC OA ，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量2+AB AC 与向量2AB AC +的夹角为θ,(2)(2)cos22AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅+=+⋅+,令AB AC a ==， 224cos 5θ==. （2）∵2AB AC ==，∴AM 1=，设OA x =，则OM 1x =-.而2OB OC OM +=，所以()2OA OB OC OA OM ⋅+=⋅ 22112cos 22222OA OM x x x π⎛⎫=⋅=-=-- ⎪⎝⎭.当且仅当12x =时， ()OA OB OC ⋅+的最小值是12-.。

【全国百强校】广东省深圳外国语学校2020-2021学年高二下学期第二学段考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数22iz i-=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合2{|230}A x x x =--，{|22}B x x =-，则(A B = )A ．[2-，1]-B ．[1-，2]C ．[1-，1]D ．[1，2]3．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p ==4．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为（ ） A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．已知实数x ，y 满足(1)x y a a a >>，则下列关系式恒成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．22()ln 1l 1)n(x y +>+ C ．sin sin x y >D ．33x y >6．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A ．144B ．216C ．288D ．4327．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A ．3B C ．2D ．8．若函数()(1)(0x x f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-10．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）AB ．最长棱的棱长为3C ．侧面四个三角形都是直角三角形D ．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形11．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） AB1CD ．212．已知直线(1)(0)y k x k =>+与函数sin y x =的图象恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .其中1234x x x x <<<，则有（ ）A ．4sin 1x =B ．444sin (1)cos x x x =+C ．44sin cos x k x =D ．444sin (1)tan x x x =+二、填空题13．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则AB =__________． 14．已知函数21cos 22y x x =-，(0,)2x π∈，则该函数的值域为__________．15．已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是__________．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①当102CQ时，S 为四边形； ②当12CQ时，S 为等腰梯形； ③当23CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足112C R =；④存在点Q ，S 为六边形.三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （Ⅰ）证明：数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求12n n T S S S =+++.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长. 19．某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，2F ：22()1x c y -+=与该椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆标准方程； （2）过点(4,0)P c 的直线l 与1F ：222(1)(1)x y r r ++=>相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究2F A k ，2F B k 的数量关系.21．已知函数()lg(5)lg(1)g x x x =-++.（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）()f x 的图像与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 12()x x <两点，AB 中点为0(,0)C x ，求证：0'()0f x <.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=，2C的参数方程为2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，求AB . 23．已知()211f x x x =++-.（1）求()f x 在[1,1]-上的最大值m 及最小值n ；（2）在（1）的条件下，设,a b ∈R ，且1am bn +=，求证：22445a b +≥.参考答案1．A 【解析】试题分析：因5435)2(222i i i i z -=-=+-=，故543iz +=在第一象限，应选A 。

一、选择题1．(0分)[ID ：13326]如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 2．(0分)[ID ：13313]七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18 C ．38D ．3163．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？4．(0分)[ID ：13303]如果数据121x +、221x +、、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1445．(0分)[ID ：13297]日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图N ，则输出i值为（）如图所示，执行该程序框图输入的6A．6B．7C．8D．96．(0分)[ID：13289]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．117．(0分)[ID：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A．﹣1 B．12C．2 D．18．(0分)[ID：13284]下列赋值语句正确的是()A．s＝a＋1 B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝19．(0分)[ID：13266]已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．1310．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>11．(0分)[ID：13256]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1912．(0分)[ID ：13253]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41313．(0分)[ID ：13251]设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变14．(0分)[ID ：13235]下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.515．(0分)[ID ：13324]如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在ABC∆内”，B表示事件“豆子落在DEF∆内”，则(|)P B A=（）A．334πB．32πC．13D．23二、填空题16．(0分)[ID：13421]如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．17．(0分)[ID：13412]执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．18．(0分)[ID：13405]执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是________．19．(0分)[ID ：13371]执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．20．(0分)[ID ：13361]袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X ==_______．21．(0分)[ID ：13351]将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.22．(0分)[ID ：13334]下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．23．(0分)[ID ：13402]下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．24．(0分)[ID ：13379]现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．25．(0分)[ID ：13333]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13485]某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题． （Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．27．(0分)[ID ：13478]用秦九韶算法求()543383f x x x x =+-25126x x ++-,当2x =时的值.28．(0分)[ID ：13475]我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求()P A 的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.29．(0分)[ID ：13462]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）30．(0分)[ID：13441]某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3n a p的值；(1)补全频率分布直方图并求,,(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．C4．A5．D6．C7．B8．A9．D10．B11．B12．C13．B14．A15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出最近路线的所有走法共有种再求出不连续向上攀登的次数然后可得概率【详解】最近的行走路线就是不走回头路不重复所以共有种向上攀登共需要3步向右向前共需要4步因为不连续向上攀登所以向17．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|18．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【19．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出20．【解析】【分析】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球由古典概型求得概率【详解】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球所以填【点睛】求古典概型的概率关键是正确求出基本事件总数21．65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为22．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐23．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用24．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有510152025303540455055606570758085909510025．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.2．B解析：B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差.【详解】 设数据1x 、2x 、、n x 的平均值为x ，方差为2s ，由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===. 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.7．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.8．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．B解析：B 【解析】执行一次，20010,20S i =+=，执行第2次，2001020,30S i =++=，执行第3次，200102030,40S i =+++=，执行第4次，26040,50S i =+=，执行第5次，30050,60S i =+=，执行第6次，35060,70S i =+=，执行第7次，41070,80S i =+=跳出循环，因此判断框应填70i >，故选B.11．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B14．A解析：A 【解析】 【分析】计算得到 4.5x =，114t y +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t t y ++++==，中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+， 即114.50.70.354t +=⨯+，解得3t =. 故选：A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.15．D解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出最近路线的所有走法共有种再求出不连续向上攀登的次数然后可得概率【详解】最近的行走路线就是不走回头路不重复所以共有种向上攀登共需要3步向右向前共需要4步因为不连续向上攀登所以向解析：27 【解析】 【分析】先求出最近路线的所有走法共有77A 种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率. 【详解】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有77A 种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有4345A A 种，故所求概率为43457727A A P A ==. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.17．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63． 故答案为63． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．18．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析：3 【解析】 【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可. 【详解】由程序语句知：算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值， 当3x ≥时，2110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)； 当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去， 综上，x 的值为3，故答案为3 . 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.19．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出 解析：42【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值。

一、选择题1．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -2．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心3．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+4．(0分)[ID ：13578]若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．305．(0分)[ID ：13576]若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．3226．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=7．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A 610- B 610+ C 510-D 510+ 8．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．3 9．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()AB AC BC ABAC+⊥且1•2AB AC ABAC=，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形10．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2B ．2-2211．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3412．(0分)[ID ：13544]若函数3的部分图像如右图所示，则()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-13．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan 33tan A B A B ++=且3sin cos 4B B =ABC ∆是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形14．(0分)[ID ：13535]已知函数()42)24f παα=-+，在锐角三角形ABC 中，()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )A ．1B 21C ．22D 2115．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13726]函数()sin 52sin x f x x+=-的最大值为__________.18．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.19．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形． 20．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．21．(0分)[ID ：13657]若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____.22．(0分)[ID ：13656]已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为________.23．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ． 24．(0分)[ID ：13635]已知D 是ABC ∆中AC 所在边上的一点，，则DB 在AC 上投影的最小值是_____．25．(0分)[ID ：13634]已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且33a b -=，则b =_____．三、解答题26．(0分)[ID ：13816]已知α，β为锐角，1tan 7α=，10sin 10β=，求2αβ+ 27．(0分)[ID ：13796]已知4a =，2b =，且a 与b 的夹角为23π，求： （1）a 在b 上的投影； （2）()()2a ba b -+；（3） a 与a b +的夹角.28．(0分)[ID ：13751]已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +的最大值；（2）设a 与b 的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.29．(0分)[ID ：13750]在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅. （1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ；（2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.30．(0分)[ID ：13803]已知点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+，其中1t ，2t 为实数：（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围； （2）求证：当11t =时，不论2t 为何值，A ，B ，M 三点共线；（3）若21t a =，OM AB ⊥，且三角形ABM 的面积为12，求a 和2t 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．A 7．A 8．A 9．D 10．D11．C12．A13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用17．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的18．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键19．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式20．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义21．【解析】【分析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立只需由三角函数求出求y＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定23．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系24．【解析】【分析】依题意设然后根据数量积可以求出的最小值从而可求出在上投影的最小值【详解】依题意设∵（时取等此时与重合）∴在上投影为故答案为【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算属中档题25．【解析】【分析】根据条件即可得出然后对两边平方可得出即可求解得到答案【详解】根据条件：且；则；整理得解得或（舍去）故答案为7【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式向量投影的计算公式向量坐标三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.2．B解析：B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D.本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．4．B解析：B 【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．6．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．7．A【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==， 而()6sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα+-=-=⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A.【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】AB AB和AC AC是两个单位向量，设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1•2AB AC ABAC=，求出BAC ∠即可判断． 【详解】 设AB AC ABAC+＝AD ，∵AB AB和AC AC是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，•AB AC ABAC111cos 2BAC ⨯⨯∠=，即1cos 2BAC ∠=，∴3BAC π∠=， ∴ABC ∆是等边三角形， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++，又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且23516sin yθ=-=+， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则22sin x y α=+22cos x y α=+，()tan 0yx xα=≠. 12．A解析：A 【解析】 【分析】代入特殊值法，分别代入304x x π==或，排除各个选项，即可． 【详解】由()01f =可排除B 、D ，由34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ，故选A. 【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等．13．A解析：A 【解析】 【分析】由tan A +tan B =tan A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】∵tan A +tan B =tan A tan B ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB +=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos B B =，∴sin2B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形． 故选A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14．D解析：D 【解析】 【分析】根据()6f A =得到4A π∠=，根据cos2cos2B C =得到38B C π∠=∠=，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】())264f A A π=-+=，即sin(2)4A π-=.锐角三角形ABC ，故32,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故244A ππ-=，4A π∠=.()2,20,B Cπ∈，cos2cos2B C=，故38 B Cπ∠=∠=.22tan3tan2tan11tan4BBBπ===--，故tan21B=+或tan21B=-+（舍去）.故选：D.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.15．B解析：B【解析】【分析】根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案.【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,而||||cos||=||cosi i i iiOA OBOA OB OA OB OA OB OAOB OA OB⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA及iOA在向量OB的方向上的投影为||OA OBOB⋅,故④正确.()00,i i i iOA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点iA A、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用解析：【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用．17．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的解析：6 【解析】 【分析】利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求得最大值． 【详解】()sin 52sin x f x x +=-712sin x=-+-，∵1sin 1x -≤≤，所以12sin 3x ≤-≤，77732sin x ≤≤-，所以4()63f x -≤≤， ∴sin 1x =时，max ()6f x =． 故答案为：6. 【点睛】本题考查求函数的最值，考查正弦函数的性质．解题方法是利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求解．18．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键解析：24 【解析】 【分析】计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案. 【详解】222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4； 故答案为：24 【点睛】本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.19．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式解析：等腰 【解析】 【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=， 即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰. 【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.20．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉- 21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为． 考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．21．【解析】【分析】问题转化为m ＞对任意x ∈R 恒成立只需由三角函数求出求y ＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题解析：1,)+∞【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可． 【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos21214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1，1m ∴>，故答案为)1,+∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定 解析：∅【解析】 【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得AB AC λ=,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x =-,最后验证可知不符合题意,故解集为空集. 【详解】因为A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点, 所以AB 与AC 共线,根据共线向量定理可得,存在实数R λ∈,使得AB AC λ=, 因为0AB ≠,所以0λ≠, 所以OB OA -AC λ=, 所以11AC OA OB λλ=-+,又由已知得2AC x OA xOB =--,根据平面向量基本定理可得,21x λ-=-且1x λ=-,消去λ得2x x =-且0x ≠, 解得1x =-,1λ=,当1λ=时,AB AC =,此时B 与C 两点重合,不符合题意,故舍去, 故于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为∅, 故答案为: ∅. 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.23．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：【解析】 试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系24．【解析】【分析】依题意设然后根据数量积可以求出的最小值从而可求出在上投影的最小值【详解】依题意设∵（时取等此时与重合）∴在上投影为故答案为【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算属中档题 解析：2912-【解析】 【分析】依题意6AC =，设(),06CD t t =≤≤，然后根据数量积可以求出DB AC ⋅的最小值，从而可求出DB 在AC 上投影的最小值 【详解】依题意6AC =，设(),06CD t t =≤≤∵()DB AC AB AD AC AB AC AD AC ⋅=-⋅=⋅-⋅()22246329294666624622t t +-=⨯⨯--=-≥-⨯⨯ （0t =时取等，此时D 与C 重合）， ∴DB 在AC 上投影为29292=6612DB AC DB AC AC⋅⋅≥-=-．故答案为2912-．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．25．【解析】【分析】根据条件即可得出然后对两边平方可得出即可求解得到答案【详解】根据条件：且；则；整理得解得或（舍去）故答案为7【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式向量投影的计算公式向量坐标解析：【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=，然后对33a b -=两边平方，可得出2||670b b --=，即可求解b ，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=，且33a b -=； 则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=；整理得2||670b b --=，解得7b =或1-（舍去）． 故答案为7． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题 26．4π 【解析】 【分析】由题意首先求得tan 2β的值，然后结合两角和差正切公式求得()tan 2αβ+的值，最后结合角的范围和特殊角的三角函数值可得2αβ+的值. 【详解】因为β为锐角,sin β=,所以cos β=则1tan 3β=，22122tan 33tan 21tan 4113βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于β为锐角，且tan 20β>，故2β为锐角， ()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ+++===--⨯. 由,2αβ为锐角,得到()20,αβπ+∈,所以24παβ+=.【点睛】本题主要考查二倍角公式，两角和差正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（1）2-；（2）12；（3）6πθ=【解析】 【分析】（1）直接利用向量的投影公式求解即可；（2）利用数量积的运算法则计算得解；（3） 【详解】（1）由题得a 在b 上的投影为24cos 23π⨯=-；（2）()()2212=216842()122a b a b a b a b -+--⋅=--⨯⨯-=； （3）由题得2||()1648a b a b +=+=+-= 所以a 与a b +== 故a 与a b +的夹角为6πθ=.【点睛】本题主要考查向量的投影和数量积的计算，考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.28．（1）3+；（2）]2π. 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算，化简得2||22sin()34a b πθ+=++，利用三角函数的性质，即可求解。

一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+ D ．AB DA AC DB +=+2．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 3．已知tan 2α=，则2cos α=（ ） A ．14B ．34C ．45D ．154．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．66B ．66±C ．62D ．62±5．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．3C ．2D 36．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．67．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-8．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒ B ．120︒ C ．30 D ．90︒ 10．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．10011．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH12．已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．4313．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形14．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．2515．设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________． 17．已知4tan()5αβ+=，1tan 4β=，那么tan α=____．18．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝()()11f x f x +-，则f (2018)= ________.19．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为__________．20．设向量()sin ,2m θ=，()1,cos n θ=-，且m n ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________． 21．函数1ππ()sin ()cos ()536f x x x =++-的最大值为___________. 22．已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．23．已知()1tan 2αβ+=，()tan 1αβ-=-，则sin 2sin 2αβ的值为__________．24．函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<< 的部分图象如图所示，则ϕ=________.25．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，AC b =，试用a 、b 表示AG =________. 三、解答题26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若13c =，ABC 的面积为33ABC 的周长.27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若23cos 0S bc A =．（1）求cos A ； （2）若39,3a b c =-=，求,b c 的值．28．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos (1tan tan )1A B A B -=-，3c =，ABC ∆的面积为32.（1）求C 的大小； （2）求+a b 的值.29．已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．30．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为25105（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．C 12．A13．D14．D15．A二、填空题16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条17．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果18．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f（x）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2f（x+1）=∴f（2）=﹣3f（3）=﹣f（4）=f（5）=2……即函数f（x19．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力22．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为23．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公24．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【详解】=-，DC AC AD=-，DC BC BD∴AC AD BC BD-=-，∴AC BD BC AD+=+．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．B解析：B【解析】【详解】分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，由2222cos cos cos sin αααα=+，化为正切即可求解. 【详解】22222cos 1cos cos sin 1tan ααααα==++, 且tan 2α=，∴211cos 145α==+， 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴2122cos302λλ+⨯⨯︒=， ∴21264λλ+⨯=，则0λ>， ∴62λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．5．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.7．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==，因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈， 因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9．B解析：B【解析】【分析】求出||,||,a b a b ⋅，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】22222121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+022cos 603,||3a =+⨯=∴= 22222121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+054cos 603,||3b =-⨯==， 1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-2201122321cos602e e e e =-⋅-=--=-， 设,a b 的夹角为1,cos 2||||a b a b θθ⋅==-， 20,3πθπθ≤≤∴=. 故选:B,【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题. 10．C解析：C【解析】【分析】【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图， 其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数， 而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余 都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.11．C解析：C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.12．A解析：A【解析】【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ．【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 13．D解析：D【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB ACAD AE AB AC ==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且AB ACAF AB AC =+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF交BC 的中点于O ，则：S △ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形．考点：平面向量数量积的运算14．D解析：D【解析】【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a ++=+=+ 221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．A解析：A【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果.【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条解析：-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值.【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，2ka b -与a 垂直，则()20ka b a -⋅=，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果 解析：1124【解析】【分析】根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果.【详解】已知()4tan 5αβ+=,1 tan 4β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24αββαββ+-==++． 故答案为1124. 【点睛】 这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.18．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2f （x+1）=∴f （2）=﹣3f （3）=﹣f （4）=f （5）=2……即函数f （x解析：-3【解析】【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案．【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2，f （x +1）=()()11f x f x +-， ∴f （2）=﹣3，f （3）=﹣12， f （4）=13， f （5）=2，……即函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，∵2018=504×4+2， 故f （2018）=f （2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题．19．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值【解析】sin cos )4MN a a a π=-=-≤MN . 方法点睛：本题考查数形结合思想的应用，(),sin M a a ，(),cos N a a ，根据两点间距离公式sin cos MN a a ==-，再根据辅助角公式转化为sin cos )4a a a π-=-，当()42k k Z ππαπ-=+∈时，MN 取得最大值. 20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：解析：13【解析】分析：先根据向量垂直得sin 2cos 0θθ-= ，再根据两角差正切公式求解.详解：因为m n ⊥ ，所以=0m n ⋅,sin 2cos 0tan 2,θθθ-==，因此tan 1211tan().41tan 123πθθθ---===++ 点睛：向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：65【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．详解：函数()1ππ1πsin cos 353656f x x x sin x cos x π⎛⎫⎛⎫=++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（） 1ππ6π6533535sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为65． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．22．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），23．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公 解析：13- 【解析】∵()1tan 2αβ+=，()tan 1αβ-=-， (α+β)+(α−β)=2α,(α+β)−(α−β)=2β， ∴sin2sin2αβ=()()()()sin αβαβsin αβαβ⎡⎤++-⎣⎦⎡⎤+--⎣⎦ =()()()()()()()()sin αβcos αβcos αβsin αβsin cos cos sin αβαβαβαβ+-++-+--+- =()()()()tan αβtan αβtan tan αβαβ++-+-- =13-. 故答案为：13-.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.24．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中 解析：3π-【解析】 ∵34T =512π −(−π3)=3 4π，∴T =π，∴ω=2 把(512π,2)代入，得2sin(56π+φ)=2⇒56π+φ=π2+2kπ， ∴φ=−π3+2kπ，k ∈Z ，∵ππ22ϕ-<<，∴φ=3π-， 点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关 解析：1133a b +. 【解析】【分析】 延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出23AG AD =以及中线向量 ()12AD AB AC =+可求出AG 的表达式. 【详解】 延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则1122AD a b =+， G 为ABC ∆的重心，因此，221111332233AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故答案为1133a b +. 【点睛】 本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题26．（1）3C π=（2）7+【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可.【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2C =， 又因为()0,C π∈， 所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =. 由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+-所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.27．（1）12-；（2）52b c =⎧⎨=⎩【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c 点的值.【试题解析】（1）由1sin 2S bc A =有sin cos 0bc A A =，得tan A = 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos 32A π==-． （2）由余弦定理有：22222cos3a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即()2339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：52b c =⎧⎨=⎩． 28．（1）3C π=；（2）3 【解析】【分析】(1)通过切化弦的思想结合两角和的余弦公式可得()1cos 2A B +=-，即1cos 2C =，结合C 的范围即可得C 的值;(2)通过三角形的面积可计算出3ab =，通过余弦定理可计算出225a b +=，两者相结合即可得+a b 的值.【详解】(1)∵sin sin 2cos cos 11cos cos A B A B A B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴2cos cos 2sin sin 1A B A B -=-∴()1cos 2A B +=-， ∴1cos 2C =，因为()0,C π∈，所以3C π=. (2)由(1)知3C π=， 又因为1sin 2ABC Sab C =，所以1sin 223ab π=，所以2ab =， 由余弦定理得:222232cos23a b ab a b π==+-+-，即225a b +=， 所以()222+29a b a b ab +=+=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用，“切化弦”思想是化简求值中常见的方法，属于中档题.29．（1）2π；（2）6x π=时，()f x 取得最大值为3；当6x π=-时，()f x 取得最小值为0． 【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求出函数的半周期得答案；（2）由x 的范围求出26x π+的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数取得最值时的x 值．【详解】 ()2cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭． （1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为22T π=； （2）5,,2,63666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值为3； 当ππ266x ，即6x π=-时，()f x 取得最小值为0．【点睛】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．30．（1）tan()3αβ+=-（2）324παβ+=【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos α 与cos β的值，进而可得出sin α与sin β的值，从而可求tan α与tan β的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan 2tan αβαββ⎡⎤+=++⎣⎦ 的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.由条件得cosα＝，cosβ＝. ∵ α，β为锐角，∴ sinα＝＝，sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝. (1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝。

一、选择题1．(0分)[ID ：13878]已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ）A ．至少有一个解B ．至多有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解2．(0分)[ID ：13877]函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-3．(0分)[ID ：13852]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．52,125πωϕ==B ．5,126πωϕ==C ．122,55πωϕ==D ．12,56πωϕ==4．(0分)[ID ：13890]已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．155．(0分)[ID ：13888]平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A B ．10C ．10-D ．6．(0分)[ID ：13887]将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ）A ．6π-B ．6π C ．4π D ．3π 7．(0分)[ID ：13863]已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(0分)[ID ：13861]在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．(0分)[ID ：13847]若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π6(k ∈Z )x C ．x =kπ2−π12(k ∈Z )D ．x =kπ2+π12(k ∈Z )10．(0分)[ID ：13846]设奇函数()()()()sin 0f x x x ωφωφω=++>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦11．(0分)[ID ：13924]若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形12．(0分)[ID ：13911]已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：13902]已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．(0分)[ID ：13901]已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）A ．n θ随着n 的增大而增大B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大15．(0分)[ID ：13897]在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题16．(0分)[ID ：14013]已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．(0分)[ID ：14008]已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________. 18．(0分)[ID ：14004]已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________.19．(0分)[ID ：13997]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．20．(0分)[ID ：13993]已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.21．(0分)[ID ：13958]已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.22．(0分)[ID ：13957]计算：2tan81tan8ππ=- __________．23．(0分)[ID ：13955]已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．24．(0分)[ID ：13948]若sincos022αα<<，则角α的终边落在第________象限.25．(0分)[ID ：13942]已知函数()tan 0y x ωω=>的图像与y m =（m 为常数）的图像相交的相邻两交点间的距离为2π，则=ω__________．三、解答题26．(0分)[ID ：14120]在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=.（1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．(0分)[ID ：14101]已知函数()()2sin 22cos 106x x x f πωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间. （Ⅱ）若函数()y f x a =-在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数a 的取值范围. 28．(0分)[ID ：14033]已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．29．(0分)[ID ：14041]已知函数2()sin cos f x x x x =．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在[0,]m 上单调递增，求m 的最大值．30．(0分)[ID ：14035]已知函数()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．C 13．A 14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量18．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB20．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平21．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为222．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为24．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限25．【解析】由题意得三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.2．C解析：C【解析】 【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】 由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==, 2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=， 即5sin()16πφ+=， 2πφ<，3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒= 1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定ω，最后通过带值定ϕ. 4．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值.【详解】()()()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6π=ϕ. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+>⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件.故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.【点睛】本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π12,k ∈Z ，即平移后的函数的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z )，故选C ．10．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．11．C解析：C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.12．C解析：C 【解析】 【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭， 即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选C. 【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．13．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．B解析：B 【解析】 【分析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小.【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.15．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF交BC 的中点于O ，则：S△ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224ca a -=；∴22222a cbc ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++； 因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()4πθ+==，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-.（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量解析：【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】∵()()123a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()13a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c⋅=.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．18．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】 【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+=2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++.故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．20．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP=⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =.故答案为24y x =. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.21．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2解析：12【解析】由题意得,1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=， 0b c ⋅=,即()()()2111111022b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：解析：12【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到22tan 8tantan 21481tan 8ππππ=⨯==-，2tan1821tan 8ππ=-. 故答案为：12. 23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ==2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），24．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限解析：二 【解析】由题意结合三角函数的性质可得：()5322422k k k Z παπππ+<<+∈， 则()544322k k k Z παπππ+<<+∈，据此可得角α的终边落在第二象限.25．【解析】由题意得 解析：12【解析】由题意得π12π2π2T ω=⇒==三、解答题 26． （1）34-（2【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb B ac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos B B B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 4448B B B πππ⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（Ⅰ）1ω=，()k k ,36k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）12a -≤≤【解析】 【分析】（Ⅰ）根据函数()()2sin 22cos 106x x x f πωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，求ω，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令2k 22k 262x πππππ-+≤+≤+，求其单调增区间. （Ⅱ）将函数()y f x a =-在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，转化为()a f x =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，再函数()f x 在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域即可. 【详解】（Ⅰ）已知函数()()2sin 22cos 106x x x f πωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2221πωωπ==∴=，，所以()231sin 22cos 1sin 2cos 2sin 26226x x x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令2k 22k 262x πππππ-+≤+≤+，解得k k 36x ππππ-+≤≤+.所以函数()f x 的单调递增区间. ()k k ,36k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. （Ⅱ）因为74x 0,,2x+,12663ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()3sin 2x+,162f x π⎡⎤⎛⎫=∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 因为函数()y f x a =-在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点， 所以()a f x =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，如图所示：所以312a -≤≤. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图解和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.28．（1）24y x =;（2）∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-;（3）(2,0)． 【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-， 所以12p=，2p =． ∴抛物线的标准方程为24y x =．（2）设l ：1my x =-，与24y x =联立，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y =-， ∴()()212121212113OA OB x x y y m y y m y y ⋅=+=++++=-．（3）解：假设直线l 过定点，设l ：my x n =+与24y x =联立，得2440y my n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y n =．由()()2221212414OA OB m y y mn y y n n n ⋅=-=+-++=+，解得2n =-，∴l ：2my x =-过定点()2,0．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数p 的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．29．（Ⅰ）π；（Ⅱ）π12【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式以及辅助角公式化简函数()f x ，由周期公式求解即可；（Ⅱ）由正弦函数的性质求出()f x 的单调递增区间，由题设条件得出5[0,],1212m ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，即可得出m 的最大值．【详解】解：（Ⅰ）因为2()sin cos f x x x x =+11cos2sin 222x x +=1sin 222x x =+sin(2)32x π=++． 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由 222()232k x k k πππππ-++∈Z522266k x k ππππ-+()k ∈Z得 51212k x k ππππ-+()k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． 要使得函数()f x 在[0,]m 上单调递增，只需5[0,],1212m ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦． 所以0,12m π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，m 的最大值为π12． 【点睛】 本题主要考查了求正弦函数的最小正周期以及正弦型函数的单调性，属于中等题. 30．(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()22232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由()322232k x k k Z ，πππππ+≤+≤+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．设()1,,2a y =，()1,1,1b =-，且a b ⊥，则y 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可【详解】∵a b ⊥，∴()111210a b y ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴1y =-， 故选:A.2．经过()2,0A -，()2,3B -两点的直线的倾斜角是（ ） A ．45° B ．60°C ．90°D ．135°【答案】C【分析】根据,A B 两点的横坐标相等，可知该直线斜率不存在，即可求得直线的倾斜角. 【详解】解:因为()2,0A -，()2,3B -， 所以经过两点的直线斜率不存在， 所以倾斜角为90︒. 故选：C.3．椭圆22:1925x y C +=的焦点坐标为（ ）A ．()3,0-和()3,0B ．()0,3-和()0,3C ．()4,0-和()4,0D ．()0,4-和()0,4【答案】D【分析】根据题意求出c ，即可得焦点坐标.【详解】由已知椭圆22:1259y x C +=，其焦点在y 轴上，则2225,9a b ==，22216c a b =-=， 故焦点坐标为()0,4-和()0,4 故选：D.4．长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AB BC AA ===，则异面直线1AB 与1A D 所成角的余弦值为（ ）A ．1625B ．1625-C ．925D ．35【答案】A【分析】由异面直线所成角的概念与余弦定理求解，【详解】由题意得11//AB DC ，则11A DC ∠（或其补角）为异面直线1AB 与1A D 所成角， 在11A DC △中，由题可得115DA DC ==，1132A C =， 由余弦定理得2221155(32)16cos 25525A DC +-∠==⨯⨯， 故选：A5．圆1O ：2220x y y +-=和圆2O ：228120x y y +-+=的公切线的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.【详解】由题知圆1O ：2220x y y +-=的圆心()10,1O ，半径11r =，圆2O ：228120x y y +-+=的圆心()20,4O ，半径22r =，所以123OO =，123r r +=，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线. 故选：C6．已知直线:10l x ay +-=（a 为实数）是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为P ，则PA =（ ）A ．6B ．3C ．7D ．8【答案】A【分析】根据题意可求出圆心C 的坐标()2,1，半径为2r =，结合条件可知直线l 经过圆心()2,1C ，可列式求出a 的值，从而得出点A 的坐标，再根据两点间的距离公式可求出2AC ，最后根据直线与圆相切得出PA =.【详解】解：根据题意，得出圆C 的标准方程为：()()22214x y -+-=， 可知圆心C 的坐标()2,1，半径为2r =，因为直线:10l x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴， 所以直线l 经过圆心()2,1C ，则210a +-=， 解得：1a =-，()4,1A ∴--，则2240AC ==，由于过点()4,1A --作圆C 的一条切线，切点为P ，6PA ∴==.故选：A.7．已知直线l 的方向向量为()=1,0,1a ，点()1,2,1A -在l 上，则点()3,1,1P 到l 的距离为（ ）A ．B ．1C ．3D ．2【答案】B【分析】结合点到直线距离公式sin ,PA a PA ⋅分别计算模长与夹角的正弦值即可计算.【详解】由题可知，点P 到l 的距离为sin ,PA a PA ⋅，()2,1,2PA =--，3PA =，()=1,0,1a ，2a =，则4cos ,2a PA a PA a PA⋅-===⋅1sin ,3a PA =，故点P 到l 的距离为1sin ,313PA a PA ⋅=⨯=. 故选：B8．已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（ ）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【分析】分析可知AC BD ⊥，计算出AC 、BD ，即可求得四边形ABCD 的面积. 【详解】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则()()2221322ME =-+-=过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即2227BD r ME =-AC BD ⊥， 此时，四边形ABCD 的面积为116276722S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C.二、多选题9．已知直线l ：10mx y ++=，(2,1)A ，(0,1)B -，则下列结论错误的是（ ） A ．直线l 恒过定点()0,1B ．当1m =时，直线l 的倾斜角为34πC ．当0m =时，直线l 的斜率不存在D ．当1m =-时，直线l 与直线AB 平行【答案】ACD【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断， 【详解】对于A ，当0x =时，1y =-，直线l 恒过定点()0,1-，故A 错误， 对于B ，当1m =时，直线的斜率为1-，倾斜角为34π，故B 正确， 对于C ，当0m =时，直线的斜率为0，故C 错误，对于D ，当1m =-时，直线10x y -++=经过(2,1)A ，(0,1)B -两点，故直线l 与直线AB 重合，故D 错误， 故选：ACD10．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面 【答案】BC【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个选项的正误，由共面向量定义来判断D 的正误．【详解】对于A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对于B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 不共面，且,,a b b c c a +++均为非零向量，假设,,a b b c c a +++共面，则()()()c a x a b y b c xa x y b yc +=+++=+++，101x x y y =⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩，方程无解，即,,a b b c c a +++不共面， 则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底，B 正确； 对于C ，若22OP OA OB OC =-+， 则()22C O O AP AB A OA A OA A =-++++整理得2AP AB AC =-+，则向量,,AP AB AC 共面，即P 、A 、B 、C 四点共面，C 正确； 向量a ，b ，c 共面，但是它们所在的直线不一定共面,故D 错误. 故选：BC.11．已知直线210mx y m -+-=与曲线y 1个公共点，则m 的取值可能是（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】ABD【分析】直线过定点()2,1A --，作出曲线y .【详解】曲线y = 直线210mx y m -+-=过定点()2,1A --.1=，解得43m =或0m =，由图可知113m ≤<时，此时直线与曲线有且仅有1个交点，故当14,133m ⎡⎫⎧⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线210mx y m -+-=与曲线21y x =-有且仅有1个公共点.故选：ABD12．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面11BCCB 上运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变 B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为42π+D ．若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面11B CD 时，PF 长度的最小值5【答案】AC【分析】A. 由四棱锥的高和底面积判断； B.根据1AD C 是等边三角形判断；C.根据直线AP 与平面ABCD 所成的角为45，结合正方体的特征判断； D.建立空间直角坐标系，求得FP 的坐标进行判断.【详解】A. 当P 在平面11BCC B 上运动时，点P 到面11AA D D 的距离不变，11AA D D S 正方形不变， 故四棱锥11P AA D D -的体积不变，故A 正确； B. 建立如图所示空间直角坐标系：设(),2,002P x x x -≤≤ ，()()()1112,0,2,0,0,2,0,2,2A D C ，则 ()()111,2,2,2,2,0D P x x A C =--=-， 设1D P 与11A C 所成的角为θ，则 ()11111121111cos cos ,13D P A C x D P A C D P A C x θ⋅-===⋅-+ ，因为011x ≤-≤， 当10x -=时， 2πθ=，当 011x <-≤时，()11122111cos cos ,231311x D P AC x x θ-===≤-++-，则 32ππθ≤<，综上：32ππθ≤≤，所以1D P 与11A C 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 错误；C.因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为1145,45B AB D AD ∠=∠=最大，不成立； 在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是122AD =， 在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =， 在平面1111D C B A 时，如图所示：，作PM ⊥平面ABCD ，因为 45PAM ∠=，所以 PM AM =， 又 PM AB =，所以 AM AB =，则1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P 的轨迹长度为1224ππ⨯⨯=，所以点P 的轨迹总长度为长度为42π+，故C 正确； D.建立如图所示空间直角坐标系：设(),,00,2P x y x y ≤≤ ，()()()112,2,2,0,0,2,0,2,0B D C ， 则 ()()112,0,2,0,2,2CB CD ==-， ()2,1,2FP x y =---， 设平面11CB D 的一个法向量为(),,n a b c =， 则 1100CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220b c a c -+=⎧⎨+=⎩， 令 1a =，则 ()1,1,1n =--，因为//PF 平面11B CD ，所以 ()()2120FP n x y ⋅=---+=，即 1y x =+， 所以 ()()()22222142482166FP x y x x x =-+-+-+-+ 当 1x =时，等号成立，故D 错误； 故选：AC.三、填空题13．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()()0,11,2【分析】由题意可得0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组可得答案【详解】因为方程2212x y m m+=-表示椭圆， 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，得02m <<且1m ≠.所以实数m 的取值范围是()()0,11,2，故答案为：()()0,11,214．已知直线3230x y +-=和620x my ++=互相平行，则它们之间的距离是______. 【答案】41313【分析】首先利用直线平行求出m ，在结合平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】因为3230x y +-=和620x my ++=互相平行，所以得362m-=-，解得4m =.则直线6203210x my x y ++=⇒++=. 则平行线直接的距离为22314131323--=+. 故答案为：4131315．如图，在正四面体-P ABC 中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，若直线AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是_______. 【答案】51,12⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【分析】求出直线AB 的方程，设出P 点坐标，利用向量垂直的坐标运算得到2222222(1)20b b x x b a a a +-+-=，根据0∆≥，并借助222a b c =+和c e a =，化简得到515122e -+≤≤，再利用椭圆中01e <<，即可得解.【详解】如图，由题意得(),0A a ，()0,B b ，()1,0F c -，()2,0F c ， 直线AB 的方程为：by x b a=-+，点P 在直线AB 上，设P 点坐标为,b x x b a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则1,b PF c x x b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，2,b PF c x x b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12PF PF ⊥，得120PF PF ⋅=， 即,b c x x b a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,0b c x x b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即222222220b b x c x x b a a-+-+=， 化简得2222222(1)20b b x x b a a a+-+-= （1） 直线AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，即方程（1）有解， 所以42222244(1)(2)0b b b a a a∆=-+-≥，化简得42240a b a b --≥，即4222222()()0a a c a a c ----≥， 化简得442230a c a c +-≤，即2423()10c c a a-+≤，即42310e e -+≤，23535e -+≤≤2625625e -+≤≤ 即2225151((e -+≤≤，e ≤≤，又椭圆中01e <<，1e ≤<.故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆中离心率的取值范围的求解，其中涉及到向量垂直的坐标运算，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题.四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为(1,0)A ，()4,0B ，()2,2C .求：(1)过点()2,1--且与直线BC 平行的直线方程.(2)ABC 中，AC 边上的高所在直线的方程.【答案】(1)30x y ++=(2)240x y +-=【分析】（1）首先利用直线与BC 平行得到斜率，再利用点斜式写出方程即可.（2）首先求出AC 的斜率，再利用垂直得出直线斜率，最后用点斜式即可求出方程.【详解】（1）因为()4,0B ，()2,2C ，所以直线BC 的斜率为20124-=--，则过点()2,1--且与直线BC 平行的直线方程为()12y x +=-+，即30x y ++=. （2）因为直线AC 的斜率为20221-=-， 所以ABC 中AC 边上的高所在直线的斜率为12-， 又高所在直线过点()4,0B ，所以高所在直线的方程为10(4)2y x -=--， 即240x y +-=.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点．(1)设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点；(2)若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求点P 到平面ABE 的距离．【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以//AB CD . 又AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面PCD EF =，所以//AB EF . 又因为//AB CD ，所以//CD EF因为E 为PC 的中点，所以F 为PD 的中点.（2）如图所示，以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,1,1)B C P E ，设(,,)n x y z =是平面ABE 的法向量，则0,0n AE n AB ⋅=⋅=，即200x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，则平面ABE 的一个法向量为(0,1,1)n =-又因为(0,0,2)AP =，所以点P 到平面ABE 的距离为222|||00+02||011AP n n ⋅⨯=++ 即点P 到平面ABE 219．已知点(1,4)A ，(3,2)B -，以AB 为直径的圆记为圆C .（1）求圆C 的方程；（2）若过点(0,2)P -的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且26MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(2)(1)10x y -+-=；（2）0x =或512240x y --=.【分析】（1）根据中点坐标公式求出圆心，然后利用两点间的距离公式求出半径，进而可求出结果；（2）根据几何性质求出弦心距，然后结合点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】（1）由(1,4)A ，(3,2)B -，得AB 的中点坐标为(2,1)，即圆心坐标为(2,1)， 半径1||102r AB == ∴圆C 的方程为22(2)(1)10x y -+-=（2）由||26MN = 210(6)2-=当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，圆心到直线l 的距离为2，所以满足题意;当直线l 的斜率存在时，设直线方程为2y kx +=即20kx y --=.圆心C 到直线l 的距离221d k ==+， 解得512k =， 直线l 的方程为512240x y --=∴直线l 的方程为0x =或512240x y --=.20．已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.【答案】(1)22143x y += (2)3470x y +-= 【分析】（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【详解】（1）由题可知，1PF PQ =则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为4的椭圆，∴21a c ==，，∴2223b a c =-=∴P 的轨迹方程为C ：22143x y += （2）设1122,,()()M x y N x y ，,∵ M N ， 都在椭圆22+143x y =上， ∴ 2211+143x y =，2222+143x y =，相减可得12121212()()()()+043x x x x y y y y -+-+=， 又MN 中点为()1,1，∴ 12122,2x x y y +=+=，∴ 121234y y x x -=--，即直线l 的斜率为34-， ∴直线l 的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=, 因为点()1,1在椭圆内，所以直线3470x y +-=与椭圆相交于两点，满足条件.故直线l 的方程为3470x y +-=.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为角梯形，ABCD ，AB BC ⊥，2AB CD =，O 为BD 的中点，4BD =，5PB PC PD ===.(1)证明：OP ⊥平面ABCD ；(2)若BC CD =，求平面PAD 与平面PBC 所成夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； (2)3010. 【分析】（1）连接OC ，可通过证明OP BD ⊥，OP OC ⊥得OP ⊥平面ABCD ；（2）以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PAD 的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）如图，连接OC ，在Rt BCD △中，由4BD =可得2OC =. 因为5PB PD ==，2OB OD ==，所以OP BD ⊥，22541OP PB OB =-=-=，因为1OP =，2OC =，5PC =， 所以222PC OP OC =+，所以OP OC ⊥.又因为BD ，OC ⊂平面ABCD ，BD OC O ⋂=，所以OP ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)B ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(0,0,1)P .由(2,2,0)DC =，有2(4,4,0)AB DC ==，则(2,4,0)A --，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，由(2,2,0)BC =-，(2,0,1)BP =-，有22020m BC x y m BP x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩， 取1x =，则1y =，2z =，可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =.设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，由(2,0,1)DP =，(0,4,0)AD =，有2040n DP a c n AD b ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩， 取1a =，则0b =，2c =-，可得平面PAD 的一个法向量为(1,0,2)n =-.由3m n ⋅=-，||6m =，||5n =，可得平面PAD 与平面PBC 所成夹角的余弦值为|3|301056m nm n ⋅-==⨯.22．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）离心率等于23，且椭圆C 经过点52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 作倾斜角分别为,αβ的两条直线P A ，PB ，设P A ，PB 与椭圆C 异于点P 的交点分别为A ，B ，若αβπ+=，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】(1)22195x y += (2)直线AB 的斜率是定值，为23【分析】（1）由题意得222342519c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再结合222a b c =+可求出22,a b ，从而可求出椭圆C 的方程； （2）由题意得，两条直线P A ，PB 的斜率均存在，且互为相反数，设直线PA 为5(2)3y k x -=-，则直线PB 为5(2)3y k x -=--，设1122(,),(,)A x y B x y ，然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出12,x x ，再求直线AB 的斜率化简可得结果【详解】（1）因为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）离心率等于23，且椭圆C 经过点52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以222342519c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且222a b c =+， 解得229,5a b ==，所以椭圆C 的方程为22195x y += （2）由题意得，两条直线P A ，PB 的斜率均存在，且互为相反数，设直线PA 为5(2)3y k x -=-，则直线PB 为5(2)3y k x -=--， 设1122(,),(,)A x y B x y ， 将5(2)3y k x -=-代入22195x y +=， 得2222(59)(3036)3660200k x k k x k k ++-+--=， 所以2123630259k k x k -+=+，所以21218301059k k x k --=+， 同理可得22218301059k k x k +-=+， 所以212121212121(2)(2)(4)AB y y k x k x k x x k x x x x x x ------+-===--- 22222222183010183010459591830101830105959k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----+- ⎪++⎝⎭=+----++ 22236204596059k k k kk ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭=+22223620203659260359k k k k k k ⎛⎫---- ⎪+⎝⎭==+ 所以直线AB 的斜率是定值，等于23。

2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，A ∪B ＝A ，则实数a 的值为（ ） A ．{2}B ．{﹣1，2}C ．{1，2}D ．{0，2}2．（5分）设z 是复数且|z ﹣1+2i |＝1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√3−1C ．√5−1D ．√53．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P （3，4）为角α终边上一点，若cos （α+β）=13，β∈（0，π），则cos β＝（ ） A ．3−8√215B ．3+8√215C ．4+6√215D ．6√2−4154．（5分）已知圆台的上、下底面圆的半径之比为12，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O ，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O 的表面积为（ ） A ．3πB ．5πC ．8πD ．9π5．（5分）设a →，b →为单位向量，a →在b →方向上的投影向量为−12b →，则|a →−2b →|＝（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√76．（5分）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.65g /m 3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.59g /m 3，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r n 满足函数模型r n =r 0+(r 1−r 0)⋅50.25n+p (p ∈R ，n ∈N ∗)，其中r 0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r 1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g /m 3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（参考数据：lg 2≈0.301）（ ） A ．8次B ．9次C ．10次D ．11次7．（5分）设实数x ＞1，y ∈R ，e 为自然对数的底数，若exlnx +e y ＜ye y ，则（ ） A ．e y lnx ＞eB ．e y lnx ＜eC ．e y ＞exD ．e y ＜ex8．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线x 22−y 26=1的左，右焦点，直线l 过点F 2，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆的圆心分别为O 1，O 2，则△OO 1O 2面积的取值范围是（ ）A ．(2，4√33) B ．[2，4√33)C ．[2，4√33)∪(4√33，+∞) D ．[2，2√63] 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）一个盒中装有质地、大小，形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球．规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球．下列说法正确的是（ ） A ．第二次取到白球的概率是1949B ．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件C ．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件D ．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为715（多选）10．（5分）设定义在R 上的函数f （x ）与g （x ）的导函数分别为f '（x ）和g '（x ）．若f （x ）﹣g （4﹣x ）＝2，g '（x ）＝f '（x ﹣2），且f （x +2）为奇函数，则（ ） A ．∀x ∈R ，f （4+x ）+f （﹣x ）＝0B ．g （3）+g （5）＝4C ．∑f(k)2023k=1=0 D ．∑g(k)2023k=1=0（多选）11．（5分）对于数列{a n }，若存在常数M ＞0，对任意的n ∈N *，恒有|a n +1﹣a n |+|a n ﹣a n ﹣1|+…+|a 2﹣a 1|≤M ，则称数列{a n }为“差收敛”数列．比如，常数列满足此条件，所以是“差收敛”数列，以下说法正确的是（ ）A ．首项为1，公比为12的等比数列{a n }是“差收敛”数列B ．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若数列{S n }是“差收敛”数列，那么数列{a n }为“差收敛”数列C ．等差数列一定为“差收敛”数列D ．有界数列一定为“差收敛”数列（多选）12．（5分）已知正四面体ABCD 的棱长为2√2，其所有顶点均在球O 的球面上．已知点E 满足AE →=λAB →(0＜λ＜1)，CF →=μCD →(0＜μ＜1)，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（ ）A．四边形EMGH的周长是变化的B．四棱锥A﹣EMGH体积的最大值为81 64C．当λ=14时，平面α截球O所得截面的周长为√11πD．当λ=μ=12时，将正四面体ABCD绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分的体积为43三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）一个容量为9的样本，它的平均数为449，方差为15281，把这个样本中一个为4的数据去掉，变成一个容量为8的新样本，则新样本的平均数为，方差为．14．（5分）小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为．15．（5分）已知点A（1，2）在抛物线y2＝2px上，过点A作圆（x﹣2）2+y2＝2的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为．16．（5分）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则Sa2+2bc的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为p n，第n次传球之前球在乙手里的概率为q n，显然p1＝1，q1＝0．（1）求p3+2q3的值；（2）比较p8，q8的大小．18．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的图象经过点(−π4，0)．（1）若f（x）的最小正周期为2π，求f（x）的解析式；（2）若∀x∈R，f(x+π4)=f(π4−x)，是否存在实数ω，使得f（x）在(7π18，5π9)上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由．19．（12分）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升．以下是根据近10年年份数x i 与该机场飞往A 地航班放行准点率y i （i ＝1，2，…，10）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值．其中t i ＝ln （x i ﹣2012），t =110∑ 10i=1t i（1）根据散点图判断，y ＝bx +a 与y ＝cln （x ﹣2012）+d 哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率．（2）已知2023年该机场飞往A 地、B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6．若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题： （i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．附：（1）对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑(u i−u)ni=1(v i −v)∑ n i=1(u i −u)2=∑n i=1u i v i −nuv ∑ n i=1u i 2−nu 2，α=v −βu 参考数据：ln 10≈2.30，ln 11≈2.40，ln 12≈2.48．20．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，Q 是棱P A 上一点，且AQ →=3QP →．（1）求证：NQ ∥平面MCD ；（2）若AB ＝14，BC ＝PB ＝PD ＝8，P A ＝PC ＝4√6，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，过点(−1，√22)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定直线m ：x ＝2，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作AP ⊥m 于P ，BQ ⊥m 于Q ，直线AQ 、BP 交于点M ，证明：M 点为定点，并求出M 点的坐标．22．（12分）已知函数f （x ）=cosx−xx 2，x ∈（0，+∞）． （1）证明：函数f （x ）在（0，+∞）上有且只有一个零点； （2）当x ∈（0，π）时，求函数f （x ）的最小值；（3）设g i （x ）＝k i x +b ，i ＝1，2，若对任意的x ∈[π2，+∞），g 1（x ）≤f （x ）≤g 2（x ）恒成立，且不等式两端等号均能取到，求k 1+k 2的最大值．附：参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 11a =12n n a a n +=+3a =A ．3B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】直接把和代入递推关系式求解即可．1n =2n =【详解】解：数列满足，，{}n a 11a =12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=故选：C ．2．设，直线，直线，若，则（ ）R a ∈1:210l ax y +-=22:(1)0l x a y a ++-=12l l ⊥=a A ．1B ．C ．D ．1或2-23-2-【答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得的值．a 【详解】，直线，直线，，R a ∈ 1:210l ax y +-=22:(1)0l x a y a ++-=12l l ⊥，求得，()1210a a ∴⨯+⨯+=23a =-故选：C ．3．已知数列满足，，则（ ）{}n a 13a =11n n n a a a +=-2023a =A ．B ．C ．D ．312-2332【答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列满足，，{}n a 13a =11n n n a a a +=-所以，解得，2111a a a =-223a =由，解得，2321a a a =-312a =-由，解得，，3431a a a =-413a a == 故可得数列是周期为3的数列，且前三项为：3，，，{}n a 2312-因为，所以.202367431=⨯+202313a a ==故选：D4．如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（ ）PABC E AC F PB P FE =A ．B ．111232PA PB PC-+111242PA PB PC-+C ．D ．111343PA PB PC ++212343PA PB PC -+【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：是的中点，是上靠近点的四等分点，E AC F PB P 则．()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC=+=-++=-+故选：B ．5．已知直线与圆，给出下面三个结论：*:34560(N )n l x y n n -+-=∈222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>①直线与直线平行且两直线距离为1；n l 1n l +②若直线与圆相切，则；n l n C 22n a n =③若直线与圆相切，圆与圆构成的圆环面积最小值为．n l n C 1n C +n C 3π其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【分析】由直线，可得直线的方程，进而判断两直线的关系，判断*:34560(N )n l x y n n -+-=∈1n l +①，进而求得，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而na 22n a n =可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线，*:34560(N )n l x y n n -+-=∈可得直线，即，1:345(1)60n l x y n +-++-=34510x y n -+-=直线与直线平行，∴n l 1n l +直线与直线，故①正确；n l 1n l +1由圆，得圆心，半径为，222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>(2,0)n C n a 若直线与圆相切，n l n C，，故②正确；na 22n a n ∴=圆与圆是同心圆，且，1n C +n C *N n ∈故圆与圆构成的圆环面积为，1n C +n C 221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥当且仅当时取等号，故圆与圆构成的圆环面积最小值为，故③正确．1n =1n C +n C 3π故选：D ．6．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>1F 2F O l M两点，若，的离心率为（ ）N ||2MN c =22:1:MF NF =CA B C ．D 12【答案】B【分析】由已知易得四边形是矩形，设，，进而可得，利12MF NF 2||MF m =1MF =123F F m =用，求解即可．212+=MF MF a【详解】过原点的直线交椭圆于，两点，被平分， O l M N MN ∴O 又被平分，四边形是平行四边形，12F F O ∴12MF NF 又，四边形是矩形，122MN c F F ==∴12MF NF22:1:MF NF =由对称性可得，设，，12MF NF =∴2||MF m =1MF =，，123F F m ∴==23c m ∴=，21223c MF MF a∴+===∴c a ==故选：B ．7．关于有唯一解，则实数的取值范围是（ ）x 4kx =+k A ．或2k ≤-2k ≥B ．或或2k ≤-2k ≥k =C ．或或2k <-2k >k =D ．或2k <-2k >【答案】C【分析】将问题转化为曲线与有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界y =4y kx =+状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.有唯一解等价于曲线与有唯一交点，4kx =+y =4y kx =+由得：，则其图形为以为圆心，为半径的圆的上半部分；y =()2204y x y +=≥()0,02为恒过定点的直线；4y kx =+()0,4作出图象如下图所示，y =4y kx =+由图象可知：当或或或时，曲线与有唯一交点；3k k =4k k =1k k >2k k <y =4y kx =+当直线与圆，解得：，4y kx =+()2204y x y +=≥2=k =即3k =4k =又，，140202k -==+240202k -==--有唯一解时，实数的取值范围为或或.∴4kx =+k 2k <-2k >k =故选：C.8．已知曲线 ）22:1C x y x y+=-A B C ．D ．11【答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】曲线，， 22:1C x y x y +=-221()x y x y ∴=-+又，当且仅当时取等号，222222x y x y x y ++-≤≤x y =，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，，∴221132x y +≤≤∴22232x y ≤+≤∴≤≤∴故选：．A 二、多选题9．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）{},,a b cA ．若，，则a b ⊥ b c ⊥ a c⊥B ．，，一定能构成空间的一个基底a c +bc + c a +C ．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使p(,,)x y z p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb =+【答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，选项错误；A a b ⊥ b c ⊥ a c ⊥a c A对于，假设向量，，共面，则，、，B a b + b c + c a + ()()a b x b c y c a +=+++ x R y ∈化简得，所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项正确；()(1)(1)x y c x b y a +=-+- a b c B 对于，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组,,，使C p (x y )z ，选项正确；p xa yb zc =++C 对于，因为是空间一个基底，所以与、不共面，选项错误．D {},,a b cab c D 故选：．BC 10．已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为:50l x y -+=M 22:(3)4C x y -+=，则有（ ）,A BA ．长度的最小值为MA2B ．不存在点使得为M AMB ∠60C ．当最小时，直线的方程为MC AB⋅AB 210x y --=D ．若圆与轴交点为，则的最小值为28C x ,P Q MP MQ ⋅【答案】BD【分析】由题知圆的圆心为，半径为，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得C ()3,02r =答案.【详解】解：由题知圆的圆心为，半径为，C ()3,02r =对于A ，因为圆心到直线的距离为，所以()3,0:50l x y -+=d =min MC =A 错误；min MA =对于B ，假设存在点使得为，如图，则，故在中，M AMB ∠6030∠=AMC Rt AMC △，由A 选项知，故矛盾，即不存在点使得为，故B 正24MC r ==min 4MC =>M AMB ∠60确；对于C ，由于,故四边形的面积为，MC AB ⊥MACB 1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△所以，，故当最小时，最小，由A 选项知4MC AB MA⋅=MC AB⋅MA，，即直线的斜率为，由于直线min MA =MC l ⊥//l AB AB 1的斜率为，故C 错误；210x y --=12对于D ，由题知，设，则()()1,0,5,0P Q (),5M x x +，当()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥且仅当时等号成立，故的最小值为，故D 正确；=1x -MP MQ ⋅28故选：BD11．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）()222:10x C y a a -=>22(2)1x y +-=CA ．双曲线CB ．双曲线的离心率C 2e =C ．点为双曲线上任意一点，点到的两条渐近线的距离分别为，，则P C P C 1d 2d 2134d d =D ．直线与交于两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，1y k x m =+C ,A B D AB OD O 2k 则123k k =【答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点C 到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得点坐标进而求得D 判断D.2k 【详解】双曲线的渐近线方程为即，()222:10x C y a a -=>1y x a =±0ay x ±=因为圆与双曲线的渐近线相切，22(2)1x y +-=C，解得的方程为，1=a =C 2231x y -=选项A ：双曲线，正确；C 2a =选项B ：，所以，正确；c ==2c e a ==选项C ：设点为，则，P 00(,)x y 220031x y -=点P 0y x ±=则，错误；2200121(3)13443x y d d -===选项D ：直线与双曲线联立可得，1y k x m =+C 22211(3)210k x k mx m ----=设，，11(,)A x y 22(,)B x y 由韦达定理得，所以，1122123k m x x k +=-12112216()23my y k x x m k +=++=-因为点为弦的中点，所以点坐标为，D AB D 122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭所以，2121121303303ODmk k k k mk k --===--所以，正确；123k k =故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，{}n a 10a =，则（ ）11,,nn n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数A ．B ．46a =()221n n a a n +=++C ．D ．数列的前项和为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}(1)nna -2n ()1n n +【答案】BCD【分析】直接由递推公式求出即可判断A 选项；分为奇数或偶数即可判断B 选项；分为奇数4a n n 或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，，A 错误；213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=对于B ，当为奇数时，为偶数，则，，可得；n 1n +211n n a a n ++=++11n n a a n +=++()221n n a a n +=++当为偶数时，为奇数，则，，可得，B 正确；n 1n +2111n n a a n ++=+++1n n a a n +=+()221n n a a n +=++对于C ，当为奇数且时n 2n ≥，21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a a a n a a n ---=++=+=++=+-+=+- 累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ，时也符()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=1n =合；当为偶数且时，n 2n ≥21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a a n a a n ---=++=+=++=+-=+-+ 累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ；则()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=，C 正确；221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数对于D ，设数列的前项和为，则，{}(1)nna -2n 2nS 21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ 又，，D 正确.()()222212211222n n n n a a n----=-=()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ 故选：BCD.【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借n 助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得2n以解决.三、填空题13．抛物线的焦点坐标是______.22y x =【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，212x y =0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭14p =所以焦点坐标为，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭14．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小(3,5)A B C :220l x y -+=y ABC 值为__．【答案】【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结A y M A :220l x y -+=D 合即得.【详解】因为点，则关于轴的对称点为，(3,5)A A y M (3,5)-设关于的对称点为，A :220l x y -+=(),D a b 则，解得，即，511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩5,1a b ==()5,1D所以，，MC CA =AB BD=所以的周长为，ABC MC CB BD ++则当共线时，的周长的值最小，,,,M C B D ABC.=故答案为：15．如图，在正三棱柱中，，E 是的中点，F 是的中点，若过111ABC A B C -124AA AB ==1BB 11A C A ，E ，F 三点的平面与交于点G ，则__________．11B C 1AG =【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系，可设，求出平面AEF 的法向量，再根C xyz -()0,,4G a 据求出，即可得出答案．0AG m ⋅=a 【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，C xyz -则，，，，)A)14A ()0,2,2E 1,42F ⎫⎪⎪⎭由题可设，()0,,4G a 则，，，()2AE =1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,4AG a =- 设平面AEF 的法向量，(),,m x y z=则，令，故，201402y z y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩x =93,55y z ==93,55m⎫=⎪⎭ 由，得，()91231055AG m a ⋅=-+-+=43a =则，11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．=16．在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差{}n a *n ∈N 211n n n n a a a a λ+++-=λ{}n a 数列，称为比公差，现给出以下命题：λ①若数列满足，则该数列不是比等差数列；{}n c ()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈②若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差；132n n a -=⋅0λ=③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．{}n a {}n b {}n n a b 其中所有正确的序号是_________；【答案】①②【分析】①数列为斐波那契数列,根据数列的性质代入化简即可判断;{}n c 211n n n n a a a a +++-②数列为等比数列,所以代入公式化简即可判断;211n n n n a a a a +++-③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列为斐波那契数列,{}n c 所以常数21111111n n n n n n n n n nn n n n c c c c c c c cc c c c c c +++--+++++-=-=-≠不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②, 数列,则132n n a -=⋅1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列,则,所以等比数列一定是比等11n n a a q -=1211111110n nn n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅差数列;当等差数列为常数数列时, 也是比等差数列,所以③错误;2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=对于④, 是等差数列，是等比数列,所以设{}n a {}n b ,2n n na b n ==则2nn n a b n =⋅所以常数()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知, ①②正确故答案为: ①②【点睛】本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆的圆心在直线 上，且经过，两点．C 1:1y x l =--(0,1)A -(2,1)B -(1)求圆的方程；C (2)已知过点的直线与圆相交，被圆截得的弦长为2，求直线的方程．(0,2)P 2l C C 2l 【答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)或．0x =158160x y +-=【分析】（1）求得线段的中点坐标和斜率，可得的垂直平分线的方程，与直线联AB AB =1y x --立，可得圆的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；C ||AC （2）讨论直线的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所2l 求直线的方程．2l【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，AB (1,1)-AB 11020AB k -+==-所以线段的垂直平分线为，AB 1x =由，解得，11y x x =--⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为，半径为(1,2)C -AC ==所以圆的方程为；C 22(1)(2)2x y -++=（2）当直线的斜率不存在时，则方程为，2l 0x =由，得，或，220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩1y =-=3y -即直线与圆相交所得弦长为，符合题意，0x =C 1(3)2---=当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，2l 2l 2y kx =+20kxy -+=由于圆到，解得，C 2l1=1158k =-所以，即，1528y x =-+158160x y +-=综上所述，直线的方程为或．2l 0x =158160x y +-=18．已知函数．21()2cos 2f x x =-(1)求函数的单调增区间与值域；()f x(2)在中，，，分别是角，，的对边，已知，，ABC a b c A B C ()0f A =1b =ABC求的值．tan B 【答案】(1)单调增区间为，值域为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan B =tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据求出，再由面积可得边长度，再利用余弦定理可得边长度，再利用正弦()0f A =A c a 定理即可得，从而可得的值．sin B tan B 【详解】（1），211()2cos cos 222f x x x =-=+令，，则，，2ππ22πk x k -≤≤Z k ∈πππ2k x k -≤≤Z k ∈则的单调增区间为，()f x ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦当，即，时，，22πx k =πx k =Z k ∈max 13()122f x =+=当，即，时，，22ππx k =+ππ2x k =+Z k ∈min 11()122f x =-+=-则的值域为；()f x 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由，，，()0f A =1cos 202A ∴+=1cos 22A ∴=-，，或，0πA << 022πA ∴<<2π23A ∴=4π3或，则π3A ∴=2π3sin A =又，，ABC ∴1sin 2bc A =1b = 2c ∴=当时，，，π3A =2222cos 142a b c bc A =+-=+-a ∴=则为直角三角形，则，ABC tan B =当时，，，2π3A =2222cos 142a b c bc A =+-=++a ∴=在中，，，ABC 1sin B=sin B ∴=π02B <<cos B =则tan B =综上tan B =tan B =19．设首项为的数列的前项积为，且满足112a ={}n a n n T ()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列 的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求证：．n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n n S 1211134n S S S +++< 参考公式：．()()222211231216n n n n ++++=++ 【答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，然后111n nn na a ++-={}n na 求解即可；（2）由参考公式可得，则，然后累()()123n n n n S ++=()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦加求和即可．【详解】（1）数列的前项积为，且满足.{}n a n n T ()111n n n n a a n a na ++=+-则,又，，则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，111n nn na a ++-=112a =112a ={}n n a 则；()211nnn n a =+-=+1n na n ⇒=+（2）由（1）可得，则1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ 2nn n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++.则则()()123n n n ++=()()()()()13311212112n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦()()()121113111121223233411112nS S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦20．已知双曲线221.416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N 是线段的中点，求直线的方程；(1,4)N ,S T ST ST (2)直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、(2)y kx m k =+≠±y 轴于，两点．当点M 运动时，求点的轨迹方程.0(,0)A x 0(0,)B y 00(,)P x y 【答案】(1)30.x y -+=(2).221(0)10025x y y -=≠【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案；11(,)S x y 22(),T x y ST （2）根据直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到，(2)y kx m k =+≠±224(4)m k =-从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可00,x y 得答案.【详解】（1）设，，则 ，11(,)S x y 22(),T x y 2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得，即，22221212416x x y y --=121212124y y x x x x y y -+=⨯-+因为点是线段的中点，所以，(1,4)N ST 1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯即直线的斜率为1，ST 所以直线的方程为，即,ST 41y x -=-3y x =+联立方程组,得，满足，2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩236250x x --=0∆>故直线的方程为ST 30.x y -+=（2）联立方程组,得，22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩222(4)2(16)0k x kmx m ---+=因为直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，(2)y kx m k =+≠±根据双曲线的对称性可知都不等于0，,k m ，得，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩224(4)m k =-则,则,244M km k x k m ==--4(16)M k m y k m m =⨯+=--所以M 的坐标为，其中，416(,)k m m --0km ≠因为过点M 且与l 垂直的直线方程为，1614()k y x m k m +=-+令，得，令，，0y =020kx m =-0x =020y m =-所以，22222224004001600(4)10010044k m x y m m m ==+=+=+故点的轨迹方程为：.00(,)P x y 221(0)10025x y y -=≠【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD M PD ．1PA AD ==(1)求证：平面平面；MAC ⊥PCD (2)求点到平面的距离．P MAC【答案】(1)证明见解析.【分析】（1）以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立AB x AD y AP z 空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面的法向量，根据距离的向量求法求点到平面的距离．MAC P MAC 【详解】（1）证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在PA ⊥ ABCD ABCD AB x AD的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．y AP z 由已知可得，，，，()0,0,0A ()1,0,0B ()1,1,0C ()0,1,0D ()0,0,1P 为的中点，，M PD 110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭所以， ， ，110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,0,0CD =- ()1,1,0AC = 所以，所以，·0AM CD =AM CD ⊥又点为中点，，所以，M PD 1PA AD ==AM PD ⊥，平面 ，平面， PD CD D = ,PD CD ⊂PCD AM ∴⊥PCD 又因为平面,故平面平面．AM ⊂MAC MAC ⊥PCD （2）设平面的法向量为，则 MAC (),,n x y z =1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令，则 ，，1x =1,1y z =-=()1,1,1n ∴=-，设点到平面的距离为d ，()0,0,1PA =-P MAC点到平面PA ndn⋅∴===∴PMAC22．已知椭圆，且过点．2222:1(0)x yC a ba b+=>>A(1)求椭圆的方程；C(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆l C MN OM MN ON上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，C P OMPN l请说明理由．【答案】(1)2212xy+=(2)存在，或．10x-=10x±=【分析】（1）由离心率的值，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，a b A可得的值，进而求出椭圆的方程；b（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和l l及两根之积，由四边形为平行四边形可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数OMPN P P的关系，求出直线，的斜率之积，由直线，，的斜率依次成等比数列可得参数OM ON OM MN ON的关系，进而求出参数的值，即求出直线的方程．l【详解】（1）由离心率，所以椭圆的方程为：，cea===222a b=222212x yb b+=将点代入椭圆的方程可得：，A2213144b b+=解得，21b=所以椭圆的方程为；2212xy+=（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，l l x my t=+1(M x ，，，1)y2(N x2)y联立，整理可得：，2222x my tx y=+⎧⎨+=⎩222()2220m y mty t+++-=，即，222244(2)(2)0m t m t∆=-+->222t m<+且，，，12222mty ym-+=+212222ty ym-=+()12122422tx x m y y tm+=++=+因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，OMPN OP MN 2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为在椭圆上，则，P 2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭整理可得：，①2242t m =+又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，OM MN ON 122121y y m x x =⋅即，21212x x m y y =而，()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---可得，②2222t m t =由①②可得：，，符合△，22m =21t =0>可得，m =1t =±所以直线的方程为：或．l 10x ±-=10x ±+=【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点的坐标，以及表示写了的关系.P。

一、选择题1．(0分)[ID ：13325]执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．152．(0分)[ID ：13306]如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13 C ．12D ．233．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元4．(0分)[ID ：13299]2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A．45B．47C．48D．635．(0分)[ID：13292]某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．566．(0分)[ID：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A．﹣1 B．12C．2 D．17．(0分)[ID：13283]把8810化为五进制数是（）A．324(5)B．323(5)C．233(5)D．332(5)8．(0分)[ID：13272]公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）(3 1.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈︒≈︒≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥9．(0分)[ID ：13261]甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（ ） A ．14B ．34C ．916D ．71610．(0分)[ID ：13254]从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．27B ．57C ．29D ．5911．(0分)[ID ：13231]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，9112．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．82713．(0分)[ID ：13317]将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．081514．(0分)[ID ：13264]已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.515．(0分)[ID ：13229]2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题16．(0分)[ID ：13416]现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．17．(0分)[ID ：13406]若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___18．(0分)[ID ：13405]执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．19．(0分)[ID ：13397]某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．20．(0分)[ID ：13396]为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．21．(0分)[ID ：13389]玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．22．(0分)[ID ：13383]某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________23．(0分)[ID ：13364]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．24．(0分)[ID ：13331]已知由样本数据点集合(){},|1,2,3,,i ix y i n =，求得的回归直线方程为 1.230.08y x Λ=+ ，且4x =。