2020-2021年山东省济南市质检一：济南市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题附答案

高三教学质量调研化学试题（02）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷45分，第Ⅱ卷55分，全卷满分100分。

考试时间90分钟。

2. 答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（A、B、C、D）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

3. 答第Ⅱ卷前，务必将密封线内的项目填写清楚。

必须用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，密封线内一律不准答题。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Ag 108 I 127第Ⅰ卷（选择题共45分）符合一、选择题（本题包括15小题，每小题3分，共45分。

每小题只有一个选项．．．．．．题意）1. 2021年被第63届联合国大会定为“国际化学年”。

联合国教科文组织指出，化学节能减排和改善在开发可替代能源、保护环境等方面起到主要作用。

下列措施中，不利于．．．环境的是Ａ．推广可利用太阳能、风能的城市照明系统Ｂ．使用填埋法处理未经分类的生活垃圾Ｃ．加速建设地铁、轻轨等轨道交通，减少汽车尾气排放Ｄ．积极推行“限塑令”，加快研发利用二氧化碳合成的聚碳酸酯类可降解塑料2. 下列说法中，正确的是Ａ．含金属元素的离子不一定是阳离子Ｂ．只有原子才满足核内质子数和核外电子数相等Ｃ．由同种元素组成的物质肯定属于纯净物Ｄ．具有相同质子数的粒子都属于同种元素3. 医学界通过用14C标记的C60发现一种羧酸衍生物，在特定条件下，它可以通过断裂DNA抑制艾滋病毒的繁殖。

下列有关叙述中，正确的是Ａ．14C与12C的性质完全不同Ｂ．14C与14N含有的中子数相同Ｃ．14C60和12C60是碳元素的同素异形体Ｄ．14C与12C、13C互为同位素4. 若N A代表阿伏加德罗常数，则下列叙述中，正确的是Ａ．一定条件下，足量铜与200 g 98%的浓硫酸充分反应，转移电子数目为2N A Ｂ． 16 g氧气和臭氧的混合物中含有的氧原子数为N A数为0.5N AＣ．1 L 0.5 mol·L-1 Na2CO3溶液中含有的CO2-3Ｄ． 78 g Na2O2中所含阴离子的数目是2N A5. 下列说法中，正确的是Ａ．硅的化学性质不活泼，在自然界中可以以游离态存在Ｂ． Na2O和Na2O2组成元素相同，且都能与硫酸溶液反应Ｃ．工业上制备镁是用电解熔融的MgO来完成的Ｄ． SO2通入新制氯水中，氯水退色是因为SO2具有漂白性6. 下列叙述中，正确的是Ａ．化学反应中物质变化的实质是旧化学键的断裂和新化学键的形成Ｂ．离子化合物中一定有金属元素Ｃ．蛋白质溶液、淀粉溶液和葡萄糖溶液都是胶体Ｄ．共价化合物中各原子都一定满足最外层8电子稳定结构7. 下列实验操作中，可以达到预定目的的是Ａ．用渗析的方法可以除去氢氧化铁胶体中的少量氯化钠Ｂ．用过量的KSCN溶液除去FeCl2溶液中的少量FeCl3Ｃ．通过灼热的镁粉，可以除去N2中的少量O2Ｄ．用溶解、过滤的方法可分离Na2SO4和NaCl固体混合物8. 某溶液中含有两种溶质NaCl和H2SO4，它们的物质的量之比为3∶1。

2020-2021学年山东省济南市章丘四中高三（上）第一次质检数学试卷（8月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-2x-3＞0}.集合B={x∈Z|x2≤4x}.则∁R A∩B=（）A.{x|0≤x≤3}B.{-1.0.1.2.3}C.{0.1.2.3}D.{1.2}为纯虚数.则实数a的值为（）2.（单选题.5分）若复数z= 1−i1+aiA.-1B.- 12C.0D.13.（单选题.5分）设随机变量X～N（1.δ2）.若P（X＞2）=0.2.则P（X＞0）等于（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84.（单选题.5分）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色.要求有公共边界的两块不能用同一种颜色.则不同的着色方法共有（）A.120种B.180种C.60种D.48种5.（单选题.5分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1.则B1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为（）A. √104B. √155C. √64D. √636.（单选题.5分）函数f（x）= x−sinxe x+e−x在[-π.π]上的图象大致为（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）已知a.b为正实数.直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切.则1a +1b的最小值是（）A.2B. 4√2C.4D. 2√28.（多选题.5分）已知f（x）是可导的函数.且f′（x）＜f（x）.对于x∈R恒成立.则下列不等关系正确的是（）A.f（1）＜ef（0）.f（2020）＜e2020f（0）B.f（1）＞ef（0）.f（1）＞e2f（-1）C.f（1）＜ef（0）.f（1）＜e2f（-1）D.f（1）＞ef（0）.f（2020）＞e2020f（0）9.（多选题.5分）下列四个函数中.最小值为2的是（）A.y=sinx+ 1sinx （0 ＜x≤π2）B.y=lnx+ 1lnx（x＞0.x≠1）C. y=x2+6√x2+5D.y=4x+4-x10.（多选题.5分）下列说法错误的是（）A.若xy≥0.则|x|+|y|＞|x+y|B.若x2+y2≠0.则x≠0或y≠0C.“ x＞a+b2是x＞√ab”的充分不必要条件D.“∀x＞0.e x＞x+1”的否定形式是“∃x≤0.e x≤x+1”11.（多选题.5分）(x+ax )(2x−1x)5的展开式中各项系数的和为2.则其中正确命题的序号是（）A.a=1B.展开式中含x6项的系数是-32C.展开式中含x-1项D.展开式中常数项为4012.（多选题.5分）如图直角梯形ABCD.AB || CD.AB⊥BC.BC=CD= 12AB=2.E为AB中点.以DE 为折痕把△ADE折起.使点A到达点P的位置.且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC 与平面PED 所成角的正切值为 √213.（填空题.5分）若函数f （x ）=kx-lnx 在区间（1.+∞）上不单调.则k 的取值范围是___ ． 14.（填空题.5分）已知一组数据（1.3）.（2.3.8）.（3.5.2）.（a.b ）的线性回归方程为 y ̂ =1.04x+1.9.则b-1.04a=___ ．15.（填空题.5分）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子.观察向上的点数.记“红骰子向上的点数大于3”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B.则P （B|A ）=___ ．16.（填空题.5分）定义方程f （x ）=f′（x ）的实数根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”． （1）设f （x ）=sinx.则f （x ）在（0.π）上的“新驻点”为___ ．（2）如果函数g （x ）=ln （x+1）与h （x ）=x+e x 的“新驻点”分别为α、β.那么α和β的大小关系是___ ．17.（问答题.10分）请从下面三个条件中任选一个.补充在下面的横线上.并解答． ① 第5项的系数与第3项的系数之比是14：3； ② 第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ C n+12 -C n n−2 =10．已知在（ √x - √x3 ）n 的展开式中._______．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 5的项．18.（问答题.12分）已知函数 f (x )=lnx −ax .a∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＜-e 时.f （x ）在[1.e]上的最小值为1+e.求a 的值．19.（问答题.12分）甲、乙两支排球队进行比赛.约定先胜3局者获得比赛的胜利.比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 12外.其余每局比赛甲队获胜的概率是 23．假设各局比赛结果互相独立．（1）分别求甲队以3：0.3：1.3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1.则胜利方得3分.对方得0分；若比赛结果为3：2.则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望．20.（问答题.12分）如图.D为圆锥的顶点.O是圆锥底面的圆心.AE为底面直径.AE=AD．△ABCDO．是底面的内接正三角形.P为DO上一点.PO= √66（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-E的余弦值．21.（问答题.12分）大型综艺节目《最强大脑》中.有一个游戏叫做盲拧魔方.就是玩家先观察魔方状态并进行记忆.记住后蒙住眼睛快速还原魔方.盲拧在外人看来很神奇.其实原理是十分简单的.要学会盲拧也是很容易的．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况.某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查.得到的情况如表所示：用时（秒）[5.10）[10.15）[15.20）[20.25）男性人数15 22 14 9女性人数 5 11 17 7.n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828数据完成以下2×2列联表.并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性用时不超过10秒的概率.每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试.其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x+ax2-x．（1）当a=1时.讨论f（x）的单调性；x3+1.求a的取值范围．（2）当x≥0时.f（x）≥ 122020-2021学年山东省济南市章丘四中高三（上）第一次质检数学试卷（8月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-2x-3＞0}.集合B={x∈Z|x2≤4x}.则∁R A∩B=（）A.{x|0≤x≤3}B.{-1.0.1.2.3}C.{0.1.2.3}D.{1.2}【正确答案】：C【解析】：根据题意.解x2-2x-3＞0可得集合A.由补集的意义可得∁R A={x|-1≤x≤3}.解x2≤4x 可得集合B.由交集的意义计算∁R A∩B即可得答案．【解答】：解：根据题意.x2-2x-3＞0⇒x＜-1或x＞3.则A={x|x2-2x-3＞0}={x|x＜-1或x＞3}.则∁R A={x|-1≤x≤3}.x2≤4x⇒0≤x≤4.B={x∈Z|x2≤4x}={x∈Z|0≤x≤4}={0.1.2.3.4}.则∁R A∩B={0.1.2.3}；故选：C．【点评】：本题考查集合的混合运算.关键是正确求出集合A、B．为纯虚数.则实数a的值为（）2.（单选题.5分）若复数z= 1−i1+aiA.-1B.- 12C.0D.1【正确答案】：D【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】：解：∵z= 1−i1+ai = (1−i)(1−ai)(1+ai)(1−ai)=1−a1+a2−a+11+a2i为纯虚数.∴ {1−a=01+a≠0.解得a=1．故选：D．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（单选题.5分）设随机变量X～N（1.δ2）.若P（X＞2）=0.2.则P（X＞0）等于（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【正确答案】：D【解析】：由已知可正态分布曲线的对称轴.再由正态分布曲线的对称性求解．【解答】：解：∵随机变量X服从正态分布X～N（1.σ2）.∴对称轴方程为x=1.又P（X≥2）=0.2.∴P（X≤0）=0.2.则P（X≥0）=1-0.2=0.8．故选：D．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查正态分布中两个量μ和σ的应用.考查曲线的对称性.属于基础题．4.（单选题.5分）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色.要求有公共边界的两块不能用同一种颜色.则不同的着色方法共有（）A.120种B.180种C.60种D.48种【正确答案】：B【解析】：根据题意.依次分析4个区域的着色方法数目.由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意.对于区域1.有5种颜色可选.对于区域2.与区域1相邻.有4种颜色可选.对于区域3.与区域1、2相邻.有3种颜色可选.对于区域4.与区域2、3相邻.有3种颜色可选.则一共有5×4×3×3=180种着色方法；故选：B．【点评】：本题考查分步计数原理.这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果.几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．5.（单选题.5分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1.则B1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为（）A. √104B. √155C. √64D. √63【正确答案】：A【解析】：取AB中点D.证明CD⊥平面AA1B1B.在Rt△B1CD中计算cos∠CB1D即可．【解答】：解：取AB中点D.连接CD.B1D.∵△ABC是等边三角形.∴CD⊥AB.∵BB1⊥平面ABC.CD⊂平面ABC.∴BB1⊥CD.又AB∩BB1=B.AB⊂平面AA1B1B.BB1⊂平面AA1B1B.∴CD⊥平面AA1B1B.∴∠CB1D为B1C与平面AA1B1B所成的角.设AB=AA1=1.则B1C= √2 .B1D= √14+1 = √52.∴cos∠CB1D= B1DB1C = √104．故选：A．【点评】：本题考查了直线与平面所成角的计算.属于中档题．6.（单选题.5分）函数f（x）= x−sinxe x+e−x在[-π.π]上的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：易知当x∈（0.π）时.观察选项可知.只有选项A符合题意．【解答】：解：当x∈（0.π）时.x＞sinx.故此时f(x)=x−sinxe x+e−x＞0 .只有选项A符合题意．故选：A．【点评】：本题考查利用函数解析式确定函数图象.解题的关键是掌握当x∈（0.π）时.x＞sinx.属于基础题．7.（单选题.5分）已知a.b为正实数.直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切.则1a +1b的最小值是（）A.2B. 4√2C.4D. 2√2【正确答案】：C【解析】：求函数的导数.由已知切线的方程.可得切线的斜率.求得切线的坐标.可得a+b=1.再由乘1法和基本不等式.即可得到所求最小值．【解答】：解：根据y=ln（x+b）得y'= 1x+b.由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1.可得切点的横坐标为1-b.切点为（1-b.0）.代入y=x-a.得a+b=1.∵a、b为正实数.∴ 1 a +1b=（1a+1b）×（a+b）=1+1+ ba+ab=2+ ba+ab≥2+2 √ba•ab=2+2=4.当且仅当a=b时取等号.故1a +1b的最小值为4.故选：C．【点评】：本题主要考查导数的应用.利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键.属于中档题．8.（多选题.5分）已知f（x）是可导的函数.且f′（x）＜f（x）.对于x∈R恒成立.则下列不等关系正确的是（）A.f（1）＜ef（0）.f（2020）＜e2020f（0）B.f （1）＞ef （0）.f （1）＞e 2f （-1）C.f （1）＜ef （0）.f （1）＜e 2f （-1）D.f （1）＞ef （0）.f （2020）＞e 2020f （0） 【正确答案】：AC【解析】：构造新函数g （x ）=f (x )e x.求导后易证得g （x ）在R 上单调递减.从而有g （1）＜g（0）.g （2020）＜g （0）.g （1）＜g （-1）.故而得解．【解答】：解：设g （x ）=f (x )e x.则g'（x ）=f′(x )−f (x )e x. ∵f′（x ）＜f （x ）.∴g'（x ）＜0.即g （x ）在R 上单调递减. ∴g （1）＜g （0）.即f (1)e ＜f (0)e0 .即f （1）＜ef （0）.g （2020）＜g （0）.即 f (2020)e 2020＜f (0)e 0.即f （2020）＜e 2020f （0）.g （1）＜g （-1）.即f (1)e ＜f (−1)e −1.即f （1）＜e 2f （-1）．∴选项A 和C 正确.选项B 和D 均错误． 故选：AC ．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.构造新函数是解题的关键.考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．9.（多选题.5分）下列四个函数中.最小值为2的是（ ） A.y=sinx+ 1sinx（0 ＜x ≤π2）B.y=lnx+ 1lnx（x ＞0.x≠1） C. y =2√x 2+5D.y=4x +4-x 【正确答案】：AD【解析】：逐项利用基本不等式判断即可.需要注意等号成立的条件．【解答】：解：对于A.当0 ＜x ≤π2时.sinx∈（0.1].则 y =sinx +1sinx≥2√sinx •1sinx=2 .当且仅当sinx=1时取等号.符合题意；对于B.x ＞0且x≠1时.lnx 可以小于0.此时的最小值显然不为2.不符合题意； 对于C. y =2√x 2+5=√x 2+5√x 2+5≥2√(x 2+5)•1x 2+5=2 .当且仅当x 2+5=1时取等号.显然此时x 2+5=1在实数范围内无解.不符合题意；对于D. y=4x+4−x≥2√4x•4−x=2 .当且仅当x=0时取等号.符合题意．故选：AD．【点评】：本题考查基本不等式的运用.注意需满足“一正二定三相等”.属于基础题．10.（多选题.5分）下列说法错误的是（）A.若xy≥0.则|x|+|y|＞|x+y|B.若x2+y2≠0.则x≠0或y≠0C.“ x＞a+b2是x＞√ab”的充分不必要条件D.“∀x＞0.e x＞x+1”的否定形式是“∃x≤0.e x≤x+1”【正确答案】：ACD【解析】：直接利用三角不等式的应用判定A.利用否命题的应用判定B.利用基本不等式的应用和充分条件和必要条件的应用判定C.利用特称和全称命题的应用判定D．【解答】：解：对于选项A：若x≥0.y≥0.则|x|+|y|=|x+y|.故A错误．对于选项B：若x2+y2=0.则x=0且y=0.所以：若x2+y2≠0.则x≠0或y≠0.故B正确．对于选项C：当a≥0.b≥0时.x ＞a+b2成立.则x＞√ab .但是.当x＞√ab时. x＞a+b2不一定成立.故“ x＞a+b2是x＞√ab”的既不充分也不必要条件.故C错误．对于选项D：“∀x＞0.e x＞x+1”的否定形式是“∃x＞0.e x≤x+1”.故D错误．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式.三角不等式.命题的否定.特称和全称命题.充分条件和必要条件.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．11.（多选题.5分）(x+ax )(2x−1x)5的展开式中各项系数的和为2.则其中正确命题的序号是（）A.a=1B.展开式中含x6项的系数是-32C.展开式中含x-1项D.展开式中常数项为40【正确答案】：AD【解析】：由于二项式展开式中各项的系数的和为2.故可以令x=1.建立a的方程.解出a的值.再其分别求出相对应的项即可．【解答】：解：令x=1则有1+a=2.得a=1.故二项式为（x+ 1x ）（2x- 1x）5.（2x- 1x）5通项公式为（-1）r25-r C5r x5-2r.r依次为0.1.2.3.4.5（x+ 1x ）（2x- 1x）5的展开式中含x6项系数为（2x- 1x）5通项展开式中x5项系数的与x7项的系数之和.令5-2r=5解得r=0.所以（2x- 1x）5通项展开式中x5项系数（-1）025C50=32. 令5-2r=7解得r=-1.不合题意.∴展开式中含x6项的系数是32.（x+ 1x ）（2x- 1x）5的展开式中含x-1项系数为（2x- 1x）5通项展开式中x-2项系数的与常数项之和.令5-2r=-2.解得r= 72.不合题意.令5-2r=0.解得r= 52.不合题意. 则展开式不含x-1项.（x+ 1x ）（2x- 1x）5的展开式中含常数项为（2x- 1x）5通项展开式中x-1项系数的与x项的系数之和.令5-2r=-1.解得r=3.令5-2r=1.解得r=2.所以其常数项为-22×C53+23C52=40．故选：AD．【点评】：本题考查二项式系数的性质.解题关键是掌握二项式系数的公式.以及根据二项式的形式判断出常数项的取法.理解题意.作出正确判断很重要．12.（多选题.5分）如图直角梯形ABCD.AB || CD.AB⊥BC.BC=CD= 12AB=2.E为AB中点.以DE 为折痕把△ADE折起.使点A到达点P的位置.且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√2【正确答案】：AC【解析】：在A中.四边形EBCD是边长为2的正方形.PE=2.推导出PE⊥DE.PE⊥CE.从而PE⊥平面EBCD.进而平面PED⊥平面EBCD；在B中.由DE || BC.BC⊥PB.得BC与PC不垂直.从而PC与ED不垂直；在C中.推导出BE⊥平面PDE.BE || CD.从而CD⊥平面PDE.进而∠PDE是二面角P-DC-B的平面角.进而求出二面角P-DC-B的大小为π4；在D中.PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22．【解答】：解：直角梯形ABCD.AB || CD.AB⊥BC.BC=CD= 12AB=2.E为AB中点. 以DE为折痕把△ADE折起.使点A到达点P的位置.且PC=2 √3．在A中.四边形EBCD是边长为2的正方形.PE=2.∴PE⊥DE.CE= √22+22 =2 √2 .∴PE2+CE2=PC2.∴PE⊥CE.∵DE∩CE=E.∴PE⊥平面EBCD.∵PE⊂平面PED.∴平面PED⊥平面EBCD.故A正确；在B中.∵DE || BC.BC⊥PB.∴BC与PC不垂直.∴PC与ED不垂直.故B错误；在C中.∵BE⊥PE.BE⊥DE.P E∩DE=E.∴BE⊥平面PDE.∵BE || CD.∴CD⊥平面PDE.∴∠PDE是二面角P-DC-B的平面角.∵PE⊥平面BCD.PE=DE.∴∠PDE= π4.∴二面角P-DC-B的大小为π4.故C正确；在D中.∵CD⊥平面PDE.∴∠CPD是PC与平面PED所成角.PD= √PC2−CD2 = √(2√3)2−22 =2 √2 .∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22.故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力以及化归与转化思想.是中档题．13.（填空题.5分）若函数f（x）=kx-lnx在区间（1.+∞）上不单调.则k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：求出导函数f′（x）.由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1.+∞）不是单调函数.就是函数在区间上有极值．然后区间即可．【解答】：解：函数f （x ）=kx-lnx.可得f′（x ）=k- 1x . ∵函数f （x ）=kx-lnx 在区间（1.+∞）不单调.∴f′（x ）=0在区间（1.+∞）有解．并且解的两侧.导函数的符号相反. ∴k - 1x =0.解得x= 1k ＞1.所以k∈（0.1）．而f （x ）在区间（1. 1k ）上单调递减.x∈（ 1k .+∞）时.f （x ）是增函数. ∴k 的取值范围是：（0.1）． 故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法.属于中档题． 14.（填空题.5分）已知一组数据（1.3）.（2.3.8）.（3.5.2）.（a.b ）的线性回归方程为 y ̂ =1.04x+1.9.则b-1.04a=___ ． 【正确答案】：[1]1.84【解析】：计算这组数据的平均数.代入回归直线方程中即可求得b-1.04a 的值．【解答】：解：计算数据（1.3）.（2.3.8）.（3.5.2）.（a.b ）的平均数为. x = 14 ×（1+2+3+a ）=6+a4. y = 14 ×（3+3.8+5.2+b ）=12+b4. 代入回归直线方程 y ̂=1.04x +1.9 中. 得12+b 4 =1.04× 6+a4+1.9. 则b-1.04a=1.04×6+1.9×4-12=1.84． 故答案为：1.84．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.也考查了平均数与样本中心点的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子.观察向上的点数.记“红骰子向上的点数大于3”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B.则P （B|A ）=___ ． 【正确答案】：[1] 16【解析】：记“红骰子向上的点数大于3”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B.分别求出P （A ）.P （AB ）.再由P （B|A ）= P (AB )P (A ) .能求出结果．【解答】：解：同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子.观察向上的点数. 记“红骰子向上的点数大于3”为事件A. “两颗骰子的点数之和等于8”为事件B. P （A ）= 36 = 12 . P （AB ）=36×6 = 112. ∴P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 11212= 16． 故答案为： 16 ．【点评】：本题考查概率的求法.考查条件概率等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 16.（填空题.5分）定义方程f （x ）=f′（x ）的实数根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”． （1）设f （x ）=sinx.则f （x ）在（0.π）上的“新驻点”为___ ．（2）如果函数g （x ）=ln （x+1）与h （x ）=x+e x 的“新驻点”分别为α、β.那么α和β的大小关系是___ ．【正确答案】：[1] π4; [2]α＜β【解析】：（1）先对函数求导.结合已知定义及三角函数性质即可求解；（2）分别对函数g （x ）.h （x ）求导.然后结合已知.利用导数分析相应函数的性质即可求解．【解答】：解：（1）f′（x ）=cosx. 令sinx=cosx 即tanx=1. 因为x∈（0.π）. 故x= π4 .（2） g′(x )=11+x .由题意可得.g （α）=g′（α）.即 11+α=ln (1+α) .设H （x ）= 11+x -ln （1+x ）.则易得H （x ）在（-1.+∞）单调递减且H （1）= 12−ln2=ln √e2＜0. 故α＜1.h′（x ）=1+e x .由1+e β=β+e β. 故β=1. 所以α＜β．故答案为： π4 .α＜β．【点评】：本题以新定义为载体.主要考查了 导数知识的综合应用.属于中档试题． 17.（问答题.10分）请从下面三个条件中任选一个.补充在下面的横线上.并解答． ① 第5项的系数与第3项的系数之比是14：3； ② 第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ C n+12 -C n n−2=10．已知在（ √x - √x3 ）n 的展开式中._______．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 5的项．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用.二项式系数的性质.求得n 的值.再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项．（2）由题意利用二项式展开式的通项公式.求得展开式中含x 5的项．【解答】：解： ① 在（ √x - √x 3 ）n 的展开式中.（1）若选 ① .第5项的系数与第3项的系数之比是14：3.则 C n 4 ： C n 2 =14：3.求得n=10.当二项式系数 C n r 最大时.r=5.即第六项的二项式系数最大. 此项为 T 6= C 105 •（-1）5• x 56 =-252 x 56 ．（2）该二项式的通项公式为 T r+1= C 10r •（-1）r • x30−5r6.令30−5r6=5.求得r=0.故展开式中含x 5的项为 T 1= C 100•x 5=x 5．② 在（ √x - √x3 ）n 的展开式中.（1）若选 ② .第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55.则 C n 1 + C n n−2=n+ n (n−1)2 = n 2+n 2 =55.∴n=10.当二项式系数 C n r最大时.r=5.即第六项的二项式系数最大. 此项为 T 6= C 105 •（-1）5• x 56 =-252 x 56 ．（2）该二项式的通项公式为 T r+1= C 10r•（-1）r • x30−5r6.令30−5r6=5.求得r=0.故展开式中含x 5的项为 T 1= C 100•x 5=x 5．③ 在（ √x - √x3 ）n 的展开式中.（1）若选 ③ .C n+12 -C n n−2=10=(n+1)•n2-n (n−1)2.∴n=10. 当二项式系数 C n r最大时.r=5.即第六项的二项式系数最大. 此项为 T 6= C 105 •（-1）5• x 56 =-252 x 56 ．（2）该二项式的通项公式为 T r+1= C 10r •（-1）r • x30−5r6.令 30−5r6=5.求得r=0.故展开式中含x 5的项为 T 1= C 100•x 5=x 5．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项式系数的性质.二项式展开式的通项公式.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数 f (x )=lnx −ax .a∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＜-e 时.f （x ）在[1.e]上的最小值为1+e.求a 的值．【正确答案】：【解析】：（1）求导得 f′(x )=1x +ax 2=x+ax 2.定义域为（0.+∞）.再分a≥0和a ＜0两类讨论f'（x ）与0的大小关系即可得解；（2）由（1）知.当a ＜-e 时.f （x ）在[1.e]上单调递减.故f （x ）min =f （e ）=1- ae .解之即可．【解答】：解：（1）由题意得.f （x ）的定义域为（0.+∞）. f′(x )=1x+a x 2=x+ax 2. ① 当a≥0时.f'（x ）＞0恒成立.∴f （x ）在（0.+∞）上单调递增； ② 当a ＜0时.令f'（x ）＞0.得x ＞-a ；令f'（x ）＜0.得x ＜-a. ∴f （x ）在（0.-a]上单调递减.在（-a.+∞）上单调递增． 综上所述.当a≥0时.f （x ）在（0.+∞）上单调递增；当a ＜0时.f （x ）在（0.-a]上单调递减.在（-a.+∞）上单调递增．（2）由（1）知.当a ＜-e 时.f （x ）在[1.e]上单调递减. ∴f （x ）min =f （e ）= 1−ae =1+e .解得a=-e 2. ∴a=-e 2．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值.理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．19.（问答题.12分）甲、乙两支排球队进行比赛.约定先胜3局者获得比赛的胜利.比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 12 外.其余每局比赛甲队获胜的概率是 23 ．假设各局比赛结果互相独立．（1）分别求甲队以3：0.3：1.3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1.则胜利方得3分.对方得0分；若比赛结果为3：2.则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A 1.“甲队以3：1胜利”为事件A 2.“甲队以3：2胜利”为事件A 3.由题意知.各局比赛结果相互独立.利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出甲队以3：0.3：1.3：2胜利的概率．（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A 4.由题意知.各局比赛结果相互独立.P （A 4）= 427 ．由题意知.随机变量X 的所有可能的取值为0.1.2.3.分别求出相应的概率.由此能出乙队得分X 的分布列及数学期望．【解答】：解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A 1.“甲队以3：1胜利”为事件A 2.“甲队以3：2胜利”为事件A 3.由题意知.各局比赛结果相互独立. 故P （A 1）=（ 23 ）3= 827 .P （A 2）= C 32(23)2×(13)×23 = 827 .P （A 3）= C 42(23)2×(13)2×12 = 427 ．所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为 827 .以3：2胜利的概率为 427 ． （2）设“乙队以3：2胜利”为事件A 4.由题意知.各局比赛结果相互独立. 所以P （A 4）= C 42(1−23)2×(23)2×(1−12) = 427 ．由题意知.随机变量X 的所有可能的取值为0.1.2.3.根据事件的互斥性得 P （X=0）=P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）= 1627 ．又P （X=1）=P （A 3）= 427 .P （X=2）=P （A 4）= 427 .P （X=3）=1-P （X=0）-P （X=1）-P （X=2）= 327 .故X 的分布列为 X 1 2 3 P1627 427427 327所以E （X ）=0× 1627 +1× 427 +2× 427 +3× 327 = 79 ．【点评】：本题考查概率的求法.考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法.考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想.是中档题． 20.（问答题.12分）如图.D 为圆锥的顶点.O 是圆锥底面的圆心.AE 为底面直径.AE=AD ．△ABC 是底面的内接正三角形.P 为DO 上一点.PO= √66DO ． （1）证明：PA⊥平面PBC ； （2）求二面角B-PC-E 的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）设圆O 的半径为1.求出各线段的长度.利用勾股定理即可得到PA⊥PC .PA⊥PB .进而得证；（2）建立空间直角坐标系.求出平面PBC 及平面PCE 的法向量.利用向量的夹角公式即可得解．【解答】：解：（1）不妨设圆O 的半径为1.OA=OB=OC=1.AE=AD=2. AB =BC =AC =√3 . DO =√DA 2−OA 2=√3，PO =√66DO =√22.PA =PB =PC =√PO 2+AO 2=√62. 在△PAC 中.PA 2+PC 2=AC 2.故PA⊥PC . 同理可得PA⊥PB .又PB∩PC=P . 故PA⊥平面PBC ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系. 则有 B (√32，12，0)，C (−√32，12，0)，P (0，0，√22) .E （0.1.0）. 故 BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3，0，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，12，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，−12，√22) . 设平面PCE 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则由 {n⃗ •CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得 {√32x+12y =0√32x −12y +√22z =0.取x=1.则 y =−√3 .z= −√6 .所以平面PCE 的法向量为 n ⃗ =(1，−√3，−√6) .由（1）可知PA⊥平面PBC.不妨取平面PBC 的法向量为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√22) . 故 cosθ=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√55.即二面角B-PC-E 的余弦值为2√55．【点评】：本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角.考查推理能力及计算能力.属于基础题．21.（问答题.12分）大型综艺节目《最强大脑》中.有一个游戏叫做盲拧魔方.就是玩家先观察魔方状态并进行记忆.记住后蒙住眼睛快速还原魔方.盲拧在外人看来很神奇.其实原理是十分简单的.要学会盲拧也是很容易的．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况.某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查.得到的情况如表所示： 用时（秒）[5.10）[10.15）[15.20）[20.25）附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).n=a+b+c+d．数据完成以下2×2列联表.并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？用时不超过10秒的概率.每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试.其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？【正确答案】：【解析】：（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可.计算K2.对照题目中的表格.得出统计结论．（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ.由题意可知变量ξ服从二项分布ξ～B（20. 15）.由{P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k−1)求出k的取值范围.再利用k∈Z.即可求出k的值．【解答】：解：（1）由题意得列联表如下：K2的观测值k=53×47×60×40≈4.523＞3.841 . 所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关．（2）根据题意得.1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为20100=15.设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ.则变量ξ服从二项分布ξ～B（20.15）.其中 P (ξ=k )=C 20k (15)k (45)20−k.k=0.1.2.….20；由 {P (ξ=k )≥P (ξ=k +1)P (ξ=k )≥P (ξ=k −1) .得 {C 20k (15)k (45)20−k≥C 20k+1(15)k+1(45)19−kC 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k−1(15)k−1(45)21−k . 化简得 {4(k +1)≥20−k21−k ≥4k.得 165≤k ≤215 ；又k∈Z .所以k=4.即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人．【点评】：本题考查了独立性检验的应用问题.考查了二项分布.也考查了计算能力的应用问题.是中档题．22.（问答题.12分）已知函数f （x ）=e x +ax 2-x ． （1）当a=1时.讨论f （x ）的单调性；（2）当x≥0时.f （x ）≥ 12x 3+1.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得a=1时.f （x ）的解析式.两次对x 求得导数.结合指数函数的值域判断导数的符号.即可得到所求单调性；（2）讨论x=0.不等式恒成立；x ＞0时.运用参数分离和构造函数.求得导数.判断单调性和最值.进而得到所求范围．【解答】：解：（1）当a=1时.f （x ）=e x +x 2-x. f′（x ）=e x +2x-1.设g （x ）=f′（x ）.因为g′（x ）=e x +2＞0.可得g （x ）在R 上递增.即f′（x ）在R 上递增. 因为f′（0）=0.所以当x ＞0时.f′（x ）＞0；当x ＜0时.f′（x ）＜0. 所以f （x ）的增区间为（0.+∞）.减区间为（-∞.0）； （2）当x≥0时.f （x ）≥ 12x 3+1恒成立. ① 当x=0时.不等式恒成立.可得a∈R ； ② 当x ＞0时.可得a≥12x 3+x+1−e x x 2恒成立.设h （x ）= 12x 3+x+1−e x x 2.则h′（x ）=(2−x )e x +(12x 3−x−2)x3 =(2−x )e x +(12x 3−x 2)+(x 2−x−2)x 3=(2−x )e x +12x 2(x−2)+(x−2)(x+1)x 3=(2−x )(e x −12x 2−x−1)x3 .可设m （x ）=e x - 12x 2-x-1.可得m′（x ）=e x -x-1. 设k （x ）=e x -x-1.k′（x ）=e x -1.由x ＞0.可得k′（x ）＞0恒成立.可得k （x ）在（0.+∞）递增. m′（x ）在（0.+∞）递增. 所以m′（x ）＞m′（0）=0.即m′（x ）＞0恒成立.即m （x ）在（0.+∞）递增.所以m （x ）＞m （0）=0. 再令h′（x ）=0.可得x=2.当0＜x ＜2时.h′（x ）＞0.h （x ）在（0.2）递增； x ＞2时.h′（x ）＜0.h （x ）在（2.+∞）递减.所以h （x ）max =h （2）= 7−e 24 .所以a≥ 7−e 24 .综上可得a 的取值范围是[ 7−e 24.+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调性和最值.考查构造函数法.主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力.属于难题．。

2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．244．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．45．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=_______．（其中e为自然对数的底数）12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是_______．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为_______．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为_______．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为_______．三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•（2+i）=10﹣5i，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：由z•（2+i）=10﹣5i，得=3﹣4i，则z的共轭复数=3+4i．故选：C．2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合M、N的范围，从而求出其并集即可．【解答】解：集合M={x|﹣x≤x＜3}={x|0≤x＜3}，集合N={x|y=}={x|﹣3≤x≤2}，则M∪N={x|﹣3≤x＜3}，故选：D．3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．24【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，则系统抽样的分段间隔为8，可求得余下的同学的编号．【解答】解：∵从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，∴系统抽样的分段间隔为=8，∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，∴抽取的另一个同学的学号应为27，故选：A．4．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．4【考点】基本不等式．【分析】直线ax+by=1经过点（1，2），可得：a+2b=1．再利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．则2a+4b≥==2，当且仅当时取等号．故选：B．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据线面垂直的性质定理进行判断．②根据线面平行的判定定理进行判断．③根据线面平行的判定定理进行判断．④根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β成立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不一定成立，有可能相交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的是①，故选：A6．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，根据z=的几何意义求出z的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，K AC==，K BC==，故选：C．9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】所有的（a，b）共计6×6=36个，函数f′（x）=ax2﹣bx在x=1处取得最值等价于f″（1）=2a﹣b=0，用列举法求得满足条件的（a，b）有3个，再根据概率公式计算即可．【解答】解：连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，共有36种等可能事件，∵f（x）=ax3﹣bx2+x，∴f′（x）=ax2﹣bx+1，∵函数f′（x）=ax2﹣bx+1在x=1处取得最值，∴f″（x）=2ax﹣b，∴f″（1）=2a﹣b=0，即2a=b，满足的基本事件有（1，2），（2，4），（3，6），共3种，故函数f′（x）在x=1处取得最值的概率为=，故选：C．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB，BC，AC的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出y1，y2，y3，根据斜率之和为﹣1化简++即可得出答案．【解答】解：设AB的方程为x=m1y+t1，BC的方程为x=m2y+t2，AC的方程为x=m3y+t3，联立方程组，消元得：y2﹣2pm1y﹣2pt1=0，∴y1=pm1，同理可得：y2=pm2，y3=pm3，∵直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，∴++=﹣1．∴则++=++=（++）=﹣．故选：B．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=10．（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质．【分析】使用对数恒等式解出．【解答】解：∵ln3=a，ln7=b，∴e a=3，e b=7，∴e a+e b=10．故答案为10．12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，∵||=，||=2，且（﹣）⊥，∴（﹣）•=||2﹣•=||2﹣||•||cosθ=3﹣2cosθ=0，解得cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，求出圆C的圆心C（1，2），半径r=，圆心C（1，2）到直线l的距离d，由此能求出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2也满足条件．由此能求出直线l的方程．【解答】解：设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0的圆心C（1，2），半径r==，圆心C（1，2）到直线l的距离d==，∵过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，∴由勾股定理得：，即，解得k=，∴直线l的方程为y=（x﹣2）+4，即3x﹣4y+10=0，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心C（1，2）到直线x=2的距离d=1，满足，故x﹣2=0是直线l的方程．综上，直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．故答案为：x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知利用平均数公式能求出a，b．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，B户型小于100万的有4套，先求出买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数，再列举法求出事件A=“至少有一套面积为100平方米住房所含基本事件个数，由此能求出至少有一套面积为100平方米的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：（0.98+0.99+1.06+1.17+1.10+1.21+a+1.09+1.14）=1.1，解得a=1.16，（1.08+1.11+1.12+b+1.26+1.27+1.26+1.25+1.28）=1.2，解得b=1.17．…（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2，B户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4…买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数为=15，…令事件A=“至少有一套面积为100平方米住房”，则A中所含基本事件有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共9个…∴P（A）=，∴至少有一套面积为100平方米的概率为．．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得，又C是三角形的内角，即可得解C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∴，又∵C是三角形的内角，∴…（Ⅱ）∵，∴，∴ab=4，…又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=（a+b）2﹣2ab﹣ab，∴a+b=4，∴a=b=2．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN，则FN∥PD，EN∥AD，故而平面EFN∥平面PAD，所以EF∥平面PAD；（Ⅱ）由侧面PAD⊥底面ABCD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥DE，由正方形的性质可得DE⊥AH，故DE⊥平面PAH，于是平面PAH⊥平面DEF．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN．∵在△CPD中，F，N为中点，∴FN∥PD．∵正方形ABCD中，E，N为中点，∴EN∥AD，∵EN⊂平面EFN，FN⊂平面EFN，EN∩FN=N，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴平面EFN∥平面PAD，∵EF⊂平面EFN，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA，∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC中点，∴Rt△ABH≌Rt△ADE，则∠BAH=∠ADE，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE⊥AH，∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH=A，∴DE⊥平面PAH，∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∴，解得a1=3，d=2，∵b1=a1=3，b2=a4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a n=3+2（n﹣1）=2n+1．，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程和“相关圆”E 的方程．（Ⅱ）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线AB的距离为定值，并能求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为若抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为…证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0…，由条件OA⊥OB得3m2﹣2k2﹣2=0…所以原点O到直线l的距离是由3m2﹣2k2﹣2=0得为定值．…此时要满足△＞0，即2k2﹣m2+1＞0，又，即，所以，即或…21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=2a=﹣1，求出a的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，求出F（x）的导数，得到F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，问题转化为即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），通过讨论函数t（b）的单调性，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），所以k=f'（1）=2a=﹣1，所以…（Ⅱ），其定义域为（0，+∞），，令h（x）=﹣x2﹣bx+b，x∈（0，+∞）△=b2+4b（i）当﹣4≤b≤0时，△=b2+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，故f（x）在区间（0，+∞）无极值点；（ii）当b＜﹣4时，△＞0，令h（x）=0，有，，x2＞x1＞0，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（0，x1）上递减；当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x1，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）有一个极小值点和一个极大值点．（iii）当b＞0时，△＞0，令h（x）=0，有，，当x∈（0，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）唯一的极大值点，无极小值点．综上可知，当b＜﹣4时，函数f（x）有一个极小值点和一个极大值点．当﹣4≤b≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有无极值点；当b＞0时，函数f（x）有唯一的极大值点，无极小值点；…（III）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，则F（x）==blnx﹣x若总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）+m+1成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m+1成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m+1，因为x∈[1，b]，所以F'（x）≥0，即F（x）在[1，b]上单调递增，所以F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，即blnb﹣b+1＞m+1对任意b∈（1，+∞）成立，即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），t'（b）=lnb，当b∈[1，+∞）时，t'（b）≥0，∴t（b）在[1，+∞）上单调递增，∴t（b）min=t（1）=﹣1．∴对于任意b∈（1，+∞），∴t（b）＞t（1）=﹣1．所以m≤﹣1…2020年9月12日。

高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．80； 14．- 15．21； 16．2513π，．四、解答题：共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】【1】若选择①222b ac =+，由余弦定理 222cos 222a cb B ac ac +-===， ...................................................... 2分 因为 (0)B ∈π，，所以 π=4B ； ............................................................................... 3分 由正弦定理 sin sin a b A B=，得 sin sin 3sin 2b A a B π=== ............................................................................ 5分因为 3A π=，4B π=， 所以 35124C ππ-=ππ-=， ......................................................................................... 6分 所以 5sin sin sin()sin cos cos sin 12464646C ππππππ==+==π+， ................ 8分 所以 11sin 22ABC S ab C ===△ .................................. 10分 【2】若选择②cos sin a B b A =，则 sin cos sin sin A B B A =，因为 sin 0A ≠，所以 sin cos B B =， ....................................................................... 2分 因为 (0)B ∈π，，所以 π=4B ； ............................................................................... 3分 由正弦定理 sin sin a b A B=， 得sin sin 3sin b A a B π=== ............................................................................ 5分因为 3A π=，4B π=， 所以 35124C ππ-=ππ-=， ......................................................................................... 6分 所以5sin sin sin()sin cos cos sin 12464646C ππππππ==+==π+， ................ 8分 所以11sin 22ABC S ab C ===△ .................................. 10分 【3】若选择③sin cos B B +=则)4B π+=，所以 sin()14B π+=， ...................................................... 2分 因为 (0)B ∈π，，所以 π5+()444B ππ∈，， 所以 π+42B π=，所以 π=4B ； ................................................................................ 3分 由正弦定理 sin sin a b A B=， 得sin sin 3sin b A a B π=== ............................................................................ 5分因为 3A π=，4B π=， 所以 35124C ππ-=ππ-=， ......................................................................................... 6分 所以5sin sin sin()sin cos cos sin 124646464C ππππππ==+==π+， ................ 8分 所以113sin 2244ABC S ab C ++===△． .................................. 10分 18．【解析】（1）连接BD 交AQ 于点M ，连接PM ，因为 BMQ △∽DMA △， 12BQ AD =， 所以 12BM DM =， .................................................................................................... 2分 又 12EP DP =，所以 PM BE ， ........................................................................... 3分 又 PM ⊂平面APQ ，BE ⊄平面APQ ，所以 BE 平面APQ ； .............................................................................................. 5分（2）【解法一】以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ...................................................................................................... 6分 则(000)0)(00)(002)02)A C D E F ，，，，，，，，，，设 ()P x y z ，，，因为 2DP PE =， 所以 23DP DE =，则2()(02)3x y z -=-，，，则4(0)33P ，，，所以 4(0)33AP =，，， 设平面AFP 的法向量为1111()x y z =，，n ，又因为 (202)AF =，，所以 1100AF n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 111120403z y z +=+=，取1x =，则111y z ==-， 故 11)=-n ；............................................................................................. 8分 又 平面AEF 的法向量为2(010)=，，n ， ................................................................. 9分 所以 121212cos ||||5⋅==，n n n n n n ， ....................................................................... 11分 由图可知所求二面角为锐角，所以 二面角P AF E --的余弦值为5． ........................................................... 12分 【解法二】在ADE △中，作AE PG ⊥于G ，作AF GH ⊥于H ，连接PH ．因为AE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥AD ，又AB ⊥AD ，ABAE A =，所以 AD ⊥平面ABFE ，又AE PG ⊥，所以PG AD ，所以 PG ⊥平面ABFE ， ..................................... 7分 ⊂AF 平面ABFE ， 所以 AF PG ⊥，又 PGGH G =， 所以 ⊥AF 平面PGH ，所以 AF PH ⊥， 故PHG ∠即为所求二面角的平面角，记该角为θ. .................................................. 9分 因为 32231==AD PG ， 又AHG △∽AEF △，所以 962634===AF AG FE GH ，所以934=GH ， 在直角PGH △中，930222=+=GH PG PH ， 所以 510cos ==PH GH θ， ........................................................................................ 11分 所以 二面角P AF E --． ........................................................... 12分 19. 【解析】 （1）因为2log (1)1n n S F =--，221n n F =+，所以 22log (211)121n n n S =+--=-； ..................................................................... 2分当1n =时，111a S ==， ............................................................................................. 3分 当2n 时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=，11a =适合上式，故 12n n a -=；............................................................................................................... 5分 （2）因为 12n n a -=，所以 12n n a +=，所以 212(1)log (1)log 2(1)n n n b n a n n n +=+=+=+， ............................................. 6分故 22112()(1)1n b n n n n ==-++， .............................................................................. 7分 所以 111112(1)2()2()2231n T n n =-+-++-+11111122(1)2(1)2223111n n n n =-+-++-=-=-+++；................... 10分 因为 220(1)n b n n =>+，所以 10n n T T +->对*n ∀∈N 恒成立，即 1n n T T +>， 所以 11n T T =，又因为 201n >+， 所以 2221n T n =-<+， 综上 对*n ∀∈N ，12n T <． ................................................................................. 12分20.【解析】（1）由题意可知 从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故，则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2，设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A ，则 12311()(1)55P A C =⨯⨯- .......................................................................................... 2分 48125= ............................................................................................................. 3分 （2）由题意，设22d k v =⋅，因为 当行车速度为100/km h 时，制动距离为65m ， 所以 0.0065k =，即 220.0065d v =， ...................................................................... 5分（i ）因为 1d 与v 之间具有线性相关关系，故设 1ˆˆˆd bv a =+， 因为 1122211()()ˆ()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y n x y b xx x n x ====---==--∑∑∑∑， 所以 10111102221()22187.310100.4211103.3ˆ0.2110605410100.45252.4ii i i i v d n d b vn νν==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑， ............. 7分 故 1ˆˆ0.21d v a =+，把(100.421)，代入上式，解得 ˆ0.084a =-， 则 1d 与v 之间的回归方程为：1ˆ0.210.084d v =-； ................................................ 8分 设 停车距离为d ，则12d d d =+，则 20.00650.210.084d v v =+-，当110v =/km h 时，101.666d =，即 车速为110/km h 时的停车距离为101.666m ； .............................................. 10分 （ii ）易知 当车速为100/km h 时，停车距离为85.916m ，该距离小于100m ，又因为 当车速为110/km h 时的停车距离为101.666m ，该距离大于100m ， 由以上两个数据可知，当车速超过100/km h 时，必须与同车道前车保持100米以上的距离才能保证行驶安全． .......................................................................................... 12分21．【解析】（1）由题意可知 12a c a c -=⎧⎨=⎩，解得 21a c ==，，所以b = 故 椭圆C 的方程为 22143x y +=； ............................................................................ 3分 （2）（i ）因为 椭圆长轴端点坐标为(20)-，和(20)，，所以 椭圆的“外切圆”E 的方程为224x y +=； ..................................................... 5分 （ii ）【解法一】假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，设(0)Q m ，，00()P x y ，，则 2200143x y +=， 由（i ）可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点，||2PQ r =，即 00()22x m y G +，，r =因为圆E 与圆G 相切，则 ||2OG r =-， ................................................................. 6分所以 2=-，其中2200334y x =-， ................ 8分两边平方并整理：04mx -=化简得：220(1)(4)0m x --=， ............................................................................... 10分 上式对任意0[22]x ∈-，恒成立，故 210m -=，解得：1m =±，所以 当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时，符合题意． ............................................ 12分【解法二】假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，设(0)Q m ，，00()P x y ，，则 2200143x y +=， 由（i ）可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点，||2PQ r =，即 00()22x m y G +，，r =因为圆E 与圆G 相切，则 ||2OG r =-， ................................................................. 6分所以 2=-， .................................................... 8分则2=，则 4+=， 设(0)Q m '-，，则 |'|||4PQ PQ += ........................................................................ 10分又因为，点P 在椭圆22143x y +=上，设12F F ，分别为椭圆的左右焦点， 则 12||||4PF PF +=，故 'Q Q ，分别与12F F ，重合， 所以 当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时，符合题意． ............................................ 12分【解法三】假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，由（i ）可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2， 设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点，||2PQ r =， 因为圆E 与圆G 相切，则 ||2OG r =-， ................................................................. 6分 即 ||||22PQ OG =-， 所以 2||||4OG PQ +=， ........................................................................................... 8分 设Q '为Q 关于原点的对称点，则 OG 恰好为'QQ P △的中位线， 所以 2|||'|OG PQ =，所以 |'|||4PQ PQ +=，............................................................................................ 10分又因为，点P 在椭圆22143x y +=上，设12F F ，分别为椭圆的左右焦点， 则 12||||4PF PF +=，故 'Q Q ，分别与12F F ，重合，所以 当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时，符合题意． ............................................ 12分 【解法四】假设存在满足条件的定点Q ，设()Q m n ，，00()P x y ，，则 2200143x y +=， 由（i ）可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点，||2PQ r =，即 00()22x m y n G ++，，r = 因为圆E 与圆G 相切，则 ||2OG r =-， ................................................................. 6分所以2=， ................................ 8分则2=，则4=，设()Q m n '--，，则 |'|||4PQ PQ += ..................................................................... 10分 又因为，点P 在椭圆22143x y +=上，设12F F ，分别为椭圆的左右焦点，则 12||||4PF PF +=， 故 'Q Q ，分别与12F F ，重合， 所以 当定点Q 恰好为椭圆C 的焦点时，符合题意． ............................................ 12分 22．【解析】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，， 21ln ()xf x x -'=， ......................................................................................................... 1分 令()0f x '>，解得：0e x <<， 令()0f x '<，解得：e x >，所以 当(0e)x ∈，，()f x 为增函数，当(e +)x ∈∞，，()f x 为减函数， 所以 e x =时，()f x 有极大值11e(e)e ef b +=+=， 所以 1b =； ................................................................................................................. 3分 （2）【解法一】 由（1）知，ln ()1xf x x=+，则()()g x af x ，即 ln e x a a xa x x-+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 所以 e ln x x a a x ax -+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 即 e ln 0x x a x ax a---对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 设()e ln x h x x a x ax a =---，则()0h x 对(0)x ∀∈+∞，恒成立， ...................... 4分（i ）若0a <，当(01)x ∈，时， ()e ln e ln 2x h x x a x ax a a x a =---<--，则 ee22(e )e ln e 20a a h a a --<--=，不合题意；.................................................................................................................... 5分 （ii ）若0a =，则 ()e 0xh x x =对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 符合题意；.................................................................................................................... 6分 （iii ）若0a >，则 ()(1)e (1)(e )xx a ah x x a x x x'=+--=+-， 设()e xax xϕ=-，则 ()x ϕ在(0)+∞，上为增函数， 因为 ()e 10aa ϕ=->，3()e 303aaa a a ϕ+=--<+，所以 0()3a x a a ∃∈+，，使000()e 0xa x x ϕ=-=，当0(0)x x ∈，时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 为减函数； 当0()x x ∈+∞，时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 为增函数； 所以 00000()()e ln x h x h x x a x ax a =---，因为 00e 0x a x -=，所以 00e x ax =，00ln ln x a x =-， 所以 00000()(ln )ln ah x x a a x ax a a a x =----=-， 则 ln 0a a -，即 ln 0a，即01a<； ............................................................ 7分综上 01a ． .......................................................................................................... 8分【解法二】由（1）知，ln ()1xf x x=+， 则()()g x af x ，即 ln e x a a xa xx-+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 所以 e ln x x a a x ax -+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 即 (1ln )e x a x x x ++对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 设()1ln h x x x =++，因为 ()1ln h x x x =++为单调递增函数，且11()0e e h =>，2211()10e eh =-<，所以 1211()e ex ∃∈，，使得111()1ln 0h x x x =++=， 当 1(0)x x ∈，时，()0h x <，当 1()x x ∈+∞，时，()0h x >， ①当1x x =时，1ln 0x x ++=时，0e x x 对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 所以 a ∈R ； ............................................................................................................... 4分 当1x x ≠时，即1ln 0x x ++≠时， 设()1ln xxe x x xϕ=++，则 221(1)(1ln )(1)(1)(1ln )(1)()(1ln )(1ln )x x x xx e x x xe x e x x e x x x x x x x ϕ+++-++++-+'==++++ 2(1)(ln )(1ln )x x e x x x x ++=++，设()ln p x x x =+，因为 ()ln p x x x =+为单调递增函数，且11()10e e p =-<，(1)10p =>，所以 21(1)ex ∃∈，，使得222()ln 0p x x x =+=， 当 2(0)x x ∈，时，()0p x <，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数， 当 2()x x ∈+∞，时，()0p x >，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数， 所以 222min2222e ()()e 1ln x x x x x x x x ϕϕ===++，又因为 22ln 0x x +=，所以 222ln 02e e e 1x x x x +===，所以 min 2()()1x x ϕϕ==， ............................................................................................ 5分 ②当1ln 0x x ++>时，1ln xxe ax x++对1()x x ∀∈+∞，恒成立，因为 ()x ϕ在12()x x ，上是减函数，在2()x +∞，上是增函数， 所以 2()1ax ϕ=；...................................................................................................... 6分③当1ln 0x x ++<时，1ln xxe ax x++对1(0)x x ∀∈，恒成立， 所以 ()x ϕ在1(0)x ，上是减函数， 因为 0(0)l i m 01l n xx xe x xϕ→==++， 所以 (0)0a ϕ=；...................................................................................................... 7分综上 01a ． ............................................................................................................ 8分【解法三】 由（1）知，ln ()1xf x x=+， 则()()g x af x ，即 ln e x a a xa xx-+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 所以 e ln x x a a x ax -+对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 即 e ln 0x x a x ax a---对(0)x ∀∈+∞，恒成立， 设()e ln x h x x a x ax a =---，则()0h x 对(0)x ∀∈+∞，恒成立，ln ln ()e e ln e (ln )x x x x h x a x ax a a x x a +=---=-+-，设ln x x t +=，t ∈R ， 原问题转化为：()0t t e at aϕ=--对t ∀∈R 恒成立， ...................................... 4分（i ）若0a <，当(0)t ∈-∞，时， ()1t t e at a at a ϕ=--<--，则 11(1)1(1)0h a a a a-<---=，不合题意；.................................................................................................................... 5分 （ii ）若0a =，则 ()0tt e ϕ=对t ∀∈R 恒成立，符合题意；.................................................................................................................... 6分 （iii ）若0a >，则()t t e a ϕ'=-，令()0t ϕ'>，ln t a >，令()0t ϕ'<，ln t a <，所以 当(ln )t a ∈-∞，时，()t ϕ为减函数，当(ln )t a ∈+∞，时，()t ϕ为增函数， 所以 ln ()(ln )e ln ln 0a t a a a a a a ϕϕ=--=-，即 ln 0a ，即01a <； ......................................................................................... 7分综上 01a ． .......................................................................................................... 8分（3）要证 22()sin 1x f x a x x >+-，只需证 22ln (1)sin 1xx a x x x+>+-， 即 22ln sin 1x x x a x x +>+-，即 ln 1sin x x a x +>， 只需证 1sin ln a x x x x +>，.......................................................................................... 9分 设1()ln F x x x=+，()sin G x x x =-， 因为 22111()x F x x x x-'=-=， 所以 ()F x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增， 所以 ()(1)1F x F =； ............................................................................................ 10分因为 ()1cos 0G x x'=-恒成立，所以 ()G x 在(0)+∞，上单调递增， 所以 ()(0)0G x G >=，则 sin x x >，则 sin 1xx<， 由（2）可知，01a ，所以sin 1a xx<； ......................................................... 11分 所以 sin ()a xF x x>， 即 1sin ln a x x x x+>，得证． .................................................................................... 12分。

济南市2020届高三第一次模拟考试英语试题第一部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题;每小题2. 5分，满分37. 5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

AIf you want to learn why everything is usually cheaper, and what items are the best deals at your local or chain dollar or discount store, store employees have a lot of useful information. They tend to know what shoppers want —even before shoppers know themselves.Everyone buys unnecessary thingsWhether you shop at a chain dollar store such as Dollar Tree, Family Dollar or your local 99 cents store, not everything that’s on sale is necessarily worth purchasing. Bryan Waring, a former Dollar Tree employee, says that you’re not alone in buying more than necessary from these stores. “It seems basic, but everyone falls for this trap,” he says. “You go into a store where everything is cheap, and you walk out with things you don't need.” He suggests going into a store — yes, even the dollar store — with a checklist of things you truly need.Everything is cheaper after the holiday seasonPatricia, a seasonal worker at a Dollar Tree, says that the post-Christmas season means even more deals on everything from decorations to sweets. “After Christmas, all the gift wrap paper went to 50 cents, and all Christmas items were half price,” she says. “Even candy bars are 89 cents versus $ 1.”Products are less expensive because of their sizeIn order for dollar stores to keep their prices low, product sizes are usually smaller than normal, according to Cheapism. Dollar stores area t the only ones guilty of this trick. Cheapism also reports Walmart is guilty of doing the same thing to attract customers.1. What is Bryan’s advice against buying unnecessary things?A. Making a purchase aloneB. Writing a to-buy list ahead.C. Shopping at your local store.D. Buying basic things separately.2. Which of the following is a better time for shopping according to Patricia?A. In the Christmas sales.B. At a particular discount.C. After the Christmas season.D. During some holiday seasons.3. How do stores make their products cheaper?A. By reducing product sizes.B. By lowering product costs.C. By adopting discount strategies.D. By attracting more customers.BIt was just a normal day for Ruth Miller, a 63-year-old woman until everything went horribly wrong. She was walking to her car after shopping when the unthinkable happened.Right as she was unlocking her car, a man quickly came up behind her and tried to wrestle her purse away. Shewas in shock. Luckily she remembered she had her Safe Personal Alarm (SPA) on her purse, and since she was too scared to scream for help, she quickly reached for the alarm and pulled the pin (保险栓). Immediately her SPA started just screaming. The man didn't know what to do! He froze for a second, and then ran away like a bat out of hell!SPA is a safety device capable of creating a 125db sound that attracts attention and scares away potential attackers. To compare, it's the same volume as a military jet during takeoff.Paul Davidson, the inventor of SPA, knows all too well the type of situation that Ruth found herself in. But that's not the only type of situation that SPA helps protect against. Parents can give it to their kids as an extra means of protection. Teenagers can use it so they can feel safe walking home. Women can know it's there when they have to use the parking lot at night. “My mother, who is 76 years old, carries it around in case she falls and needs to ask people for help. I only wish I'd have thought of it earlier,” said Paul.The police have been recommending SPA since it first hit the market. In fact, since its launch, SPA has been in a state, shifting between in stock to sold out nearly every other week, and it's also got tons of loyal followers worldwide.4. What does the underlined part “the unthinkable” in Paragraph 1 refer to?A. An attempted robbery.B. A wrestling match.C. An angry argument.D. A car accident.5. How did Ruth react to the unexpected situation?A. She fought violently.B. She froze in great fear.C. She cried desperately for help.D. She sounded her safety device.6. Why does Paul mention his mother?A. To imply the elderly need more care.B. To suggest he cares about his mother.C. To show SPA can be widely used.D. To make an advertisement for SPA.7. What can be learned from the text?A. SPA is well received in the market.B. People hesitate to pay for security.C. SPA was sold out in the first two weeks.D. SPA is not important in life.C Like clockwork,nearly every fourth February includes one extra day. February 29th, otherwise known as Leap Day, isn’t exactly a holiday. Instead, it’s there to keep your calendar consistent with the earth’s rotation (旋转) around the sun.According to History, com, Roman emperor Julius Caesar is the “father” of Leap Year. Until he came along, people used a 355-day calendar, which was 10.25 days shorter than the solar year. Roman officials were supposed add an extra month e very now and then to keep the seasons exactly where they should be. But that didn’t work out all that well. When special occasions started shifting into different seasons around 45 BCE, Caesar consulted with astronomers and decreed (下令) that the empire should use a 12-month, 365-day calendar, which he named afterhimself, Caesar’s Julian calendar included a Leap Day every four years.Though Leap Day keeps your calendar in line with the earth’s rotation around the sun, it causes a diff erent kind of problem for leapsters. When should these February 29th babies celebrate their birthdays during the otherthree-quarters of their lives? Some party on February 28th, while others prefer a two-day celebration that spans the last day of February and the first day of March.Leap Day can be a nuisance in the legal system. In 2006, a court in Massachusetts was deciding whether criminal John Melo could be released a day early since his 10-year sentence included a Leap Day. In the case, the judge deci ded that since the man was sentenced to prison for years, not days. Leap Day didn’t make a bit of difference.Though a few timekeepers have pushed for calendars that don’t include Leap Day, almost all astronomers and societies agree that Leap Day is the best method to keep the calendar on track.8. Why was Leap Day created?A. To celebrate special occasions.B. To honor Emperor Julius Caesar.C. To keep pace with the solar year.D. To keep track of all the seasons.9. What is the problem with the birthday celebration of February 29th babies?A. It is sometimes delayed.B. It lasts at least two days.C. It has to be held every other year.D. It may take place on different dates.10. What does the underlined word “nuisance” in Paragraph 4 mean?A. Joke.B. Topic.C. Trouble.D. Mistake.11. what is the attitude of most astronomers towards Leap Day?A. Critical.B. Supportive.C. Doubtful.D. Cautious.DScientists have developed a new type of smart bandage (绷带) that can signal the type of bacterial (细菌的) infection it’s protecting, just like a traffic light, as well as release the right type of drugs on demand. The traffic light system works just like this: Green means no bacteria or a low concentration of bacteria, yellow means drug-sensitive (DS) bacteria responsive to standard antibiotics (抗生素) and causes antibiotic release, and red means drug-resistant (DR) bacteria that need extra help to be wiped out.In testing the bandage on mice, the research team was able to successfully treat both DS and DR infections using the new method. However, the common methods of sensing resistance are limited by time, the requirement for professional personnel, and expensive instruments. Moreover, the abuse of antibiotics causes the accelerated process of bacterial resistance.It’s easy to see how a simple bandage and light could overcome some of these limitations. Treatment doesn’t have to wait for a doctor to make a diagnosis, and the bandage can get the right sort of drugs applied at the earliest opportunity. What’s more, the person wearing the bandage gets real-time feedback on what’s happening with theinfection, if there’s an infection at all. The researchers say it offers numerous benefits over existing treatments that make use of light, including photodynamic therapy or PDT.We’ve been seeing quite a few upgrades to the traditional bandage in recent years, thanks to advances in science — like the nanofiber mesh that attracts bacteria and draws some of it out, speeding up the healing process. Then there’s the novel bandage for treating burns, which stops bacteria from multiplying and lowers the risk of infection.The more work that a bandage can do while it’s protecting a wound, the better. Efforts to improve bandages conti nue and now we've got a bandage that not only releases antibiotics, but also tells the patient exactly what’s going on too.12. What is the smart bandage mainly designed to do?A. Avoid the use of antibiotics.B. Clear out harmful bacteria.C. Detect bacterial infections.D. Increase treatment options.13. What is the advantage of the smart bandage?A. It saves much time and cost.B. It removes the risk of infection.C. It prevents the bacterial resistance.D. It improves doctor-patient relationship.14. What can be inferred from the last two paragraphs?A. Traditional bandages are out of use now.B. More smart bandages will be developed.C.Progress in science calls for more research.D. People are urged to study medical science.15. What does the text focus on?A. A successful test on mice.B. A colour-changing bandage.C. Sensing drug-resistant bacteria.D. Preventing abuse of antibiotics.第二节（共5小题;每小题2. 5分，满分12. 5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

2024-2025学年山东省济南市部分学校高一（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={−1,1,2,3}，N ={−1,1}，则M ∪N =( )A. {−1,1,2,3}B. {−1,1}C. {2,3}D. {1,2,3}2.“∀x ∈(2,+∞)，x 2−2x >0”的否定是( )A. ∃x 0∈(−∞,2]，x 20−2x 0≤0B. ∀x ∈(2,+∞)，x 2−2x ≤0C. ∃x 0∈(2,+∞)，x 20−2x 0≤0D. ∀x ∈(−∞,2]，x 2−2x >03.不等式1−x 4+x ≥0的解集为( )A. {x|−4≤x ≤1}B. {x|x <−4或x ≥1}C. {x|−4<x ≤1}D. {x|x ≤−4或x ≥1}4.已知a ，b 均为正实数，且a +b =1，则下列选项错误的是( )A. a + b 的最大值为 2 B. 3a +4+a b 的最小值为7+2 14C. (a +1)(b +1)的最大值为94D. a 2a +3+b 2b +2的最小值为165.已知函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x +1)3x−1的定义域为( )A. (−4,3) B. (−2,5) C. (13,3) D. (13,5)6.函数f(x)={x 2−(a +4)x +5,x <2(2a−3)x +1,x ≥2满足对∀x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A. (0,32)B. [0,32)C. (0,1)D. [0,1]7.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)−1为奇函数，f(x +2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 328.如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数.已知函数f(x)={5x,0≤x ≤2x 2−4x +m,2<x ≤4是“Ω函数，则m 的取值范围是( )A. [4,10] B. [4,14] C. [10,14] D. [14,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

高考数学模拟试题参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3-- 2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.函数()3log 21y x =-的定义域为 A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b < C.若a b >，则()()22a c b c +>+D.若0ab >，则2a b b a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.9B.16C.25D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ=== A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225x f x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）设函数()223cos 2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分）如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且. （I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点.（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TF PQ的取值范围.17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分 （2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为: （1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o ，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n qa a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=. 在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e . 综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分 21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分 解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+， 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则 436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434m G m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG -=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-）， 43m k OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时， 13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ -+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分 所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+> 设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。

2020 年11 月高一年级期中考试数学试题本试卷共 4 页，满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ={-1,0,1,2,3}，N ={x | -1 ≤x < 3}，则（）A. B. C. D. {-1,0,1,2}2．已知a∈R，则“a﹥1”是“1 ﹤1”的（）aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f (x) =1，g(x) =x0 C．f (x) =x ，g(x) =B．f (x) =x -1 ，g(x) =D．f (x) =| x |，g(x) = (x2 -1x +1x)24. 设a = 30．5 ，b = 0.53 ，c=log3 0.5，则a，b ，c的大小关系为（）A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. a >c >b5、已知函数f(x) = (m2−m− 1)x m2+m−3是幂函数，且x∈(0, +∞)时，f(x)单调递减，则m的值为（）A. 1B. -1C. 2 或-1D. 26. 已知a > 1，函数y = a x−1与y = log a(−x)的图象可能是( )A. B. C. D.3 x3⎩ ⎨2 f (x - 4), x ∈(0, +∞)7. 若函数 f是（ ）(x ) ⎧- x 2 + 2ax , x ≤ 1 ⎨(2a -1)x - 3a + 6, x > 1是在 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围 ⎛ 1 ，⎤⎛ 1 ⎫A ． 2 1⎥B ． ，+ ∞⎪ 2C ． [1,2]D ．[1，+ ∞) ⎝ ⎦⎝ ⎭8. 定义在 R 上的偶函数 f (x )满足：对任意的 x 1, x 2 ∈[0,+∞), (x 1 ≠ x 2 )，有f (x 2 )- f (x 1 ) < 0 ，且 f (2) = 0 ，则不等式 xf (x ) < 0 的解集是()x 2 - x 1A ．(- 2,2) C ．(- ∞，- 2)⋃(0,2) B ．(- 2,0)⋃(2,+∞) D ．(-∞,-2)⋃(2,+∞)二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9．下列不等式成立的是（）A . 若 a ＜b ＜0，则 a 2＞b 2B ．若 ab ＝4，则 a ＋b ≥4C ．若 a ＞b ，则 ac 2＞bc2D ．若 a ＞b ＞0，m ＞0，则 b < b + ma a + m10、下列叙述正确 是（）A. 已知函数 f (x ) = ⎧2 - x + 2 , x ∈[-4, 0] ⎩，则 f (6)=8B . 命题“对任意的 x > 1 ，有 x 2 > 1”的否定为“存在 x ≤ 1，有 x 2 ≤ 1 ”C . 已知正实数a ， b 满足a + b = 4 ，则 1 + a +1 1 b + 3 1的最小值为2D . 已知 x 2 - 5ax + b > 0 的解集为{x x > 4或x < 1}，则 a+b=511 关于函数 f (x ) =xx -1，下列结论正确的是( )A. f (x ) 的图象过原点B. f (x ) 是奇函数C. f (x ) 在区间(1, +∞) 上单调递减D. f (x ) 是定义域上的增函数=- 2 33⎨ 3 412、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名， D (x ) = ⎧1, x 是有理数 0, x 是无理数其解析式为 ⎩ ，关于函数D(x ) 有以下四个命题， 其中真命题是（）A 、∀x ∈ R , D(D(x )) = 1; B 、∃x , y ∈ R , D(x + y ) = D(x ) + D( y ) ;C 、函数D(x ) 是偶函数；D 、函数D(x ) 是奇函数；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．若f (√x + 1) = x − 2√x ，则f (x )的解析式为.14. 已知函数 y = a x -2 + 2(a > 0且a ≠ 1) 恒过定点(m ,n )，则 m +n =.15. 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0 对一切 x ∈R 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 ．16. 定义区间,x 1, x 2-的长度为x 2 − x 1，若函数y ＝|log 2x |的定义域为,a , b -，值域为,0, 3-，则区间,a , b -的长度最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。

2020-2021学年山东省济南市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =，2{|680}B x x x =-+，则()(R A B =⋂)A ．{|0}x xB ．{|24}x xC ．{|02x x <或4}x >D ．{|02x x <或4}x2．（5分）已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则(a = ) A ．1B ．1- CD．3．（5分）“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+的” ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A ．540B ．300C ．180D ．1505．（5分）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为()A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤7．（5分）已知函数,01(),0xx x f x lnx x x⎧⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，10)(e ⋃，1)B ．(1,0)-C ．1(0,)eD ．(0,1)8．（5分）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则(AE = )A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。