最新一次函数与方程和不等式讲义(经典)

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第21讲一次函数与方程不等式的应用直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，失掉方程b 0kx +=，解方程得x b k=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

解一元一次方程0ax b +=⇐⇒事先0y =，求一次函数y ax b =+的x 值 〔数的角度〕0ax b +=⇐⇒一次函数y ax b =+图象与x 轴的交点坐标 〔形的角度〕任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的方式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量相应的取值范围。

解一元一次不等式0kx b +>⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴上方的局部图象所对应的x 值解一元一次不等式0kx b +<⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴下方的局部图象所对应的x 值〔1〕、以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相反。

〔2〕、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点。

〔3〕、一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）自身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有有数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有有数个。

第二局部 考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、假定方程x-3=0的解也是直线y=〔4k+1〕x －15与x 轴的交点的横坐标，那么k 的值为〔 〕A 、－1B 、0C 、1D 、±1例2、方程kx+b=0的解是x=3，那么函数y=kx+b 的图象能够是〔 〕A 、B 、C 、D 、例3、一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，那么a b +=______． 例4、画出函数y=2x+1的图象，应用图象求：〔1〕方程2x+1=0的根；〔2〕不等式2x+1≥0的解；〔3〕求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。

19.2.3 一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式基础题知识点1 一次函数与一元一次方程1．(1)一元一次方程－2x＋4＝0的解是；(2)函数y＝－2x＋4，当x＝时，函数值y＝0；(3)直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标是；(4)由上述问题可知，一元一次方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b当y＝0时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数y＝ax＋b的图象与轴交点的．2．已知关于x的方程mx＋n＝0的解为x＝－3，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标是．3．如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是．4．如图所示，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－b＝1的解是．5．若一次函数y＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)中x 与y的部分对应值如下表，则方程ax＋b＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3y 6 4 2 0 －2 －4C．x＝2 D．x＝36．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx ＋b的图象可能是( )A B C D7．已知关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( )A．(3，0) B．(7，0)C．(3，7) D．(7，3)知识点2 一次函数与一元一次不等式(组)8．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，(0，3)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是( ) A．x>2B．x<2C．x≥2D．x≤29．(2019·遵义)如图所示，直线l1：y＝32x＋6与直线l2：y＝－52x－2交于点P(－2，3)，则不等式32x＋6＞－52x－2的解集是( )A．x＞－2B．x≥－2C．x＜－2D．x≤－210．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象分别与x 轴、y轴交于点(2，0)、点(0，3)．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②当x＞2时，y＜0；③当x＜0时，y＜3.其中正确的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③11．(2020·遵义)如图，直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为．12．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，利用函数图象回答：(1)当x 取何值时，kx ＋b ＝0? (2)当x 取何值时，kx ＋b ＝1.5? (3)当x 取何值时，kx ＋b ＜0? (4)当x 取何值时，0.5＜kx ＋b ＜2.5?中档题13．如图是直线y ＝x －5的图象，点P(2，m)在该直线的下方，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－3B ．m ＞－1C ．m ＞0D ．m ＜－314．(2020·湘潭)如图，直线y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点P(1，1)，当kx ＋b ≥x 时，则x 的取值范围为( )A ．x ≤1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ＞115．(2019·娄底)如图，直线y ＝x ＋b 和y ＝kx ＋2与x 轴分别交于点A(－2，0)、点B(3，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ＞0，kx ＋2＞0的解集为( )A ．x ＜－2B ．x ＞3C ．x ＜－2或x ＞3D ．－2＜x ＜316．已知一次函数y ＝－2x ＋4，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答：①方程－2x ＋4＝0的解是 ．②当x 时，y ＞2.③当－4≤y ≤0时，相应x 的取值范围是 ．17．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y ＝k 1x ＋b 1和y ＝kx ＋b 的图象，分别与x 轴交于点A ，B ，两直线交于点C.已知点A(－1，0)，B(2，0)，观察图象并回答下列问题：(1)关于x 的方程k 1x ＋b 1＝0的解是 ，关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集是 ．(2)直接写出关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋b ＞0，k 1x ＋b 1＞0的解集．(3)若点C(1，3)，求关于x 的不等式k 1x ＋b 1＞kx ＋b 的解集和△ABC 的面积．答案1．(1)x＝2；(2)2；(3)(2，0)；(4)x；x 横坐标．2．(－3，0)．3．x＝2．4．x＝4．5．A6．C7．D8．B9．A10．A11．x＜4．12．解：(1)x＝－0.5.(2)x＝1.(3)x＜－0.5.(4)0＜x＜2. 13．D14．A15．D16．(1)(2)①x＝2．②x＜1.③2≤x≤4．17．解：(1)x＝－1，x＞2．(2)－1＜x＜2.(3)∵点C(1，3)，∴由图象可知，不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集是x ＞1.∵AB＝3，∴S△ABC＝12AB·y C＝12×3×3＝92.。

一次函数与方程不等式讲解一次函数与方程不等式是数学中非常重要的概念，它们在日常生活中也有广泛应用。

本文从定义、性质、求解方法等方面进行讲解，希望能够帮助读者更好地掌握这些知识。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，x是自变量，y是因变量。

它的图像通常是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

一次函数的性质包括：1.斜率相同的两条直线平行，斜率相反的两条直线相交于一点。

2.直线的截距可以通过函数的图像或方程求解。

3.直线的图像在x轴和y轴上的截距分别为(-b/k,0)和(0,b)。

二、一次方程的定义与性质一次方程是指形如ax+b=c的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

它的求解方法可以用解方程、平衡法、加减混合法等。

一次方程的性质包括：1.方程的解可以唯一确定未知数的取值。

2.方程的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。

3.方程的解可以分为有理数解和无理数解。

三、一次不等式的定义与性质一次不等式是指形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a、b是已知数，x是未知数。

它的求解方法与一次方程相似，只需要将等式改为不等式，并分析不等式的性质即可。

一次不等式的性质包括：1.不等式的解可以是一个区间，也可以是整个实数集。

2.不等式的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。

3.不等式的解可以分为正数解和负数解。

综上所述，一次函数、方程、不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用十分广泛。

在学习和应用过程中，我们需要了解其定义、性质和求解方法，有助于更好地掌握这些知识，并解决相关问题。

希望本文能够对读者有所启发，促进学习和实践的提高。

11.3.1 -11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=-ba。

2．一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=-3x+5的图象，利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点（0，5），（53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。

评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）如果y的值在-6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点（0，12），（4，0），作出函数图像，如图所示，由图像可以看出：（1）当y>0时，x的取值范围为x<4，∴不等式-3x+12>0的解集为x<4．（2）当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式-3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当-6≤y≤6时，x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y>0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y<0时，x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a（a≠0）时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3<3x-4，解得x>74，∴当x>74时，y1<y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4>2x+10．（2）解方程：5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x-6>0，画出直线y=3x-6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6>0，所以不等式的解集为x>2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系，体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1）哪辆摩托车的速度较快？（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003，∴y=1003x.当y=10时，10=1003x．所以经过0．3h，甲摩托车行驶到A，B两地的中点．评注本题第（1）题是比较速度的大小，这一点可以通过图像提供的数量直接分析出来．第（2）题的关键是要分析出甲摩托车行驶到中点时所行驶的路程为10km．例2已知y=12x-2．（1）x取何值时，y>0？（2）x取何值时，y<0？（3）当x>4时，求y的取值范围．解析作出y=12x-2的图像，如图所示．（1）当x>4时，y>0．（2）当x<4时，y<0．（3）当x>4时，y的取值范围是y>0．评注本题可以通过图像直观地得出结论．综合应用题例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，•甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，再给其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解析设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时所需的费用为y1元，选择乙旅行社时所需的费用为y2元，则y1=200×0．75x，即y1=150x；y2=200×0．8（x-1），即y2=160x-160．由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16．因为参加旅游的人数估计为10～20人，所以，当x=16时，甲、•乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤20时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．评注已知前提条件，设计方案是解决实际问题的一种常见形式．明确每一种收费方式占优势时对应的自变量的取值范围是解决此类问题的关键，•借助不等式就可确定自变量的取值范围．例2兄弟俩赛距，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，•哥哥每秒跑4m．列出函数关系式，作出函数图像，观察图像回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？解析设哥哥跑了ts，则哥哥所跑的路程与时间的关系式为s1=4t；弟弟所跑的路程与时间的关系为s2=3t+9．图像如图所示．当s1=s2时，4t=3t+9，t=9．（1）当0≤t<9时，弟弟跑在哥哥的前面．（2）当t>9时，哥哥跑在弟弟的前面．（3）∵20<36，∴弟弟先跑过20m．∵100>36，∴哥哥先跑过100m．评注本题可以从时间或路程两个角度进行分析．在同一时间内，谁跑的路程远，谁就在前面，谁就先跑过20m，100m．也可比较他们各自所用的时间，谁用的时间短，•谁就先跑过．本题既可以通过计算来进行比较，也可通过图像直观地进行判断．创新题例（探究题）我边防局接到情报，在离海岸5海里处有一可疑船只A•正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（min）之间的关系．（1）A，B哪一个的速度快？（2）至少要用多长时间才能追上可疑船只A？解析由图像可确定L表示快艇B的图像，L表示可疑船只A的图像．（1）快艇10min行驶了5海里，所以其速度为5÷10=0．5（海里/min）．可疑船只10min行驶了7-5=2（海里），所以其速度为2÷10=0．2（海里/min）．所以快艇B的速度快．（2）设L1的关系式为y1=kx，把（10，5）代入，得5=10k，解得k=0．5，∴y1=0．5x．设L2的关系式为y2=kx+5，把（10，7）代入，得7=10k+5，解得k=0．2，∴y2=0．2x+5．当y1≥y2，即0．5x≥0．2x+5时，0．3x≥5，x≥503.所以至少需要503min，快艇才能追上可疑船只．中考题例（2004年苏州卷）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数y=-2x+2的图像．（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．解析（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．∴02,20,k bb=-+⎧⎨=+⎩解得1,2,kb=⎧⎨=⎩∴y=x+2．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当y=kx+b 的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，•即x 的取值范围为x>0．11.3.1 一次函数与一元一次方程同步练习［要点再现］1.由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。

第19讲 一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．四、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，y kx b =+k b y 0kx b +=x kx b +y kx b =+k b x 24y x =-+31322y x =-2431322y x y x =-+ìïí=-ïî35y x =-31y x =+ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.五、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.六、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．A ．13x y =ìí=îB 2．如图，直线153l x y -=：A ．12x y =ìí=îB ．3．直线2y ax =+与直线A ．3a =y axb =+y ax b =+x y ax b cx d +>+ac 0ac ¹Ûy ax b =+y cxd =+x Ûy ax b =+y cx d =+A ．12x =题型2：一次函数与一元一次方程6．若关于x 的方程2x A ．()1,0-． ．． ．．已知方程0ax b +=的解为，则一次函数y ax b =+的图象与A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =10．如图，直线5y x =+和直线y ax b =+相交于点(2025)P ，，则方程5x ax b +=+的解是（ ）A ．25x =B ．20x =C ．15x =D ．5x =题型3：一次函数与一元一次不等式(组)11．如图，直线()0y ax b a =+¹过点()0,3A ，()4,0B ，则不等式0ax b +>的解集是（ ）A ．4x >B ．4x <C ．3x >D ．3x <12．如图，已知一次函数y kx b =+的图像经过点()2,1，则不等式10kx b +->的解集为（ ）A ．2x <B ．2x >C ．1x >D ．1x <13．直线y kx b =+经过点()1,2--A 和点()2,0B -，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．<2x -B ．2<<1x --C ．20x -<<D ．10x -<<14．如图，已知直线1y x m =+与21y kx =-相交于点()1,1P -，关于x 的不等式1x m kx +>-的解集是（）A ．1x >-B ．1x ³-C ．1x £-D ．1x <-15．如图，在平面直角坐标系中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点P ，则下列结论错误的是（ ）A ．方程4x a bx -+=-的解是1x =B ．不等式3x a -+<-和不等式43bx ->-的解集相同C ．不等式组40bx x a -<-+<的解集是2<<1x -D ．方程组4y x a y bx +=ìí-=î，的解是13x y =ìí=-î16．一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列说法：①对于函数1y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小；②函数y ax d =+的图象不经过第一象限；③不等式ax b cx d +>+的解集是3x >；④()23a b a c -=-．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②④D ．②③一、单选题1．如图，若一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1A -，()1,1B ，则不等式1kx b +>的解集为（ ）A ．1x >B ．1x <C ．0x >D ．0x <【答案】A【分析】利用图象得出答案即可．【解析】解：如图：不等式1kx b +>的解集为：1x >．故选：A ．【点睛】此题主要考查用函数的观点看方程（组）或不等式，利用数形结合思想解题是关键．2．如图，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点P ，则关于x ，y 的方程组0y mx ny kx =+ìí-=î的解是（ ）A ．23x y =ìí=îB ．23x y =-ìí=-îC ．32x y =-ìí=-îD ．32x y =-ìí=î【答案】C【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标进行求解即可．【解析】解：由函数图象可知，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点()32P --，，∴关于x ，y 的方程组0y mx n y kx =+ìí-=î的解是32x y =-ìí=-î．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过点()1,2--A 和点()2,0B -，一次函数2y x =的图像过点A ，则不等式2x kx b £+的解集为（ ）A ．1x £-B ．2x £-C ．1x ³D ．21x -£<-【答案】A【分析】根据图像知正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点，即可得出不等式2x kx b £+的解集．【解析】解：∵由图像可知：正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点是()1,2--A ，∴不等式2x kx b £+的解集是1x £-，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4．已知方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，则直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为（ ）A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(3,-5)-D ．(3,5)-【答案】D【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．【解析】解：Q 方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，\直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为(3,5)-，故选：D ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与两个一次函数的交点坐标之间的联系，掌握“二元一次方程组的解是这两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解题的关键．5．在直角坐标平面内，一次函数y ax b =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．当0x <时，20y -<<B ．方程 0ax b +=的解是2x =-C ．当2y >-时，0x >D ．不等式 0ax b +<的解集是0x <【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【解析】解：由函数y ax b =+的图象可知，当0x <时，2y <-，A 选项错误，不符合题意；方程 0ax b +=的解是1x =，B 选项错误，不符合题意；当2y >-时，0x >，故C 正确，符合题意；不等式 0ax b +<的解集是1x <，故D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图所示，已知一次函数y 1=kx +b 的图象经过A （1，2）、B （-1，0）两点，y 2=mx +n 的图象经过A 、C （3，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是（ ）A ．01x <<B ．13x -<<C ．11x -<<D ．13x <<【答案】C【分析】由函数图象可知，当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，故可得出结论．【解析】解：∵当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，∴不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是-1＜x ＜1．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式组，能利用数形结合求出不等式组的取值范围是解答此A ．关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =B ．关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x >C ．当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大D ．关于,x y 的方程组 0y mx y kx b-=ìí-=î的解是 12x y =ìí=î【答案】B 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【解析】解：Q 一次函数,y kx b k b =+（是常数，0k ¹）与正比例函数y mx m =（是常数，0m ¹）的图象相交于点()1,2M ，\关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =，选项A 判断正确，不符合题意；关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x ³，选项B 判断错误，符合题意；当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大，选项C 判断正确，不符合题意；关于,x y 的方程组0y mx y kx b-=ìí-=î的解是12x y =ìí=î，选项D 判断正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．9．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：①0a >；②0n <；③方程0mx n +=的解是1x =；④不等式3ax b +>的解集是0x >；⑤不等式mx n ax b +£+的解集是2x £-．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y 轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的关系进行一一判断即可．二、填空题x>【答案】1【分析】观察图象，根据两函数图象的交点即可得出结论．=【解析】解：Q直线1y kx<\当1x>时，不等式y y∴当12y y >时，求x 的取值范围为x ＜-2或x ＞1，故答案为：x ＜-2或x ＞1．【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．16．已知一次函数124y kx k =+-的图象不过第二象限．（1）k 的取值范围为 ．（2）对于一次函数()10y ax a a =-+¹，若对任意实数x【答案】84m --≤≤【分析】解方程组求出交点C 的坐标，过点C 时，分别求出m 的值即可得到答案．【解析】解：∵直线24y x =-+与直线三、解答题19．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3A -和点()2,3B -．(1)求出这个一次函数的解析式；(2)直接写出不等式0kx b +³的解集．【答案】(1)一次函数的解析式为：y =(2)12x £【分析】（1）根据直线y kx b =+的图象经过点解出k ，b ，即可；（2）由（1）得，函数的解析式：y =-(1)求直线AB 的表达式；(2)求点C 的坐标．【答案】(1)5y x =-+(2)()3,2C 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解．【解析】（1）解：Q 直线y kx b =+经过点(5,0)(1,4)，，A B 得504k b k b +=ìí+=î，解得：15k b =-ìí=î，直线AB 的表达式为5y x =-+；（2）解：联立245y x y x =-ìí=-+î，解得：32x y =ìí=î，故点C 的坐标为()3,2C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组．21．如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于x 的不等式1mx n +<的解集；(2)当12y y £时，求x 的取值范围；(3)当210y y <<时，求x 的取值范围．【答案】(1)0x <(2)当12y y £时， 2x £(3)当210y y <<时， 24x <<【分析】（1）利用直线y mx n =+与x 轴的交点为()0,1，然后利用函数图象可得到不等式1mx n +<的解集．（2）结合两条直线的交点坐标为()2,1.8来求得12y y £解集．（3）结合函数图象直接写出答案．【解析】（1）解：∵直线1y mx n =+与y 轴的交点是()01，，∴当0x <时，11y <，即不等式1mx n +<的解集是0x <；（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的下面时，有2x £．∴当12y y £时， 2x £；（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的上面时21y y <，则2x >，又20y =Q 时，4x =，(1)直按写出关于x 的不等式组1122k x b k x b +>ìí+>î(2)若点C 坐标为()2,3，①关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是②求ABC V 的面积为______．【答案】(1)23x -<<(1)求一次函数表达式；(2)求D 点的坐标；(3)求COP V 的面积；(4)不解关于x y 、的方程组y y kx =-ìí=î(1)求点B的坐标及b的值；V的面积；(2)求AOB∴2AD =，3OB =，∴11233S AD OB =·=´´=∵3AOB S =△，1131S S ==´=(2)以自变量x 的值为横坐标，相应的函数值线；(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：①该函数的最小值为__________；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而③若关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，则【答案】(1)1k =，6m =（3）根据图象可得，①该函数的最小值为1；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；③∵关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，∴由图象可得，b 的取值范围为1b >．故答案为：1；增大；1b >．【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一(1)求点A的坐标；V(2)若点C在第二象限，ACD①求点C的坐标；x+>②直接写出不等式组4V沿x轴平移，点③将CAD把0x =代入4y x =+得：y ∴点B 的坐标为()0,4，设直线BD 的解析式为y k =4b ¢=ìí，(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt V 90BPM Ð=°，直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段求出线段OQ 的长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．【答案】(1)直线AB 的表达式为6y x =-+(2)04x <<∵90BPM Ð=°，∴90BPO MPN ÐÐ+=°．∵90BPO PBO ÐÐ+=°，∴MPN PBO ÐÐ=．∵90BOP PNM ÐÐ==°，PB =∴6OQ OA ==．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．。