江西省信丰中学高中数学必修五课件：线性规划2

线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。

连线的斜率的最大值．由图可以看出直
线OP的斜率最大，故P为
与
的交点，即A点．∴ ．故答案
为．
注：解决本题的关键是理解目标函数
的几何意义，当然
本题也可设 ，则y=tx ，即为求y=tx的斜率的最大值．
由图可知， y=tx过点A时，t最大．代入y=tx ，求出t ，即得到
的最大值是 ．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
3.3.2 简单的线性规划问题 (第2课时)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
检测下预习效果：
点击“随堂训练” 选择“《简单的线性规划问题（第2课时）》预习自测”
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究一：直线的斜率型 例1.已知实数x、y满足不等式组
,求函数
的值域.
解：所给的不等式组表示圆
的右半圆(含边界)，
可理解为过定点P(-1,-3) ，斜率为
y
z的直线族．则问题的几何意义为：求过
半圆域
上任一点与点P(-1,-3)
的直线斜率的最大、最小值．由图知，过
-2 O
2
x
点P和点A(0,2)的直线斜率最大，
-2
（-1，-3）
过点 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为B(a,b) ，则过B点的
例3.已知实数x、y满足
的最小值.
解： 目标函数 其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小 距离的平方减5.由实数x、y所满足的不等 式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的
距离，由点到直线的距离公式可求得
，

仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子��

由
x
y
y 1 0 2x 1 0
求得
x
y
0 1
故
C（0，1）
故 z 的最小值为 zmin=3×0-2×1=-2 故 z 范围[-2,3]
线性规划问题的解决步骤：
1、根据约束条件(不等式组）作可行域 2、对目标函数变形为y=kx+b的形式，
找截距与z的关系 3、令z=0, 先作出过原点的直线，定下直线形状 4、对直线进行平移，找出最优的点 5、联立边界直线方程，求出点坐标 6、将点坐标代入，求出最值
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y x
3 2y
8
x
N
x
N
y N
y N ห้องสมุดไป่ตู้
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
简单的线性规划问题
复习回顾
线性规划问题的有关概念： ·线性约束条件：
关于x、y的_一__次__不__等__式_组_
·可行域：
根据约束条件（不等式组）画出的平面区域 ·目标函数：

3、B，D相应
BD
的z值怎么找？
4、区域内B，D 哪个点x+y值较 大？为什么？
解题反思
Z 突破
数
2x+y 抽象 难分辨
形（几何意义）
直线的纵截距 具体 直观
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
数形结合
数
不等式组
函数z=2x+y
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
求
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
探究三：
p(x, y)满足条件不等式 x 0 y 0 2x y 5 0 x y 3 0 若z 2 y 3x,求z的最大值 及其最优解？
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
解： z y x, y x z
与y轴交与点(, z ),
因此要求z的最大值只需求截距的最大值， 作直线y x的一系列平行线，
知A处截距最大。
化
找 移
x y x
y
A(,)
所以最优解A(,)
z y x ()
(一般---特殊)
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
探究二：
变1：求z=x-2y,z的最大值和最优解？
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件
人教A版数学必修五《简单的线性规划 问题二 》实用 PPT课 件

a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然

以u最大值＝73，u最小值＝0.
(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率， 由图可知，kBD 最大，kCD 最小，
又 C(3,8)，B(3，－3)， 所以 v 最大值＝3－－35＝32， v 最小值＝3－8 5＝－4.
[类题通法] 非线性目标函数最值问题的求解方法
②
y x
表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
y－b x－a
表示点(x，y)与
点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
[对点训练] 2．已知变量x，y满足约束条件
xx－ ≥y1＋，2≤0，
x＋y－7≤0.
则
y x
的最
大值是________，最小值是________．
[对点训练] x－4y≤－3，
1．设 z＝2x＋y，变量 x、y 满足条件3x＋5y≤25， x≥1，
求 z 的最大值和最小值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把 z ＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在 y 轴上的截距为 z， 且随 z 变化的一组
平行直线．由图可以看出，当 直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小． 解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝250＝，0， 得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx＝ －14，y＋3＝0， 得 B 点坐标为(1,1)， ∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z＝
y x
表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

意义．
(1)截距型：形如z＝Ax＋By(B≠0)，即y＝－AB
x＋Bz
，
z 为该 B
直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B
倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
12/13/2021
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，z表示平面区域内的 动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方．
12/13/2021
(1)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件
x＋y－3≤0 x－2y－3≤0 x≥m，
A．－1
则实数m的最大值为( B )
B．1
3 C.2
D．2
12/13/2021
x≥1 (2)已知a>0，x，y满足约束条件 x＋y≤3 y≥ax－3，
y的最小值为1，则a＝( B )
12/13/2021
规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个 是两点间的距离模型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线 的距离模型，但其本质还是二元函数的最值问题．熟悉这些模 型有助于更好地解决问题．
12/13/2021
x＋y－3≥0 已知实数x，y满足 x－y＋1≥0
9
x≤2，
__2_.
12/13/2021
【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，直线ax＋2y＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，即－4<a<2.
12/13/2021
规律方法 对于线性规划的逆向思维问题，解答时必须明确 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数 形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函 数斜率的关系．
则z＝x2＋y2的最小值为