2007年高考数学“集合与函数”试题总结

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．B ．4i -C ．D ．2i -2．不等式201x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，，B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅"是“M N ≠∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b5．设随机变量服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=( ) A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9756．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 7．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D．112x =→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球截得的线段长为（ ）A．2B ．C．12+D ．9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段1PF 的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．02⎛⎝⎦，B ．03⎛⎝⎦，C．12⎫⎪⎪⎣⎭D．13⎫⎪⎪⎣⎭10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，,{}j j j S a b =，（i j ≠,{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，(min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =，c =π3C =，则B =．13．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥,{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅,(1)的取值范围是； （2）若()x y AB ∈，，且2x y +的最大值为9，则的值是．15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行，…,第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…………………………………………… 图1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60％，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率；（II)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 18．(本小题满分12分）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点,是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △,2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥,且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2图3（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ;（II ）当12AB =,25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(090θ<<)，且2sin 5θ=，点到平面的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km ，原有公路改建费用为2a 万元/km ．当山坡上公路长度为km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，OA =．（I ）在AB 上求一点，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II) 对于(I ）中得到的点，在DA 上求一点，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．(III ）在AB 上是否存在两个不同的点，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II)中得到的最小总造价，证明你的结论．20．(本小题满分12分）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点满足1111FM F A F B FO =++（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在,请说明理由． 21．（本小题满分13分) 已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点,1a a =，是数列{}n a 的前项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明:数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定的取值集合,使a M ∈时,数列{}n a 是单调递增数列; （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*)的斜率随单调递增．参考答案1．【答案】C【解析】2222i 4i 42i.1+i (1+i)2i -⎛⎫=== ⎪⎝⎭2．【答案】D 【解析】由201x x -+≤得(2)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩≤，所以解集为(12]-，。

2007高考数学精华知识点小结一 、集合、简易逻辑1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性，特别是互异性，防止有增根，多解。

2． 研究集合,首先必须弄清集合的代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N 。

你能区别吗？3．应注意到“极端”情况：集合∅=⋂B A 时，你是否忘记∅=A 或∅=B ；求集合B 的子集A 时，你是否忘记A=∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论a ＝2的情况了吗？即不要忘了全集和空集的特殊情况4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个? 5．在集合的交、并、补运算时，针对不同类型的集合你应如何选择几何直观来迅速求解？（数轴，文氏图）6．解集合问题的重要工具之一是文氏图： 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌，5人会跳舞,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？7．两个集合},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==之间的关系是什么？可考虑赋值列举法； 8德摩根定律();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == ；U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=9．注意命题的否定形式和否命题的区别，命题的否定和反证法的联系。

2007年高考数学知识点分类指导一、集合与简易逻辑1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）2. “极端”情况否忘记∅=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且AB B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a=）3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）5.集合的代表元素：（1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）6.补集思想：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）7.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则ba +是偶数”的否命题是假命题 。

2007年高考数学试题分类详解概率与统计一、选择题 1、（山东文理8）某班50于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，【答案】 A 【分析】：从频率分布直方图上可以看出1(0.060.04)0.9x =-+=，50(0.360.34)35y =⨯+=.2、（山东文12）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【答案】D 【试题分析】事件n C 的总事件数为6。

只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。

当n=2时，落在直线2x y +=上的点为（1，1）； 当n=3时，落在直线3x y +=上的点为（1,2）、（2,1）； 当n=4时，落在直线4x y +=上的点为（1,3）、（2,2）； 当n=5时，落在直线5x y +=上的点为（2,3）；秒显然当n=3,4时，事件n C 的概率最大为13。

3、（广东理8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是【解析】随机取出2个小球得到的结果数有154102⨯⨯=种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2},{1,5},{2,4}共3种,故所求答案为(A).4、（山东理12） 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。

2007年高考数学试题分类汇编函数与导数（重庆理）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

（1）试确定a,b 的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得()34341ln 4'bx xax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（II ）由（I ）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数． 因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得32c ≥或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，． （浙江理）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±． 因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0，当(22)x ∈-，时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>， 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>， 则223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>．当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立．下面证明0x 的唯一性：当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-， 再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-，因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥，即200(2)(4)0x x -+≤， ①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．（天津理）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--，即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =．（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a ==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变所以()f x 在区间()a -，∞，a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． （四川理）设函数1()1(,1,)nf x n N n x N n ⎛⎫=+∈>∈ ⎪⎝⎭且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。

2007年高考数学试题汇编集合与简易逻辑（07全国Ⅰ）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-C.（07江西）若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为A ．9B ．6C ．4D ．2C.（07江西）设p ：f(x)＝e x＋In x ＋2x 2＋mx ＋l 在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件B.（07湖北）设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}B.（07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤B（07安徽）若{}8222<≤∈=-x Z x A {}1log R <∈=x x B x ， 则)(C R B A ⋂的元素个数为 A.0B.1C.2D.3C.（07北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 .()3,2（07宁夏）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x pC.(07重庆)命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥xD.(07山东)命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是（ ） A.不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R xC.存在01,23>+-∈x x R xD. 对任意的01,23>+-∈x x R xC.(07山东)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点 ②()()()x f y q x f x f p ==-:1:；是偶函数 ③βαβαtan tan :cos cos :==q p ； ④A C B C q A B A p U U ⊆=::；A.①②B.②③C.③④D. ①④D.。

2007年高考数学试题汇编—三角函数2007年高考数学试题汇编三角函数函数f(x)?3sin?2x???π??的图象为C，如下结论中正确的是__________3?．．．①图象C 关于直线x?②图象C关于点?11π对称；12?2π?，0?对称；?3??π5π?，?内是增函数；?1212?π个单位长度可以得到图象C．3①②③③函数f(x)在区间??④y?3sin2x的图角向右平移函数f(x)?3sin?2x?①图象C关于直线x?②函数f(x)在区间???????的图象为C，??11?对称；12??5??，?内是增函数；???????个单位长度可以得到图象C．?C．2 D．3 C ③y?3sin2x的图象向右平移以上三个论断中，正确论断的个数是A．0 B．1 已知cos??tan??0，那么角?是Ａ．第一或第二象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｄ．第一或第四象限角 C 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为?，那么cos2?的值等于．7 25 函数f(x)?sin2x?cos2x的最小正周期是Ａ．π 2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π B 已知函数f(x)?sin??x?象A．关于点?，0?对称C．关于点?，0?对称?????(??0)的最小正周期为?，则该函数的图???对称??对称?A ??????B．关于直线x???????D．关于直线x?函数y?sin?2x???π??的图象3?Ａ．关于点?，0?对称Ｃ．关于点?，0?对称?π?3?π?4????Ｂ．关于直线x?π对称4π对称3AＤ．关于直线x? 若函数f(x)?sinx?A．最小正周期为21(x?R)，则f(x)是 2 B．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数D π的奇函数2C．最小正周期为2π的偶函数已知简谐运动f(x)?2sin?π??π??1)，则该x???????的图象经过点(0，32????简谐运动的最小正周期T和初相?分别为Ａ．T?6，??π 6π 6 Ｂ．T?6，??π 3π 3 Ｃ．T?6π，?? Ｄ．T?6π，??A 函数y?sin?2x???π??π?在区间的简图是?，π???3??2? A 若cos2?2，则cos??sin?的值为??π?2?sin????4??7 2 Ｂ．?Ａ．?1 2 Ｃ． 1 2 Ｄ．7 2C ?xπ??π??2?平移，将y?2cos???的图象按向量a???，则平移后所得图象的364????解析式为?xπ?Ａ．y?2cos????2 ?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2 ?312??xπ?Ｂ．y?2cos????2 ?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2 ?312?Atan690°的值为Ａ．?3 3 Ｂ．3 3Ｃ．3 Ｄ．?3 A 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，C?π，则B?．312．5π 6下列函数中，周期为Ａ．y?sin π的是2Ｂ．y?sin2x Ｃ．y?cosx 2 x 4Ｄ．y?cos4x D 函数f(x)?sinx?3cosx(x???π，0?)的单调递增区间是Ａ．??π，? ??5π? ?6?Ｂ．???5ππ?，?? 6??6Ｃ．??，0? ?π??3?Ｄ．??，0?D ?π??6?若cos(???)?13tan??_____．，cos(???)?，则tan??5511． 1 2在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(?4，0)和C(4，0)，顶点sinA?sinCx2y2B在椭圆??_____．?1上，则259sinB 若tan??π?4??????3，则cot?等于Ａ．?2 Ｂ．?12Ｃ．12 若0?x?π2，则下列命题中正确的是Ａ．sinx?33πx Ｂ．sinx?πx Ｃ．sinx?4π2x2 Ｄ．sinx?4π2x2 函数y?5tan(2x?1)的最小正周期为Ａ．π4 Ｂ．π2 Ｃ．π 若tan??3，tan??43，则tan(???)等于15．54 A D B Ａ．?3 Ｂ．?113 Ｃ． 3 Ｄ． 3 ?是第四象限角，tan???512，则sin?? A．15 B．?15 C．513 D．?513 全国卷1理函数f(x)?cos2x?2cos2x2的一个单调增区间是A．???，2??? ????C．??0???33?B．??6，2?? ?，3??D．????6，?6???? 函数y?2cos2x的一个单调增区间是Ａ．???π，π?? ?π??44? Ｂ．??0，2?? Ｃ．??π?4，3π4??? Ｄ．??π?2，π??? sin210?? A．32 B．?32 C．12 D．?12 函数y?sinx的一个单调增区间是 DD A D D A．??，? ????????B．?，? ? ?3??????C．??，? ???????D．??3??，2?? ???C cos330?? A． 1 2 B．?1 2 C．3 2 D．?3 2C 函数y?sin?2x? A．?，1 B．?，2 C．2?，1 D．2?，2 A 要得到函数y?sinx 的图象，只需将函数y?cos?x?A．向右平移????????cosx2????的最小正周期和最大值分别为6?3?????? ?的图象???个单位??个单位? B．向右平移?个单位??个单位?A C．向左平移D．向左平移已知sin??A．?544，则sin??cos?的值为5B．?1 53 5C． 1 5D． 3 5A 函数π??π??y?s?ix?n?s?ix?n?3??2??的最小正周期T?．6．π 下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=k?,k?Z|.2函数③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把y?3s??2x?)的图象向右平移i得到y?3sn2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2i(⑤函数y?sin(x?其中真命题的序号是①④“??2π?π?”是“tan??2cos????”的3?2? Ｂ．必要而不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件 A Ａ．充分而不必要条件Ｃ．充分必要条件设函数f(x)?sin?x??????(x?R)，则f(x) 3? B．在区间???，?A．在区间?减函数?2?7??，?上是增函数?36?????上是?2?C．在区间?，?上是增函数84函数?????? D．在区间?，?上是减36??5????A 若函数f(x)?2sin(?x??)，x?R A．???）的最小正21?，?? 26? 6 B．??1?，?? 23? 3D C．??2，??D．??2，?? 已知sin??cos??1?3?，且≤?≤，则cos2?的值是．524? 7 25 若sin??cos??1，则sin2?的值是．512．? 24 25 下列各式中，值为??3的是 2 B．cos15?sin15 D．sin15?cos15 B 2?2?2?2?A．2sin15cos15 C．2sin15?1 2?已知0???????，?为f(x)?cos?2x??的最小正周期，??????1??2)，且a?b?m．求a??tan?????，?1?，b?(cos?，4????2c2o??sco?s?s??in?2(的值．?sin)本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π．8???1????2．4?·b?m，又a因a·b?cos?·tan???故cos?·tan???于0?????1????m?2．4?π，所以42cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)? cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin??2cos? 1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)1?tan?4?? 设函数f(x)??cosx?4tsin2xxcos?4t3?t2?3t?4，x?R，22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．求g(t)的表达式；讨论g(t)在区间(?11)，内的单调性并求极值．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．解：我们有xxf(x)??cos2x?4tsincos?4t3?t2?3t?422 ?sinx?1?2tsin?4t?t?3t?4 ?sinx ?2tsinx?t?4t?3t?3 ?(sinx?t)?4t?3t?3．23223222于(sinx?t)2≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)?4t3?3t?3．我们有g?(t)?12t?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1．列表如下：2t g?(t) ????1，??? 2???1 2?1????，? ?22?1 20 极小值?1?1? ?，?2??0 极大值? ? g(t) ? ?1?g??? ?2???? ?1?g?? ?2?? 此可见，g(t)在区间??1，?调减小，极小值为g? 1??1??11?和单调增加，在区间，1?????，?单2??2??22??1????，极大值为?2g?????4．?2??2? 在△ABC 中，tanA?求角C的大小；13，tanB?．45若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：?C?π?(A?B)，13?45??1．?tanC??tan(A?B)??131??45又?0?C?π，?C??C?3π．43?，4?AB边最大，即AB?17．又?tanA?tanB，A，B??0，?，???????角A最小，BC边为最小边．sinA1?tanA??，??π??cosA4且A??0，?，?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2．．得：BC?AB?sinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．4)，B(0，0)，C(c，0)．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，若c?5，求sin∠A的值；若∠A是钝角，求c的取值范围．解析：AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5，则AC?(2,?4)，∴????????25?6?161，∴sin ∠A＝；cos?A?cos?AC,AB???55?255??????????? ?2）若∠A为钝角，则?(25,??)；3??3c?9?16?025解得c?，∴c的取值范围是c?03? 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C 测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．解：在△BCD 中，?CBD?π????．正弦定理得所以BC?BCCD?．sin?BDCsin?CBDCD sin?BDCs·sin??．sin?CBDsin(???)s ·tan?sin?．sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB? ???????????? ????已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹角为?．求?的取值范围；求函数f(?)?2sin2?最大值与最小值．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．?π?????3cos2?的?4?，B，C的对边分别为a，b，c，解：设△ABC中角A则1bcsi?n?230≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，，?ππ?∴???，?．?42???π??π??f(?)?2 sin2?????3cos2???1?cos??2????3cos2??4??2???π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3 cos2??1?2sin?2????1．3??π?π2π?π? ??ππ?∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．3?63?3???42?即当?? 已知函数f(x)?2sin?25ππ时，f(?)max?3；当??时，f(?)min?2．124?π??ππ??x??3cos2x，x??，?．?4??42?求f(x)的最大值和最小值；若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值42范围．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角?ππ???函数的图象和性质解题的能力．解：∵f(x)????1?cos??π?2?2x???????3cos2x?1?s in2x?3cos2x ?1?2sin??π??2x?3??．又∵x?π??π?ππ2π??4，2??，∴6≤2x?3≤3，即2≤12n?is2??x?3π?3??≤∴f(x)max?3，f(x)min?2．∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x???ππ??4，2??，∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．已知函数f(x)?cos2??x?π?12??，g(x)?1?1?2sin2x．设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．解：题设知f(x)?12[1?cos(2x?π6)]．因为x?x?π0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x06?kπ，即2x0?kπ? π6．所以g(x10)?1?2sin2x1π0?1?2sin(kπ?6)．，当k为偶数时，g(x0)?1?当k为奇数时，g(x0)?1?h(x)?f(x)?g(x)?1?π?13sin????1??，2?6?441π15sin?1??．26441?π??1?1?cos 2x??1?sin2x ???2?62?????31??π??31?31? ?cos?2x???sin2x????cos2x?sin2x?? ? ?2??6?2222???21?π?3?sin?2x???．2?3?2当2kπ?时，函数h(x)?πππ5ππ≤2x?≤2kπ?，即kπ?≤x≤kπ?23212121?π?3sin?2x???是增函数，2?3?2??5ππ?．，kπ??1212?故函数h(x)的单调递增区间是?kπ? 已知函数f(x)?1?2sin?x?2??π?π?π????2sinx?cosx??? ???．求：8?8?8???函数f(x)的最小正周期；函数f(x)的单调增区间．解：f(x)?cos(2x?)?sin(2x?)π4π4?2sin(2x?πππ?)?2sin(2x?)?2cos2x．4422π?π；2函数f(x)的最小正周期是T?当2kπ?π≤2x≤2kπ，即kπ?π≤x≤kπ时，函数2f(x)?2cos2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是π[kπ?，kπ]． 2 0?≤)的图象与y如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，≤轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为?2．求?和?的值；已知点A?，0?，点P是该函数图象上一点，点π2y 3 O A P ?π?2??x Q(x0，y0)是PA的中点，当y0?3?π?，x0??，π?时，求2?2?x0的值．解：将x?0，y?3代入函数y?2cos(?x??)得cos??因为0≤?≤3，2??，所以??．26又因为y???2?sin(?x??)，y?因此y?2cos?2x???x?0??2，?，所以??2，6?????．6???3，2因为点A?，0?，Q(x0，y0)是PA的中点，y0?所以点P的坐标为?2x0????2????，3?．2?又因为点P在y?2cos?2x?因为????5??3?的图象上，所以．cos4x????0?6?62???7?5?19?≤x0≤?，所以≤4x0?≤，26665?11?5?13???或4x0?．6666从而得4x0?即x0? 2?3?或x0?．34 ，C的对边分别为a，b，c，设锐角三角形ABC的内角A，Ba?2bsinA．求B的大小；求cosA?sinC的取值范围．解：a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?1，2π．6△ABC为锐角三角形得B?cosA?sinC?cosA?sin????????A? ?????? cosA?sin??A? ?6?13?cosA?cosA?sin A 22????3sin?A??．3??△ABC 为锐角三角形知，???????A??B，?B???．2222 632????A??，336所以1???3．sin?A???2?3?23??3??3sin?A???? 3，23?2?此有?33?cosA?sinC所以，的取值范围为???2，?．2?? 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y．?求函数y?f(x)的解析式和定义域；求y的最大值．解：△ABC的内角和A?B?C??，A??，B?0，C?0得?0?B? 2?．?应用正弦定理，知AC?BC23sinB?sinx?4sinx，?sinAsin? AB?BC?2??sinC?4sin??x?．sinA???因为y?AB?BC?AC，所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??，3?????因为y?4?sinx??????1cosx?sinx??23 ??2??43si?nx??????????5????2?3?x???，????? 所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63．??? 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时北航行多少海里？120?解法一：如图，连结A1B1，已知A2B2?102，乙??A2 1B2 105?A 甲B1 20A1A2?302??102，60北120? A2 ?A1A2?A2B1，又∠A1A2B2?180?120?60，???B2105? B1 乙A1 ?△A1A2B2是等边三角形，甲?A1B2?A1A2?102，已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105??60??45?，在△A1B2B1中，余弦定理，22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B2?A1B2?co s45? ?202?(102)2?2?20?102??200．2 2?B1B2?102．因此，乙船的速度的大小为102．?60?302 20答：乙船每小时航行302海里．A1A2?302?解法二：如图，连结A2B1，已知A1B2?20，20?102，60∠B1A1A2?105?，cos105??cos(45??60?) ?cos45?cos60 ??sin45?sin60? ?2(1?3)，4北120? A2 1sin105??sin(45??60?) ?sin45?cos60 ??cos45?sin60? B2 105? A 甲B1 乙?2(1?3)．4在△A2A1B1中，余弦定理，22A2B12?A2B2?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105? ?(102)2?202?2?102?20?2(1?3) 4?100(4?23)．?A1B1?10(1?3)．正弦定理sin∠A1A2B1?A1B1202(1?3)2，?sin∠B1A1A2???A2B24210(1?3)?∠A1A2B1?45?，即∠B1A2B1?60??45??15?，cos15??sin105??2(1?3)．4在△B1A1B2中，已知AB12?102，余弦定理，22B1B2?A1B12?A2B2?2A2B1?A2B2?co s15? ?102(1?3)2?(102)2?2?10(1?3)? 102??200．2(1?3) 4?B1B2?102，乙船的速度的大小为102?60?302海里/小时．20答：乙船每小时航行302海里．在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37．求cosC；????????5CA?，且a?b?9，求c．若CB?2?解：?tanC?37，22sinC?37 cosC又?sinC?cosC?1 解得cosC??1．8 ?tanC?0，?C是锐角．1?cosC?．8????????5CA?，?CB?2?abcosC??ab?20．5，2又?a?b?9 ?a2?2ab?b2?81．?a2?b2? 41．?c2?a2?b2?2abcosC?36．?c? 6．cos2x)，b?(1?sin2x，·b，其中向量a?(m，1)，x?R，设函数f(x)?a 且y?f(x)的图象经过点?，2?．求实数m 的值；求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．?π?4?? b?m(1?sin2x)?cos2x，解：f(x)?a?已知f?π?π?π???m1?sin?cos?2，得m?1．???2?2?4????π??，4?得f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x?π???当sin?2x????1时，f(x)的最小值为1?2，4??sin?2x????3π?π?，得值的集合为??1xx?kπ?，k?Zx??．?4?8?? ，c 分别是三个内角A，B，C的对边．若在△ABC中，a，ba?2,C?πB25，cos?，求△ABC的面积S．42543解：题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，55 sinA?sin(π?B?C)?sin?正弦定理得c??3π?72，?B??410??10111048，?================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载============== S?ac?sinB??2???．227577 已知cos???113,cos(???)?,且02714(Ⅰ)求tan2?的值. 求?. 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，2），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣b n2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．2﹣b n2那么，b n+1=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣b n2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：t（﹣∞，0）0（0，a）a（a，+∞）g′（t）+0﹣0+g（t）极大值a+b 极小值b﹣f（a）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。

2007年高考“函数”题1.(全国Ⅰ)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12, 则a =( )B.2C.D.4解：设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值分别为log 2,log 1a a a a =,它们的差为12, ∴ 1log 22a =,a =4,选D 。

()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件解：若“()f x ,()g x 均为偶函数”,()()()()()()h x f x g x f x g x h x ⇒-=-+-=+=则“()h x 为偶函数”；而反之 “()h x 为偶函数”, 若设2()2,h x x =22(),(),f x x x g x x x =-=+显然()f x 与()g x 不是偶函数,所以选B 。

函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称, 则()f x = . 解：函数()f x 与函数3log (0)y x x =>互为反函数,()f x =3()x x ∈R 。

2.(全国II)把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移,得到()y f x =的图像, 则()f x =( )A.3e2x -+B.3e2x +-C.2e3x -+D.2e3x +-解：把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,平移后得到y =f (x )的图象,f (x )= 23x e -+,选C 。

3.(北京卷)函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为( )Ａ.(0)+∞，Ｂ.(19]，Ｃ.(01)，Ｄ.[9)+∞，解：函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为(19]，,∴ 选B 。