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![构成空间几何体的基本元素优质课课件[1].ppt9.13](https://img.taocdn.com/s1/m/520936f3f705cc17552709e1.png)
第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体PAMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C MNB ＝V M BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥PABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。
必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
第5课时线面垂直的综合应用学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？★★答案★★平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线P A斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA 就是斜线段P A在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠P AO，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一 与线面角有关的问题例1 已知∠BAC 在平面α内，P ∉α，∠P AB ＝∠P AC .求证：点P 在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．证明 如图所示，作PO ⊥α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为O ，E ，F ，连结OE ，OF ，OA.⎭⎪⎬⎪⎫PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∠P AE ＝∠P AF P A ＝P A⇒Rt △P AE ≌Rt △P AF ⇒AE ＝AF .⎭⎪⎬⎪⎫PO ⊥αAB ⊂α⇒⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥POAB ⊥PE PO ∩PE ＝P⇒AB ⊥平面PEO ⇒AB ⊥OE .同理，AC ⊥OF .在Rt △AOE 和Rt △AOF 中，AE ＝AF ，OA ＝OA ， 所以Rt △AOE ≌Rt △AOF . 于是∠EAO ＝∠F AO ，因此，点P 在α内的射影O 在∠BAC 的平分线上． 反思与感悟 (1)求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1 如图所示，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，C 1H ⊥AB ，证明：点H 是C 1在平面ABC 内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．(1)证明：A1C1∥平面ACD；(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.(3)证明∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)★★答案★★①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．★★答案★★a2－b23．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．★★答案★★垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．★★答案★★ 3解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝ 3.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的任意一点，∴BC ⊥AC . 又在圆柱OO 1中，AA 1⊥底面⊙O ，∴AA 1⊥BC ， 又AA 1∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面A 1AC .(2)取BC 的中点E ，连结DE ，O 1E ，∵D 为AC 的中点，∴在△ABC 中，DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，又在圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且A 1O 1＝12AB ，∴DE ∥A 1O 1，DE ＝A 1O 1，∴四边形A 1DEO 1为平行四边形，∴A 1D ∥EO 1. 而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ， ∴A 1D ∥平面O 1BC .立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如： (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．课时作业一、填空题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是____．★★答案★★ 8解析 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， P A ⊥平面ABC ，∴AB ⊥P A ，P A ⊥DA ，P A ⊥AC . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，可得PD ⊥BC ，∴图中直角三角形有△P AC ，△P AB ，△P AD ，△ABC ，△ABD ，△ADC ，△BPD ，△DPC ，共8个． 2．下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α或b ⊂α. 其中正确的命题是________．(填序号) ★★答案★★ ①②③⑥3．已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为________．★★答案★★332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心． ∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 斜边的中点D ，如图． ∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝332.4．下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)★★答案★★①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．★★答案★★①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．★★答案★★3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线P A垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)★★答案★★①②③解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC.故②正确．8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．★★答案★★ 4解析∵AC⊥BD，SD⊥AC，BD与AC相交，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确；∵AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故②正确；∵SD⊥平面ABCD，∴SA在平面ABCD的射影是AD，故③正确；∵AB∥CD，故④正确．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★B1D1⊥A1C1(★★答案★★不惟一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA1到平面BB1C1C的距离为________．★★答案★★3 2a解析∵AA1∥BB1，∴AA1∥平面BB1C1C，∴AA1到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离．取BC的中点D，连结AD，则AD⊥BC.又AD⊥BB1.∴AD⊥平面BB1C1C.∴AD＝32a，∴AA1到平面BB1C1C的距离为3 2a.11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________．★★答案★★线段CB1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC.则BD1⊥平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝2，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，BD BB1＝12，BB1B1C1＝22，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且P A垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解如图，过点A作AD⊥PC于点D，∵BC⊥平面P AC，AD⊂平面P AC，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离，∵∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即∠PBA＝45°，∴P A＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝ 5.∵AD·PC＝P A·AC，∴AD＝2×15＝255，即点A到平面PBC的距离为25 5.15.如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC ⊥AB ；(2)若AA 1＝26，侧棱CC 1上是否存在点P 使得MC ⊥平面ABP ？若存在，求出PC 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点N ，连结MN ，CN ，则MN ⊥底面ABC ，MN ⊥AB .因为△ABC 是正三角形，所以NC ⊥AB ，由MN ∩NC ＝N ，MN ⊂平面MNC ，NC ⊂平面MNC ，可得AB ⊥平面MNC ，从而AB ⊥MC .(2)解 由(1)知，MC ⊥AB ，若存在点P 使得MC ⊥平面ABP ，则必有MC ⊥BP . 过M 作MQ ⊥B 1C 1，垂足为Q ，连结QC ，则QC 是MC 在平面BCC 1B 1内的射影，只需QC ⊥BP 即可，此时Rt △QC 1C 与Rt △PCB 相似，QC 1C 1C ＝PC CB， 所以PC ＝QC 1·CB C 1C ＝3×426＝6，点P 恰好是CC 1的中点．。
