2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第1课时课件新人教A版必修1

栏目 导引
第一章
集合与函数概念
解：要使函数解析式有意义，
x＋1≥0， (1)由 解得 x≥－1 且 x≠2， x－2≠0，
所以函数定义域为{x|x≥－1 且 x≠2}．
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第一章
集合与函数概念
x＋3≠0， (2) －x≥0， x＋4≥0，
且 x≠－3，
x≠－3， 即 x≤0， x≥－4，
1 x≥0 |x| (4)f(x)＝ ，g(x)＝ . x －1x＜0
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第一章
集合与函数概念
【解 】 (1)f(x)的定义 域为 R，g(x)的 定义域为 {x|x≠2}． 由于定义域不同， f(x)与 g(x)不是相等 故 函数． (2)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 R，即定义 域相同． 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同，则 f(x)与 g(x)不是 相等函数． (3)g(x)＝ x2＝|x|＝f(x)，是相等函数．
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第一章
集合与函数概念
1 【解】 (1)∵f(x)＝ ， 1＋x 1 1 ∴f(2)＝ ＝ ； 1＋2 3 ∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6 1 1 (2)f(g(2))＝f(6)＝ ＝ 1＋6 7
1 (3)f(x)＝ 的定义域为{x|x≠－1}， x＋1 ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2. ∴值域是[2，＋∞)
集合与函数概念
变式训练
1．判断下列对应关系f是否为从集合A到集合 B的一个函数：
(1)A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {7,8,9} ， f(1) ＝ f(2) ＝ 7 ，
f(3)＝8； (2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时， f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1； (3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.

D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也 只有一个元素
举例
例2 对于函数 y =f (x)，以下说法 正确的有 ( B )
① y是x的函数 ;
②对于不同的x, y的值也不同;
③ f (a)表示当 x =a 时函数f (x)的值，是一个 常量;
④ f (x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.2.1函数的概念
引入
思考？
初中学习的函数的概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如 果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对 应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变 量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变 量x值对应的y的值叫做函数的值域.
引例 下面先看几个实例：
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面
击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面 的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是
h=130t-5t2 . (*)
其中炮弹飞行时间t的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是 数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对 于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)， 在数集B中都有唯一的高度h和它对应.
1
(a 1) 2
a2 1 a 1
举例
例5 下列函数中哪个与函数 y =x 相等
(1) y ( x )2 ;
3
(2) y x3
小结
从具体实例引入函数的的概念， 用集合与对应的语言描述函数的定义 及其相关概念,介绍求函数定义域和 判断同一函数的典型题目,引入区间 的概念来表示集合.
举例
例3 试用区间表示下列集合： (1) {x|5 ≤ x<6}; (2){x|x ≥9} ; (3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}; (4) {x|x < 9}∪{x| -9 < x<20}.

A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.

2函数的定义中“任一 x”与“有唯一确定的 y”说明函数 中的变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不 能是“一对多”.
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第二十三页，共四十九页。
[变式训练 1] 下列对应关系或关系式中，是 A 到 B 的函数 的是( B )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图
第一章
集合(jíhé)与函数概念
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第一页，共四十九页。
1．2 函数(hánshù)及其表示
2021/12/11
第二页，共四十九页。
1.2.1 函数(hánshù)的概念
2021/12/11
第三页，共四十九页。
第1课时(kèshí) 函数的概念
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第四页，共四十九页。
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第十三页，共四十九页。
结论：
区
左闭右开 左开右闭
闭区间 开区间
间
区间
区间
符 [a，b] (a，b) [a，b)
号
(a，b]
2.特殊区间的表示
定
义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符 (－∞， [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
号 ＋∞)
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[答一答] 4．数集都能用区间表示吗？
提示：区间是数集的又一种表示方法，但并不是所有数集 都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用区间表示．
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5．“∞”是一个数吗？

a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2

0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑

④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x
(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是
(填序号).
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0},但f(x)= 1 与g(x)= x的对应
(a,b)
数轴表示
定义 符号
R (-∞,+∞)
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|x<a} (-∞,a)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ ) 2.区间不可能是空集. ( √ ) 3.任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( ✕ ) 4.函数的定义域和值域一定是无限集合. ( ✕ ) 函数的定义域和值域也可能是有限集合,如f(x)=1(x∈{1,2}). 5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应值域中不同的y. ( ✕ ) 根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应. 6.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( ✕ ) 在函数的定义中,函数的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
函数的有关概念
一般地,我们有:设A,B是① 非空的数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的② 任意 一个数x,在集合B中都有③ 唯一确定 的数f(x)和 它对应,那么就称④ f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作⑤ y=f(x) , x∈A.其中,x叫做自变量,x的⑥ 取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应 的y值叫做函数值,函数值的集合⑦ {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.显然,值域是 集合B的子集.

若 f(m)>m，则 m 的取值范
三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)
10．(12 分)已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是 从 A 到 B 的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求 A 中元素 2在 B 中的对 应元素和 B 中元素32，54在 A 中的对应元素．
答案
1．C ∵f(－ 2)＝|－ 2|＝ 2>0， ∴f[f(－ 2)]＝f( 2)＝3 2＋1. 2．C 由于 f(x)＝|xx|＝1－，1x，>x0<，0， 所以其图象为 C. 3．D 对于 A，如集合 A 中元素 1 在集合 B 中有两个元素 与之对应；对于 B，集合 A 中元素 0 在集合 B 中无元素与之对 应；对于 C，集合 A 中元素 0 在集合 B 中无元素与之对应．故 A、B、C 均不能构成映射．
(1)写出乘车路程 x(千米)与收费 y(元)之间的函数关系式； (2)若甲、乙两地相距 10 千米，则乘出租车从甲地到乙地共 需要支付车费多少元？
答案
11.解：(1)依题意，知 f(0)＝|0－1|－2＝－1，则 f(f(0))＝f(－ 1)＝|－1－1|－2＝0.
(2)f(x)＝31，若|x|≤1，则|x－1|－2＝31，解得 x＝130或 x＝－43， 均不符合|x|≤1，舍去；
1．已知 f(x)＝3|xx|，＋x1<，0，x≥0， 则 f[f(－ 2)]＝(
)
A．2
B．－2
C．3 2＋1
D．－3 2＋1
2．函数 f(x)＝|xx|的图象是( )
3．下列对应法则 f 中，构成从集合 A 到集合 B 的映射是( ) A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2 B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2 C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝x12 D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝2x

❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．

(2)y=(x-1)0+ 2 ; x 1
x 1 0,
规范解答:(2)函数有意义,当且仅当

x
2
1

0,
……………………………4
分
x 1 0,
解得 x>-1 且 x≠1,……………………………………………………………5 分
所以这个函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.………………………………6 分
【备用例2】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么如图所示的4个 图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( ) (A)①②④ (B)①②③ (C)②③ (D)③④
解析:对于①,由于M中元素2在N中无元素与之对应,因而不是函数关系; 对于④,M中元素(除0外)在N中有两个元素与之对应,因而不是函数关系, 而对于②③,在集合M中任取一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之 对应,故②③是函数关系.故选C.
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
解析:①M中有的元素在N中无对应元素,如M中的元素0;③M中的元素不 是实数,即M不是数集;只有②满足函数的定义,故选A.
题型二 函数图象的特征
【例2】 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示从集合 M到集合N的函数关系的是( )
排名 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
奖牌数 46 30 25 16 12 11 9 9 9 9
想一想1:表中奖牌总数排名与奖牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个奖牌总数排名都唯一对应着一个确定的奖牌数,即奖牌数是奖牌 总数排名的函数) 想一想2:奖牌总数排名是奖牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要 检验: ①定义域和对应关系是否给出; ②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯 一确定的函数值y与之对应)

答案:B
第十二页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
探究二求函数的定义域
【例 2】 求下列函数的定义域:
(1)y=
(+2)0
||-
;
2 -1
(2)f(x)=
-1
− 4-.
分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取
值范围
第十三页，共29页。
(2)求f(g(3))的值;
(3)求f(x)的值域.
分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,计算得f(2)与g(2);(2)先
求g(3)的值m,再求f(m)的值.
第十七页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
解:(1)∵f(x)=
1
探究(tànjiū)
三
1
1+ 2
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
第十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
(
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练 1 在下列函数中,与函数 y=2x2 表示同一函数的是
)
A.y=2x
B.y=2 4
C.y=
4 2
D.y=
2 3

解析:A 选项,y=2x 与函数 y=2x2 的对应关系不同,所以它们不表
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
探究一相等函数的判定