北师大版 高考数学总复习 综合测评1

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(2021吉林长春诊断测试)已知函数f (x )=a e x-e x.(1)若对任意的实数x 都有f (x )≥0成立,求实数a 的取值范围; (2)当a ≥1且x ≥0时,证明:f (x )≥(x-1)2.2.(2021浙江宁波高三期末)已知函数f (x )=a e x-4x ,a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间; (2)当a=1时,证明:f (x )+x 2+1>0.3.(2021辽宁朝阳高三一模)已知函数f (x )=e x-a sin x-x ,曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a 的值; (2)证明:∀x ∈R ,f (x )>0.4.(2021河北石家庄高三三模)已知函数f (x )=a ln x-x 2+x+3a.若0<a<14,证明:f (x )<e xx -x 2+x.5.(2021福建泉州高三二模)已知函数f (x )=a -lnx x在x=1处取得极值.(1)求实数a 的值,并求函数f (x )的单调区间; (2)证明:f (x )+x+23>0.6.(2021湖南郴州高三三模)已知函数f (x )=(x+1)ln x. (1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)证明:ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n>32(n ≥2,n ∈N *).高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(1)解若对任意的实数x 都有f (x )≥0,即a e x-e x ≥0,所以a ≥exex .令g (x )=ex e x ,则g'(x )=1−xe x -1.令g'(x )=0得x=1.当x<1时g'(x )>0;当x>1时g'(x )<0,所以g (x )在x=1处取得极大值亦即最大值g (1)=1,即a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).(2)证明由于当a ≥1且x ≥0时,f (x )=a e x-e x ≥e x-e x ,因此只需证明e x-e x ≥(x-1)2.只需证明(x -1)2+exe x≤1.设h (x )=(x -1)2+exe x-1(x ≥0), 则h'(x )=(x -1)(3-e -x)e x.所以当0≤x<3-e 时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当3-e <x<1时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x>1时,h'(x )<0,h (x )单调递减.又因为h (0)=0,h (1)=0,且x=1是h (x )的极大值,因此当x ≥0时,必有h (x )≤0,故原不等式成立.2.(1)解f'(x )=a e x-4.当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在R 上单调递减; 当a>0时,令f'(x )<0,可得x<ln 4a ,令f'(x )>0,可得x>ln 4a ,所以f (x )在(-∞,ln 4a )上单调递减,在(ln 4a ,+∞)上单调递增.综上所述,当a ≤0时,f (x )的单调递减区间为(-∞,+∞);当a>0时,f (x )的单调递增区间为(ln 4a ,+∞),单调递减区间为(-∞,ln 4a ).(2)证明当a=1时,f (x )=e x-4x ,令g (x )=f (x )+x 2+1=e x -4x+x 2+1.g'(x )=e x -4+2x ,令h (x )=e x -4+2x ,则h'(x )=e x +2>0恒成立,所以g'(x )在R 上单调递增,又因为g'(0)=-3<0,g'(1)=e -2>0,由函数零点存在定理可得存在x 0∈(0,1),使得g'(x 0)=0,即e x 0-4+2x 0=0.当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (x 0)=e x 0-4x 0+x 02+1=4-2x 0-4x 0+x 02+1=x 02-6x 0+5,由于x 0∈(0,1),所以由二次函数性质可得g (x )min >g (1)=0,所以g (x )>0,故f (x )+x 2+1>0.3.(1)解根据题意,f (x )=e x-a sin x-x ⇒f'(x )=e x-a cos x-1,因为曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0,所以f'(0)=-1⇔1-a-1=-1⇒a=1.故实数a 的值为1.(2)证明由于f (x )=e x-sin x-x ,要证明∀x ∈R ,f (x )>0,需证明e x-x>sin x.因为sin x ∈[-1,1],故需证明e x-x>1.令g (x )=e x-x ,g'(x )=e x-1, 令g'(x )=0⇒x=0.g'(x )>0⇒x>0,g'(x )<0⇒x<0,所以函数g (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故g (x )min =g (0)=1,即∀x ∈R ,e x-x ≥1,所以e x-x-sin x ≥1-sin x ≥0,所以∀x ∈R ,f (x )>0.4.证明由已知得需证a (ln x+3)<e xx .因为a>0,x>0,所以e xx >0,当ln x+3<0时,不等式显然成立. 当ln x+3>0时,由于0<a<14,所以a (ln x+3)<14(ln x+3),因此只需证14(ln x+3)<e xx ,即证lnx+34x<e xx 2.令g (x )=lnx+34x,所以g'(x )=-lnx -24x 2,令g'(x )=0,得x=e -2,当x ∈(0,e -2)时,g'(x )>0,当x ∈(e -2,+∞)时,g'(x )<0,即g (x )在(0,e -2)上单调递增,在(e -2,+∞)上单调递减.所以g (x )max =g (e -2)=e 24.令h (x )=e x x2,则h'(x )=e x (x -2)x 3,当x ∈(0,2)时,h'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,h'(x )>0,所以h (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h (x )min =h (2)=e 24.所以g (x )≤h (x ),但两边取得最值的条件不相等,即证得a (ln x+3)<e xx ,故f (x )<e xx -x 2+x. 5.(1)解f'(x )=-1-a+lnx x 2,由题意得f'(1)=-1-a=0,即a=-1.于是f'(x )=lnxx 2(x>0), 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,所以实数a 的值为-1,f (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)证明要证f (x )+x+23>0,即证-1-lnx x+x+23>0,因为x>0,即证x 2+23x-ln x-1>0.令g (x )=x-1-ln x ,则g'(x )=1-1x =x -1x,所以当x ∈(0,1)时,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )单调递增,所以g (x )≥g (1)=0,即ln x ≤x-1,则ln2x ≤2x-1,即ln2+ln x ≤2x-1,所以ln x ≤2x-1-ln2,则x 2+23x-ln x-1≥x 2+23x-2x+1+ln2-1=x 2-43x+ln2.令h (x )=x 2-43x+ln2=(x -23)2+ln2-49,又因为ln2>ln √e =12,所以ln2-49>0,则h (x )>0,故x 2+23x-ln x-1>0成立,则f (x )+x+23>0.6.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x+x+1x,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为k=f'(1)=2,又因为f (1)=0,所以该切线方程为y=2(x-1).(2)证明设F (x )=(x+1)ln x-2x+2(x>1),则F'(x )=ln x+1x -1,令g (x )=F'(x ),则g'(x )=1x −1x 2=x -1x 2,当x>1时,g'(x )>0,所以g (x )=F'(x )在(1,+∞)上单调递增,又因为g (1)=0,所以g (x )=F'(x )>0,即F (x )在(1,+∞)上单调递增,所以F (x )>F (1)=0, 故当x>1时,(x+1)ln x>2(x-1).令x=n 2-2>1(n ≥2,n ∈N *), 则(n 2-1)ln(n 2-2)>2(n 2-3),所以ln(n 2-2)n 2-3>2n 2-1=2(n -1)(n+1)=1n -1−1n+1,因此∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1-13+12−14+13−15+14−16+…+1n -2−1n+1n -1−1n+1,化简可得∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1+12−1n −1n+1>32−2n .所以ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n >32(n ≥2,n ∈N *),故原不等式成立.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.,B={y|y=2-2x},则A∩B=()1.(2021北京海淀高三模拟)已知集合A=x y=1lnxA.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)∪(1,2)D.(0,1)∪(1,2]2.(2021重庆南开中学高三期末)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(x)+f(-x)≠0B.∀x∈R,f(x)=f(-x)C.∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0D.∃x∈R,f(x)=f(-x)>0的解集为(-2,a),则实数a的值是()3.(2021湖南岳阳高三月考)已知不等式-ax+1x+2C.1D.±1A.-1B.-124.(2021湖北十堰高三期中)已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2021广东惠州高三月考)道路通行能力表示道路的容量,指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数,是度量道路疏导交通能力的指标,通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定.某条道路一小时的通行能力N满足N=1000V0.4V2+V+d0,其中d0为安全距离,V为车速(单位:m/s),且V>0.若安全距离d0取40 m,则该道路一小时通行能力的最大值约为()A.98B.111C.145D.1856.(2021江西赣州高三期中)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的实数a的值之和是()A.13B.15C.21D.267.(2021浙江高三开学考试)已知函数f(x)=ax+bx,若存在两相异实数m,n使f(m)=f(n)=c,且a+4b+c=0,则|m-n|的最小值为()A.√22B.√32C.√2D.√38.(2021山东东营高三期末)已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-√2]B.[-√2,+∞)C.[√2,+∞)D.(-∞,√2]9.设集合M={y|y=-e x+4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x)]},则下列关系正确的是()A.∁R M⊆∁R NB.N⊇MC.M∩N=⌀D.∁R N⊆M10.若1a <1b<0,给出下列不等式正确的是()A.1a+b >1abB.|a|+b>0C.a-1a>b-1bD.ln a 2>ln b 211.已知命题p :x 2+3x-4<0,q :2ax-1<0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的值可以是( ) A.-12 B.1 C.2D.012.已知a>0,b>0,a log 42+b log 16√2=516,则下列结论错误的是( )A.4a+b=5B.4a+b=52C.ab 的最大值为2564D.1a +1b 的最小值为185二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021辽宁抚顺高三期中)设集合A={a ,2a 2},B={|a|,a+b },若A ∩B={-1},则b= . 14.(2021山东淄博高三月考)已知函数f (x )=|2x+m|x 2+1,命题p :∀x ∈R ,f (x )-f (-x )=0,若命题p 为真命题,则实数m 的值为 .15.(2021天津一中高三期末)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .16.(2021江苏南京高三月考)已知f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0,若关于x 的不等式f (x+a )>f (2a-x 2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设全集是R ,集合A={x|x 2-2x-3>0},B={x|1-a<x<2a+3}. (1)若a=1,求(∁R A )∩B ;(2)已知A ∩B=B ,求实数a 的取值范围.18.(12分)(2021广东湛江高三期中)已知命题p :∃x ∈R ,x 2+2ax-8-6a=0,命题q :∀x ∈[1,2],12x 2-lnx+k-a ≥0.(1)若当k=0时,命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围;(2)若“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.19.(12分)(2021湖北黄冈高三月考)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.20.(12分)(2021湖南湘潭高三期中)已知函数f(x)={x2+mx,x>0,log2(-x),x<0在(0,+∞)上有最小值1.(1)求实数m的值;(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围. 21.(12分)某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求实数a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;(3)若a,b,c为正实数,且2ab+bca2+b2+c2的最大值等于f(2),求实数m的值.单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式1.C解析:由已知得A={x|x>0且x≠1},B={y|y<2},所以A∩B=(0,1)∪(1,2),故选C.2.C解析:∵定义域为R的函数f(x)不是奇函数,∴∀x∈R,f(-x)=-f(x)为假命题,∴∃x∈R,f(-x)≠-f(x)为真命题,故选C.3.C 解析:因为-ax+1x+2>0,即ax -1x+2<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a ),所以a>0,且1a =a ,所以a=1,故选C .4.A 解析:因为2x+2-x-a ≥2√2x ·2-x -a=2-a (当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f (x )>1>0;由f (x )>0,得a<2.故“a<1”是“f (x )>0”的充分不必要条件,故选A . 5.B 解析:由题意得N=1000V0.4V 2+V+40=10000.4V+40V+1,因为V>0,所以0.4V+40V ≥2√0.4V ·40V =8,当且仅当0.4V=40V ,即V=10时,等号成立,所以N ≤10008+1≈111,故选B .6.B 解析:设f (x )=x 2-6x+a ,其图象为开口向上、对称轴为直线x=3的抛物线,根据题意可得,Δ=36-4a>0,解得a<9.∵f (x )≤0解集中有且仅有5个整数,结合二次函数图象的对称性可得{f(1)≤0,f(0)>0,解得0<a ≤5.又a ∈Z ,∴a=1,2,3,4,5,即符合题意的a 的值之和是1+2+3+4+5=15,故选B .7.B 解析:由题意知,当f (x )=ax+bx =c 时,有ax 2-cx+b=0(x ≠0).由f (m )=f (n )=c ,知m ,n 是ax 2-cx+b=0(x ≠0,a ≠0,b ≠0)两个不相等的实数根,∴m+n=c a ,mn=b a ,而|m-n|=√(m +n)2-4mn =√c 2-4ab a 2.∵a+4b+c=0,即c=-4b-a ,∴|m-n|=√16b 2+4ab+a 2a 2=√16·(b a ) 2+4·b a +1.令t=ba ,则|m-n|=√16t 2+4t +1=√4(2t +14) 2+34,∴当t=-18时,|m-n|的最小值为√32,故选B .8.B 解析:由于a ,b ,c 是正实数,所以不等式可化为m ≥-a 2+b 2+c 2b(a+c),而a 2+b 2+c 2b(a+c)=a 2+b 22+b 22+c 2b(a+c)≥2√a 2·b 22+2√b22·c 2b(a+c)=√2(ab+bc)b(a+c)=√2,因此-a 2+b 2+c 2b(a+c)≤-√2,当且仅当a 2=b 22且b 22=c 2,即b=√2a=√2c 时,等号成立,故-a 2+b 2+c 2b(a+c)的最大值为-√2,因此m ≥-√2,即实数m 的取值范围是[-√2,+∞),故选B .9.A 解析:因为M={y|y=-e x+4}={y|y<4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x )]}={x|(x+2)(3-x )>0}={x|(x+2)(x-3)<0}={x|-2<x<3},所以N ⊆M ,∁R M={y|y ≥4},∁R N={x|x ≤-2或x ≥3},所以∁R M ⊆∁R N ,M ∩N ≠⌀,故选A .10.C 解析:因为1a<1b<0,所以b<a<0.对于A,1a+b<0<1ab ,故A 错误;对于B,因为b<a<0,所以|a|<|b|,即|a|+b<0,故B 错误;对于C,由于b<a<0,故a-b>0,1ab>0,所以a-1a-b-1b =(a-b )+a -bab =(a-b )1+1ab>0,所以a-1a >b-1b ,故C 正确;对于D,由于b<a<0,所以b 2>a 2,所以ln a 2<ln b 2,故D 错误.故选C .11.D 解析:对于p :-4<x<1,对于q :2ax<1.对于A,当a=-12时,q :x>-1,p 是q 的既不充分也不必要条件,故A 错误;对于B,当a=1时,q :x<12,p 是q 的既不充分也不必要条件,故B 错误;对于C,当a=2时,q :x<14,p 是q 的既不充分也不必要条件,故C 错误;对于D,当a=0时,q :x ∈R ,p 是q 的充分不必要条件,故D 正确.故选D .12.A 解析:由a log 42+b log 16√2=516可得,a2+b8=516,即4a+b=52,故A 错误,B 正确;因为52=4a+b ≥2√4ab⇒ab ≤2564,当且仅当a=516,b=54时,等号成立,所以ab 的最大值为2564,故C 正确;因为1a +1b =251a +1b(4a+b )=255+b a+4a b≥25(5+2√4)=185,当且仅当a=512,b=56时,等号成立,所以1a+1b的最小值为185,故D 正确.故选A .13.0 解析:因为2a 2≥0,|a|≥0,所以a=-1,a+b=-1,所以b=0. 14.0 解析:命题p 为真命题,即函数f (x )为偶函数,所以|2×(-x)+m|(-x)2+1=|2x+m|x 2+1,因此|2x-m|=|2x+m|,故m=0.15.4 解析:∵a>0,b>0,∴a+b>0.又ab=1,∴12a +12b +8a+b =ab2a +ab2b +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2·8a+b =4,当且仅当a+b=4时,等号成立,结合ab=1,解得当a=2-√3,b=2+√3,或a=2+√3,b=2-√3时,等号成立.16.-∞,-14∪(2,+∞) 解析:∵y=-x 2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x 2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f (x+a )>f (2a-x 2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x 2,即a<x 2+x 在区间[a-1,a+1]上恒成立.当a+1≤-12,即a ≤-32时,(x 2+x )min =(a+1)2+a+1,∴(a+1)2+a+1>a ,∴a ∈R ,∴a ≤-32;当a-1<-12<a+1,即-32<a<12时,(x 2+x )min =-122-12,∴-122-12>a ,∴a<-14,∴-32<a<-14;当a-1≥-12,即a ≥12时,(x 2+x )min =(a-1)2+a-1,∴(a-1)2+a-1>a ,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-14或a>2. 17.解(1)解不等式x 2-2x-3>0得A={x|x<-1或x>3}, 所以(∁R A )={x|-1≤x ≤3}. 若a=1,则B={x|0<x<5}, 所以(∁R A )∩B={x|0<x ≤3}. (2)A ∩B=B ,则B ⊆A.当B=⌀时,则有1-a ≥2a+3,即a ≤-23;当B ≠⌀时,则有{1−a <2a +3,2a +3≤−1或{1−a <2a +3,1−a ≥3,此时两不等式组均无解.综上,所求实数a 的取值范围是-∞,-23.18.解(1)若命题p 为真命题,则有Δ=4a 2-4(-8-6a )≥0,即a 2+6a+8≥0,解得a ≤-4或a ≥-2; 若当k=0时,命题q 为真命题,则12x 2-ln x-a ≥0,即a ≤12x 2-ln x 在[1,2]上恒成立, 令g (x )=12x 2-ln x ,则g'(x )=x-1x=x 2-1x≥0,且只有f'(1)=0,所以g (x )在[1,2]上单调递增,最小值为g (1)=12,故a ≤12.因此当命题p 和q 都是真命题时,实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪-2,12; (2)当命题q 为真命题时,12x 2-ln x+k-a ≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a ≤12+k ;当命题p 为假命题时,由(1)可知-4<a<-2.由于“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件, 所以12+k ≥-2,解得k ≥-52.故实数k 的取值范围是-52,+∞. 19.解f (x )=ax 2+(a 2-3)x-3a=(ax-3)(x+a ).(1)若不等式f (x )<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,3a =-3, 故a=-1.(2)不等式f (x )+x+a<0,即ax 2+(a 2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数, 即不等式(ax-2)(x+a )<0的解集中恰有2个整数.又a 为正整数,-a<x<2a , 所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1. 当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合; 故a=1或a=2.20.解(1)当x>0时,f (x )=x 2+m x=x+mx ,若m ≤0,则f (x )在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,故f (x )=x+mx ≥2√m ,当且仅当x=√m 时,等号成立,f (x )取到最小值2√m =1, 所以m=14.(2)依题意,f (x )={x +14x ,x >0,log 2(-x),x <0,作出函数f (x )的大致图象如下:方程[f (x )]2-(2k+1)f (x )+k 2+k=0, 即[f (x )-k ][f (x )-k-1]=0, 故f (x )=k 或f (x )=k+1.方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k 和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知{k +1>1,k <1,解得0<k<1, 故实数k 的取值范围为(0,1). 21.解(1)设甲工程队的总造价为y 元, 则y=3300×2x+400×24x+14400=1800(x +16x )+14400≥1800×2×√x ×16x +14400=28800,3≤x ≤6,当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立.故当左、右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元. (2)由题意可得1800(x +16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x ∈[3,6]恒成立.故(x+4)2x>a(1+x)x,从而(x+4)2x+1>a 恒成立,令x+1=t ,(x+4)2x+1=(t+3)2t=t+9t +6,t ∈[4,7].又y=t+9t +6在t ∈[4,7]上单调递增,故y min =12.25.所以a 的取值范围为(0,12.25).22.解(1)f (x )=mx 2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1). 当0<m<1时,f (x )<0的解集为x 1<x<1m;当m>1时,f (x )<0的解集为x 1m<x<1;当m=1时,f (x )<0无实数解. (2)当m=0时,f (x )=-x+1.对任意x ∈[1,2],f (x )≤f (1)=0<2恒成立.当m>0时,函数f (x )的图象开口向上,若对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立,只需{f(1)≤2,f(2)≤2,即{m -(m +1)+1≤2,4m -2(m +1)+1≤2,解得m ≤32. 故当0<m ≤32时,对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立.当m<0时,对任意x ∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f (x )=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立. 综上可知,实数m 的取值范围为-∞,32. (3)若a ,b ,c 为正实数,则由基本不等式得,a 2+45b 2≥4√55ab ,15b 2+c 2≥2√55bc , 两式相加得a 2+b 2+c 2≥2√55(2ab+bc ),变形得2ab+bca 2+b 2+c 2≤√52, 当且仅当a 2=45b 2且c 2=15b 2,即a=2c=2√55b 时,等号成立.所以f (2)=√52,即2m-1=√52,m=2+√54.。

课时规范练1集合基础巩固组1.(2021湖南长沙雅礼中学高三月考)已知集合A={x∈Z|-2≤x<2},B={0,1},则下列判断正确的是()A.B∈AB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A∈Z,则下列结论不正确的是() 2.(2021山东淄博实验中学高三月考)若集合A=x∈N*63-xA.1∈AB.3∉AC.-3∈AD.8∉A3.(2021江苏,1)已知集合M={1,3},N={1-a,3},若M∪N={1,2,3},则实数a的值是()A.-2B.-1C.0D.14.(2021山东烟台高三模拟)已知集合M,N都是R的子集,且M∩∁R N=⌀,则M∩N=()A.MB.NC.⌀D.R5.(2021湖北荆门高三月考)已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z},则M∪N=()A.{x|x=6k+2,k∈Z}B.{x|x=4k+2,k∈Z}C.{x|x=2k+1,k∈Z}D.⌀x,Q={(x,y)|y=-x2+2},则集合P∩Q的真子集6.(2021宁夏银川高三月考)集合P=(x,y)y=12个数为()A.0B.1C.2D.37.已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列说法错误的是()A.A∩B={0,1,2}B.A∪B={x|x≥0}C.(∁U A)∩B={-1}D.A∩B的真子集个数是78.已知全集U的两个非空真子集A,B满足(∁U A)∪B=B,则下列关系一定正确的是()A.A∩B=⌀B.A∩B=BC.A∪B=RD.(∁U B)∪A=A综合提升组9.(2021江苏高三月考)已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M⊆A且M⊆B,则满足条件的集合M的个数为()A.1B.3C.4D.610.(2021河北沧州高三期末)设全集为R,M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于()A.(∁R M)∩(∁R N)B.(∁R M)∪NC.M∪(∁R N)D.(∁R M)∪(∁R N)11.(2021广东佛山高三月考)设A={x|1≤x≤3},B={x|ln(3-2x)<0},则图中阴影部分表示的集合为()A.-∞,32B.1,32C.(1,3]D.32,312.(2021山东泰安高三月考)已知集合A={x|x2+3<4x},B⊆N*,且A∩B≠⌀,则下列结论一定正确的是()A.1∈AB.B={2}C.2∈BD.(∁R A)∩B=⌀13.(2021湖南长郡中学高三期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4,5},A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为()A.4B.6C.8D.16创新应用组14.(2021江苏南京高三月考)若A={(x,y)|x2+y2≤1},B={(x,y)||x|+|y|≤a},且A⊆B,则实数a的取值范围是()A.1,+∞ B.[1,+∞)2C.[√2,+∞)D.[2,+∞)15.已知集合A={x∈R|x2-3x-18<0},B={x∈R|x2+ax+a2-27<0},则下列说法错误的是()A.若A=B,则a=-3B.若A⊆B,则a=-3C.若B=⌀,则a≤-6或a≥6D.若a=3,则A∩B={x|-3<x<6}课时规范练1集合1.D解析:∵A={x∈Z|-2≤x<2}={-2,-1,0,1},B={0,1},∴B⊆A,A∩B=B={0,1},故选D.∈Z且x∈N*,所以x的可取值有:1,2,4,5,6,9,即A={1,2,4,5,6,9},由此可判断2.C解析:因为63-xC错误,其余均正确.3.B解析:因为M∪N={1,2,3},所以1-a=2,解得a=-1,故选B.4.A解析:由题意M∩∁R N=⌀,可得M⊆N,所以M∩N=M,故选A.5.C解析:因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z},当x∈N时,x∈M成立,所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z},故选C.6.D解析:画x和y=-x2+2的图象,由图象可知两函数有两个交点,则集合P∩Q中有2个元素,则集出函数y=12合P∩Q的真子集有22-1=3(个),故选D.,x∈Z,B={-1,0,1,2},A∩B={0,1,2},故A正确;A∪7.B解析:A={x|2x+1≥0,x∈Z}=x x≥-12B={x|x≥-1,x∈Z},故B错误;∁U A=x x<-1,x∈Z,所以(∁U A)∩B={-1},故C正确;由A∩2B={0,1,2},知A∩B的真子集个数是23-1=7,故D正确.故选B.8.D解析:令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足(∁U A)∪B=B,但A∩B≠⌀,A∩B≠B,故A,B均不正确;由(∁U A)∪B=B,知∁U A⊆B,∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B),∴A∪B=U,由∁U A⊆B,知∁U B⊆A,∴(∁U B)∪A=A,故C不正确,D正确.故选D.9.C解析:∵集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},∴A∩B={1,2}.又M⊆A且M⊆B,∴M⊆(A∩B),即M⊆{1,2},∴M的个数为22=4,故选C.10.D解析:因为{x|f(x)g(x)=0}={x|f(x)=0或g(x)=0},又因为M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},所以{x|f(x)g(x)=0}=(∁R M)∪(∁R N),故选D.11.B 解析:由图可知阴影部分表示的集合为A ∩B.因为A={x|1≤x ≤3},B={x|ln(3-2x )<0}=x 1<x<32,所以A ∩B=1,32,故选B .12.C 解析:因为x 2+3<4x ,所以(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3,所以集合A={x|1<x<3}.因为B ⊆N *,且A ∩B ≠⌀,则2∈B ,故选C .13.C 解析:由题意可知,集合A 不能是空集,也不可能为{1,2,3,4,5}.若集合A 只有一个元素,则集合A 为{4};若集合A 有两个元素,则集合A 为{1,3},{3,4},{3,5};若集合A 有三个元素,则集合A 为{1,2,4},{1,2,5},{2,4,5};若集合A 有四个元素,则集合A 为{1,2,3,5}.综上所述,有序集合对(A ,B )的个数为8,故选C . 14.C 解析:集合A 为圆O :x 2+y 2=1的内部和圆上的点集,B 为由直线x+y=a ,x-y=a ,-x+y=a ,x+y=-a 围成的正方形的内部和边上的点集,画出图象(如图所示),当直线EF 与圆O 相切时,设切点为C ,连接OC ,∵△EOF 为等腰直角三角形,OE=OF ,∠EOF=90°,OC ⊥EF , ∴OC 为Rt △EOF 斜边上的中线, ∴OC=12EF ,即EF=2OC=2,∴OE=OF=√22EF=√2,此时a=√2. ∴a ≥√2,故选C .15.D 解析:由已知得,A={x|-3<x<6},令g (x )=x 2+ax+a 2-27.对于A,若A=B ,即-3,6是方程g (x )=0的两个根,则{a =-3,a 2-27=-18,得a=-3,正确;对于B,若A ⊆B ,则{g(-3)=a 2-3a -18≤0,g(6)=a 2+6a +9≤0,解得a=-3,正确;对于C,当B=⌀时,Δ=a 2-4(a 2-27)≤0,解得a ≤-6或a ≥6,正确;对于D,当a=3时,有B={x ∈R |x 2+3x-18<0}={x|-6<x<3},所以A ∩B={x|-3<x<3},错误.故选D .。

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+yx ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

综合测评时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 8＝13且S 7＝35，则a 7＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：由S 7＝7a 4＝35⇒a 4＝5，又a 4＋a 7＝a 3＋a 8＝13⇒a 7＝8，选D. 答案：D2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( ) A ．－14 B.14 C ．－23D.23解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k＝－14.答案：A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256解析：∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.答案：C4．已知各项均为正数的等差数列{a n }中，a 2·a 12＝49，则a 7的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：a 7＝a 2＋a 122≥ a 2a 12＝7. 答案：A5．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2解析：|CD |＝1＋1＝2， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1， ∴S △CDA ＝12×2×12＝12， S △CDB ＝12×2×1＝1. 故所求区域面积为32. 答案：B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34>0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )<0，∴1<m <3.答案：A7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则BC 边上的高等于( )A.3－1B.3＋1C.3－12D.3＋12解析：由1＋2cos(B ＋C )＝0，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，所以A ＝π3. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin π3＝2sin B ，得sin B ＝22，因为b <a ，所以B <A ，即B ＝π4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝2＋c 2－2c ，即c 2－2c －1＝0，解得c ＝2＋62，所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝2＋62×22＝1＋32，选D.答案：D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n＋2的大小关系是( ) A ．a n ＋a n ＋3<a n ＋1＋a n ＋2 B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2 C ．a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋2 D ．不确定的，与公比有关 解析：因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝a n (1－q )(1－q 2)＝a n (1－q )2(1＋q )>0. 答案：C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )A. 3B. 2 C ．±3D ．±2解析：等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝±3.答案：C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m－1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m ＝1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析：∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 23＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q )＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n . ∴b n ＝3－n ，∴S 10＝－25. 答案：－2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为________．解析：∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝P A sin ∠PBA ，60sin 15°＝P A sin 135°，∴P A ＝60(3＋1)，PQ ＝P A ·sin A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案：(30＋303)m13．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)． 答案：414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 最小值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＋b 2＝c 2＋ 2ab cos C ，① 又a 2＋b 2＝3c 2，∴c 2＝13(a 2＋b 2)代入①式有： a 2＋b 2＝13(a 2＋b 2)＋2ab cos C ，∴cos C ＝23(a 2＋b 2)2ab ≥23×2ab 2ab ＝23(当且仅当a ＝b 时取“＝”)． ∴cos C 最小值为23.答案：23三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解：(1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列， ∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.16．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x >b }, (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为Ø，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为Ø.17．(12分)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0；若p 是q 的充分不必要条件求m 的取值范围．解：对于p ：－1≤x ≤4，对于q 讨论如下，当m >0时，q ：3－m ≤x ≤3＋m ；当m <0时，q ：3＋m ≤x ≤3－m ，若p 是q 的充分不必要条件，只需要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.18．(14分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解：据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12， 解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，12×5×3×32＝1534.∴S△ABC＝12bc sin A＝。

高考数学一轮复习：单元评估检测(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<2或x>4},B=,则A∩B=( )A.B.C.{x|4<x≤6}D.∅【解析】选A.A∩B={x|x<2或x>4}∩=.2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)【解析】选B.由图像(画图略)知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).3.(2020·太原模拟)“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为当函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为时,m=±2,所以“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的充分不必要条件.4.(2020·北京模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A.y=B.y=x2C.y=-cos xD.y=-ln|x|【解析】选D.y=是奇函数且在区间(0,1)上单调递减;y=x2是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-cos x是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-ln|x|是偶函数且在区间(0,1)上单调递减;综上选D.5.(2020·大庆模拟)函数f(x)=的图像大致是()【解析】选C.因为x∈R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故排除B项;又因为x>1时,f(x)>0;x→+∞时,f(x)→0,所以排除A,D项.6.(2020·蚌埠模拟)若方程ln x+x-4=0在区间(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一根,则a的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方程ln x+x-4=0的根为函数f(x)=ln x+x-4的零点.f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)在定义域上单调递增.因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(x)在区间(2,3)有一个零点,则方程ln x+x-4=0在区间(2,3)有一根,所以a=2,b=3.7.(2020·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【解析】选B.因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以2|-x-m|-1=2|x-m|-1,所以|-x-m|=|x-m|,(-x-m)2=(x-m)2,所以mx=0,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(2);因为0<log23<2<log25,所以a<c<b.8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是 ( )A.15B.16C.17D.18【解析】选B.由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.9.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a【解析】选C.因为函数y=在R上是减函数,又>,所以<,即a<b.又因为函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,所以>,即c>b.所以a<b<c. 10.(2020·南昌模拟)已知函数y=f(x)是定义在(-∞,-2)∪(2,+∞)上的奇函数,当x>2时,f(x)=log2(x-2),则f(x-1)<0的解集是( )A.(-∞,-2)∪(3,4)B.(-∞,-3)∪(2,3)C.(3,4)D.(-∞,-2)【解析】选A.画出函数图像如图所示,由图可知,x-1<-3或2<x-1<3,解得x∈(-∞,-2)∪(3,4).11.已知函数f(x)=,若函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是世纪金榜导学号( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.函数f(x)=,函数的图像如图:函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是(0,+∞).12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )世纪金榜导学号A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.命题“∀x∈R,x2-2x>0”的否定是.【解析】依据题意,先改变量词,然后否定结论,可得命题的否定是∃x∈R,x2-2x≤0.答案:∃x∈R,x2-2x≤014.(2019·咸阳模拟)已知log a<1,那么a的取值范围是.【解析】因为log a<1=log a a,故当0<a<1时,y=log a x为减函数,0<a<;当a>1时,y=log a x为增函数,a>,所以a>1.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)15.(2019·抚州模拟)已知函数f(x)=ln(3-x),则不等式f(lg x)>0的解集为.世纪金榜导学号【解析】因为f(x)=ln(3-x),则解得0≤x<3,所以定义域为[0,3),因为f(x)=ln(3-x)>0等价于解得0<x<2,因为f(lg x)>0,所以解得1<x<100,所以解集为(1,100).答案:(1,100)16.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,则-的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】函数f(x)=的图像如图所示,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,转化为f(x)=b有4个不同的交点,由图像,结合已知条件得x1+x2=-4,x3x4=1,0<b≤1,解不等式0<-log3x≤1得:≤x3<1,-=-×(x1+x2)=+2,令t=,则≤t<1,令g(t)=2t+,则g(t)在上单调递减,在上是增函数.g=2,g=,g(1)=3,所以g≤g(t)≤g,即2≤2t+≤.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.(1)求(R B)∪A.(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},(1)R B={x|x≤2},所以(R B)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.(2)当C=∅时,a≤1,满足C⊆A;当C≠∅时,由题意得,所以1<a≤3,综上可知a的取值范围是a≤3.18.(12分)已知函数f(x)=(1)在图中给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.(2)写出f(x)的单调递增区间.【解析】(1)画图如图所示.(2)f(x)的单调递增区间是[-1,0)和(2,4].19.(12分)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,a≠1)的图像过点A,B.(1)求f(x).(2)若不等式+-m≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)由已知得解得所以f(x)=×.(2)+-m=2x+3x-m≥0,所以m≤2x+3x,因为y=2x+3x在[1,+∞)上为增函数,所以y的最小值为5,所以m≤5.20.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;当30<x<100时,g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58;所以g(x)=当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【变式备选】如图,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.(1)求y关于x的函数解析式.(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?【解析】(1)由题意,BC=2x千米,又AB=y千米,AC=(y-1)千米,在△ABC中,由余弦定理得,(y-1)2=y2+4x2-2y·2x·cos 60°,所以y=.由2x+y-1>y得x>. 因为y>0且x>,所以x>1.所以y=(x>1).(2)M=30(2y-1)+40x=-30+40x,其中x>1,设t=x-1,则t>0,所以M=-30+40(t+1)=160t++250≥2+250=490,当且仅当t=时等号成立,此时x=.所以当x=时修建中转站和道路的总造价M最低.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2. 世纪金榜导学号(1)当a=5时,解不等式f(x)>0.(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围.(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.【解析】(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.①当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.②当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.③当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.若x1是原方程的解,则+a>0,即a>2;若x2是原方程的解,则+a>0,即a>1.由题意知x1,x2只有一个为方程的解,所以或于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1,即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,当t=时,y有最小值a-.由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. 世纪金榜导学号(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值.(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.所以对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,所以f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)因为f(x)为奇函数,所以整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).所以f(ax2-2x)<f(ax-2).因为f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,所以ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.所以当a=0时,x∈{x|x<1};当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,<x<1;当0<a<2时,x<1或x>;当a>2时,x<或x>1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为; 当a>2时,原不等式的解集为.。

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2．(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝() A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1,2,3}，因此A∩B＝{1,2}．答案 D3．(2017·宝鸡模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则() A．A∩B≠∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是() A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．答案 C5．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 由y ＝2x ，x ∈R ，知y >0，则A ＝(0，＋∞)． 又B ＝{x |x 2－1<0}＝(－1,1)． 因此A ∪B ＝(－1，＋∞)． 答案 C6．(2016·浙江卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,3,5}，Q ＝{1,2,4}，则(∁U P )∪Q ＝()A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，P ＝{1,3,5}，∴∁U P ＝{2,4,6}，∵Q ＝{1,2,4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1,2,4,6}．答案 C7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0<x <1} 解析∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图． ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．答案 D二、填空题9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案(－∞，1]10．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.解析由A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5}，因此A∩B＝{1,3}．答案{1,3}11．集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A －B＝________.解析由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1,0)．答案[－1,0)12．(2017·合肥质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1,2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13．(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T ＝()A．[2,3] B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)C．(2,3) D．(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S＝(2,3)，因此(∁R S )∩T ＝(2,3)． 答案 C14．(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}． 答案 B15．(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N 14≤2x≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________． 解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0,1,2,3,4，即A ＝{0,1,2,3,4}． 又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}， ∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素． 答案 116．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 答案 0。

单元质检卷一集合与常用逻辑用语(时间:60分钟满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021广东深圳二模)已知A={x∈N|x<7},B={5,6,7,8},则集合A∪B中的元素个数为()A.7B.8C.9D.10答案:C解析:A={0,1,2,3,4,5,6},A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8},共9个元素.2.(2021江西鹰潭模拟)命题p:对于任意的x∈(-∞,1],x2+2x+3≤0恒成立,则命题p的否定为()A.存在x∈(-∞,1],使x2+2x+3≤0成立B.对于任意x∈(1,+∞),使x2+2x+3>0恒成立C.存在x∈(1,+∞),使x2+2x+3>0成立D.存在x∈(-∞,1],使x2+2x+3>0成立答案:D解析:命题p为全称命题,其否定为存在x∈(-∞,1],使得x2+2x+3>0成立.3.(2021湖南娄底模拟)若非空集合A,B,C满足A∩B=C,且B不是A的子集,则“x∈A”是“x ∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B解析:因为A∩B=C,由交集的意义知x∈C⇒x∈A,集合A中有元素不在集合B中,这个元素就不在集合C中,所以x∈A x∈C,故“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件.<0},B={x|x+1>0},则“x∈A”是“x∈B”的() 4.(2021山东济南一模)设集合A={x|x-1xA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案:B解析:由x-1<0,则(x-1)x<0,得0<x<1,即A={x|0<x<1},由x+1>0,得x>-1,即B={x|x>-1},x∴A⫋B,即“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.5.(2021四川达州二模)下列说法正确的是()A.“任意x>0,使x2+x>1成立”的否定是“存在x>0,使x2+x<1成立”B.“若x>0,则x2+x>1”的否命题是“若x≤0,则x2+x<1”C.“存在x>0,使x2+x≤1成立”的否定是“任意x>0,使x2+x>1成立”D.“若x>0,则x2+x>1”的逆命题是“若x2+x<1,则x<0”答案:C解析:对于选项A,由全称命题的否定知该命题的否定为存在x>0,使x2+x≤1成立,A错误;对于选项B,由否命题定义知该命题的否命题为若x≤0,则x2+x≤1,B错误;对于选项C,由特称命题的否定知该命题的否定为任意x>0,使x2+x>1成立,C正确;对于选项D,由逆命题定义知该命题的逆命题为若x2+x>1,则x>0,D错误.6.(2021湖南雅礼中学二模)设集合M,N,P均为R的非空真子集,且M∪N=R,M∩N=P,则M∩(∁R P)=()A.MB.NC.∁R MD.∁R N答案:D解析:如图,中间的阴影和左边的空白区域是集合M,中间的阴影和右边的空白区域表示集合N,如图,∁R P表示两边空白区域,则M∩(∁R P)表示集合M的空白区域,即表示为∁R N.7.(2021西藏拉萨中学高三月考)下列说法正确的是()①对于命题p:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则p:任意x∈R,均有x2+x+1≥0②“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”④若p且q为假命题,则p,q均为假命题A.①②③B.②③④C.①②③④D.①③答案:A解析:①对于命题p:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则 p:任意x∈R均有x2+x+1≥0,故①正确;②由“x=1”可推得“x 2-3x+2=0”,反之由“x 2-3x+2=0”可能推出x=2,则“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件,故②正确;③命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”,故③正确; ④若p 且q 为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故④错误.则正确的说法有①②③.8.(2021浙江台州模拟)已知a ∈R ,则“对任意x ∈(π2,π),x 2-sin x-a ≥0恒成立”的一个充分不必要条件是( )A.a<2B.a ≤2C.a<π2-44D.a ≤π2-44 答案:C解析:由x 2-sin x-a ≥0,得x 2-sin x ≥a ,令f (x )=x 2-sin x ,x ∈(π2,π),则f'(x )=2x-cos x>0,则函数f (x )=x 2-sin x 在(π2,π)内是递增的,任意x ∈(π2,π),f (x )>f (π2)=π2-44,若对任意x ∈(π2,π),x 2-sin x-a ≥0恒成立,则a ≤π2-44,由充分不必要条件的定义可知选项C 符合.9.(2021山东青岛高三期末)“任意x ≥0,a ≤x+4x+2”的充要条件是( )A.a>2B.a ≥2C.a<2D.a ≤2答案:D解析:因为x ≥0,可得x+4x+2=x+2+4x+2-2≥2√(x +2)·4x+2-2=2,当且仅当x+2=4x+2,即x=0时,等号成立,所以“任意x ≥0,a ≤x+4x+2”的充要条件是“a ≤2”.10.(2021北京东城模拟)若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]C.(-6,+∞)D.(-∞,-6) 答案:A解析:不等式等价于存在x ∈(1,4),使a<x 2-4x-2成立,即a<(x 2-4x-2)max .设y=x 2-4x-2=(x-2)2-6,当x ∈(1,4)时,y ∈[-6,-2),所以a<-2.11.(2021江西上饶六校联考)命题“任意x ∈[1,2],使3x 2-a ≥0成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A.a ≤4B.a ≤2C.a ≤3D.a ≤1答案:A解析:若“任意x∈[1,2],使3x2-a≥0成立”为真命题,则a≤3x2在x∈[1,2]上恒成立,只需a ≤(3x2)min=3,所以当a≤4时,不能推出“任意x∈[1,2],使3x2-a≥0成立”为真命题,而“任意x∈[1,2],使3x2-a≥0成立”为真命题能推出a≤4,故a≤4是命题“任意x∈[1,2],使3x2-a ≥0成立”为真命题的一个必要不充分条件.12.(2021福建莆田模拟)已知命题p:a∈M,命题q:存在x∈R,使x2-ax-a≤-3成立,若p是q 成立的必要不充分条件,则区间M可以为()A.(-∞,-6]∪[2,+∞)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-6,2)D.[-4,0]答案:B解析:命题q:存在x∈R,使x2-ax-a≤-3成立,则x2-ax-a+3≤0有解,所以Δ=a2-4(-a+3)≥0,解得a≤-6或a≥2,又因为p是q成立的必要不充分条件,所以(-∞,-6]∪[2,+∞)⫋M,所以区间M可以为(-∞,-4)∪(0,+∞).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知集合A={x∈N|y=lg(4-x)},则A的子集个数为.答案:16解析:A={x∈N|y=lg(4-x)}={x∈N|x<4}={0,1,2,3},则A的子集个数为24=16.,+∞),则14.(2021江西临川模拟)已知命题p:存在x∈R,使x2+x+a≤0成立,命题q:a∈[14 p是q的条件.答案:充分不必要,所以p⇒q,即p是q的充分解析:p:任意x∈R,使x2+x+a>0成立,即Δ=1-4a<0,a>14不必要条件.15.已知命题p:存在x∈R,使x2+(a-1)x+1<0成立,若命题p是假命题,则a的取值范围为.答案:[-1,3]解析:∵命题“存在x∈R,使x2+(a-1)x+1<0成立”是假命题,∴命题“任意x∈R,使x2+(a-1)x+1≥0成立”是真命题,即判别式Δ=(a-1)2-4≤0,即(a-1)2≤4,∴-2≤a-1≤2,解得-1≤a≤3.16.已知命题p:(x-m)2<9,命题q:log4(x+3)<1,若q是p的必要不充分条件,则m的取值范围是.答案:[-2,0]解析:因为q是p的必要不充分条件,所以p是q的必要不充分条件,由不等式(x-m)2<9,可得m-3<x<m+3,由不等式log4(x+3)<1,可得-3<x<1,所以p:m-3<x<m+3,q:-3<x<1,因为p是q的必要不充分条件,所以{m-3≤-3,m+3≥1,解得-2≤m≤0,故实数m的取值范围是[-2,0].。

2023年最新北师大版高三数学综合练习2023年最新北师大版高三数学综合练习一、函数与方程1.函数的概念与性质2.a) 熟练掌握函数的定义及性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

3.b) 掌握函数图象的绘制方法和性质分析。

4.代数式变形与零点存在5.a) 能够熟练对代数式进行变形，如因式分解、配方等。

6.b) 掌握函数零点存在的条件及判定方法。

7.函数与方程思想的应用8.a) 能够运用函数与方程的思想解决实际问题。

9.b) 掌握数学建模的方法，建立实际问题的数学模型。

二、数列与不等式1.数列的概念与性质2.a) 熟练掌握数列的定义、通项公式、求和公式等基本性质。

3.b) 掌握数列的递推关系及判定方法。

4.不等式的性质及其应用5.a) 熟练掌握不等式的性质，如对称性、传递性等。

6.b) 能够运用不等式解决实际问题，如最值问题、不等式证明等。

7.数列与不等式的综合应用8.a) 能够运用数列与不等式的知识解决实际问题。

9.b) 掌握数学归纳法、放缩法等技巧在解决数学问题中的应用。

三、解析几何1.解析几何的基本概念与平面几何2.a) 掌握解析几何的基本概念，如点、直线、平面等。

3.b) 熟悉平面几何的基本定理及证明方法。

4.立体几何的基本概念与性质5.a) 掌握立体几何的基本概念，如平面、直线、平面角等。

6.b) 熟悉空间几何体的性质及计算方法。

7.坐标法在几何问题中的应用8.a) 能够运用坐标法解决实际问题，如定位、测量等。

9.b) 熟悉空间直角坐标系的建立及向量在几何中的应用。

四、立体几何1.立体几何的基本概念与性质2.a) 掌握立体几何的基本概念，如平面、直线、平面角等。

3.b) 熟悉空间几何体的性质及计算方法。

4.空间想象力的培养与几何问题的分析方法5.a) 能够运用空间想象力解决实际问题，如建模、判断等。

6.b) 熟悉几何问题的分析方法，如归纳、演绎等。

7.三角函数理论及其应用8.a) 掌握三角函数的基本性质及图象表示方法。