2010—2011学年高二数学期中考试试题及答案

2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案（理科）2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上. 学科网 1．已知命题，则 : . 2．“ ”是“直线与圆相交”的条件。

（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件） 3. 函数，的单调递增区间是． 4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。

其中真命题的个数是________. 5．若，则等于 6．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝． 7．计算 8．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ____ ________. 9．已知复数满足 =2，则的最大值为． 10．设… ，则 . 11．已知函数在处有极大值，则 = 。

12. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)= .13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .二、解答题 15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）已知 p：，q：．⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵ 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．17. (本题满分15分) 已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1, 求证：(1) ab≤ (2) + ≥8; (3) + ≥ . (5分+5分+5分)18. (本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an （n∈N*）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分) （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分) 19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分) 20．（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直． (1) 求实数的值； (6分) (2) 求在（为自然对数的底数）上的最大值； (5分) (3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ (5分) 2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

2010—2011学年度第一学期期中考试高二数学（理科） 2011.4试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在题后括号内.） １.向量)6,3(=对应的复数是 （ ）A .i 63+B .i 36+C .i 33+D .i 66+ ２.满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆３.菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是 （ ） Ａ．大前提 Ｂ．小前提Ｃ．推理形式D ．大小前提及推理形式４.若质点M 按规律t t s 23-=运动，则3=t 秒时的瞬时速度为 （ ）A .7B .11C .25D .29５.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()2(≥'-x f x ，则必有 （ ）A )2(2)3()1(f f f <+B )2(2)3()1(f f f ≥+C )2(2)3()1(f f f ≤+D )2(2)3()1(f f f >+6．曲线6sin 2+=x y 在4π=x 处的切线的倾斜角是 （ ）A .4πB .4π-C .43πD .43π-7．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为 （ ）Ａ. 72 Ｂ．36 Ｃ．12 D ．08．函数216x xy +=的极大值为 （ ） A .2B .3C .4D .59．曲线x y 4=和x x y 232-=所围成图形的面积 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是 （ ） A .2-，2 B . 1-，4 C .1，1- D . 2，4 11．已知整数按如下规律排成一列：)1,1(、)2,1(、)1,2(、)3,1(、)2,2(、)1,3(、)4,1(、)3,2(、)2,3(、)1,4(、……则第60个数对是 （ ） Ａ．)1,10( Ｂ．)10,2( Ｃ．)7,5( Ｄ．)5,7(12．设函数xx x f )21(log )(21-=，xx x f 21(log )(212-=的零点分别为21,x x ，则（ ）Ａ．1021<<x x Ｂ．121=x x Ｃ．2121<<x x Ｄ．221≥x x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）13．设C z ∈，且i z i 34)21(+=+（i 为虚数单位），则_______=z ，=||z . 14. 用反证法证明命题“如果b a >，那么33b a >” 时，应假设 . 15.函数x x y ln -=的单调减区间为 .16.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 17.若三角形内切圆半径是r ，三边长为,,,c b a 则有三角形面积r c b a S )(21++=.根据类比思想，若四面体内切球半径是R ，四面体四个面的面积是,,,,4321S S S S 则四面体的体积=V .18．已知函数cx bx x x f ++=23)(的图象如图所示，则=+2221x x .三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. 证明：（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a .证明：21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为 矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成 正比（强度系数为k ，0 k ）．要将直径为d 的圆木锯 成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？ 解：dx横梁断面图已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值. 解：已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=.（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式. 解：2010—2011学年度第二学期期中考试参考答案 高二数学（理科） 2011.4一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13.i +2，5 14.33b a ≤ 15.)1,0( 16.221e17.)(314221S S S S R V +++= 18．38三、解答题（本大题共6小题，共60分．）19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）)1(2)1(3)2(2i i m i z --+-+=i m m m m )23()232(22+-+--=. …………………………………1分①当0232=+-m m 时，即1=m 或2=m 时，复数z 为实数. …………2分②当0232≠+-m m 时，即1≠m 且2≠m 时，复数z 为虚数. …………3分③当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数. …………………………………………5分 （Ⅱ）若复数z 所对应的点在第二象限，则⎪⎩⎪⎨⎧>+-<--023023222m m m m . …………7分解得⎪⎩⎪⎨⎧><<<-21221m m m 或，所以121<<-m .所以， m 的取值范围)1,21(-. …9分20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++ 证明：因为0,222>≥+a bc c b ， …………………………………………1分 所以abc c b a 2)(22≥+. …………………………………………2分同理abc c a b 2)(22≥+.abc b a c 2)(22≥+. …………………………………………………3分所以abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. ……………………4分（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a证明：要证321---<--a a a a ，只需证明213-+-<-+a a a a ， ……………………5分两边平方得212323232-⋅-+-<-⋅+-a a a a a a ，……6分 只需证明213-⋅-<-⋅a a a a ， …………………………7分两边平方得23322+-<-a a a a ，…………………………………8分 即20<，所以原不等式成立 ……………………………………9分 21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明解：（Ⅰ）因为n n a a -=+211， 所以a a -=212， a a a 2323--=，aa a 34234--=， ………………3分 （Ⅱ）猜想：an n a n n a n )1()2()1(-----=. ……………………………5分 证明：①当1=n 时， a a =1显然成立.， ………………………………6分②假设k n =时，a k k a k k a k )1()2()1(-----=，……………………………7分 当1+=k n 时，ak k a k k a a k k )1()2()1(21211------=-=+ ])2()1[(])1([2)1(a k k a k k a k k --------= kak a k k -+--=)1()1(.…………8分 故当1+=k n 时，结论成立.由①、②可知，对N n ∈，都有a n n a n n a n )1()2()1(-----=成立. . …………19分 22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0>k ）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？解：设断面高为h ，则222x d h -=．横梁的强度函数2)(xh k x f ⋅=， d x 横梁断面图所以)()(22x d x k x f -⋅= ，d x <<0． ……………………………3分 所以)3()(22x d k x f -⋅='．令0)(='x f 解得d x 33±=（舍负）． ……5分 当d x 330<<时，0)(>'x f ；当d x d <<33时，0)(<'x f ． ……6分 因此，函数)(x f 在定义域),0(d 内只有一个极大值点d x 33=．………………7分 所以)(x f 在d x 33=处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………8分 即当断面的宽为d 33时，横梁的强度最大． ……………………9分 23．（本题10分）已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值．解：(Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +=' ……………………………………………………1分 ①当0=a 时，令)(x f '=0, 得0=x ．若0>x 则0)(>'x f ,从而)(x f 在),0(+∞上单调递增；若0<x 则0)(<'x f ,从而)(x f 在)0,(-∞上单调递减． ………………3分 ②当0>a 时,令0)(='x f ,得0)2(=+ax x ,故0=x 或a x 2-=． ………4分 若a x 2-<,则0)(>'x f ，从而)(x f 在)2,(a --∞上单调递增； ………5分 若,02<<-x a 则0)(<'x f ，.从而)(x f 在)0,2(a -)上单调递减；……6分若0>x ， 则0)(>'x f ，从而)(x f ),0(+∞上单调递增． ……………7分 (Ⅱ)①当0=a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是1)1(=-f . …………8分 ②当20<<a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是a e f -=-)1(.………9分 ③当2≥a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是224)2(e a a f =-．………10分 24．（本题14分）已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=．（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式.解：（Ⅰ）∵函数)(x f 过点)2,1(-，∴2)1(=-+-=-c b a f ， ①……………1分又c bx ax x f ++='23)(2，函数)(x f 点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ， ∴⎩⎨⎧='-=0)1(2)1(f f ，即⎩⎨⎧=++-=++0232c b a c b a ， ②……………3分 由①和②解得3,0,1-===c b a ，故 x x x f 3)(3-=． ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，解得1±=x ， ……………5分 ∵2)2(,2)1(,2)1(,18)3(=-==--=-f f f f ， …………………………6分 ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-， …………………………7分 ∴对]2,3[,21-∈∀x x ，都有20|)()(|21≤-x f x f ，∴20≥t ，从而t 的最小值为20． ………………………………………8分（Ⅲ）∵c bx ax x f ++='23)(2，则 ⎪⎩⎪⎨⎧++='+-=-'='c b a f c b a f c f 23)1(23)1()0(，可得)0(2)1()1(6f f f a '-'+-'=．……………10分 ∵当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，∴1|)1(|≤-'f ，1|)0(|≤'f ，1|)1(|≤'f ． ∴4|)0(|2|)1(||)1(||)0(2)1()1(|||6≤'+'+-'≤'-'+-'=f f f f f f a ． ∴32≤a ，故a 的最大值为32． …………………………………………………12分 当32=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+-=-'=='1|22||)1(|1|22||)1(|1|||)0(|c b f c b f c f ，解得1,0-==c b ．∴a 取得最大值时x x x f -=332)(． …………………………………………14分。

高二数学试题答案一、填空题：1.72.93.文：3；理：必要不充分4.21 5.45︒ 6.文：{|66}y y y ≤-≥或；理：若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤7.3 8.1-∶1∶2 9.12(41)3n +- 10.(1,1)- 11.1或2 12.{|32}x x x <->-或 13.214.{|15}x x x <<<<二、解答题：15.解：过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ，设x CD =.因0>>>c b a ，故x c a ACD -=∠tan ，xc b BCD -=∠tan .………4分 xc b c a x b a x c b x c a x c b x c a ACB ))((1tan --+-=--+---=∠. ………8分 因0))((>--c b c a ，且0>x ， 故))((2))((c b c a xc b c a x --≥--+. ……………10分 因0>-b a ，所以))((2tan c b c a ba ACB ---≤∠， 当且仅当))((c b c a x --=时“=”成立. ……………12分 因)2,0(π∈∠ACB ，x y tan =在)2,0(π上是增函数， 故当))((c b c a x --=时，ACB ∠最大. ……………14分16.解：当0a =时，410x -+≤，原不等式的解集为1[,)4+∞；…………2分当0a ≠时，一元二次方程2410ax x -+=的判别式164a ∆=-. 当4a >时，0∆<，原不等式的解集为∅； ……………4分 当4a =时，0∆=，原不等式的解集为1{}2； ……………6分 当04a <<时，1x =2x =12x x <，原不等式的解集为； ……………10分当0a <时，1x =2x =12x x >，原不等式的解集为{|x x ≥x≤. ……………14分 17.解：（1）由正弦定理得4sin sin sin a b c A B C===, ∴由224(sin sin ))sin A C b B -=-得222a c b -=-,………4分 于是232222=-+ab c b a ,即cos C ＝23,∴C ＝30°. ……………8分 （2）∵C =30°，∴4sin 2c C ==. ……………10分由余弦定理得224(2a b ab =+≥， ……………12分1sin 22S ab C =≤=+ABC ∆面积的最大值为2+ ……………14分18.解：（1）若2(2)4(21)0m m ∆=-+=，1m =±.当1m =+时，{1A =-，符合题意； ……………3分当1m =A =∅，不合题意； ……………5分 由(1)(3)0f f --<得52m >； ……………7分 又由(3)0f -=得52m =，{2,3}A =--，不合题意.(1)2f -=. 所以实数m的取值范围是5{|12m m m >=+或 ……………9分 （2）集合A 含有两个元素等价于0,31,(3)0,(1)0,m f f ∆>⎧⎪-<-<-⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩即1113,9410,20,m m m m ⎧<->+⎪<<⎪⎨-+≥⎪⎪≥⎩……………14分 所以实数m的取值范围是5{|1}.2m m +<≤ ……………16分 19.解：（1）等比数列{}n a 的公比为q .则条件得22226q q ++=，解得1q =或2q =-. ……………2分当1q =时，2n a =；当2q =-时，12(2).n n a -=- ……………6分（2）2n b n =或12(2).n n b n -=- ……………7分 当2n b n =时，22(12)n T n n n =+++=+ ； ……………8分 当12(2)n n b n -=-时，231122232(1)2n n n T n -=⨯-⨯+⨯-+-⨯ ，…………10分 两边同乘以2-得231121222(1)(1)2(1)2n n n n n T n n -+-=-⨯+⨯-+--⨯+-⨯ ，……12分 于是23113222(1)2(1)2n n n n n T n -+=-+-+---⨯112(1)2(2)(1)21(2)n n n n n -+--⨯-=--⨯--， 所以112(1)2(1)329n n n n n n T ++----⨯=. ……………16分 20.解：（1）由已知，当1n =时，1111322a a a c =++，1.a c =- ……………2分 当2n =时，122232a a a a c +=++，2483a c =-=，所以 6.c =- …………4分 于是13622n n n S na a =+-，11113(1)622n n n S n a a +++=++-， ……………6分 两式相减得1111313(1)2222n n n n n a n a a na a +++=++--， 整理得1(2)(3)n n n a n a ++=+， ……………9分 于是1(1)(2)n n n a n a -+=+，…，2134a a =.因16a =，故0n a >，将(1)n -个等式相乘得2(2).n a n =+ ……………12分（2）122311111111[]43445(2)(3)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯++ ………14分 11111111111[()()()]()434452343312n n n =-+-++-=-<+++ . …………16分注：对于其它解法请酌情给分.。

C 3H 8C 2H 6CH 4H H H H H H H H H H HH H H C C C C C H H H H C 2010-2011学年高二数学第二学期期中考试班别:________ 姓名:_______ 分数:_________一、 选择题（每小题5分，共50分）1. 在复平面中,复数12z i=+ (i 为虚数单位)所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．设离散型随机变量X 的概率分布如下：则 A.23 B. 43 C. 53 D. 763. 在二项展开式1021001210(1)x a a x a x a x +=++++ 中，13579a a a a a ++++=（ ） A ．1024 B ．512 C ．256 D ．1284. 曲线31y x x =--的一条切线垂直于直线210x y +-=, 则切点P 0的坐标为（ ）A. (1,1)- B. (1,1)(1, 1)---或C. (1) 1)-或D. (1, 1)-- 5．6(21)x +展开式中2x 的系数为（ ）.A ．15B ．60C ．130D ．2406. 设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图1所示,则()y f x =的图象最有可能是下图中的（ ）A B CD 7．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．．是（ ）.A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 128．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）.A . 0.216 B. 0.36 C. 0.432 D. 0.6489. 甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率是（）A．34B．23C．45D．71010. 独立性检验中，假设H：变量X与变量Y没有关系．则在0H成立的情况下，估算概率2( 6.635)0.01P K≥≈表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y有关系的概率为99%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x与y之间的一组数据：必过点.12. 在平面几何里，已知直角△SAB的两边SA，SB互相垂直，且,SB a SB b==则AB 边上的高h=拓展到空间，如图4，三棱锥S ABC-的三条侧棱SB、SB、SC两两相互垂直,且,,SA a SB b SC c===,则点S到面ABC的距离______________.h'=13. 已知正数a b c、、满足1,a b c++=则114()a b c++的最小值是____________.14．在极坐标系中，点M在圆2cosρθ=上运动，则点M到直线sin()4πρθ+=的最近距离为.15. 直线l：12xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）上的点(,)P x y到点(1,2)Q-则(,)Pxy的坐标为．_C_A三、解答题（共5小题，合计44分）16. （9分）计算由曲线29y x =-与直线7y x =+围成的封闭区域的面积.17．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.18．已知函数32()3f x x ax x =-+，且x ＝3是()f x 的极值点.（1）求实数a 的值； （2）求()f x 在x ∈[1，5]上的最小值和最大值．19. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服用药的共有55个样本，服用药但患病的仍有10个样本，没有服用药且未患病的有30个样本.（1）根据所给样本数据画出2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++20. 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7Pξ>=．(0)10（1）求文娱队的人数；（2）写出ξ的概率分布列并计算Eξ．21. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资ˆ的回归系数a, b;试求：（1）线性回归方程a=bxy+(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？。

2010——2011第一学期高二数学期中试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知a 、b 、c R ∈,下列命题中正确的是（ ） A ．22a b ac bc ⇒>>B ． 22ac bc a b ⇒>>C ． 3311a b a b⇒>< D ． 22a b a b ⇒>> 2．若三点(3,1)A (2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 （ ）A ．2B ．3|C ．9D ． 9-3．若,0ac bc >0<，则实数0ax by c ++=必不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，则m 的值为 （ ） A ．133--或 B ．133-或 C ．133-或 D ．133或 5．若直线(25)(2)40a x a y ++-+=与直线(2)(3)10a x a y -++-=互相垂直，则a 的值为 （ ）A ．2a =B ．2a =-C ．22a a ==-或D ．2,0,2a =- 6．若(,)M x y 在直线210x y ++=上移动时, 则24x y +的最小值是 （ ） BBC． D．7．设x a ε-<，y a ε-<，则下列不等式中必成立的是 （ ）A ．x y ε+<B ．x y ε-<C ．2x y ε->D ．x y ε-<2 8．直线240x y --=绕它与x 轴的交点逆时针方向旋转4π，所得直线方程为 （ ）A ．320x y --=B ．360x y -+=C ．360x y +-=D ．20x y +-=9．点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，直线l 外一点222(,)P x y ，则方程 1122(,)(,)(,)0f x y f x y f x y --=表示的直线是 （ ）A ．与l 重合B ．过1P 与l 垂直C ．过2P 与l 平行D ．过2P 与l 相交10．若(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为 （ ）AB．C ．D ．211．已知点(3,2)P 与点(1,4)Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．0x y -=C ．10x y ++=D ．0x y +=12．不等式组36020x y x y ++⎧⎨-+⎩≥<表示的平面区域是 （ ）C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设0x ≠，则函数21()1y x x =+-在x = ________时，有最小值______________.14．不等式321x y -≤的解是_______________. 15．设z x y =-，式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-⎧⎨-⎩≥≥，则z 的最小值为 .16．光线从点(3,4)A -出发射到x 轴上，被x 反射到y 轴上，又被y 轴反射后到点(1,6)B -， 则光线所经过的路途长为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．(本小题满分12分)比较61x +与42x x +的大小，其中x R ∈.18．(本小题满分12分)已知直线l 满足下列两个条件：（1） 过直线1y x =-+和24y x =+的交点；（2） 与直线320x y -+=垂直，求直线l 的方程.19．(本小题满分12分) 解下列不等式 （1）322150x x x --> （2）22411372x x x x -+-+<20．(本小题满分12分)有两种物资（石油和粮食），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘21．(本小题满分12分) 在ABC ▷中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=， A ∠的平分线所在的直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和C 的坐标.22．(本小题满分14分) 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线方程是320x y -+=，直角顶点142(,)55C ，求两条直角边所在的直线方程和此时三角形面积。

2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（每题3分，共36分）：1．化简2)1(42i i ++（其中i 是虚数单位）的结果是i -2 2．已知),(,2R b a i b ai ∈++是某实系数一元二次方程的两个根，则=+b a 13．设O 是正方体1111D C B A ABCD -底面ABCD 的中心，则直线O B 1和D D 1的位置关系是 相交4．以直线032=+x 为准线的抛物线的标准方程是x y 62=5．双曲线222=-y x 的焦点坐标是)0,2(±6．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则=m 8 7．若直线a 和平面α相交，则直线a 和平面α所成角的范围是]2,0(π 8．设复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值为15-9．设P 是双曲线11222=-y x 上一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积是 1210．设抛物线x y 82=内一点P （2,3），Q 是抛物线上一点，则QF PQ -的最大值是 311．已知复数R b a bi a z ∈+=,(且)0≠b ，若bz z 42-是实数，则有序实数对),(b a 可以是 )1,2( （符合b a 2=且0≠b 即可） 12．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的序号是 ②④二、选择题（每题4分，共16分）：13．若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，则实数x 的值为（ B ）（A ）1± （B ）1- （C ）1 （D ）014．设n m l ,,均为直线，其中n m ,在平面α内，则“α⊥l ”是“m l ⊥且n l ⊥”的（ A ）（A ）充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的半径是（ B ）（A ）a （B ）b （C ）ab （D ）22b a +16．如图，过正方体1AC 的顶点A 作平面BD A 1的垂线。

农安实验中学2010---2011学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等轴双曲线过)2,1(点，则它的焦点坐标为 （ C ） A ．（0，)6± B ．（6±，0） C ．（0，6±） D ．（6±，0）2．若方程11222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为（A) A ． 2>k 或1<k B ．21<<k C ．12<<-k D ．21<<-k3、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ D ）A 、25-B 、25C 、1-D 、14.下列有关命题的说法错误．．的是 ( C ) (A)命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行,同位角不相等”. (B) “1=x ”是“2430x x -+=”的充分不必要条件. (C)若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.(D)对于命题p ：0x R ∃∈，使得200220x x ++≤, 则⌝p ：x R ∀∈， 均有2220x x ++>. 5．如果10a b -<<<，则有（ A ）（A ）2211b a b a <<< （B ）2211a b b a <<< （C ）2211b a a b <<< （D ）2211a b a b<<<6．设0,0.a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ B ． ）A ．8B ．4C ．1D ．147．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且76b a =，{}n b 是等差数列，则有（B ） （A ）10493b b a a +≤+ （B ）10493b b a a +≥+（C ） 10493b b a a +≠+ （D ）93a a +或104b b +的大小不确定 8．在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无数个，则a 为（ A ）A ．－2B ．2C ．－6D ．69、若椭圆)1(122>=+m y m x 和双曲线)0(122>=-n y nx 有共同的焦点F 1、F 2,且P 是两条曲线的一个交点,则△PF 1F 2的面积是：（A ） A.1 B.21C.2D.4（10）已知两定点(0)0)A B 、，直线l 过点A且与直线1y =+平行，则l上满足||||2PA PB -=的点P 的个数为（B ）（A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 无法确定（11）过椭圆2212516x y +=内一点（0，2）的弦的中点的轨迹方程为(A) （A ）2216(1)125x y +-=（B ）2225(1)116x y +-=（C ）22(1)125x y +-=（D ）22(1)116x y +-=12、在等差数列{a n }中，若189=s ，240=n s ，304=-n a ，则n 的值（B ）（A ）14 （B ） 15 （C ）16 （D ） 17二、填空题13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且9123a a a =，则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10的值是_____ 131614、与双曲线221916x y-=有共同的渐近线，且经过点()3, 23M -的双曲线的方程为____________________；224194x y -= 15、数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥． 则{}n a 的通项公式 =n a 13-n16、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上任意一点，当||||221PF PF 取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为____________________.3 三、解答题17、（本题满分10分）已知锐角ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32sin b a B =； （1）求角A 的大小；（2）若7=a ，c=2，求边b 的长度及ABC ∆的面积.解：（1）由sin 32b B =………………2分 3sin 2A ∴=………………3分A 为锐角………………4分060A ∴= ………………5分18．（12分） 设p :实数x 满足03422<+-a ax x ,其中0>a ,命题q :实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x . (1)若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 18、（12分）解：由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<， 又0a >,所以3a x a <<,当1a =时，1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <.由2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤. 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<. (Ⅱ) p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝,设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则A B ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={23x x ≤>或}，则0<2a ≤,且33a >所以实数a 的取值范围是12a <≤.19、（本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为25,3,25n S a S ==已知{}n a na n有公共的焦点，且椭圆过点1⎫⎪⎭. 两点，且A B 已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(2,0)-是它的一个．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知点(0,1)M ，设00(,)P x y 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求MP MQ ⋅的取值范围．20、（本题满分12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x (0,0>>b a )，半焦距为c依题意得32c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2221a b c a ==-=3分∴所求双曲线C 的方程为2213x y -= 4分（Ⅱ）依题意有：00(,)Q x y --，0000(,1),(,1)MP x y MQ x y ∴=-=---22001MP MQ x y ∴⋅=--+，又220013x y -= 20423MP MQ x ∴⋅=-+，8分由220013x y -=可得，203x ≥ 204223MP MQ x ∴⋅=-+≤-故MP MQ ⋅的取值范围是(,2]-∞-10分21. （本小题14分） 已知椭圆的两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，离心率23=e ． n b ++ (21)2n -++………………12分（1）求此椭圆的方程；（2）设直线m x y l +=:，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．解：（1）设椭圆方程为12222=+by a x )0(>>b a ， ……1分则3=c ，23=a c ， ……2分 ∴1,2222=-==c a b a ……3分 ∴所求椭圆方程为1422=+y x . ……4分（2）由⎩⎨⎧=++=4422y x m x y ，消去y ，得0)1(48522=-++m mx x ， ……6分 则0)1(806422>--=∆m m 得52<m （*）设),(),,(2211y x Q y x P ，则5821mx x -=+，5)1(4221-=m x x ，2121x x y y -=-， (7)分2]5)1(16)58[(2)()(22221221=---=-+-=m m y y x x PQ (9)分解得.8152=m ，满足（*）∴.430±=m ……10分 （1） 设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B （0，1），由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为1+=kx y （不妨设k<0），则BC 边所在直线的方程为11+-=x k y ，由⎩⎨⎧=++=44122y x kx y ，得A ),1418,418(222++-+-k k k k ……11分 ∴,4118)418()418(2222222kkk k k k k AB ++=+-++-= ……12分 用k 1-代替上式中的k ，得22418k k BC ++=，由BC AB =，得,41)4(22k k k +=+ ……13分k<0，∴解得：1-=k 或253±-=k ，故存在三个内接等腰直角三角形. ……14分22．(本小题满分12分)设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ． (1)设nn T b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ； (2)设22221n n T T T S +++= 求证：41211-≤<-+n n n a S a ． 22．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力． 解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n nn n n ， ∴)2(,11≥-=-n T T T n nn (2分)∴)2(,1111≥-=-n T T n n ， ∵nn T b 1=∴)2(,11≥=--n b b n n . (4分) ∵,1n n a T -=∴11111T a T -=-=，∴211=T ， ∴2111==T b ， ∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴1)1(2+=-+=n n b n ，∴111+==n b T n n ， ∴1111+-=-=n T a n n ． (7分) (2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n n ， ∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n211-=+n a ∴n n S a <-+211 (10分)当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n41112141-=+-+=n a n ， 当1=n 时，41411211-===a T S ，∴41-≤n n a S . (12分)。