2014年宁波大学872量子力学考研真题【圣才出品】

周世勋《量子力学教程》（第2版）配套模拟试题及详解（一）一、简答题（每小题5分，共20分。

）1．何谓微观粒子的波粒两象性？答：微观粒子既不是粒子，也不是波。

更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的第一条属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的第三条属性（具有干涉与衍射现象）。

严格地说，电子就是电子，粒子与波只是微观粒子的两种不同的属性。

如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，它既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。

2．波函数和它所描写的粒子之间有什么关系？解：微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。

波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

微观粒子的状态波函数ψ用算符Fˆ的本征函数Φ展开（n n n F Φ=Φλˆ，λλλΦ=ΦF ˆ）：∑⎰Φ+Φ=ψn n n d c c λλλ，则在ψ态中测量粒子的力学量F 得到结果为n λ的几率是2n c ，得到结果在λλλd +→范围内的几率为λλd c 2。

3．坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[]ˆ,x x p i = ，测不准关系为2x x p ∆∆ ≥。

4．什么叫电子自旋？解：电子的内禀特性之一：（1）在非相对论量子力学中。

电子自旋是作为假定由Uhlenbeck 和Goudsmit 提出的：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2 ±=z s ；每个电子具有自旋磁矩M s ，它和自旋角动量的关系式：μμ2 e M S e M sz s ±=→-=。

（2）在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方程中，不需另作假定。

二、（25分）在时间t＝0时，一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态：式中u n（x）是振子的第n个本征函数。

宁波大学2018年硕士研究生招生考试初试试题(A 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码：872 总分值：150 科目名称：量子力学
一、简答题（每题5分，共20分）
1、何为守恒量？一个力学量是一个体系的守恒量的条件是什么？
2、已知，试写出、满足的不确定关系。

3、试用全同性原理解释泡利不相容原理。

4、算符, 均为厄米（Hermite）算符，问算符是否为厄米算符？简述理由。

二、（本题10分）设体系处于状态（波函数已归一化，即）。

求：
（1）角动量的z轴分量，即的可能测值及相应几率；
（2）的可能测值及相应几率，其中为角动量。

三、（本题10分）证明厄米算符的本征值为实数。

四、（本题15分）考虑态矢空间的子空间，并取。

求表象中，，的
矩阵表示，并求出，的本征值、本征矢。

五、（本题15分）电子在均匀电场中运动，哈密顿量为, 判断，，，中哪
几个力学量为守恒量，需明确写出对易关系。

六、（本题15分）设，是与对易的任意矢量算符，证明：。

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第8章量子力学若干进展8.1复习笔记一、朗道能级1．能级推导电子在均匀外磁场B（沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程：ψψψE p p y B e p m H z y x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22221 鉴于力学量(,,)x z H p p 互相对易，得相应本征态为：)(),,(/)(y e z y x z p x p i zx χψ +=其中，()y χ满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在0y ）：)()2()()()(2)(22202222y mp E y y y mc eB m y dy d m z χχχ-=-+- 其中，0||x cp y e B =。

由此可得出朗道能级：2,1()22z z p n c p E n m ω=++ 。

2．结果讨论（1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。

从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在垂直磁场方向绕z 轴旋转。

（2）磁场对能量贡献1||(2z e n B B mcμ+=- ，0z μ<称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。

（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场ϕ中含元磁通量子（0||hc e ϕ=）数目。

二、阿哈罗诺夫-玻姆效应在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B，势ψ和A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。

但在量子力学中，势ψ和A 具有可观测意义。

图8-11．实验及其现象如图8-1，从电子枪S 出射的电子束流经双缝和两条路径21,P P 到达屏上，在两条路径中放置一个很长的电流螺线管，垂直纸面，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。

当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。

2．现象讨论（1）因螺线管的外部并不存在磁场，所以经典电动力学中，磁场的物理效应不能完全用B 来进行描述。

（2）当螺线管内有磁通ϕ时，电子经过的外部空间B=0，但0≠A 时，因为对包围螺线管的任一闭合回路路径积分有⎰=⋅φl d A ，矢势A 可以对电子发生相互作用。

宁波大学2019年硕士研究生招生考试初试试题(B 卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)第 1 页 共 2 页 科目代码： 872 总分值： 150 科目名称： 量子力学一、简答题（每小题6分共30分）1.将波函数)21exp(22x A αψ−=归一化。

2.力学量Gˆ在其自身表象下的矩阵一定是对角矩阵吗？举一个例。

3. 若表征角动量1ˆJ的量子数为1j ，表征角动量2ˆJ 的量子数为2j 求两个角动量之和的量子数的取值。

4. 写一个量子相干叠加态，写一个量子纠缠态（都可以用ket-bra 表示）。

5. 若xi p x ∂∂−= ˆ，则[]?ˆ, i p x x =请证明之。

二．计算题（共120分）1. （15分）氢原子处于基态, 计算 , 并检验测不准关系。

2. （20分）设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ−−=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

提示：氢原子的能级为22222282 s s e n e E μμ−=−=。

3. （20分）求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110x σ与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=00i i y σ在z σ表象中的本征值与对应的本征矢。

4. （15分）自旋s=1/2,并且具有自旋磁矩S ˆM ˆ0μ=的粒子处于沿x 方向的均匀磁场B 中，已知t=0时刻粒子的2/s =z ,求在以后任意时刻t 发现粒子具有2/s ±=y 的几率。

5. （15分）求在一维短程势)()(0x V x V δ−=中质量为m 的粒子的束缚能。

2018年宁波大学872量子力学考研真题一、简答题（每题5分，共20分）1．何为守恒量？一个力学量是一个体系的守恒量的条件是什么？2．已知[],A B i=试写出ΔA、ΔB满足的不确定关系。

3．试用全同性原理解释泡利不相容原理。

4．算符A、B均为厄米（Hermite）算符，问算符C＝i[A，B]是否为厄米算符？简述理由。

二、（本题10分）设体系处于状态ψ＝c1Y11＋c2Y20（波函数已归一化，即|c1|2＋|c2|2＝1）。

求：（1）角动量的z轴分量，即l z的可能测值及相应几率；（2）l2的可能测值及相应几率，其中l为角动量。

三、（本题10分）证明厄米算符的本征值为实数。

四、（本题15分）考虑lm 〉态矢空间的l ＝1子空间，并取1=求（l 2，l z ）表象中l x 、l y 、l z 的矩阵表示，并求出l x 、l y 的本征值、本征矢。

五、（本题15分）电子在均匀电场中运动，哈密顿量为2ˆˆ2p H e εy m =+判断p x 、p y 、l y 、l z 中哪几个力学量为守恒量，需明确写出对易关系。

六、（本题15分）设A ∧、B ∧是与σ∧对易的任意矢量算符，证明：（σ∧·A ∧）·（σ∧·B ∧）＝A ∧·B ∧＋i σ∧·（A ∧×B ∧）七、（本题15分）设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为E n 和ψn ，n 为标记包含哈密顿量H 在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数。

设H 含有一个参数λ，证明： n n n E H ψψλλ∂∂=∂∂八、（本题20分）由两个非全同粒子（自旋均为2）构成的体系，设粒子间相互作用为H ＝As 1s 2（不考虑轨道运动）。

设初始时刻（t ＝0）粒子1自旋“向上”（s 1z ＝1/2），粒子2自旋“向下”（s 1z ＝－1/2）。

求时刻t （＞0）：（1）粒子1自旋向上的概率；（2）粒子1和2自旋均向上的概率；（3）总自旋s ＝0及s ＝1的概率。