高中数学易错点整理

高考数学易错点及重要知识点归纳高考数学是高中阶段各科中相对较难的一门科目，考试难度也相对较高，很容易让考生犯错，导致分数损失。

本文将总结高考数学易错点及重要知识点，并提供相应的解题技巧，希望考生能够避免犯错，取得好成绩。

一、易错点1.符号混淆这是数学中比较普遍的一个易错点，包括加减号、乘号、除号、左右括号等符号的混淆。

一旦出现符号混淆，就会直接导致答案错误或提高解题难度。

因此，考生在做题时要非常注意符号的正确使用。

2.大意误解有些考生在做题时，阅读理解出现失误，对题目的意思产生误解，从而造成答案错误。

所以一定要认真读题理解，分析问题。

尤其是碰到长篇阅读理解时，要先明确大意。

3.计算错误在数学中，很多题目难度相对较低，但往往因为一些简单的计算错误而导致错误答案。

这种错误需要我们在平时做题中多加注意和练习，对于那些需要计算的题目尤其重要。

4.公式错误在解决复杂问题时，我们往往会用到一些公式，不过使用公式时也有可能写错或理解不正确，导致答案错误。

因此，我们必须学会正确地运用公式。

5.转化错误在一些题目中，需要把题目中的信息转化为数学式子，但转化时有可能出现问题。

转化错误的解题方法很难想，因此，要认真仔细看题，并多加练习。

二、重要知识点1.根式根式是数学中常见的一类表达式，在高考数学中也经常出现。

根式的运算和化简需要考生细心认真对待。

2.平面几何平面几何中涉及到的知识点非常多，包括图形的基本性质、相邻角、对顶角、内角和、外角和、周长与面积等等。

考生需要熟记这些知识点，并掌握相应的解题技巧。

3.立体几何立体几何是高考数学中比较难的部分，需要考生掌握图形的三维空间形态，涉及到的知识点包括图形的表面积、体积、棱长、斜高等。

4.导数导数是高中数学中非常重要的一个概念，在高考数学中占有很大的分值和比重。

考生需要明确掌握导数的定义、运算法则等知识点，能够熟练地运用这些知识解决问题。

5.函数函数在高考数学中出现得非常频繁，考生需要掌握函数的概念、性质和运算法则，将它们应用到相应的问题中，解题思路要清晰、技巧到位。

高中学生数学易错题选析（一）张家炎 阮晓锋【易错点1】忽视“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”而导致思维不全面。

例1．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A ∩B=B ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】由此题条件A ∩B=B 易知B A ⊆，但在本题解答中极易因忽视“空集是任何集合的子集”这种特殊情况而造成漏掉a=0的值。

解析：由集合A 化简得{}3,5A =，又由A ∩B=B 知B A ⊆，故有： （Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件 （Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【练1】已知集合{}2|40A x xx =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。

答案：1a =或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2．已知()22214yx ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易想到利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数求值域，但极易忽视()22214yx ++=这个条件中x 、y 的约束关系而造成扩大定义域范围致出错。

解析：由于()22214yx ++=得(x+2)2=1-42y≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2-16x-122283383x =-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y 2有最大值328。

故x 2+y 2的取值范围是[1,328]说明：此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解【练2】⑴若动点（x,y ）在曲线22214xy b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ）（A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b +（D ）2b答案：A⑵是否存在实数a ，使函数()()2log a fx a x x=-在[]2,4上是增函数？若存在，试求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

高中数学50个易错点汇总，高中生都避开这些坑！一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时，易忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

10.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围恒成立问题。

这几种基本应用你掌握了吗?11.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?真数大于零，底数大于零且不等于1字母底数还需讨论二、不等式12.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”。

13.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式分式不等式的注意事项是什么?14.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”。

15.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。

三、数列16.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?17.在“已知，求”的问题中，你在利用公式时注意到了吗?需要验证，有些题目通项是分段函数。

18.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。

19.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

易错点1遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．易错点2忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．易错点3混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．易错点4充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断．易错点5“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真)；命题p∧q真⇔p 真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假)；綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假)．求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解．易错点6函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点7判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．易错点8函数零点定理使用不当致误如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)＞0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．易错点9导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．易错点10导数与极值关系不清致误f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．另外，已知极值点求参数时要进行检验．易错点11三角函数的单调性判断致误对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，当ω＞0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y＝sin x的单调性相同，故可完全按照函数y＝sin x的单调区间解决；但当ω＜0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y＝sin x的单调性相反，就不能再按照函数y＝sin x的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断．易错点12图像变换方向把握不准致误函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，x∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换．若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移|φ|ω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．易错点13忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视．易错点14向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题．数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b＜0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ＝π的情况．易错点15an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．易错点16对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数；一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c＝0”；在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N*)是等差数列．易错点17数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题．数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n＝1和n≥2分开讨论，再看能不能统一．在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．易错点18错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和．基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n－1项和为主的求和问题．这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理．易错点19不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误．易错点20忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤a＋b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a＋b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件．对形如y＝ax＋bx(a，b＞0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，bx的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量x的取值范围，在此范围内等号能否取到．易错点21解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如ax2＋bx＋c＞0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ＞0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)＞0，其中x1，x2(x1＜x2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，如果a＞0，则不等式的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，如果a＜0，则不等式的解集是(x1，x2)．易错点22不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法．通过最值产生结论．应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，即f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．易错点23忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出，这一点很容易疏忽．易错点24面积、体积的计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要题型．因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法．(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用．(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积．(4)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题，常画出轴截面进行分析求解．易错点25随意推广平面几何中的结论致误平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．易错点26对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法，此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．易错点27空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．易错点28忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在．如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解．这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的必要条件是A1B2－A2B1＝0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案．对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况．利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．易错点29忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况；二是要明确截距为零的直线不能写成截距式．因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况．易错点30忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．易错点31忽视特殊性、误判直线与圆锥曲线位置关系过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，也就是直线与双曲线最多只有一个交点；二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系．在直线与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其特殊性．易错点32两个计数原理不清致误分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基本原理解决．对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理．易错点33排列、组合不分致误为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决．建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性的是组合问题．易错点34混淆项的系数与二项式系数致误在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Crnan－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C0n，C1n，C2n，…，Cn－1n，而不是C1n，C2n，C3n，…，Cnn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积．易错点35循环结束的条件判断不准致误控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．易错点36条件结构对条件的判断不准致误条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．易错点37复数的概念不清致误对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．解决复数概念类试题要仔细区分以上概念差别，防止出错．另外，i2＝－1是实现实数与虚数互化的桥梁，要适时进行转化，解题时极易丢掉“－”而出错．。

高中数学常见易错点总结1、在应用条件A ∪B ＝B <=> A ∩B ＝A <=> A B 时，易忽略A 是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性；2、明确命题的否定与否命题关系的区别。

3、理解集合的表示法，区分集合中代表元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++== }12|{2++==x x x x D ；4.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.比如在求函数单调区间和值域时5.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”。

单调区间不能用集合或不等式表示.两个单调区间之间要用逗号相连6、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。

7.均值不等式a b +≥2ab （0,0a b >>）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。

在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。

常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是0,0a b >>不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。

8.“数形结合”是重要思想方法之一，在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

9.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围10、要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

11、曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；而曲线过某一点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，此时的切线可能不止一条。

因此求曲线的切线时，首先要区分是什么类型的切线。

高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。

错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。

错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。

本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。

也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。

参考答案】详见试题解析。

易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。

错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。

错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。

试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。

当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。

3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。

高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。

（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是 。

9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、 已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。

高中数学易错知识点梳理一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.（1）已知“集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N”；与“集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}求M ∩N ”的区别.（2）已知集合{}{}A B ==圆，直线，则A B 中的元素个数是____个.你注意空集了吗？（3）设()f x 的定义域A 是无限集，则下列集合中必为无限集的有①{|(),}y y f x x A =∈ ②{(,)|(),}x y y f x x A =∈③{|()0,}x f x x A ≥∈ ④{|()2,}x f x x A =∈ ⑤{|()}x y f x =3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记A =∅.例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了2a =的情况了吗？4． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) , (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)； ,A B B B A A B B A B =⇔⊆=⇔⊆ ,对于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个？（特别注意∅）5． 解集合问题的基本工具是韦恩图.某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6． 两集合之间的关系.},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题. （1）原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. （2）“命题的否定”与“否命题”的区别：____________________ 练习：（1）命题“异面直线,a b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”，求出该命题的否命题. （2）命题“2,3x Q x ∃∈=使成立”，求该命题的否定.（3）若存在．．[13]a ∈，，使不等式2(2)20ax a x +-->，求x 的取值范围.8、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？例如：函数()x f y =与直线a x =的交点的个数有 个 9、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.⑥函数()y f x a =-+与函数()y f x b =+的图象关于直线2a bx -=对称 例如：（1）函数()x f y =满足()()11f x f x +=-+则关于直线 对称（2）函数()1y f x =+与()1y f x =-+关于直线 对称 （3）函数2log 1y ax =-（0a ≠）的图象关于直线2x =对称，则a=（4）函数sin 3y x =的图象可由1cos3y x =-的图象按向量a = （a最小）平移得到.10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？ 例如：（1）若(sin )cos2f x x =，则()f x = （2）若3311()f x x x x+=+，则()f x = 11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？ 例如：（1）函数y=)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；（2）函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域.（3）函数(2)x f 的定义域是（0,1],求2(log )f x 的定义域.函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要记得讨论. 例如（1）已知函数()x f y =的值域是[b a ,]，则函数()1y f x =-的值域是（2）函数y x =的值域是（3）函数y x =+的值域是（4）函数2121x x y -=+的值域是13、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称．．．．．．．．．．．这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;例如：（1）函数()2(0)f x x x =≥的奇偶性是（2）函数()x f y =是R 上的奇函数，且0x >时，()12xf x =+，则()f x 的表达式为14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间或求解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？例如：（1）函数212log (23)y x x =--的单调减区间为（2）若函数212log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（3）若定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调增函数，则不等式()1f ()lg f x <的解集为15、你知道钩型函数()0>+=a xax y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！例如：函数2y =的值域为 2y =的值域为16、幂函数与指数函数有何区别？ 例如：（1）若幂函数()()()223233f x xαααα--=-+是()0,+∞上的单调减函数，则α=（2）若关于x 的方程4210x xa a +++=有解，则实数a 的取值范围是17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b abb a n ac c a n log log ,log log log ==）你还记得对数恒等式吗？（b aba =log ）例如：（1）x 、y 、z ()0,∈+∞且346x y z ==，则3x 、4y 、6z 的大小关系可按从小到大的顺序排列为（2）若集合111log 2,23n A n n N ⎧⎫⎪⎪=-≤≤-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A 的子集有 个 18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！ 例如：（1）方程122log (2)x x -=+的解的个数是（2）不等式(1)(1)log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是19、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？已知函数()()22lg 111y a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦（1）若函数的定义域为R ，求a 的取值范围是（2）若函数的值域为R ，求a 的取值范围是二．三角1． 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 2． 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是 否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3． 在三角中，你知道1等于什么吗？（221sin cos x x =+tan cot tansincos 0142x x ππ=⋅====这些统称为1的代换)常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．诱导公试：奇变偶不变，符号看象限 4． 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）5． 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 6． 你还记得三角化简的通性通法吗？（切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/27． 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒ 练习： （1）tan (0)ba aθ=≠是cos 2sin 2a b a θθ+=的 条件.解析：sin tan sin cos sin sin cos sin cos 1cos 2sin 2cos 2sin 222b b a b a b a aa b a b aθθθθθθθθθθθθθ=⇔=⇔=⇔=-⇔=⇔+=反之，若cos 2sin 2a b a θθ+=成立，则未必有tan ,b a θ=取0,2a πθ==-即可，故为充分不必要条件易错原因：未考虑tan θ不存在的情况（2）已知34sin,cos ,2525θθ==-则θ角的终边在 解析：因为34sin ,cos ,2525θθ==-故2θ是第二象限角，即22()22k k k Z πθπππ+<<+∈，故424()k k k Z ππθππ+<<+∈，在第三或第四象限以上的结果是错误的，正确的如下： 由34sin ,cos ,2525θθ==-知322()42k k k Z πθπππ+<<+∈ 所以3424()2k k k Z ππθππ+<<+∈，故在第四象限 易错原因：角度的存在区间范围过大8． 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 9． 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10. 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ）三角函数性质要记牢.函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为 ， 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论.五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 练习：如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，（1）试确定在时刻min t 时点P 距地面的高度；（2）摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距地面超过70m ?11.三角函数图像变换：（1）将函数为()y f x = 的图像向右平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数cos 2y x =的图像，则()f x =（2）()2sin()2cos 6f x x x π=+-的图像按向量m平移得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，求||m最小的向量m12.有关斜三角形的几个结论：在Rt ABC ∆中，222,,AC AD AB BC BD BA CD AD BD ===内切圆半径2a b cr +-=（S 为ABC ∆的面积）在ABC ∆中，①sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=-tan tan tan tan an tan A B C A t B C ++=sin cos ,cos sin 2222A B C A B C++== ②正弦定理③余弦定理④面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ac B === ⑤内切圆半径2sr a b c=++13．在ABC ∆中，判断下列命题的正误（1）A B >的充要条件是cos 2cos 2A B <(2) tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形（3）若ABC ∆是锐角三角形，则cos sin A B <三、数列1．等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2）仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --数列；（3）若{n a }，{n b }是等差数列，,n n S T 分别为它们的前n 项和，则2121m m m m a S b T --=； （4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项（负项）k a ，那么max(min)()n k S S =B练习：①在等差数列{n a }中，若9418,240,30n n S S a -===，则n =②{n a }，{n b }都是等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，且2132n n S n T n -=+，则99ab = ③若{n a }的首项为14，前n 和为n S ，点1(,)n n a a +在直线20x y --=上，那n S 最大时，n =2．等比数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅； （2）k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；（3）若{n a }是等差数列，则{n ab }是等比数列，若{n a }是等比数列且0n a >，则{log n a b }是等差数列；（4）类比等差数列而得的有关结论练习：①若{n a }是等比数列，4738512,124a a a a =-+= ，公比q 为整数，则10a =②已知数列{n x }满足31212313521n n x x x x x x x x n ====++++- ，并且128n x x x +++= ，那么1x =③等差数列{n a }满足12212nn a a na b n+++=+++ ，则{n b }也是等差数列，类比等比数列{n A }满足 3．等差数列的通项，前n 项和公式的再认识：①1(1)n a a n d An B =+-=+是关于n 的一次函数， ②1()2n n n a a S n a +== 中， ③2n S An Bn =+ 等比数列呢？ 练习：等比数列{n a }中，前n 项和123n n S r -=⨯+，则r = 4．你知道 “错位相减” 求和吗？（如：求1{(21)33}n n --⋅-的前n 项和）你知道 “裂项相消” 求和吗？（如：求1{}(2)n n +的前n 项和）5．由递推关系求通项的常见方法： 练习：①{n a }中，112,21n n a a a +==-，则n a =②{n a }中，1112,22n n n a a a ++==+，则n a = （注：关系式中的2换成3呢）③{n a }满足123,2a a ==且21212n n n a a a n n++=-+-，则n a =④{n a }满足11a =且212n n n a a a +=+，则n a = ⑤{n a }满足12a =且1121()2n n a a a a +=+++ ，则n a = ，n s = 6．善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会 练习：①正项数列{n a }中，111,21n n a a a +=<+，求证：12111111112n n a a a +++>-+++ 分析：1111112112(1)121n n n n n n a a a a a a +++<+⇒+<+⇒>++ 231211111111()()()111122222n n n a a a +++>++++=-+++ ②已知{n a }中111,(2,)(1)!n a a n n N n +==≥∈-，求证：1233n a a a a ++++< 分析：11111(3)(1)!123(2)(1)(2)(1)21n a n n n n n n n n ==<=-≥------- 12311111111133223211n a a a a n n n ++++≤++-+-++-=-<---四、不等式1、同向不等式能相减，相除吗？2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3、分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)6、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等)7、) R b , (a , ba 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）五、向量1．两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意λ=是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示)2．向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：||2=·，cos ||||a ba b θ∙==3．利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意：(1)0,(,],0,,022a b a b a b a b a b πππ∙<⇔<>∈∙=⇔<>=∙> ,[0,)2a b π⇔<>∈（2）0<∙是向量和向量夹角为钝角的必要而非充分条件.4．向量的运算要和实数运算有区别：（1）如两边不能约去一个向量，即a b a c ∙=∙推不出b c = ，（2）向量的乘法不满足结合律，即c b a c b a )()(∙≠∙，（3）两向量不能相除.5．你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？6．几个重要结论：（1）已知,OA OB 不共线，OP OA OB λμ=+，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是1λμ+=；（2）向量中点公式：若C 是AB 的中点，则1()2OC OA OB =+；（3）向量重心公式：在ABC 中，0OA OB OC ++=⇔O 是ABC 的重心.例：设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++=__________.7．向量等式OC OA OB λμ=+的常见变形方法：（1）两边同时平方；（2）两边同时乘以一个向量；（3）合并成两个新向量间的线性关系.8．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量.例1．ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，求数量积,,OA OB OB OC OC OA .例2．平面四边形ABCD 中，313,5,5,cos ,5AB AD AC DAC ===∠=12cos 13BAC ∠=，设AC xAB yAD =+ ，求,x y 的值.例3．如图，设点O 在ABC 内部，且有230OA OB OC ++=，则:A O C A B C S S =____.六、导数1．导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形. 2．几个重要函数的导数：①0'=C ,（C 为常数） ②()'1(xx αααα-=为常数）③'()ln (0x x a a a a =>且1)a ≠ ④'1(log )(0ln a x a x a=>且1)a ≠ ⑤'()x x e e = ⑥'1(ln )x x=⑦'(sin )cos x x = ⑧'(cos )sin x x =-导数的四运算法则 ①()()()()()'''f x g x f x g x ±=±②()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦（C 为常数）③()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅④()()()()()()()()'''2(0)f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦3． 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当'()0f x ≥或'()0f x ≤，带上等号.例.已知20,a b =≠ 且关于x 的函数3211()32f x x a x a bx =+⋅+⋅在R 上有极值，则a 与b的夹角的范围为4．0()0f x '=是函数f(x)在x 0处取得极值的必要非充分条件，f(x)在x 0处取得极值的充分必要条件是什么？ 5．求函数极值的方法： （1）先找定义域，求导数()x f '；（2）求方程()x f'=0的根n x x x ,,,21 找出定义域的分界点；（3）列表，根据单调性求出极值.已知()f x 在0x 处的极值为A ，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值.6． 利用导数求最值的步骤：（1）求函数在给定区间上的极值；（2）比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值. 7．含有参数的函数求最值的方法：看导数为0的点与定义域之间的关系. 8．利用导数证明不等式()()f x g x >的步骤：（1）作差()()()F x f x g x =-；（2）判断函数()F x 在定义域上的单调性并求它的最小值； （3）判断最小值0A ≥；（4）结论：()0F x A >≥，则()()f x g x >. 9．利用导数判断方程的解的情况..已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则当0x →时(1)(1)2f x f x+-趋近于解析：由定义得当0x →时，'(1)(1)1(1)(1)11(1)2222f x f f x f f x x +-+∆-=⋅=⋅=∆易错原因：不会利用导数的定义来解题.例2.函数32()f x x ax bx c =+++，其中,,a b c R ∈，当230a b -<时，()f x 在R 上的增减性是解析：'2()32f x x ax b =++，则24(3)0a b ∆=-<在R 上'()0f x >，故是增函数. 易错原因：不善于利用导函数的""∆来判别单调性.例3.若函数3'21()(1)53f x x f x x =--⋅++，则'(1)f -= 解析：设321()53f x x ax x =-++，则'2()21f x x ax =-+.故'(1)22f a -=+.由22a a =+知2a =-.有'(1)f -=-2.易错原因：不会运用待定系数法解题.例4.3()f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，()f x 的值域为解析：'2()31f x x =-，令'()0f x x >⇒>，()f x ∴在区间2⎤⎥⎣⎦上单调增，在区间⎡⎢⎣⎦上单调减，()f x ∴的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊.七.概率:1.古典概型和几何概型的区别.例如:(1)任意取实数x ∈[1,100],恰好落在[50,100] (2)任意取整数x ∈[1,100],恰好落在[50,100]2事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率. （1）若A 、B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； （2）若A 、B 对立，则()1()P A P A =-.3.概率题的解题步骤: (1)记事件(2)交代总共结果数与A 事件中结果数(几何概率即D,d ) (3)计算 (4)作答例如.1、在等腰直角三角形ABC 中，（1）在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率；（2）过顶点C 在ACB ∠内任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.2．已知在矩形ABCD 中，AB=5，AC=7，在矩形内任取一点P ，求090APB ∠>的概率.八、统计:1.抽样方法主要有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体数目较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，主要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。

高中数学各章节关注点1.4 否定形式命题可考虑用逆否命题来研究．例1.4 已知R b a ∈,，则条件＂21≠≠b a 或＂是＂2≠ab ＂的 条件．1.5 “且”与“或”的区分．例1.5.1 判断真假：(1) 10232≠⇔≠+-x x x 或2≠x ；(2)33≥．例1.5.2 已知 013:1=+-y ax l ，01)21(:2=---ay x a l ，根据下列条件分别求a 的取值范围．(1) 21l l 与相交；(2) 21l l ⊥．2、函数2.1求函数关系式时必须包含定义域；对数问题也应注意定义域．例2.1 (1)在ABC ∆中，BC AC BC x AB ,3,4,===边上的中线长y AM =，求y 关于x 的函数关系式；(2)函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 ．2.2 函数的零点问题通常利用函数图像．例2.2 (1)若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ；(2) 若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-至少有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．例2.5.2 已知函数)(x f 是周期为2的周期函数，当20≤<x 时，13)(2+-=x x x f ，求当75<<x 时，函数)(x f 的表达式．2.6 关注二次函数二次项系数是否为零，注意∆、开口、对称轴与特殊值四要素．例2.6 (1)已知方程0)3(42=++-a x ax 有两个大于１的不等实根，求实数a 的取值范围； (2) 已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于１的实根，求实数a 的取值范围．2.7 指对数的运算法则．例2.7 （1）已知02ln =+x ，求x ；（2）已知)00(02≠>=-a a a x且，求x ； （3）解不等式)10(2log <<->a x a ；（4）已知()1,12log 2log >>>b a b a ，求b a , 的大小关系．3、数列3.1 注意题中n 取值，如：⎩⎨⎧≥-==-2n ,S S 1,n ,S a 1n n1n 的公式应用．例3.1 (1)已知数列{}n a 的前n 项的和为）（+∈+-=N n n n S n 1322，求数列{}n a 的通项公式；(2) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若),2(0321+-∈≥=+N n n a S S n n n ，又31=a ，求n a ；(3) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若,)(31++∈=N n a S n n 又31=a ，求n a ．3.2 等比数列求和注意对q=1与q ≠1的分类；等比数列证明注意首项0a 1≠的说明．例3.2 (1) 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1-≠q ．求证：n n n n n S S S S S 232,,--也成等比；(2) 若数列{}n a 中,)(23,411++∈-==N n a a a n n ．求证数列{}1-n a 是等比数列．3.3 求和：观察通项、 注意首项、 点清项数，并注意结果的验证．例3.3 求和nn S )2(8421-++-+-= ．3.4 应用性问题：逐步列式，保留原始数据，便于观察规律．例3.4 小王2012年5月向银行借款100万元用于购房，年利率7.8%，2013年5月开始偿还，每年还a 万元，2032年5月全部还清，求每年还款额a （其中2078.110≈）．3.5 等差数列、等比数列常用定义、公式或性质解决．例3.5.1 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，42,293==S S ．(1)若数列{}n a 成等差，求12S ； (2) 若数列{}n a 成等比，求12S ．例3.5.2 已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和分别为n n T S , , 若1423--=n n T S n n , 求2020b a ．3.6 数列与函数的单调性、最值研究的方法“区别”．例3.6 (1) 已知数列{}n a 的通项公式是nnn C a )31(2012⋅=，求数列{}n a 的最大项；(2)已知函数xex x f 2012)(-=，求函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值．3.7 熟练掌握利用错位相减法或裂项法进行数列求和． 例3.7 (1) 求和：n n n S )21)(12()21(7)21(5)21(321432--++-+-+-+-= ；(2) 求和：)12(753197531753153131++++++++++++++++=n S n ．(3) 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++)23(3522n n n n 的前n 项的和n T ．3.8 通常递推关系转化为“新数列”的思想运用． 例3.8 已知数列{}n a 中，311=a ,根据下列各递推公式，求数列的通项公式： （1） 131-=+n n a a ；（2）131+=+n nn a a a ；（3）()112++-=n n n n a a a a ；（4）nn n a a 331=+－．5.4 三角形问题应注意内角的判断一个或两个解．例5.4 (1) 在ABC ∆中，若32cos ,36sin ==B A , 求C sin ；(2) 在ABC ∆中，若3,31cos ,33sin ===a B A , 求边c 的长．5.5 熟练掌握正弦、余弦定理，面积公式．例5.5.1 在ABC ∆中， 面积32=S ，,6,600=+=c b A （1）求边a 的长； (2)求)(sin C B -．例5.5.2 在ABC ∆中, 三内角C B A ,,成等差数列 , 角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,, 外接圆半径为2 , 求22c a +的取值范围．6.5 熟练掌握不等式应用的两种题型.例6.5 (1) 已知+∈R y x ,，212=+yx ，求y x +的最小值；（2）已知c ax x f +=2)(，1)1(2≤≤-f ，4)2(0≤≤f ，求)3(f 的取值范围．7、直线和圆7.1 求直线问题注意斜率存在与不存在，掌握斜率变化与倾斜角变化的规律．例7.1 (1) 已知过点（０，１）的直线l 与圆)0()1(222>=++R R y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若52<⋅<-OB OA ，求半径R 的取值范围；(2) 已知过点（－２，０）的直线l 与圆16)1(22=++y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1213-<⋅<-OB OA ，求直线l 的倾斜角取值范围．高中数学各章节关注点答案3.1解：(1) ⎩⎨⎧≥== 2.n ,5-4n ,1n ,0a n (2) ,0)(3211=-+--n n n n S S S S 32111=--n n S S ， 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为31，公差为32的等差数列，所以3121-=n S n ，即123-=n S n ，从而得⎪⎩⎪⎨⎧≥---==.2,)32)(12(61,3n n n n a n ， (3) ,43111n n n n n n S S S S a S =⇒-==+++数列{}n S 是公比为4 , 首相为3的等比数列 ,所以143-⋅=n n S , 从而⎩⎨⎧≥⋅==-.2,49,1,32n n a n n 3.2解：(1)当公比1=q 时，,,,0123121na S S na S S na S n n n n n =-=-≠=结论成立；当公比1≠q 时，222212131123)1()1()1)1(1)1((1)1()(q q q a q q a q q a q q a S S S nn n n n n n n --=-----⋅--=-， 22221212122)1()1(1)1(1)1()(q q q a q q a q q a S S n n n n n n--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-， 1,0,01±≠≠≠q q a ，0)()(2322≠-=-∴n n n n n S S S S S ，结论成立．(2),)1(311-=-+n n a a 又0311≠=-a ，所以数列{}1-n a 是以3为首项,以3为公比的等比数列．3.3解： []11)2(131)2(1)2(1++--=----=n n n S ． 3.4解：201819%)8.71(100%)8.71(%)8.71(%)8.71(+=+++++++a a a a ，2020%)8.71(100%)8.71(1%)8.71(1+=+-+-⋅a ， 4.103078.0400=⨯≈a （万元）．3.5.1解：(1)由91269363,,,S S S S S S S ---成等差，得,)42(2)2(266S S -+=-166=S ，所以38912=-S S ，8012=∴S ．(2) 由91269363,,,S S S S S S S ---成等比，得,)42(2)2(626S S -=-86-=S 或106=S ，从而128912=-S S 或250912-=-S S ，所以17012=S 或20812-=S ．3.5.2解：利用等差数列求和公式n n a n S )12(12-=-得312315511539392020===T S b a ． 3.6解：(1)1)1(3201231!)2011(!)1(!2012!)2012(!!2012312012120121≥+-=⋅-+-=⋅=++n nn n n n C C a a n n n n ，得25.502≤n ，即12502503a a a a >>>> ， >>>505504503a a a ，所以数列{}n a 的最大项为5035032012503)31(C a =．(2)2013,02013)('==-=x exx f x得，函数↑∞+↑），（，），）在（（201320130x f ． 所以函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值是2013)2013-=ef （．3.7解：(1) 运用错位相减法，15432)21)(12()21)(32()21(7)21(5)21(3)21(21+--+--++-+-+-+-=-n n n n n S15432)21)(12(])21()21()21()21()21[(22123+----++-+-+-+-+-=n n n n S 1111)(12()21(13121)21)(12()21(1)21(141221+-+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⋅+-=n n n n n n n n )21(61661-++-=， nn n S )21(91691-++-=∴．(2) )211(21)2(1)12(7531+-=+=+++++n n n n n，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++--++-+-+-+-=∴)211()1111()6141()5131()4121()311(21n n n n S n )2)(1(23243211121121+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=n n n n n ． (3) )2(31)1(31)23(35212+-+=+++-n n n n n n n n,))2(31)1(31()531431()431331()33121(1322+-+++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=∴-n n T n n n)2(3121+-=n n ．4.9解：y x y x 32cos 2sin -=+,22)32()2(1y y -≥+,031252≤+-y y ,52165216+≤≤-y , ∴值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-5216,5216． 4.10解：321sin 121,21sin 23,1sin 21,326<+≤≤+<≤<∴≤<x x x x ππ， 所以1sin 43+-=x y 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31．4.11解: 2tan 11tan )4tan(=-+=+x x x π, 得31tan =x ． (1)原式671tan 32tan =++=x x ．(2)原式7201tan tan )1(tan 2)cos (sin cos sin )cos (sin 2222222-=--+=+-+=x x x x x x x x x ． 5.1 (1)51- 解析：CB AB AC AB CB BC AB CB AM ⋅-+=⋅+=⋅)](32[)32( 51)2716236(31231)()2(3122-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB AC AB ．(2)42- 解析：以A 为原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，A （0，0），B （6，0），C （0，9），M （2，6），425412),9,6(,)6,2(-=-=⋅-==CB AM CB AM ．5.2解：(1)213,0372)2(1)1)(23(2-=-==++⇒-⋅=++x x x x x x x 或得． (2) 26,03201)23()1)(2(2±==-⇒=⋅+++-x x x x x 得． 5.3解：(1)错 解析：0应该为0．(2)错 解析：c b a )(⋅与向量c 共线 , )(c b a ⋅与向量a 共线． (3)错 解析：正确形式为AC BC AB =+；(4) 错 解析：正确形式为CB AC AB =-．5.4解：(1),,sin 35sin A B A B <∴<=33cos ±=∴A , B A B A B A C sin cos cos sin )(sin sin +=+= 9156235)33(3236±=±+⋅=． (2) 36cos ,,sin 322sin =∴>∴>=A A AB A B ，必为锐角角 ,935322363133sin cos cos sin )(sin sin =+⋅=+=+=B A B A B A C ； 由正弦定理得539353sin sin =⋅⋅==A C a c ．5.5.1解：(1) 83260sin 210=⇒==bc bc S ， 又，或22,4,6===∴=+b c b c b 4=c ，32,12cos 2222==-+=a A bc c b a ． (2) 当4,2==c b 时，由正弦定理，C B sin 4sin 260sin 320==，得1sin ,21sin ==C B ，23)sin(,90,3000-=-==C B C B ，同理当2,4==c b 时，23)sin(=-C B ． 5.5.2解：三角C B A ,,成等差060=⇔B , 由正弦定理42sin sin ===R CcA a , 所以[][])2240cos(2cos 28)120(sin sin 1602222A A A A c a ---=-+=+)602cos(8160+-=A , 由于001200<<A , 00030060260<+<A ,所以21)602cos(10<+≤-A , 从而241222≤+<c a ． 5.6.1 解: (1)真． (2)假．(3)假. 解析：正确的应是等腰三角形或直角三角形． 例5.6.2 (1) 若角A 为锐角, 则A A cos sin +的取值范围是 ； (2)若角A 为钝角, 则A A cos sin +的取值范围是 ．5.6.2 （1）(]2,1 解析：)45sin(2cos sin +=+A A A ，A 为锐角，900<<∴A ， 1354545<+<∴A ，1)45sin(22≤+<∴A ，即有2cos sin 1≤+<A A .． (2)()1,1- 解析: A 为钝角，即18090<<A ，22545135<+<∴A ，22)45sin(22<+<-∴ A ，即有1cos sin 1<+<-A A ． 6.1解：(1)027322132≥--=---x x x x x , 由此得解集[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,372,0 ．6.4 1024或 解析：)52()(1+=-⋅x x x ，得0=x 或3-=x ，44224)42(222++=++=-x x x x ，40=-=x ；1023=--=x ．6.5 解:(1))223(21)2(321)12)((21+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+y x x y y x y x y x ， 即y x +的最小值为)223(21+． (2))1(35)2(389)3(,4)2(,)1(f f c a f c a f c a f -=+=+=+=；332)2(380≤≤f ，310)1(3535≤-≤-f ，14)3(35≤≤-∴f ．则当1=t 时，1=k ，当1≠t 时，0)3)(1(44,0)3(2)1(2≥---=∆=-+--t t t k k t ，得；2222+≤≤-t ，所以24322-<<-R ．综上所述，半径R 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-24,0．(2) 当x l ⊥轴时，)15,2(-A ，)15,2(--B ，11-=⋅OB OA ，不合, 当l 与x 轴不垂直时，设直线)2(:+=x k y l 代入圆方程，得0154)12(2)1(2222=-++++k x k x k ,由韦达定理，222122211154,1)12(2kk x x k k x x +-=++-=+， 2212212212214)(2)1()2)(2(k x x k x x k x x k x x OB OA ++++=+++=⋅)12,13(1151141)12(41542222222--∈++-=+++--=kk k k k k k ，得312<<k , 13-<<-k 或31<<k ，所以直线l 倾斜角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,323,4ππππ ．7.2解：圆心（－１，０）到直线的距离53=d ，所以5109235322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R ． 8.1.1解：(1)513解析：因为02=+FQ PF ,所以点Q 为线段PF 的中点, O 为原点，椭圆另一焦点为'F ,则OQ PF //', 4'=PF , 由椭圆定义：42-=a PF ,'PF PF PF OQ ⊥⇒⊥,由勾股定理；52)42(162=-+a , 得5=a , 所以椭圆的离心率513=e ． (2) 228- 解析：如图，椭圆左焦点)0,2(-F ， 右焦点即为B ，如图，由椭圆的定义得2288)(8-=-≥--=+AF PA PF PB PA ．8.1.2解： (1) 1622=+y x 解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，设直线1与2PF 交于点Q ，O 为坐标原点，4221)(21)(21212122==⋅=-=-==a a PF PF PF PQ Q F OM ， 所以点M 的轨迹方程是1622=+y x ．(2) ２ 解析：抛物线的焦点()1,0F ，准线1:-=y l ，连AF 、BF ，设A 、B 、M 到准线l 的距离分别为1d 、2d 、d 则322221=≥+=+=AB BF AF d d d ， ∴点M 到x 轴的最近距离为2．8.2解：(1)9或964解析：当焦点在ｘ轴上时，3181=-m ，得9=m ；当焦点在ｙ轴上时，3181=-m ，得964=m ． (2) 3171--或 解析：当焦点在x 轴上时，7)28(2=+++n n ，得1-=n ；当焦点在y 轴上时，7)2()82(=--+--n n ，得317-=n ．(3) )161,0(a 解析：抛物线方程的标准式为y ax 412=．8.3解：(1)（基本轨迹法） 设)0,5(,)0,5(21F F -，动圆半径为R ，则31+=R PF ，12+=R PF ，221=-PF PF ，由双曲线定义，点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的一支，1=a ，24,52==b c ，它的轨迹方程是)1(12422≥=-y x y ． (2) (转移法) 设),(),,(00y x C y x G ，则3,300yy x x ==，即y y x x 3,300==，代入椭圆得1144)3(324)3(22=+y x ，又三角形中三点不共线，0≠∴x , 所以重心G 的轨迹方程是)0(1163622≠=+x y x ．8.4 解： )0,2()0,2(21F F -，当x PQ ⊥轴时, )3,2(,)3,2(-Q P ，12=S ； 当AB 与x 轴不垂直时, 设直线)0)(2(:≠-=k x k y PQ ,代入椭圆方程得0481616)43(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+=+, 2222243)1(24431241k k k k k PQ ++=+++= , 点1F 到直线PQ 的距离 214kk d +=,由此得222222)43()1(484314821k k k k k k d PQ S ++=++== , 设t k =+243，其中3>t ，则232112t t S --=随t 的增大而增大，120<<S ， 所以PQ F 1∆面积S 的取值范围是(]12,0.(2)设直线2)1(:+-=x k y l ， 代入双曲线方程4422=-y x 得[]01)2(4)2(8)41(222=+-----k x k k x k ，[]0)543(161)2()41(16)2(6422222=+--=+--+-=∆k k k k k k ，得3192±-=k ， 双曲线的渐近线斜率为21±，如图，可知直线l 的斜率范围是)21,3192(---． 8.6解：)0,2(-F ,当x l ⊥轴时,)214,1(P ,)214,1(-Q ,不合． 设直线)1(:-=x k y l ，代入椭圆得0824)21(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则 ,2142221kk x x +=+22212182k k x x +-=, 2212212212214))(1()1()1)(2()2)(2(k x x k x x k x x k x x FQ FP +++-++=--+++=⋅=2222222421)2(421)82)(1(k k k k k k k +++-++-+=02141122=+-k k ,得112±=k , 所以直线的方程为)1(112-±=x y ．9.1解：(1) 373)4242(433122=⋅⨯++=V ． (2)表面积ππππ425)41(4122=⋅++⋅+⋅=S ，体积ππ284)4161(31=⋅++=V ． 9.2解：(1)取AB 中点O ，连OC ，则AB PO ⊥，ABC PAB 面面⊥ ，ABC PO 面⊥∴， ABC PC PCO 与面就是∠∴所成的角，103010232tan 10232==∠==PCO OC PO ，，， 所以所求角的正切值为1030．。

第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________． 易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（ ） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（ ） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（ ） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（ ） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________． 易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（ ） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（ ）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22． 易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（ ）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项 易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（ ） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（ ） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________． 易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（ ）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章 一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（ ）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（ ） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例 设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章 随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例 设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。