2018年北京市高考数学理 13专题十三 极坐标与参数方程

2018年高考数学坐标系与参数方程分类汇编一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x t y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案 一、填空题 1.21+ 2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =-l O 1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P sin 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。

专题选讲部分一、解答题1．【2018衡水金卷高三大联考】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.2．【2018河南洛阳高三尖子生】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．【答案】（1）（2）椭圆的内接矩形的周长取得最大值．试题解析：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．3．【2018辽宁省大连市八中模拟】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，已知直线轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且坐标轴的长度单位一致，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的极坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求．【答案】（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）把直线l 的参数方程（t 为参数）化为4．【2018湖南省两市九月调研】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为： 2{x cos y sin αα==（α为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，直线l 与曲线C 交于A B 、两点. （1）求直线l 的直角坐标方程； （2）设点()1,0P ，求. 【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=， sin y ρθ=代入化简即可；（2）由2{x cos y sin αα==得曲线C 的直角坐标方程为： 2244x y +=，将直线的参数方程代入得：. 试题解析： （1∴直线l 的直角坐标方程为：（2）由2{x cos y sin αα==得曲线C 的直角坐标方程为： 2244x y +=，()1,0P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为：5．【2018广西柳州市一模】选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线l 的参数方程为（t 为参数）． （Ⅰ）若2a =， M 是直线l 与x 轴的交点， N 是圆C（Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径倍，求a 的值． 【答案】（Ⅱ）32a =或试题解析：（Ⅰ）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=， 化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0， ∵圆心()0,1与点()2,0M 的距离为（Ⅱ）由sin a ρθ=，可化为2sin a ρρθ=，∴圆C 的普通方程为∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，，解得32a =或 6．【2018海南省八校联考】以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为{2x tcos y tsin ϕϕ==+ (t 为参数， 0ϕπ≤<)，曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当ϕ变化时，求. 【答案】（1）sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=， 28x y =；（2）8．试题解析： (1)由{2x tcos y tsin ϕϕ==+消去t 得sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=，所以直线l 的普通方程为sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=. 由2cos 8sin ,ρθθ=得()2cos 8sin ρθρθ=，把cos x ρϕ=， sin y ρϕ=代入上式，得28x y =， 所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.(2)将直线l 的参数方程代入28x y =，得22cos 8sin 160t t ϕϕ--=，设,A B 两点对应的参数分别是12,t t ，当0ϕ=时，8.7．【2018广东珠海六校联考】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程{(2x acost t y sint==为参数， 0a >），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；（2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅱ），即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则P到直线l 的距离，故点P 到直线l （Ⅱ）曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，，又0a >，解得故a 的取值范围为8．【2018广东珠海市九月摸底】选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，曲线()5:{3x cos C y sin θθθ==为参数，直线l 过点()21P -，与曲线C 交于A B 、二点， P 为AB 中点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，以平面直角坐标系xoy 的单位1为基本单位建立极坐标系． (1)求直线l 的极坐标方程；(2) ()00Q x y ，为曲线C 上的动点，求【答案】(1) l 的极坐标方程为18cos 25sin 610ρθρθ-+=;于k 的不等式，解之即可. 试题解析：(1)设直线l 的参数方程为()2:{ 1x tcos l t l y tsin ααα=-+=+为参数，为的倾斜角， A B 、二点对应的参数分别为12t t ，C 的普通方程为l 与C 的方程联立得()()2216sin 9225sin 18cos 1640?*?t t ααα++--=则12tt ，为“*?的二根 得l 的斜率故l 的普通方程为1825610x y -+=l 的极坐标方程为18cos 25sin 610ρθρθ-+=；(2) Q 为曲线C 上的动点，故设()5cos 3sin Q ββ，∴∴9．【2018陕西西工大附中一模】在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），若以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1) 求圆C 的直角坐标方程；(2) 若直线l 与圆C 交于,A B 两点，点P 的直角坐标为（0，2）. 【答案】(1) ()2224x y -+=；试题解析： (1)圆的极坐标方程为4cos ρθ=，化为24cos ρρθ=，可得直角坐标方程：，配方为.(2)（t 为参数）代入设,A B 对应参数分别为12,t t ，则 1240t t =>.10．【2018陕西西工大附中一模】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 3,{2x cos y sin θθ==，在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 1ρ=. （Ⅰ）写出1C ， 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P ， Q 分别是曲线1C ， 2C 上的动点，且点P 在x 轴的上侧，点Q 在y 轴的左侧， PQ 与曲线2C 相切，求当最小时，直线PQ 的极坐标方程.【答案】 221x y +=;(2)试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程为 曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=. （Ⅱ）连结PO ， OQ .因为PQ 与单位圆2C 相切于点Q ，所以PQ OQ ⊥.又因为点P 在x 轴的上侧，所以当且仅当P 点位于短轴上端点时 此时()0,2P ，在POQ ∆中，又因为点Q 在y 轴的左侧，所以直线PQ的斜率为所以直线PQ的直角坐标方程为所以直线PQ的极坐标方程为11．【2018衡水金卷高三大联考】选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：. 【答案】（1）；（2）见解析.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.12．【2018河南洛阳市尖子生联考】选修4-5：不等式选讲已知函数，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）试题解析：（1）∵，∴，∴，∴且．①若，则，∴；②若，则，∴，此时无解；③若且，则，∴，综上所述，的取值范围为或，即.（2）∵，显然可取等号，∴，于是，若存在实数，，使，只需，又，∴，∴，∴，即．13．【2018辽宁省大连八中模拟】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数f（x）=|2x﹣7|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．a≥-【答案】（Ⅱ）4试题解析：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g （x ）min =﹣4，∵存在x 使不等式f （x ）﹣2|x ﹣1|≤a 成立， ∴g （x ）min ≤a ，∴a ≥﹣4．14．【2018湖南省两市九月调研】选修4-5：不等式选讲（1）解不等式()0f x >；（2对一切实数x 均成立，求m 的取值范围. 【答案】（1或5}x <-；（2）711m -<<. 【解析】试题分析：（1）分类讨论去绝对值解不等式即可；（2对一切实数x 均成立，只需可，. 试题解析：（1）当4x ≥时， ()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>， 解得54,4x x x >-≥∴≥；，原不等式即为330x ->， ，原不等式即为50x -->，解得5,5x x <-∴<-；或5}x <-.（2.的最小值为9，要使解得m 的取值范围是： 711m -<<.15．【2018辽宁省辽宁协作校一模】设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M ，a,b ∈M . （Ⅰ）证明：（Ⅱ）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.试题解析：（Ⅰ）证明：记f (x ) =|x -1|-|x +2|，则f (x )= 3{-2 1 ,3,x --， 2211.x x x ≤--<<≥，所以解得xM所以，a|（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a 2b 2|1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=4(a 2-1)(b 2-1)>0. 所以，|1-4ab |＞2|a -b |16．【2018广西柳州市一模】选修4一5:不等式选讲，不等式()3f x ≤的解集是（1）求a 的值；（2存在实数解，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 2a =,(2)当0a >时，，解得2a =；当0a <时，.所以2a =. (2)，所以实数k 的取值范围是点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．17．【2018 a R ∈. (1)当1a =-时，解不等式()1f x ≤；(2)若[]0,3x ∈时， ()4f x ≤，求a 的取值范围. 【答案】（1（2）[]7,7-.试题解析：(1)当1a =-时，不等式为当3x ≤-时，不等式转化为()()131x x -+++≤，不等式解集为空集；当31x -<<-时，不等式转化为()()131x x -+-+≤，解之得 当1x ≥-时，不等式转化为()()131x x +-+≤，恒成立；(2)若[]0,3x ∈时， ()4f x ≤，亦即727a x -≤≤+恒成立，又因为[]0,3x ∈，所以77a -≤≤，所以a 的取值范围为[]7,7-.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18．【2018湖南省永州市一模】选修4-5：不等式选讲（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在实数x 满足()27f x a a ≤-++，求实数a 的最大值.【答案】（1）{|0 x x ≤或}3x≥；（2）3.试题解析：（1当1x ≤时，由233x -+≥，得0x ≤ 当12x <<时，由13≥，得x ∈∅ 当2x ≥时，由233x -≥，得3x ≥所以不等式()3f x ≥的解集为{|0 x x ≤或}3x ≥. （2）1+x x -依题意有271a a -++≥，即260a a --≤ 解得23x -≤≤ 故a 的最大值为3．19．【2018（1）将()f x 的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象. （2）若1a b +=，对a ∀， ()0,b ∈+∞，恒成立，求x 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）x 的取值范围是[]1,5-. 【解析】试题分析：(1)对自变量的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得解集． (2)利用基本不等式,均值不等式，和1的妙用,注意等号成立的条件.（1函数()f x 的图象如图所示.（2）因为a ， ()0,b ∈+∞，且1a b +=，.，结合图象知15x -≤≤， 所以x 的取值范围是[]1,5-.点睛：（1）零点分区间去绝对值，画图像的方法．(2) 1的妙用，当a+b 是定值时，都可以,等号成立的条件． 20．【2018广东珠海市九月摸底】选修4-5：不等式选讲(1)求关于x 的不等式()2f x ≥的解集； (2) x R ∀∈， 00x ∃>，使得 (0)a >成立，求实数a 的取值范围。

《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ²x λ>0 ，y ′＝μ²y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系． 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 .这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程1．(2016²北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ²OB ²sin∠AOB＝12³3³4³sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝2 2＋12－2³1³2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015²课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2016²广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－ 2222＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015²广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－ －2 ＋1|12＋ －12＝522. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2³32＋4³0＋a |22＋42＝32， 解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ |的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12³4³5³sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示， ∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系． 解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB＝AB t t -＝BA AB t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +．2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 0⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则.【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为 A.B.C.或D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关(2,0)2:4C y x =O C x C ,A B ()()()()221313m x m y m m -+-=--m (]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 0x y m -+=22:1O x y +=,A B AOB ∆m F 2:2(0)C y px p = K F于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是 A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个 B.使得为直角三角形的点有且仅有4个 C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6.（2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A．2 D【答案】C7.（2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A ．B ．C ．D ． 【答案】C7.（2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是. 【答案】28.（2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是 A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分D.圆的一部分 【答案】B9.（2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，M C MFK ∆M MFK ∆M M M F ,A O 22y px =P 234:4350l x y ++=P 22(1)(2)1x y -+-=P l 22(2)9x y -+=C l (2,0)M -x l C ,A B A M B M AC BC P P C则双曲线的渐近线方程为.【答案】10.（2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是. 【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】DCy x=±b=1C C C1C1b=22(0)x yλλ-=≠M CθO OM1234Ox2sinρθ=3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12)已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为. 【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表Ox sin ρθ=A 1A P OP O OQ Q C θρsin 2=x C 22(1)1x y +-==2cos ρθmm（二）试题解析1.（2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分] 所以，[ 4分] 所以椭圆的方程为．[ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则 ，且 .[ 6分] 所以 直线的方程为，所以 ，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得 ．且，．[ 9分]所以.．[10分](2,0)A C y kx =+C ,M N 3x =P PAMN k 2a =3c =222a b c =+1b =C PAMN //PA MN ||||PA MN =PA (2)y k x =-(3,)P k ||PA 11(,)M x y 22(,)N x y 22(41)8380k x kx +++=0∆>因为 ， 所以．整理得 ， [12分]解得 ，或 ．[13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以 ，或 ．[14分]2. (2018·海淀区期末·18)已知椭圆，点 （Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论. 【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分||||PA MN =421656330k k -+=0∆>PAMN 22:29C x y +=(2,0)P C (1,0)l C ,M N MN T C 29a =3a =C 232b =||||TP TM <l 1x my =+11(,)M x y 22(,)N x y 22(2)280m y my ++-=222(2)32(2)36640m m m ∆=++=+>……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故 ………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为. （Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.PM PN ⋅uuu r uuu r 1212(2)(2)x x y y =--+1212(1)(1)my my y y =--+21212(1)()1m y y m y y =+-++0<90MPN ∠>︒P MN ||||TP TM <xOy P ()1,0F 1x =-P C C A C x B F AF FB =AB C D AD P ()1,0F 1x =-P ()1,0F 1x =-C 22y px =2p =C 24y x =AB设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说AB C 2880my y b +-=64480m b ∆=-⋅⋅=2m ≠±AD AD ()1,02m =±AD 1x =()1,0AD ()1,0(2,3)P (2,3)Q -C ,A B PQ ,A B APQ BPQ ∠=∠AB明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分 设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分 设斜率为，则斜率为…………7分 设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，222a b c =+22224,3a c b c ==(2,3)2224,16,12c a b ===APQ BPQ ∠=∠,PA PB 0PA k PB k -PA 3(2)y k x -=-2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=(2,3)P AB ()0,1-()1,0l M N x MPN ∠m x ()0,1-所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然 设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以. 所以……………………9分 所以所以所以所以所以所以……………………12分所以 因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与1b =222a b c =+22.a =C F k l l (1)y k x =-y 0.∆>()22,N x y x MPN ∠MPO NPO ∠=∠0.MP NP k k +=420.k km -+=0k ≠2.m =l )1,0(P C 08622=+-+x y x l圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为， 故直线的方程为，即…………………5分（）法1：直线的方程为，则由得 由得 故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则 ，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。

极坐标与参数方程的互化关系是什么在数学中，极坐标和参数方程是表示平面上点的两种不同的方法。

极坐标系统将点的位置表示为径向距离和角度，而参数方程则使用参数的函数表示来描述点的位置。

这两种表示方法之间存在一种互化关系，可以通过互相转换来得到相同的点的位置。

极坐标转换为参数方程首先，让我们来看看如何将极坐标转换为参数方程。

给定一个以原点为中心的平面上的点，其在极坐标系统中的位置由它的径向距离r和与正x轴之间的角度$\\theta$确定。

假设我们要将这个点的位置表示为参数方程。

我们可以使用以下公式来进行转换：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$这里，x和y是点的笛卡尔坐标（直角坐标），r是点到原点的距离，$\\theta$是点与正x轴之间的角度。

通过这个公式，我们可以将极坐标$(r,\\theta)$转换为参数方程(x(t),y(t))。

其中，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。

参数方程转换为极坐标接下来，我们来看看如何将参数方程转换为极坐标。

给定一个点在参数方程(x(t),y(t))中的表示，我们希望找到它在极坐标系统中的位置。

要将参数方程转换为极坐标，我们需要找到参数t与r和$\\theta$之间的关系。

具体而言，我们需要找到r和$\\theta$作为t的函数。

让我们用x(t)和y(t)来表示点的笛卡尔坐标。

然后，我们可以使用以下公式来进行转换：$r = \\sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y(t)}{x(t)}\\right)$这里，r是点到原点的距离，$\\theta$是点与正x轴之间的角度，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。

通过这个公式，我们可以将参数方程(x(t),y(t))转换为极坐标$(r,\\theta)$。

互化关系的应用极坐标和参数方程的互化关系具有广泛的应用。

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第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．（2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x＝f（t），把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y＝g（t)，那么错误!就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y＝tan α(x－x0）错误!（t为参数)圆x2＋y2＝r2错误!（θ为参数)椭圆x2a2＋错误!＝1（a〉b〉0）错误!(φ为参数)抛物线y2＝2px (p>0)错误!（t为参数）1．直线l的参数方程为错误!（t为参数)，求直线l的斜率．解将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.2．已知直线l1：错误!（t为参数)与直线l2：错误!（s为参数)垂直，求k的值．解直线l1的方程为y＝－k2x＋错误!，斜率为－错误!；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2。

∵l1与l2垂直，∴(－错误!)×(－2)＝－1⇒k＝－1.3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线错误!(t为参数）上，求|PF|的值．解将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1，0），准线方程为x＝－1,又P （3，m）在抛物线上，由抛物线的定义知|PF｜＝3－(－1)＝4.4．（2016·北京东城区模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是错误!（t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长．解曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1,直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0。