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第一章数与式课时1．实数的有关概念【考点】一、有理数的意义1．数轴的三要素为、和. 数轴上的点与构成一一对应.a =.2．实数a的相反数为________. 假设a，b互为相反数，那么b3．非零实数a的倒数为______. 假设a，b互为倒数，那么ab=.4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值。
即一个正数的绝对值等于它；0的绝对值是；负数的绝对值是它的。
a (a>0)即│a│= 0 ( a=0 )-a ( a<0 )5．科学记数法：把一个数表示成的形式，其中1≤a＜10的数，n是整数.6．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数准确到哪一位.这时，从左边第一个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．二、实数的分类1．按定义分类正整数整数零自然数有理数负整数正分数分数有限小数或无限循环小数实数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2．按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零〔既不是正数也不是负数〕负整数负有理数负实数负分数负无理数【三年中考试题】1．(2008年，2分)8-的倒数是〔 〕A ．8B ．8-C ．18D ．18- 2．〔2008年，3分〕假设m n ，互为相反数，那么555m n +-=．3.〔2009年，3分〕假设m 、n 互为倒数，那么2(1)mn n --的值为．4．〔2009年，3分〕据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为．5．〔2010年，3分〕-的相反数是．6．〔2010年，3分〕如图7，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD = 6，点A 对应的数为1-，那么点B 所对应的数为．图7课时2. 实数的运算与大小比拟【考点】一、实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、、六种，其中减法转化为运算，除法、乘方都转化为运算。
课题----- 中考第一轮复习《分式》一、【教学目标】（一）知识与技能1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.(二)过程与方法提高观察、归纳、猜想、尝试等方法的应用能力，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力（三）情感态度价值观通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值．二、【教学重难点】1、重点：分式的基本性质和分式的化简.2、难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.三、教学过程：（一）考点知识精讲考点1：分式的运算一、考点讲解：1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B=0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．考点2：分式方程及其应用一、考点讲解：1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．【教师活动】：以提问的形式帮助学生梳理分式有关知识点，并用多媒体课件展示复习内容【学生活动】：独立思考问题，个别学生回答问题（二）、【中考典型精析】例1、（2013钦州）当x=2时，分式无意义．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式无意义的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．解答：解：由题意得：x﹣2=0，解得：x=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．例2、（2013南宁）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0C．2D．﹣1或2考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．解答：解：由题意得：x﹣2=0，且x+1≠0，解得：x=2，故选：C．点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．例3、（2013三明）计算﹣的结果是（）A．1B．﹣1 C．0D．a﹣5考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式==1．故选A点评：此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．例4、（2013襄阳）分式方程的解为（）A．x=3 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣1考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x+1=2x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故选C点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．例5、(2013孝感）先化简，再求值：，其中，．考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x与y的值代入进行计算即可．解答：解：原式===，当，时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．例6、（2013十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验．【教师活动】：出示问题，并分析问题，指导学生完成例题【学生活动】：分组讨论并交流问题，个别学生回答问题（三）【课堂练习】1、【20XX 年福州质检】化简：)1)(1112(2---+x x x2、【20XX 年福州中考】化简：2241222a a a a a⎛⎫- ⎪--+⎝⎭． 3、【2009福州质检】分式21x x - 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥ 1 B ．x>1 C ．x ≥0 D ．x>04、【2009福州质检】已知1111,2334x y a a a a=-=-,请计算x+y 的结果。
数学辅导教案知识点梳理【实数】1.实数的有关概念及分类：①实数的分类②数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴,实数与数轴上的点一一对应；③相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数；④倒数:如果两个数的乘积为 1，那么这两个数互为倒数；⎧a(a ≥ 0)⑤绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值；去绝对值：a =⎨-a(a < 0)⎩绝对值的几何意义：在数轴上，a -b表示 a 对应的点到 b 对应的点的距离。
⑥非负数：a2，a,a2.科学计数法和近似数：①科学计数法：a ⨯10n,1 ≤a < 10 ;②近似数：与实际接近的数称为近似数。
精确度：一个近似数的精确度可用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3.实数的大小比较：数轴法，绝对值法。
实数的运算：实数的运算顺序，运算律。
【整式】1、代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。
单独一个数或者一个字母也称代数式。
①列代数式；②求代数式的值。
2、整式：单项式和多项式统称为整式①单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
②多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
③同类项:多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
所有的常数项也看做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
a a ab b a b aba 2b a b⎨ ()± 合并同类项的法则是：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3、整式的运算：①多项式与多项式乘法法则：②幂的运算： a m · a n = a m +n ， (a m )n = a mn ， (ab )n = a n b n （m ，n 都是正整数）； a m ÷ a n = a m -n （ a ≠ 0 ，m ，n 都是正整数，且 m>n ）；零指数幂： a 0 = 1 （ a ≠ 0 ）；负整数指数幂： a - p = 1ap（ a ≠ 0 ）③乘法公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 ； (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ； (a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2 。
中考一轮复习 方程与不等式的综合应用课标要求1．熟悉方程和不等式的相关知识，结合函数知识，明确它们之间的联系及在一定条件下能相互转化.2．结合复习中对基本知识的梳理和练习，体会和强化数学建模的思想，注意提高对常用数学思想方法应用的自觉性.3．通过对探索、开放型问题的讨论，提高数学上分析问题和解决问题的能力，增强数学学习中的应用意识.中招考点方程和不等式之间的联系和相互转化，应用方程和不等式解决实际问题，方程与不等式的综合应用.典型例题例1 m 为何值时，关于x 的方程x m m x ---=-6151632的解大于1？ 分析：这是一类关于方程和不等式知识综合应用的常见题型.立足于“方程的解”，可以从解字母系数方程入手；立足于“解大于1”，可以着眼于不等式x >1.解1 解这个关于x 的方程：()(),x m x m --=--2616351.x m x m -+=-+1226153.x m -=-+531.513-=m x 根据题意，得 .m ->3115 解这个不等式，得 .m >2解2 将原方程看作关于m 的方程，解得.x m +=513因为x >1，所以x +>⨯+=515116，所以x +>=516233,即m >2. 说明：解法1将原题分解为解字母系数方程和列不等式求解两个简单问题；解法2注意到x 的范围已知，对未知元进行变易.两者都是数学学习和解题中常用的思想方法. 例2 已知关于x 的方程x kx ---=411633.当k 取何值时，（1）方程有解？（2）方程的解是正整数？分析：本题对最后的问题，尚不能预见到应用何种方法讨论、求解，但因为涉及到方程的解，可以从解方程入手.去分母、整理，得x kx -=24，这是一个关于x 的一元一次方程.对于x 合并同类项，得()k x -=124.联系我们已有解字母系数方程的经验，问题的解决已显端倪：（1）当k ≠12时，方程有解；（2）在满足上述条件下，方程的解为x k=-412.要使它是正整数，k -12必需是4的正因数：1、2、4，由此求得k 的值是0、-12、-32.说明：综合问题的求解策略应该立足于大胆动手尝试，在探索的过程中得到启发，发现解题途径.例3 某商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.（1）若商场同时购进两种不同型号电视机50台，共付9万元，请研究一下进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种获利最大？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案.分析：这一类有关经营、销售的实际问题，首先要仔细阅读、理解题意，获取信息.进而分析数量关系，建立方程或不等式，得到问题的解答.解：（1）本题显然应分三种情形讨论：①设购甲种电视机x 台，则购乙种电视机()x -50台，列方程()x x +-=150021005090000，解得x =25，即同时购进甲、乙两种电视机都为25台；②同理求得若同时购进甲、丙两种电视机，分别为35台和15台；③若同时购进乙、丙两种电视机，列方程后没有正整数解.（2）通过直接计算，上述两种方案所获利润分别为8750元和9000元，应选第②种方案.（3）设购甲种电视机x 台，购乙种电视机y 台，则购丙种电视机()x y --50台.根据题意，可列得方程()x y x y ++--=1500210025005090000.按常规，还应列出一个方程，组成方程组求解.但仔细读题后发现确仅有这一个等量关系，联系上述已接触到的问题，可以根据未知数的取值范围，求上述方程的正整数解.化简、整理这一方程，得()x y -=5352.根据题意，x 、y 、x y --50都是正整数，用枚举、验证的方法可求得符合题意的4组解如下：,;x y =⎧⎨=⎩11335 ,;x y =⎧⎨=⎩223110 ,;x y =⎧⎨=⎩332915 ,;x y =⎧⎨=⎩442720 强化训练1． 填空题（1）已知单项式n na b -13与m ab +23是同类项，则_______m =，_________.n =（2）已知方程Ax By +-=50的解是,x y =⎧⎨=⎩01和,.x y =-⎧⎨=⎩10那么这个方程是_______. （3）已知,x y x y -=+3243则x 与y 的比值等于__________.（4）不等式)x >22__________________.（5）若关于x 的方程()x m x -+-=23120的一个根是2，则m =__________，另一个根是_________.（6）三位同学中，任意两人的年龄和分别是29，31，32，那么各人的年龄分别为_____、______、______.2．解答题（1）a 是什么整数时，关于x 、y 的方程组,x y a x y +=⎧⎨+=⎩5331的解 A.是正数； B.是正整数.（2）已知方程x x ++=22730的解满足不等式x x -->-31122，求方程x y -+=3220 （3） 林老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮.到商店后发现，若给每人买2枝铅笔和1块橡皮，按零售价计算，共需付30元；若给每人买3枝铅笔和2块橡皮，则可按批发价计算，共需付40.5元.已知每枝铅笔批发价比零售价低0.05元，每块橡皮批发价比零售价低0.1元.问这两种商品的零售价各是多少？（4）学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干个乒乓球.了解到两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球0.6元，且都表示对集体购买优惠；甲店每买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价8折计算.就购买乒乓球数，讨论去哪家商店购买较合算.（5）已知无论k 取何值，关于x 的方程kx m x nk +-=+2236的解总是x =1,求m 、n 的值. （6）某县新培育成功一种食用菌，一家经销公司一次收购46吨.经市场预测，若直接销售每吨获利1千元；经过加工、包装，每吨可获利5千元；若制成罐头出售，每吨可获利8千元.该公司每天可包装8吨或制罐头3吨，同一天两种加工方式不能同时进行，但必须在一周内全部销售或加工完毕.为此，公司研究了三种方案：A.全部进行包装；B.尽可能多制作罐头，余下的直接销售；C.部分制作罐头，其余进行加工、包装，且正好在7天完成.请你也研究一下，为公司作决策.（7）初三年级8个班级外出春游，租用了若干辆相同的客车，原计划一辆车坐48人，其余每辆车坐45人.可临出发时一辆车发生了故障，司机说只要每辆车不超过52人，可以挤一下.结果正好每辆车人数相等，同学们高高兴兴地出发了.问结果坐了几辆车？（8） 已知关于x 、y 的方程组,x y m x y m -=-⎧⎨+=⎩32243的解x 、y 互为相反数，求m 的值. （9） 某园林门票每张10元，一次性使用，若购买个人年票，有三种类型：A 类门票每张120元，持票者进入园林，无需买门票；B 类门票每张60元，持票者进入园林，需每次再买门票2元；C 类门票每张40元，持票者进入园林，需每次再买门票3元.试根据每年预计进入园林次数，讨论是否值得购买年票，以及购买何种年票较合算.（10） 爸爸有一笔钱准备存入银行，预计两年后要取用，要小红算一下存一年期到期自动转存和存二年期（年利率分别为1.98%和2.25%）这两种方案中哪种合算.小红按了几下计算器，告诉爸爸，存二年期的到期能多得到利息101.73元.你能知道这笔存款有多少吗？（11） 用平行于正方体一个面的平面去截正方体，截得两个长方体的体积之比是1:2.若已知原正方体的棱长为6厘米，求被截的棱两部分的长度.若将条件“体积之比”改为“截得两个长方体的展开图面积之比是1:2”，则结论如何？（12）某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬山到山顶.在山顶停留1个半小时，沿原路回到学校时已是下午3时30分.已知平路每小时行4千米，上山速度是平路速度的34，下山速度是上山速度的2倍.同学们所行的全程是多少？（13）某电子产品去年按定价的80%出售，能获20%的利润.由于今年的买入价低，按同样定价的75%出售，能获25%的利润.求今年买入价与去年买入价之比（买入价×（1＋利润率）＝卖出价）.（14）应用不等式解下列问题：A.高速公路施工需要爆破，根据现场实际情况，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆破前跑到400米外的安全区域.已知导火索燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒，问导火索至少需要多长？B.学校因教学需要，准备刻录一批电脑光盘.若到电脑公司刻录，每张需8元；若租用刻录机后自行刻录，每张成本3.5元，但需付刻录机租金150元.试讨论用何种方式费用较节省. （15）假期中父母两人带孩子外出.甲旅行社表示父母和孩子均按原定价七折收费，乙旅行社表示父母全价，孩子只按原定价的三折收费.若两旅行社原价相同，问哪家旅行社更优惠？。
第一章实数与中考中考要求及命题趋势1.正确理解实数的有关概念；2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。
4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算5.会用多种方法进行实数的大小比较。
2009年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。
实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。
应试对策牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。
第一讲实数的有关概念【回顾与思考】知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值大纲要求：1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
考查重点：1．有理数、无理数、实数、非负数概念；2．相反数、倒数、数的绝对值概念；3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。
实数的有关概念(1)实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 【例题经典】理解实数的有关概念例1 ①a 的相反数是-15,则a 的倒数是_______．②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:0ab则化简│b-a │．③（2006年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．例2.(-2)3与-23( )．(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
【分析】分析题意可知，要比较利润的大小，先要求出每种包装的销售收入，再扣除包装成本费用，再将净收入比较大小。
【解答】甲净收入＝12000.4 ×（4.8－0.5）＝129000（元）；乙净收入＝12000.3×（3.6－0.4）＝128000（元）丙净收入＝12000.2 ×（2.5－0.3）＝132000（元）所以正确答案是C 。
【相应习题】1．（06宁波）若家用电冰箱冷藏室的温度是4ºC ，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22ºC ，则冷冻室的温度是（ ）A 、18ºCB 、－26ºC C 、－22ºCD 、－18ºC2．（05日照）在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上， 300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．王茜在本超市两次购物分别付款80元、252元．如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（ ）A 、332元B 、316元或332元C 、288元D 、288元或316元考点7 利用计算器进行估值或探求规律例9．（05广州）用计算器计算22－12－1 ，32－13－1 ，42－14－1 ，52－15－1 ，……根据你发现的规律、判断P ＝n 2－1n －1 ，与Q ＝（n 2－1）－1（n －1）－1，（n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A 、P<QB 、P ＝QC 、P>QD 、与n 的取值有关 【相应习题】1．用计算器比较大小：317 － 6 ＿＿＿＿0（填“>”“＝”“<”）考点8 定义新运算例10．（05海淀区）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和ab=b ，例如32＝3，32＝2。
中考总复习教案第一章数与式《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查,北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35％左右,分量之中,不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右）（一）实数（一课时）（二）整式与因式分解（一至两课时)（三）分式与二次根式(两课时)（四）数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）说明:您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容.二、课时教案第一课时实数教学目的1．理解有理数的意义,了解无理数等概念。
2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质,会求实数的绝对值．3。
会用科学记数法表示数。
４.会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题.5．掌握有理数的运算法则,并能灵活的运用．教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用,有理数的运算。
难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．教学方法：用例习题串知识(复习时要注意知识综合性的复习)．教学过程(一）知识梳理1。
2.（二）例习题讲解与练习例1在3.１4，1-，0，,cｏs３0°，,，0.202０02０002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中,哪些是有理数?哪些是无理数?（考查的知识点：有理数、实数等概念．考查层次：易)(最基本的知识，由学生口答,师生共同归纳、小结)【归纳】:(1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点);无限不循环小数是无理数。
注意：常见的无理数有三类①π，…②,，…,（不是无理数）③０.10100１00０1…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外)仍是无理数（是无理数).注:此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2（１）已知a—2与2a+1互为相反数,求a的值;（2)若ｘ、y是实数,且满足（x—2）2+=0,求(x+ｙ)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念．考查层次:易）（这是基础知识,由学生解答,老师总结）【总结】：(１）对于一个具体的数，要会求它的相反数(倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a、b互为相反数ａ+ｂ＝0;a、b互为倒数a·b＝1．(2）非负数概念:例3 （1)若数轴上的点Ａ表示的数为x,点B表示的数为—3，则Ａ与B两点间的距离可表示为_______＿_＿__＿__＿．(２）实数a、b在数轴上分别对应的点的位置如图所示,请比较a，—b,a-ｂ,ａ+b的大小（用“＜"号连接）___＿_________＿＿_＿__．（3)①化简____＿____；②=___＿______；③估计与0．5的大小关系是0.5（填“ > "、“="、“〈”) .（答案：(1）；（２)ａ＋ｂ〈a〈-ｂ<a—b；（3）①;②；③>）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念,无理数的估算、有理数的运算法则等。
第3讲：分式主备人：宋树东 审核人：王海军 九年级（ ）班 姓名： 【学习目标】1．了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件． 2．掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活进行分式的化简和求值． 【巩固练习】 一、选择题： 1．（10东阳）使分式有意义，则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．2．（10嘉兴）若分式3621x x -+的值为0，则 （ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝－12 C ．x ＝12D ．x ＝23．（09烟台）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是 （ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的4．（09包头）化简22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是 （ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x +二、填空题：5．（10广西桂林）已知13x x +=，则代数式221x x+的值为_________． 6．（10湖北黄冈）已知，1,2,______则式子＝．=-+=+b aab a b a b7．（09滨州）化简：2222444m mn n m n -+-= ． 8．(09成都) 化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝______ ． 9．（08芜湖）已知，则代数式的值为 ．10．(09内江)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝________ _．三、解答题：12-x xx 21≥x 21≤x 21>x 21≠x 113x y -=21422x xy yx xy y----1112221222-++++÷--x x x x x x 11．（10德州）先化简，再求值： 其中12+=x ．12．（08遵义）小敏让小惠做这样一道题：“当7x =时，求223622444x x x x x -+÷--++的值”．小惠一看：“太复杂了，怎么算呢？”，你能帮助小惠解这个题吗？请写出具体过程．13．(10贵阳)先化简：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，再从－2＜a ＜2的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．14．（09崇左）已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．。
九年级第一省份题号题型分值考点相关的其它考点所占比例轮复习------数与式第一部分《数学课程标准》的考查要求一、实数1.在具体环境中，理解实数及其运算的意义。
2.能用数轴上的点表示实数，会比较实数的大小。
3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求相反数与绝对值。
4.了解平方根，算术平方根，立方根，无理数和实数，近似数，有效数字的概念。
会求某些数（非负数）的平方根与某些数的立方根。
5.会估算一个无理数的范围。
6.能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。
二、代数式1．会根据实际问题列代数式，理解代数式的含义，能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
2．理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算。
3．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
4．根据数量关系或图形关系寻找规律，分析，归纳，总结两变量间的关系。
5．整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式的乘除运算中要注意理解和区分幂的运算性质，记住乘法公式，理解其特点和应用范围。
6．弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。
会用提公因式法，公式法进行因式分解。
7．会利用分式的基本性质进行约分和通分。
会进行简单的分式加，减，乘，除运算。
第二部分考点分析作者：刘瑞莲严俊敏数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填空及简单的解答题为主。
题量一般在3个左右。
分值在17分左右，所占比例为14%（指河南省）。
近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应用和创新意识的培养。
分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。
三部分典型例题作者：牛保中高玉平典例1．把下列各数分别填入相应的集合里.3--，21.3，－1，1.234，－227,0，sin 60,9-,318--，2π- ,8 ,( 2 － 3 )0，23-，1.2121121112…中2007年河南1 选择题 3 乘方的意义15% 2 选择题 3 分式的定义7 填空题 3 相反数的概念8 填空题 3 整式的运算12 填空题 3 实数的意义13 填空题 3 数的规律探究题2008年河南1 选择题 3 绝对值的意义14% 2 选择题 3 科学记数法的概念7 填空题 3 实数16 解答题8 分式的运算2009年河南1 选择题 3 相反数的概念14% 7 填空题 3 平方根的意义9 填空题 3 代数式的运算16 解答题8 分式的运算分式的定义2009年北京1 选择题 4 相反数的概念18% 2 选择题 4 科学记数法的概念7 选择题 4 因式分解13 解答题 5 实数的运算16 解答题 5 整式的运算整体思想2009年天津1 选择题 3 实数的运算特殊三角函数值10% 3 选择题 3绝对值的意义，二次根式乘方的意义，非负数11 填空题 3 二次根式的运算12 填空题 3 分式的意义，分式的运算一元二次方程2009年重庆1 选择题 4 相反数的概念19% 2 选择题 4 幂的运算11 填空题 4 科学记数法的概念17 解答题 6 实数的运算21 解答题10 实数的运算2009年河北1 选择题2 乘方的意义18% 2 选择题 2 乘方的意义4 选择题 2 幂的运算，整式的运算7 选择题 2 实数的意义及相关概念概率13 填空题 3 实数的意义16 填空题 3 倒数的意义19 解答题8 分式的运算2009年山东1 选择题 3 实数的运算14% 2 选择题 3 幂的运算13 填空题 4 科学记数法的概念18 解答题7 分式的运算无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝ 点拨： 实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。
九年级第一轮复习------数与式第一部分《数学课程标准》的考查要求一、实数1.在具体环境中，理解实数及其运算的意义。
2.能用数轴上的点表示实数，会比较实数的大小。
3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求相反数与绝对值。
4.了解平方根，算术平方根，立方根，无理数和实数，近似数，有效数字的概念。
会求某些数（非负数）的平方根与某些数的立方根。
5.会估算一个无理数的范围。
6.能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。
二、代数式1．会根据实际问题列代数式，理解代数式的含义，能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
2．理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算。
3．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
4．根据数量关系或图形关系寻找规律，分析，归纳，总结两变量间的关系。
5．整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式的乘除运算中要注意理解和区分幂的运算性质，记住乘法公式，理解其特点和应用范围。
6．弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。
会用提公因式法，公式法进行因式分解。
7．会利用分式的基本性质进行约分和通分。
会进行简单的分式加，减，乘，除运算。
第二部分考点分析作者：刘瑞莲严俊敏数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填空及简单的解答题为主。
题量一般在3个左右。
分值在17分左右，所占比例为14%（指河南省）。
近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应用和创新意识的培养。
分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。
第三部分 典型例题作者：牛保中 高玉平第一节 实数典例1．把下列各数分别填入相应的集合里.3--，21.3，－1，1.234，－227,0，sin 60,9-,318--，2π- ,8 , ( 2 － 3 )0，23-，1.2121121112…中无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝ 点拨： 实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。
人教新课标版2009年中考第一轮同步复习第一章数与式（分式）教案1. 分式的定义如果A 、B 表示两个整式，并且B 中有_________，那么式子BA 叫分式。
2. 有理式 _________和_________统称有理式。
3. 分式有意义、无意义、分式值为零的条件 （1）分式有意义的条件_________； （2）分式无意义的条件_________；（3）分式的值为零的条件：分子_________而分母_________。
4. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）_________，分式的值不变；=BA _________，=B A _________（其中，0B≠，0M ≠）。
5. 约分、通分的依据是_________。
6. 约分后，分子、分母不含有_________，这样的分式称为最简分式。
7. 通分的关键是确定几个分式中分母的_________。
8. 最简公分母的确定 （1）取各分母系数的_________；（2）同底数幂取_________； （3）凡单独出现的字母连同它的指数_________。
9. 同分母分式相加减，_________不变，分子_________。
10. 异分母分式相加减，先_________，化为_________，再加减。
11. 分式的乘除（1）=⋅c d a b _________；（2）⋅=÷ba dc b a _________=_________。
12.分式的乘方=⎪⎭⎫⎝⎛nb a _________。
13. （1）解分式方程的基本思路是___________________________；（2）解分式方程的步骤是①“_________”，即方程两边同乘_________，②_________即把所求得的整式方程的根代入所乘的最简公分母中，结果不为0，则是分式的根，否则就是_________，应舍去。
14. 当分式的分子或分母为多项式时，在运算顺序上，相当于该分子或分母的外面有一个括号，从而把它们分别当成一个整体看待，如把分式2x 1x -+的分子乘以4时，应得()2x 1x 4-+，而浊得2x 1x 4-+。
15. 分式加减法中的通分是等值变形，不要在学习分式方程后将两者混淆，把通分变成了去分母。
16. 在分式与整式的混合运算中有时需把整式看成“1”为分母的式子，可利用公式简化计算，如11a 1a a1a 1a a22+--=---。
17. 解分式方程及应用题一定要进行检验，看是否符合题意。
考点1 分式概念的理解 例1. 若分式1x 1|x |--的值为零，则x 的值等于_________。
解析：要使分式的值为零，必须⎩⎨⎧≠-=-01x 01|x |，解得1x -=。
答案：-1点评：对于分式BA ，有意义0B ≠⇔；无意义⇔B =；值等于0A 0=⇔且0B ≠，同时还要注意当0x ≥时x有意义；无论x 取任何数，3x都有意义。
变式训练： 1. （2008·昆明）当≠x _________时，分式3x 1-有意义。
答案：3例2. 若分式3x 4x9x 22+--的值为零，则x 的值为（ ） A. 3B. 3或-3C. –3D. 0解析：由题意知，要想使分式的值为零，9x 2-0=且03x 4x 2≠+-，而当3x =是，03x 4x 2=+-，分式无意义，故3x -=。
答案：C点评：分式BA 值为0，必须满足⎩⎨⎧≠=0B 0A ，方法是让分子等于0求得x 的值，再代入分母验证分母是否为0，把使分母为0的值舍去。
变式训练 2. 若分式1x 4x 2+-的值为0，则x 的值为_________。
答案：2考点2 分式的基本性质例3. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A.y2x y x 2yx 21y 21x +-=+-B.b2a b a 2b2.0a b a 2.0++=++C.y x 1x yx 1x --=-+-D .ba b a ba b a +-=-+解析：A 项y2x y x 2y x 212y 21x 2yx 21y 21x +-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-；B 项()ba 5b 5a b2a 10b 10a 210b 2.0a 10b a 2.0b2.0a ba 2.0++=++=⨯+⨯+=++；C 项原式()y x 1x yx 1x ---=-+-=；D 项()()ab a b b a b a ba b a ---=+-----=-+。
答案：A点评：此题为考查分式中应用基本性质进行的系数、符号的变化，应结合分式的性质，不能忽略每一细节，不能只改变局部的系数和符号，要明确做题依据。
变式训练：不改变分式2.0x 03.01.0x 07.0+-的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）A.2x 301x 7+- B.20x 310x 7+- C.200x 30100x 7+- D.2x 1x +-答案：B考点3 分式的化简例4. （2008·大连）化简：x11x1x 2xx x1x 222--+-÷+-。
解析：x11x1x 2xx x1x 222--+-÷+-()()()()x11x 1x 1x 1x x 1x 2---+⨯+-=x1x1-==0。
答案：0点评：化简分式应注意运算顺序，能够约分的要约分，结果要化成最简分式或整式。
变式训练 1.=÷-⎪⎭⎫⎝⎛a 2b b a b a 22_________。
答案：22ba 2（或22b a 2-）例5. 计算：1a a1a a23----。
解析：原式=()()1a 1a a 1a 1a a23-++---1a 11a 1a1a a33-=----=。
答案：1a 1-。
点评：计算过程中注意边计算边观察看能否运用乘法公式，以简化运算。
本题利用了立方差公式，另外，在化简过程中还要注意正负号的变化。
变式训练2. 计算：1a 11aa a 1a a 22----÷-。
答案：1a a -考点4 分式的化简求值例6. 请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值： ()1a 1aa 1a 212--+-+。
解析：原式=()2a 211a a 1a 211a a 1a 21+=++-+=++-+。
∵01a ≠-，∴a 可以取不等于1的任意实数。
不妨把2a=代入32a 21=+，即原式=3。
答案：2a 21+2a =时，原式=3。
点评：本题比较新颖，一方面注重个性发展，另一方面又考查了应掌握的数学知识，赋值时特别要注意所取的值不能使原式中分母为零。
变式训练：（2008·德州）先化简，再求值：22b ab 2a b b a 1ba 1+-÷⎪⎭⎫⎝⎛+--，其中21a+=，21b -=。
答案：原式()b a b a 2+-=。
当21a+=，21b -=时，原式=22。
考点5 列分式方程（组）解应用题例7. 武汉汉江一桥维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合作24天恰好完成；若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？（2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？ 解析：（1）设甲工程队单独完成该项目需x 天，乙工程队单独完成该项目需y 天。
由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+1x 10y 18x181y 24x 24，解得⎩⎨⎧==60y 40x 。
经检验⎩⎨⎧==60y 40x 是原方程组的解，并且符合题意。
答：甲、乙两工种队单独完成此项目各需40天，60天。
（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天时，总的施工费用不超过22万元。
⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+22b 35.0a 6.0160b 40a ，解得40b≥。
答：要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天。
答案：见“解析”。
点评：本题是列分式方程（组）解应用题，涉及到了工作量=工作效率⨯工作时间。
在解决此问题时，⑥⑦⑧⑨⑩正确理解工作量为“1”时的工作效率是关键，另外，本题还涉及到了工程费用，解题时要细致分析，列出符合题意的方程组求解，特别注意（2）小题是由一方程和一不等式联合求解。
变式训练：（2008·宁德）5月12日14时28分，四川汶川发生了8.0级大地震，震后两小时，武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进。
13日凌晨1时15分，车行至古尔沟，巨大的山体塌方将道路完全堵塞，部队无法继续前进，王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进，到达理县时为救援当地受灾群众而耽搁了1小时，随后，先遣分队将步行速度提高了91，于13日23时15分赶到汶川县城。
（如图1-1-16）（1）设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为每小时x 千米，根据题意填写下表：速度是每小时多少千米？解：（1）表中依次填入：x30，x 911⎪⎭⎫⎝⎛+，x91160⎪⎭⎫ ⎝⎛+。
（2）依题意，列出方程得21x91160x 30=⎪⎭⎫ ⎝⎛++。
解这个方程，得4x =。
经检验，4x =是所列方程的根。
9409114=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯。
答：先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时940千米。
考点6 求特殊分式的方程中的字母的值 例8. 若分式1x B 2x 3A 2x x39x 42--+=---（A 、B 为常数），则A 、B 的值为多少？ 解析：()()1x 2x 32x 3B 1x A 2x x39x 42-++--=---，即()()2x x3B 2A x B 3A 2x x39x 422--+--=---，去分母得，()()B 2A x B 3A 9x 4+--=-，所以⎩⎨⎧=+=-9B 2A 4B 3A ，解得⎩⎨⎧==1B 7A 。
答案：7A=，1B =。
点评：解题的依据是两个多项式相等，则它们对应项系数相等，该方法叫做待定系数法，待定系数法是解此类题目的基本方法。
变式训练：已知：1x B 3x A 3x 2x5x 32++-=---，求A 、B 的值。
答案：1A = 2B =。
