浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习《第七讲 一元一次方程与可化为一元一次方程的分式方程》

《第九讲 一次方程组》基础演练【基础演练】1．(2012·河北)下列三对数值中①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2 ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝3是方程2x －y ＝4的解的是 ( )A ．①B ．②C ．③D ．①③解析 把①代入2×1－2＝0≠4，故①错，把②代入2×3－2＝4，故②对，把③代入2×(－2)－3＝－7≠4，故③错，所以选B.答案 B2．(2012·桂林)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x ＝4的解是 ( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3 ①2x ＝4 ② 由②得x ＝2把x ＝2代入①，得2＋y ＝3，y ＝1∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1故选D. 答案 D3．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组数值中，不是该方程的解的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1 解析 当x ＝0时，y ＝－12，当x ＝1时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝－1.所以不是方程x －2y ＝1的解的只有B答案 B4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7ax －by ＝1的解，则a －b 的值为 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7ax －by ＝1 的解， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴a －b ＝－1. 答案 A5．(2012·黔西南州)已知－2x m －1y 3和12x n y m ＋n 是同类项，则(n －m )2012＝________． 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝n m ＋n ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1 ∴(n －m )2012＝(1－2)2012＝1.答案 1 6．(2011·芜湖)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7 ①x －3y ＝8 ②的解是________． 解析 ①＋②，得3x ＝15，x ＝5把x ＝5代入①得2×5＋3y ＝7y ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－1.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－1 7．(2012·吉林)若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b 是方程2x ＋y ＝0的一个解，则6a ＋3b ＋2＝________．解析 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝b 代入方程，得2a ＋b ＝0 3(2a ＋b )＝06a ＋3b ＝0∴6a ＋3b ＋2＝0＋2＝2.答案 28．(2012·烟台)若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1kx ＋3y ＝－2 的解，则k ＝________．解析 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3代入方程②，得 2k ＋3×(－3)＝－22k －9＝－22k ＝7，k ＝72. 答案 729．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y －4＝0，x ＋y －5＝0. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y －4＝0 ①x ＋y －5＝0 ② ①＋②×2得7x ＝14，∴x ＝2把x ＝2代入②，得2＋y －5＝0，∴y ＝3，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 10．已知二元一次方程：①x ＋y ＝4；②2x －y ＝2；③x －2y ＝1.请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．解 由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4 ①2x －y ＝2 ② ①＋②，得3x ＝6.∴x ＝2把x ＝2代入①，得2＋y ＝4，∴y ＝2.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2. 【能力提升】11．(2012·张家界)已知(x －y ＋3)2＋2－y ＝0.则x ＋y ＝________．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝02－y ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2 ∴x ＋y ＝－1＋2＝1.答案 112．(2011·莱芜)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为 ( ) A ．4 B ．2 C. 2 D ．±2解析 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1代入方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝82n －m ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2∴2m －n ＝2×3－2＝2，故选B.答案 B13．(2012·达州)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1 ①x ＋2y ＝－2 ② ①＋②，得3x ＋3y ＝3k －3，x ＋y ＝k －1∵x ＋y ＞1，∴k －1＞1，k ＞2.∴k 的取值范围是k ＞2.答案 k ＞214．如下图，在长10 m ，宽8 m 的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃求小矩形花圃的长和宽．解 设小矩形花圃的长和宽分别为x m ，y m ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝10，x ＋2y ＝8.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2. 答 小矩形花圃的长和宽分别是4 m 和2 m.15．毕业在即，九年级(一)班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留做纪念．其中送给老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？解 设送给老师的留念册的单价为x 元，则送给同学的单价为(x －8)元，由题意得50(x －8)＋10x ＝800，解这个方程，得x ＝20(元)．∴x －8＝12(元)．答 送给老师、同学的留念册的单价分别为20元和12元．。

《阶段检测一》基础演练（时间：100分钟 满分：100分）一、选择题(每小题2分，共24分)1．(2012·陕西)如果零上5 ℃记作＋5 ℃，那么零下7 ℃可记作( )A ．－7 ℃B ．＋7 ℃C ．＋12 ℃D ．－12 ℃解析 ∵“正”和“负”相对，∴零上5 ℃记作＋5 ℃，则零下7 ℃可记作－7 ℃. 答案 A2．(2012·襄阳)一个数的绝对值等于3，这个数是( )A ．3B ．－3C ．±3D.13解析 因为|3|＝3，|－3|＝3，所以绝对值等于3的数是±3. 答案 C3．(2012·衢州)下列四个数中，最小的数是`( )A ．2B ．－2C ．0D ．－12解析 ∵2＞0，－2＜0，－12＜0，∴可排除A 、C ，∵|－2|＝2，|－12|＝12，2＞ 12，∴－2＜－12.答案 B4．(2012·杭州)计算(2－3)＋(－1)的结果是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 (2－3)＋(－1)＝－1＋(－1)＝－2. 答案 A5．(2012·义乌市)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间解析∵一个正方形的面积是15，∴该正方形的边长为15，∵9＜15＜16，∴3＜15＜4.答案 B6．(2012·宁波)(－2)0的值为( ) A．－2 B．0 C．1 D．2解析由a0＝1(a≠0)易知(－2)0＝1.答案 C7．(2012·湖州)计算2a－a，正确的结果是( ) A．－2a3B．1 C．2 D．a解析合并同类项字母及字母的指数不变，系数相加减．答案 D8．(2012·义乌市)下列计算正确的是( ) A．a3·a2＝a6B．a2＋a4＝2a2C．(a3)2＝a6D．(3a)2＝a6解析A．a3·a2＝a3＋2＝a5，故此选项错误；B．a2和a4不是同类项，不能合并，故此选项错误；D．(3a)2＝9a2，故此选项错误；答案 C9. (2012·无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )A．(x－1)(x－2) B．x2C．(x＋1)2D．(x－2)2解析(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)10.答案 D10．(2012·自贡)下列计算正确的是( )A.3＋2＝ 5B.3×2＝6C.12－3＝ 3D.8÷2＝4解析 A.3与2不能合并，所以A选项不正确；B. 3× 2＝ 6，所以B 选项不正确；C. 12－ 3＝2 3－ 3＝ 3，所以C 选项正确；D.8÷ 2＝2 2÷ 2＝2，所以D 选项不正确． 答案 C11．(2012·云南)若a 2－b 2＝14，a －b ＝12，则a ＋b 的值为( )A ．－12B.12C ．1D ．2解析 ∵a 2－b 2＝14，a －b ＝12，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝12(a ＋b )＝14，∴a ＋b ＝12.答案 B12．(2012·绍兴)在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树、树与灯间的距离都是10 m ，如图，第一棵树左边5 m 处有一个路牌，则从此路牌起向右510 m ～550 m 之间树与灯的排列顺序是( )解析 由题意得每40米就回到第一棵树的摆放位置，由于510÷40＝12×40＋30，所以再向右移动30米，恰好到第3棵树的位置，故此题应选B. 答案 B二、填空题(每小题2分，共16分)13．(2012·温州)化简：2(a ＋1)－a ＝________． 解析 原式＝2a ＋2－a ＝a ＋2. 答案 a ＋214．(2012·宁夏)当________时，分式1a ＋2有意义． 解析 根据题意得，a ＋2≠0，解得a ≠－2. 答案 a ≠－215．(2012·遵义)计算：32－ 2＝________． 解析 原式＝4 2－ 2＝3 2. 答案 3 216．(2012·遵义)猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…小亮猜想出第六个数字是6467，根据此规律，第n 个数是________．解析 ∵分数的分子分别是：22＝4，23＝8，24＝16，… 分数的分母分别是：22＋3＝7，23＋3＝11，24＋3＝19，… ∴第n 个数是2n2n ＋3.答案 2n2n ＋317．(2012·德州)5－12________12.(填“＞”、“＜”或“＝”) 解析 ∵ 5＞2， ∴ 5－1＞2－1， ∴ 5－1＞1 ∴5－12＞12. 答案 ＞18．(2012·泰州)如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得到点P ′，则点P ′表示的数是________． 解析 设P ′表示的数为a ，则|a ＋1|＝3， ∵将点P 向右移动， ∴a ＞－1，即a ＋1＞0， ∴a ＋1＝3，解得a ＝2. 答案 219．(2012·衡阳)2012年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略，将594亿元用科学记数法(保留两个有效数字)表示为________．解析 根据题意先将594亿元写成594×108＝5.94×1010元．再用四舍五入法保留两个有效数字即得5.9×1010元． 答案 5.9×1010元20．(2012·张家界)已知(x －y ＋3)2＋ 2－y ＝0，则x ＋y ＝________． 解析 ∵(x －y ＋3)2＋ 2－y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2－y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2则x ＋y ＝－1＋2＝1.答案 1三、解答题(共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)21．(5分)计算：(2012·永州)6tan 30°＋ 12＋(－1)2 012＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0. 解 原式＝6×33－2 3＋1＋1 ＝2.22．(5分)(2012·扬州)因式分解：m 3n －9mn . 解 原式＝mn (m 2－9)＝mn (m ＋3)(m －3)23．(5分)(2011·绍兴)(1)计算：|－2|＋2sin 30°－(－ 3)2＋(tan 45°)－1. (2)先化简，再求值：2(a ＋3)(a －3)－a (a －6)＋6，其中a ＝ 2－1. 解 (1)原式＝2＋1－3＋1＝1；(2)原式＝2a 2－6－a 2＋6a ＋6＝a 2＋6a ，当a ＝ 2－1时，原式＝4 2－3.24．(5分)(2012·扬州)先化简：1－a －1a ÷a 2－1a 2＋2a ，再选取一个合适的a 值代入计算．解 原式＝1－a －1a ×a 2＋2aa 2－1＝1－a －1a ×a （a ＋2）（a ＋1）（a －1） ＝1－a ＋2a ＋1＝a ＋1a ＋1－a ＋2a ＋1＝－1a ＋1，a取除0、－2、－1、1以外的数，如取a＝10，原式＝－111.25．(8分)(2012·张家界)阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad－bc.例如：＝1×4－2×3＝－2，＝(－2)×5－4×3＝－22.(1)按照这个规定，请你计算的值；(2)按照这个规定，请你计算：当x2－4x＋4＝0时，的值.解(1)＝5×8－7×6＝－2；(2)由x2－4x＋4＝0得(x－2)2＝0，∴x＝2，∴＝3×1－4×1＝－1.26．(8分)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；(2)根据上面算式的规律，请计算：1＋3＋5＋…＋199＝________；(3)请你用代数式表示出上面规律．(1)解析由图①知黑点个数为1个，由图②知在图①的基础上增加3个，由图③知在图②基础上增加5个，则可推知图④应为在图③基础上增加7个即有1＋3＋5＋7＝42，图⑤应为1＋3＋5＋7＋9＝52.答案1＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52(2)解析由(1)中的推理可知1＋3＋5＋…＋199共有100项即为第100个图，所以1＋3＋5＋…＋199＝1002.答案 1002(3)由(1)中推理可知第n 个图形黑点个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.27．(8分)观察下面的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律： (1)写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．解 观察等式与图形之间的关系我们可以看出等式左边式子是通过矩形面积公式求阴影部分面积的，而右边式子是通过整体面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，利用此关系，可以得到答案为： (1)5×56＝5－56(2)n ×n n ＋1＝n －nn ＋1. 28．(8分)(2011·衢州)有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是______________．(2)小明想用类似方法解释多项式乘法(a＋3b)(2a＋b)＝2a2＋7ab＋3b2，那么需用2号卡片________张，3号卡片________张．解析(1)a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）（a＋2b）；（2）1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，所以需用2号卡片3张，3号卡片7张.答案图见解析a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）（a＋2b）（2）3 729.（8分）（2012·益阳）观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：（2）请用你发现的规律求出图④中的数y 和图⑤中的数x . 解 （1）观察图形与表格算法可得如下规律：三个角上三个数的积除以三个角上三个数的和等于三角形中的数，由此易得结论.1（2）图④：5×（－8）×（－9）＝360， 5＋（－8）＋（－9）＝ －12，y ＝360÷（－12）＝ －30，图⑤：1×x ×31＋x ＋3＝－3，解得x ＝－2.。

2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+25．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=．2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角【分析】观察图形得到一个正方形从左上角开始按逆时针标四个数，而2013=4×503+1，则可判断数2013应标在第504个正方形的左上角．【解答】解：∵2013=4×503+1，∴数2013应标在第504个正方形的左上角．故选C．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年【分析】由已知，我们可总结出每4年举办一次，只要每个选项与2009，2010，2012的差有一个是4的倍数，则能在这一年此项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举办．【解答】解：A、2070﹣2009=61，2070﹣2010=60，2070﹣2012=58，其中60是4的倍数，所以亚运会能在2070年举办，则世运会在2069年、奥运会在2072年举办．B、2071﹣2009=62，2071﹣2010=61，2071﹣2012=59，均不是4的倍数，所以，这三项运动会均不在2071年举办．C、2072﹣2009=63，2072﹣2010=62，2072﹣2012=60，60是4的倍数，所以奥运会能在2072年举办，则世运会在2069年、亚运会在2071年举办．D、2073﹣2009=64，2073﹣2010=63，2073﹣2012=61，64是4的倍数，所以世运会能在2073年举办，则亚运会在2074年、奥运会在2076年举办．故选：B．【点评】此题考查的知识点是数字变化类问题，解题的关键是要通过每4年举办一次，求出每个选项与2009，2010，2012的差，看是否有4的倍数确定答案．3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）．故选：B．【点评】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+2【分析】从图1到图3，周长分别为4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即可求解．【解答】解：下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；所以第n个图形周长为2n+1．故选C．【点评】本题考查了图形的变化规律，首先从图1到图3可得到规律，然后利用规律得到一般结论解决问题．5．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…∴210的末位数字是4．故选B．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．【分析】根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n个数为【解答】解：∵n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；n=3时，分子：8=（﹣1）4•23，分母：7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（﹣1）5•24，分母：9=2×4+1；…，∴第n个数为：故答案为：【点评】本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分子、分母与n的关系．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案；（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；【解答】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：a=2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…【点评】本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=1．【分析】（1）根据规律能得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的值，即可推出（a+b）5的值；（2）根据规律得出原式=（2﹣1）5，求出即可．【解答】解：（1）∵（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），故答案为：1．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．参与本试卷答题和审题的老师有：gsls；马兴田；lbz；Liuzhx；ZHAOJJ；sjzx；zjx111（排名不分先后）菁优网2016年6月8日。

《阶段检测三》基础演练（时间：100分钟 满分：100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1.（2012·某某）一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（0，4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，2）解析 令x ＝0，得y ＝－2×0＋4＝4， 则函数图象与y 轴的交点坐标是（0，4）. 答案 A2.（2012·某某）矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）解析 矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系式是：y ＝9x（x ＞0）.是反比例函数，且图象只在第一象限. 答案 C3.（2012·某某）将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）A.y ＝3（x ＋2）2－1 B.y ＝3（x －2）2＋1 C.y ＝3（x －2）2－1D.y ＝3（x ＋2）2＋1解析 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y ＝3（x ＋2）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝3（x ＋2）2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝3（x ＋2）2－1. 答案 A4.（2012·某某）点（－1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数y ＝6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A.y 3＜y 2＜y 1 B.y 2＜y 3＜y 1 C.y 1＜y 2＜y 3D.y 1＜y 3＜y 2解析 ∵函数y ＝6x中k ＝6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵－1＜0，∴点（－1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限，∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1. 答案 D5.（2012·某某）当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝ax在同一坐标系中的图象可能是（ ）解析 当a ＞0时，y ＝ax ＋1过一、二、三象限，y ＝a x过一、三象限；当a ＜0时，y ＝ax ＋1过一、二、四象限，y ＝ax过二、四象限.答案 C6.（2012·某某）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是（ ） A.有最小值－5、最大值0 B.有最小值－3、最大值6 0、最大值6D.有最小值2、最大值6 解析 由二次函数的图象可知， ∵－5≤x ≤0，∴当x ＝－2时函数有最大值，y 最大＝6； 当x ＝－5时函数值最小，y 最小＝－3. 答案 B7.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝a x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）.解析 ∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0， ∵对称轴x ＝－b2a ＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c ＝0，∴一次函数y ＝bx ＋c 过第二、四象限且经过原点，反比例函数y ＝ax位于第二、四象限，纵观各选项，只有C 选项符合. 答案 C8.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，则下列结论正确的是 （ ）.A.ac ＞0B.方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3 C.2a －b ＝0D.当y>0时，y随x的增大而减小解析根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（－1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x B.答案 B9.下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（）.①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A. ①②④③B.③④②①C.①④②③D.③②④①解析本题考查的是变量关系图象的识别，借助生活经验，弄明白一个量是如何随另一个量的变化而变化是解决问题的关键.①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系），路程是时间的正比例函数，对应第四个图象；②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系），高度是注水时间的函数，由于锥形瓶中的直径是下大上小，故先慢后快，对应第二个函数的图象；③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系），温度计的读数随时间的增大而增大，由于温度计的温度在放入热水前有个温度，故对应第一个图象； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系），水温随时间的增大而减小，由于水冷却到室温后不变化，故对应第三个图象；综合以上，得到四个图象对应的情形的排序为③②④①. 答案D10.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是 （ ）.解析 由y －x 2等于该圆的周长，得列方程式y －x 2＝π2x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12x .∴y 与x A.答案 A二、填空题（每小题2分，共20分）11.（2012·某某）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式y ＝ Ｗ.解析 ∵反比例函数位于二、四象限， ∴k ＜0，解析式为：y ＝－1x.故答案为y ＝－1x，答案不唯一.答案 y ＝－1x，答案不唯一l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S （千米）随时间t （分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米.解析 ∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18－6）分钟行驶了12千米， ∴甲每分钟行驶12÷30＝25千米，乙每分钟行驶12÷12＝1千米， ∴每分钟乙比甲多行驶1－25＝35千米.答案 3513.（2012·某某）一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为Ｗ.解析 ∵一次函数y ＝kx ＋b 过（2，3）（0，1）点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b ， 1＝b 解得： k ＝1，b ＝1， 一次函数的解析式为：y ＝x ＋1，∵一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交与（－1，0）点， ∴关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为x ＝－1. 答案x ＝－114.（2012·某某）如图，某某建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx .小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒.解析 设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ， ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，BA 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒. ∴从O 到D 需要10＋8＝18秒. ∴从O 到C 需要2×18＝36秒. 答案 3615.（2012·聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为Ｗ.解析 ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，设正方形的边长为b ，则14b 2＝9，解得b ＝6，∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x ＝3， ∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a ＝3，解得a ＝1，∴P （3，1），∵点P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上， ∴k ＝3，∴此反比例函数的解析式为：y ＝3x.答案 y ＝3x16.在函数y ＝1－2xx －12中，自变量x 的取值X 围是. 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0x －12≠0，所以x ＜12.答案 x ＜1217.已知点P （2a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值X 围是 .P （2a ＋1，2a －3）在第四象限，则点P的横坐标为正，纵坐标为负，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞02a －3＜0，易求得结果为－12＜a ＜32.答案 －12＜a ＜3218.根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为.解析 因为2≤52≤4，把x ＝52代入y ＝1x 得，y ＝25.答案 2519.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A （－1，0）处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A ′处，则点A ′的坐标为.A （－1，0）向右跳2个单位长度，－1＋2＝1，向上2个单位，0＋2＝2，所以点A ′的坐标为（1，2）. 答案 （1，2）20.在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是（－1，－1），（－3，－1），把△ABC 经过连续9次这样的变换得到△A 9B 9C 9，则点A 的对应点A 9的坐标是.解析 可求得点A （－2，－1－3）经过一次变换后得点A 1（0，1＋3）， 第二次后A 2（2，－1－3） 第三次A 3（4，1＋3）第四次A 4（6，－1－3） 第五次A 5（8，1＋3） 第六次A 6（10，－1－3） 第七次A 7（12，1＋3） 第八次A 8（14，－1－3） 第九次A 9（16，1＋3）. 答案 （16，1＋3）三、解答题（共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21.（10分）（2012·某某）如图，一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝mx的图象相交于点A （2，3）和点B ，与x 轴相交于点C （8，0）.（1）求这两个函数的解析式； （2）当x 取何值时，y 1＞y 2.解 （1）把 A （2，3）代入y 2＝m x，得m ＝6. 把 A （2，3）、C （8，0）代入y 1＝kx ＋b ， 得k ＝－12，b ＝4，∴这两个函数的解析式为y 1＝－12x ＋4， y 2＝6x；（2） 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋4，y ＝6x解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6，y 1＝1⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝3.当x ＜0 或 2＜x ＜6 时，y 1＞y 2.22.（10分）（2012·某某）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y （m 3）与时间 t （min ）之间的函数关系式. （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y （m 3）与时间t （min ）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？解 （1）排水阶段：设解析式为：y ＝kt ＋b ， 图象经过（0，1 500），（25，1 000），则：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1 500， 25k ＋b ＝1 000 解得： k ＝－20，b ＝1 500，故排水阶段解析式为：y ＝－20t ＋1 500； 清洗阶段：y ＝0，灌水阶段：设解析式为：y ＝at ＋c ， 图象经过（195，1 000），（95，0），则：⎩⎪⎨⎪⎧195a ＋c ＝1 000， 95a ＋c ＝0解得： a ＝10，c ＝－950， 灌水阶段解析式为：y ＝10t －950；（2）∵排水阶段解析式为：y ＝－20t ＋1 500； ∴y ＝0时，0＝－20t ＋1 500， 解得：t ＝75， 则排水时间为75分钟，清洗时间为：95－75＝20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1 500（m 3）， ∴1 500＝10t －950， 解得：t ＝245，故灌水所用时间为：245－95＝150（分钟）.答 排水时间为75分钟；清洗时间20分钟；灌水所用时间150分钟.23.（10分）在同一直角坐标系中反比例函数y ＝m x 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相交，且其中一个交点A 的坐标为（－2，3），若一次函数的图象又与x 轴相交于点B ，且△AOB 的面积为6（点O 为坐标原点）.求一次函数与反比例函数的解析式.解 将点A （－2，3）代入y ＝m x 中得：3＝m －2， ∴m ＝－6.∴反比例函数的解析式为y ＝－6x. 又∵△AOB 的面积为6，∴12|OB |·|y A |＝6. ∴12|OB |·3＝6，∴|OB |＝4. ∴B 点坐标为（4，0）或（－4，0）.①当B （4，0）时，又∵点A （－2，3）是两函数图象的交点，∴代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0－2k ＋b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝2. ∴y ＝－12x ＋2. ②当B （－4，0）时，又∵点A （－2，3）是两函数图象的交点，∴代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝6.∴y ＝32x ＋6. 综上所述，一次函数的解析式为y ＝－12x ＋2或y ＝32x ＋6. 24.（10分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）.以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD .记旋转角为α.∠ABO 为β.（1） 如图①，当旋转后点D 恰好落在ABD 的坐标；（2） 如图②，当旋转后满足BC ∥xα与β之间的数量关系；（3） 当旋转后满足∠AOD ＝βCD 的解析式.解 （1）∵点A （3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4.∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝32＋42＝5.根据题意，有DA ＝OA ＝3.如图①.过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，则MD ∥OB .∴△ADM ∽△ABO .有AD AB ＝AM AO ＝DM BO， 得AM ＝AD AB ×AO ＝95，DM ＝AD AB ×BO ＝125. 又OM ＝OA －AM ，得OM ＝3－95＝65.∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. （2）如题图②.由已知，得∠CAB ＝α，AC ＝AB ，∴∠ABC ＝∠ACB .∴在△ABC 中，由∠ABC ＋∠ACB ＋∠CAB ＝180°，得α＝180°－2∠ABC .又∵BC ∥x 轴，得∠OBC ＝90°，有∠ABC ＝90°－∠ABO ＝90°－β.∴α＝180°－2（90°－β）＝2β.（3）如图1，连接BD ，作DF ⊥x 轴于点F .由∠AOD ＝β＝∠ABO 可证△AOB ≌△ADB ，∴∠ADB ＝∠AOB ＝90°.又∵∠ADC ＝90°， ∴B 在直线CD 上， ∴可设直线CD 方程式为y ＝kx ＋4.由△AOE ∽△ABO 得OE OB ＝OA AB ⇒OE ＝OA ·OB AB ＝3×45＝125⇒OD ＝245. 设D 点坐标为（a ，b ），则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43（△ODF ∽△BAO ），a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2452，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9625，b ＝7225. 代入直线CD 方程y ＝kx ＋4，得k ＝－724. ∴直线CD 的解析式为y ＝－724x ＋4.同样考虑∠AOD 在x 轴下方的情况，如图2，可得直线CD 的解析式y ＝724x －4. ∴直线CD 的解析式y ＝－724x ＋4或y ＝724x －4. 25.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝14x 2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上.（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时；①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值X 围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值.解 （1）M （0，2）.（2）①当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时t ＝4，解得x ＝1±5，当Q 与B 或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2，∴x 的取值X 围是x ≠1±5，且x ≠±2的所有实数.②分两种情况讨论：Ⅰ.当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上，t ＝－2.Ⅱ.当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上，当x ＝－23时，得t ＝－8－23，∴当x ＝23时，得t ＝23－8.26.（10分）如图，直线y ＝x ＋3与坐标轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，B ，顶点为C ，连接CB 并延长交x 轴于点E ，点D 与点B 关于抛物线的对称轴MN 对称.（1）求抛物线的解析式及顶点C 的坐标；（2）求证：四边形ABCD 是直角梯形.（1）解 ∵y ＝x ＋3与坐标轴分别交与A ，B 两点，∴A 点坐标（－3，0）、B 点坐标（0，3）.∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －3a ＝0，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3.∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，∴顶点C 的坐标为（－1，4）.（2）证明 ∵B ，D 关于MN 对称，C （－1，4），B （0，3），∴D （－2，3）.∵B （0，3），A （－3，0），∴OA ＝OB .又∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠BAO ＝45°.∵B ，D 关于MN 对称，∴BD ⊥MN .又∵MN ⊥x 轴，∴BD ∥x 轴.∴∠DBA ＝∠BAO ＝45°.∴∠DBO ＝∠DBA ＋∠ABO ＝45°＋45°＝90°. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B （0，3），C （－1，4）代入得， ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴y ＝－x ＋3.当y ＝0时，－x ＋3＝0，x ＝3，∴E （3，0）. ∴OB ＝OE ，又∵∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＝∠OBE ＝∠BAO ＝45°.∴∠ABE ＝180°－∠BAE －∠BEA ＝90°. ∴∠ABC ＝180°－∠ABE ＝90°.∴∠CBD ＝∠ABC －∠ABD ＝45°.∵CM ⊥BD ，∴∠MCB ＝45°.∵B ，D 关于MN 对称，∴∠CDM ＝∠CBD ＝45°，CD ∥AB .又∵AD 与BC 不平行，∴四边形ABCD 是梯形. ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是直角梯形.。

【基础演练】1．(2012·无锡)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则抛物线的函数关系式为________．解析 设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1， 将B (1，0)代入y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－1，∴函数解析式为y ＝－(x －2)2＋1，即y ＝－x 2＋4x －3. 答案 y ＝－x 2＋4x －32．已知抛物线经过点A (－5，0)、B (1，0)，且顶点的纵坐标为92，则二次函数的解析式是________．解析 ∵抛物线与x 轴有两个交点A (－5，0)，B (1，0)，由对称性可知，它的对称轴为x ＝－5＋12＝－2，∴抛物线的顶点为P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92，已知抛物线上的三点A (－5，0)，B (1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，92，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A (－5，0)，B (1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，25a －5b ＋c ＝0，4a －2b ＋c ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，c ＝52，∴y ＝－12x 2－2x ＋52.答案 y ＝－12(x ＋2)2＋92或y ＝－12x 2－2x ＋523．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)、B (0，2)、C (1，3)；则二次函数的解析式________．解析 根据点A ，B ，C 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A (－1，－1)、B (0，2)、C (1，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1，c ＝2，a ＋b ＋c ＝3，解得，a ＝－1，b ＝2，c ＝2.∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2. 答案 y ＝－x 2＋2x ＋24．抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、 B (x 2，0)两点，且x 1＜x 2，与y 轴交于点C (0，－4)，其中x 1，x 2是方程x 2－4x －12＝0的两个根，则抛物线的解析式________． 解析 ∵x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6.∴A (－2，0)，B (6，0)．又∵抛物线过点A 、B 、C ，故设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －6)，将点C 的坐标代入，求得a ＝13.∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－43x －4.答案 y ＝13x 2－43x －45.如右图所示，一个二次函数的图象经过点A ，C ，B 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴的正半轴上，且AB ＝OC .则这个二次函数的解析式是________．解析 ∵A (－1，0)，B (4，0)，∴AO ＝1, OB ＝4，即AB ＝AO ＋OB ＝1＋4＝5.∴OC ＝5，即点C 的坐标为(0，5)．设图象经过A ，C ，B 三点的二次函数的解析式为y ＝a (x －4)(x ＋1)，∵点C (0，5)在图象上．∴5＝a (0－4)(0＋1)，即a ＝－54.∴ 所求的二次函数解析式为y ＝－54(x －4)(x ＋1)．即y ＝－54x 2＋154x ＋5.答案 y ＝－54x 2＋154x ＋56．(2012·东营)根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析 ∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.答案 B7．(2012·衡阳)如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则下列说法：①a >0 ②2a ＋b ＝0 ③a ＋b ＋c >0 ④当－1<x <3时，y >0其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①图象开口向下，能得到a <0；②对称轴在y 轴右侧，x ＝－1＋32＝1，则有－b2a ＝1，即2a ＋b ＝0；③当x ＝1时，y >0，则a ＋b ＋c >0；④由图可知，当－1<x <3时，y >0. 答案 C8．(2012·株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1，0)，对称轴是x ＝－1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是( )A ．(－3，0)B ．(－2，0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2解析 抛物线与x 轴的另一交点为B (b ，0)，∵抛物线与x 轴的一个交点A (1，0)，对称轴是x ＝－1，∴1＋b2＝－1，解得b ＝－3，∴B (－3，0)．答案 A9．(2012·资阳)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )A ．－1<x <5B ．x >5C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5解析 由图象得：对称轴是x ＝2，其中一个点的坐标为(5，0)， ∴图象与x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，利用图象可知：ax 2＋bx ＋c <0的解集即是y <0的解集，∴x <－1或x >5. 答案 D10．(2012·兰州)已知二次函数y ＝a (x ＋1)2－b (a ≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析 ∵二次函数y ＝a (x ＋1)2－b (a ≠0)有最小值，∴a >0，∵无论b 为何值，此函数均有最小值，∴a 、b 大小无法确定． 答案 D11.(2012·泰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y >0时x 的取值范围． 解 (1)∵正方形OABC 的边长为2 ∴B 点坐标(2，2)，C 点坐标(0，2)． 将B 、C 两点代入y ＝－23x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝－83＋2b ＋c ，2＝c ，解得b ＝43，∴y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令y ＝0，则－23x 2＋43x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0)， 结合函数图象，当y >0时，－1<x <3.【能力提升】12．(2012·宜宾)如图，抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点A 在直线l ：y ＝x －5上． (1)求抛物线顶点A 的坐标；(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D (C 点在D 点的左侧)，试判断△ABD 的形状．解 (1)∵顶点 A 的横坐标为x ＝－－22＝1，且顶点A 在y ＝x －5上，∴当x ＝1时，y ＝1－5＝－4，∴A (1，－4)． (2)△ABD 是直角三角形． 将A (1，－4)代入y ＝x 2－2x ＋c ， 可得1－2＋c ＝－4，∴c ＝－3，∴y ＝x 2－2x －3，∴B (0，－3)． 当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3， ∴C (－1，0)，D (3，0)． ∵BD 2＝OB 2＋OD 2＝18，AB 2＝(4－3)2＋12＝2，AD 2＝(3－1)2＋42＝20，∴BD 2＋AB 2＝AD 2，∴∠ABD ＝90°， 即△ABD 是直角三角形．13．(2012·龙岩)如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC ＝BC .(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A ，B ，C 三点的坐标并求抛物线的解析式． 解 (1)抛物线的对称轴为x ＝－5a 2a ＝52.(2)在抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4中， 令x ＝0，则y ＝4，∴C 点坐标为(0，4)． 又∵抛物线的对称轴为x ＝52，B 、C 两点对称，∴B 点坐标为(5，4)． ∵BC ＝AC ，∴AC ＝BC ＝5， ∴OA ＝ AC 2－OC 2＝ 52－42＝3， ∴A 点坐标为(－3，0)．将A 点坐标代入y ＝ax 2－5ax ＋4， 解得a ＝－16，∴y ＝－16x 2＋56x ＋4.。

【基础演练】1．(2012·聊城)如果x ＝2是方程12x ＋a ＝－1的根，那么a 的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．－6解析 把x ＝2代入12x ＋a ＝－1，得1＋a ＝－1∴a ＝－2. 答案 C2．(2012·丽水)把分式方程2x ＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边同乘以 ( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)解析 最简公分母是x (x ＋4)，∴两边同乘以x (x ＋4) 答案 D 3．解方程x ＋33－x －16＝5－x2，去分母所得结论正确的是 ( )A ．x ＋3－x ＋1＝15－xB ．2x ＋6－x ＋1＝15－3xC ．x ＋6－x －1＝15－xD ．x ＋3－x ＋1＝15－3x解析 方程两边同乘以6，得2(x ＋3)－(x －1)＝3(5－x )，∴2x ＋6－x ＋1＝15－3x . 答案 B4．(2012·江西)方程0.25x ＝1的解是________． 解析 方程两边同乘4，得x ＝4. 答案 45．(2012·哈尔滨)方程1x －1＝32x ＋3的解是________． 解析 方程两边同时乘以最简公分母(x －1)(2x ＋3)得，2x ＋3＝3(x －1)， 解得x ＝6，把x ＝6代入最简公分母(x －1)(2x ＋3)得，(6－1)(12＋3)＝75≠0，故此方程的解为：x ＝6.答案 x ＝66．解方程2x ＋16＋x －13＝1.解 去分母，得2x ＋1＋2(x －1)＝6 去括号，得2x ＋1＋2x －2＝6 移项合并同类项，得4x ＝6－1＋2＝7 系数化1，得x ＝74.7．(2012·苏州)解分式方程：3x ＋2＋1x ＝4x 2＋2x. 解 方程两边同乘以x (x ＋2)，得 3x ＋(x ＋2)＝4，解得x ＝12，当x ＝12时，x (x ＋2)＝12(12＋2)≠0.∴x ＝12是原方程的根．【能力提升】 8．(2012·宜宾)分式方程12x 2－9－2x －3＝1x ＋3的解为 ( )A ．3B ．－3C ．无解D ．3或－3解析 因为3和－3都使最简公分母x 2－9＝0，根据给定的选项可知，方程无解． 答案 C9．(2012·大连)对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊗b ＝1b －1a，若1×(x ＋1)＝1，则x 的值为 ( )A.32B.12C ．1D ．－12解析 由规定可知：1x ＋1－1＝1 去分母：1－(x ＋1)＝x ＋1 解得x ＝－12当x ＝－12时，分母x ＋1＝－12＋1≠0∴x ＝－12是原方程的根．答案 D10．(2012·攀枝花)若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x 有增根，则k ＝________．解析 方程两边同乘以(x －2)，得 2(x －2)＋1－kx ＝－1因原方程的增根只能是x ＝2，将x ＝2 代入上式，得1－2k ＝－1，k ＝1. 答案 111．(2012·大连)解分式方程2x x ＋1＝1－x 3x ＋3. 解 两边同乘以3(x ＋1)，得 6x ＝3x ＋3－x ，解得x ＝34，验根：当x ＝34时，分母3(x ＋1)＝3(34＋1)≠0∴原方程的根是x ＝34.12．如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A 、B 到原点的距离相等．求x 的值．解 由题意，可知2x ＋23x －5＝4，两边同乘以(3x －5)，得：2x ＋2＝4(3x －5) 解得x ＝2.2验根：当x ＝2.2时，3x －5＝3×2.2－5≠0 ∴x ＝2.2是原方程的根．13．(2012·广东珠海)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍， 购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？解 设第一次每支铅笔进价为x 元，根据题意列方程得，600x －60054x ＝30，解得，x ＝4，检验：当x ＝4时，分母不为0，故x ＝4是原分式方程的解． 答 第一次每只铅笔的进价为4元．14．某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1 800元，已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%，求两个班人均捐款各多少元？ 解 设1班有x 人，则2班有0.9x 人，由题意，得1 8000.9x －1 800x ＝4，解之得x ＝50(人)．经检验x ＝50是原分式方程的根．∴2班有45人，∴1班人均捐款为1 80050＝36(元)，2班人均捐款为1 80045＝40(元)．答 1、2两个班人均捐款各36元和40元．15．某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？解 设该品牌饮料一箱有x 瓶，则26x －26x ＋3＝0.6.解之得，x 1＝10，x 2＝－13， 经检验x 1＝10，x 2＝－13是原分式方程的根， 但x ＝－13不合题意． 答 该饮料一箱有10瓶． 16．阅读下列材料：11×3＝12(1－13)；13×5＝12(13－15)；15×7＝12(15－17)；… 受此启发，请你解下面的方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18.解 原方程可化为：13(1x －1x ＋3)＋13(1x ＋3－1x ＋6)＋13(1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18； 13(1x －1x ＋9)＝32x ＋18； 方程两边同乘以6x (x ＋9)，2(x ＋9)－2x ＝9x 解得x ＝2.经检验：x ＝2是原方程的解．。