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内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
1.1数系的扩充与复数的概念吗？ 二、新课讲解： ①定义复数：形如a bi +的数叫做复数,通常记为z a bi =+(复数的代数形式)，其中i 叫虚数单位,a 叫实部,b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1:下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+-- 规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论:复数的代数形式中规定,a b R ∈,,a b 取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数,,(0)bi b ≠叫做纯虚让学生理解引入i 后,所带来的变化，让学生讨论：aa+i ai Ia+bi 是否都符合复数的一般代数形式？ 让学生学会利用复数的一般代数形式，判断复数的实部与虚部 强调:两复数不能比较大小，只有等与不等。
找到对应的a 与b 的值理解复数的一般代数形式完成答题，体会实部与虚部区分实数，虚数,纯虚数的条件理解复数集实数集的联系数。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数系的扩充和复数的概念一、教学内容数系的三次扩充过程,复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标三、教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类,复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入问题：若223+=，3x yxy=，求（1）x+y的值；（2）求x和y的值生（独立完成）：求出x+y=3或-3师:既然和能够求出来，那能不能求出x和y的值呢？生：30∆=-<,我们求不了x、y的值师：事实上在实数范围内x和y确实不存在？为什么会这样呢？假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数,那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二）回顾数系的扩充历程师:其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生.大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充.现在就让我们来回顾一下,看看我们以前是怎么解决“数不够用"的问题的。
2019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-212019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-2教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎧≠≠⎧⎧≠⎧⎧≠=⎧⎧实数(b=0)复数一般虚数(b 虚数(b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。
（讨论中，k 取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
1课时）预习导航新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念（第1课时）预习导航新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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念(第1课时）预习导航新人教A版选修2—21．复数的概念及代数表示法(1)定义：我们把集合C＝｛a＋b i｜a，b∈R｝中的数，即形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,全体复数所组成的集合C叫做复数集，规定i·i＝－1.（2）表示:复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明，都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．思考1如何理解虚数单位i？提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立．2．复数相等的充要条件在复数集C＝｛a＋b i|a，b∈R｝中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R),我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.思考2两个复数能否比较大小？提示：两个复数不一定能比较大小,只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定,若i＞0，则两边同乘以i,有i2＞0,即－1＞0，这是不可能的．若i＜0，则两边同时平方得i2＞0，即－1＞0，这也不可能．3．复数的分类(1)对于复数a＋b i,当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时,它是实数0;当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋b i(a,b∈R)可以分类如下:复数a＋b i（a，b∈R）错误!（2)集合表示：思考3 a＝0是z＝a＋b i（a，b∈R)为纯虚数的什么条件？提示：必要不充分条件．当a＝0，b＝0时,z＝0∈R.当z为纯虚数时，a＝0，b≠0，所以为必要不充分条件．。
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。
主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．2.目标解析（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析（一）课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾1.已经学习了哪些数集？2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：（1）人们为什么不断地扩充数系？师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．（2）数学扩充的一般原则是什么？师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：10=(5+√−15)+(5−√−15)，40=(5+√−15)(5−√−15)．师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”——瑞士数学大师欧拉发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数单位．1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题：1．两个复数相等的充要条件是什么？2．复数集C和实数集R之间有什么关系？3．复数集是怎么分类的？设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时，复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业1、书面作业：习题3.1A组 1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展复数的应用师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。
