离散数学 例题分析共37页

离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。

为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。

本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。

一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。

答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。

b) 若今天下雨，则我会带伞。

c) 若x>0，则x^2>0。

答案：a)假，b)真，c)真。

2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。

三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。

答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。

答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。

答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。

五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。

答案：C(10,3)=120种选法。

2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。

离散数学习题答案习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧,又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低,股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低,股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→<S∧P∧T> （5）他今天不是乘火车去北京,就是随旅行团去了九寨沟 --- P▽ Q（6）小张身体单薄,但是极少生病,并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目,只缘身在此山中--- P→ Q〔解释：因为身在此山中,所以不识庐山真面目（8）两个三角形相似,当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→<E∨T>（9）如果一个整数能被6整除,那么它就能被2和3整除。

如果一个整数能被3整除,那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：〔P→〔Q ∧ R∧〔R→ S2、判别下面各语句是否命题,如果是命题,说出它的真值〔1BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y,T/F〔2这件事大概是小王干的--- N〔3x2 = 64 --- N〔4可导的实函数都是连续函数--- Y,T/F〔5我们要发扬连续作战的作风,再接再厉,争取更大的胜利--- N〔6客观规律是不以人们意志为转移的--- Y,T〔7到2020年,中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y,N/A〔8凡事都有例外--- Y,F3、构造下列公式的真值表,并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式〔1〔P∨〔～P∧ Q→ Q〔2~〔4表略：〔2可满足式、〔3永真式、〔4可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式〔1~〔8略5、证明下列各等价式〔3P→〔Q∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔〔～P∨Q∨〔～P∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R⇔右式〔4〔P∧ Q∨〔R∧ Q∨〔R∧ P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P证明：左式⇔<〔P∨R∧ Q∨〔R∧ P⇔<〔P∨R∨R>>∧<〔P∨R∨P>>∧〔Q∨R∧〔Q∨P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R,能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R,能否断定 P ⇔ R？解：〔1如果P∨ Q ⇔ Q∨R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R,但P可以不等价于R.〔2如果P∧ Q ⇔ Q∧R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R,但P可以不等价于R.〔3如果～P ⇔～R,那么有P ⇔ R,因为～P ⇔～R,则～P <-> ～R为永真式,及有P <-> R为永真式,所以P ⇔ R.8、把下列各式用↑等价表示出来〔1<P∧Q>∨～P解：原式⇔ <<P↑Q>↑<P↑Q>>∨<P↑P>⇔ <<<P↑Q>↑<P↑Q>>↑<<P↑Q>↑<P↑Q>>>↑<<P↑P>↑<P↑P>>9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。

离散数学 习题 参考答案1、构造公式(p ∧q)∨ (¬p ∧¬q)、p↔q 的真值表。

2、构造公式¬(p ∨q)与¬p ∧¬q 的真值表。

3、构造公式 p 、p ∧p 、p ∨p 的真值表。

4、构造公式 p ∨(q ∧r)、(p ∨q)∧(p ∨r)的真值表。

5、构造公式 p ∨(p ∧r)、p 的真值表。

6、构造公式 p ∧(p ∨r)、p 的真值表。

7、构造公式 p↔q 、¬q↔¬p 的真值表。

8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p 的真值表。

9、构造公式 p 、¬¬p 的真值表。

10、构造公式 p ∨¬p 、p ∧¬p 的真值表 略一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主析取式或主合取式，若有，请写出来。

(1)(¬p→q)→(¬q ∨p) (2)(¬p→q)→(q ∧r)(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) (4) ¬(q→¬p)∧¬p (5)(p ∧q)∨(¬p ∨r) (6)(p→(p ∨q))∨r (7)(p ∧q)∨r(8) (p→q)∧(q→r) (9) (p ∧q)→q (10) ¬(r↔p)∧p ∧q存在主析取式=成真赋值对应的小项的析取 =m 00∨m 10∨m 11=(¬p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(p ∧q)主析取式=成假赋值对应的大项的合取 =M 01=p ∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔¬ (¬¬p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔¬ (p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∧¬q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∨(p ∨¬q))∧(¬q ∨(p ∨¬q)) ⇔ (¬p ∨p ∨¬q)∧(¬q ∨p ∨¬q) ⇔ (1∨¬q)∧(p ∨¬q) ⇔ (p ∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取式(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔ (p ∨¬q) ⇔ (p)∨(¬q) ⇔ (p ∧1)∨( 1∧¬q)⇔ (p ∧(q ∨¬q))∨( (p ∨¬p)∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假， 因此当得到小项的析取组成的主析取式后，可以针对剩下的组合写出主合取式。

离散数学应用题总结分类及经典例题一、命题逻辑1. 命题逻辑基本概念和运算规则- 命题、命题公式、真值表- 与、或、非、异或运算- 逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑等值、逻辑与式、逻辑析式等概念2. 命题公式的简化和合取范式- 联结词的法则与性质- 逻辑表达式的简化- 布尔函数的合取范式3. 命题逻辑的演绎推理- 推理规则：假言推理、析取引入、逆否命题引入等- 短路原理和证明方法二、谓词逻辑1. 一阶逻辑的基本概念- 常量、变量、函数、谓词、连接词- 全称量词、存在量词- 函数与数学归纳法2. 谓词公式的形式化定义和语义解释- 语义解释和真值表- 等值逻辑、矢列逻辑3. 谓词逻辑的演绎推理和运算规则- 等效变换和替换规则- 归结演算和合一术- 基本规则和证明方法三、图论与树1. 图的基本概念和性质- 顶点、边、路径、圈- 连通图、欧拉图、哈密顿图- 对偶图、平面图、可平面图2. 图的数据结构和遍历算法- 图的表示方法与存储结构- 广度优先搜索、深度优先搜索- 最小生成树和最短路径算法3. 树的基本概念和性质- 根节点、叶节点、子树、森林- 二叉树、平衡二叉树、哈夫曼树- B树、B+树4. 树的应用- 排序算法：二叉排序树、AVL树、红黑树- 堆、优先队列四、组合数学1. 排列与组合的基本概念- 排列、组合、幂集、二项式系数- 齐次线性递推关系2. 容斥原理和抽屉原理- 容斥原理的应用- 抽屉原理的应用3. 连通图的计数- 生成函数的定义和使用- 应用实例分析五、图的着色与平面分区1. 图的着色问题- 四色定理和五色定理- 补图和可着色图- 哈密顿图和Hamilton回路2. 平面分区问题- 固定多边形的划分- 平面图的着色问题六、离散数学在计算机科学中的应用1. 逻辑电路设计- 逻辑门电路- 布尔代数和真值表2. 算法设计与分析- 递归算法、回溯算法、动态规划等- 时间复杂度和空间复杂度这份文档总结了离散数学的应用题，并对每个分类进行了简要介绍和例题演示。

离散数学习题解答-（)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第七章图7.1 图的基本知识定义８.8设图G＝<V，Ｅ，Ψ >(１）Ｇ－e表示对G作删除边e的运算，Ｇ－e =<Ｖ,E’，Ψ’>，其中E’＝Ｅ-｛ｅ｝,Ψ’= Ψ↑E’。

（2）G-v表示对G作删除顶点v的运算，G－ｖ= <V’,Ｅ’,Ψ’>，其中V’= V-{v}，E’＝E-{e |e以v为端点}，Ψ’＝Ψ↑E’。

（３）边e切割运算。

设Ｇ中Ψ (e) =(u,v)，对G作边ｅ切割得G’＝<Ｖ’，E’，Ψ’>，其中，Ｖ’＝V⋃{v’｝,E’= (E-｛e}）⋃{e１,ｅ2}，Ψ’= （Ψ-{<e,(u,ｖ)>})⋃{<e1, (u,ｖ’）＞,<e2,(v’,v）>}(４)顶点v贯通运算。

设Ｇ中顶点ｖ恰为边e1,ｅ２的端点,且Ψ (e1) ＝(u,v)，Ψ（e2) =（ｗ，v)。

对G作顶点ｖ贯通得G’=<V’，E’，Ψ’>,其中V’=V-｛ｖ},Ｅ’＝(E－｛e1,ｅ2｝)⋃{e}, Ψ’=( Ψ－{<ｅ1,(u,v)>，<e2，(w，v）＞})⋃{＜e, (u,ｗ)>}。

切割与贯通是互逆的,两者常被称为同胚运算。

定义8.９设G1＝<V１，E1,Ψ1>,Ｇ2=<V2，E2，Ψ2>为两个图，称Ｇ1与G２同构(isomorphic),如果存在双射ｆ:Ｖ1→V2,双射g：E1→Ｅ２，使得对每一边ｅ∈Ｅ1, Ψ1(ｅ)＝(u,ｖ）（或<u,ｖ>)当且仅当Ψ2（g(e)) = (f(u），f(v))(或＜f（u)，ｆ(v)>) 当限于讨论简单图时,可以用顶点的偶对表示边,即当Ψ(e)＝(ｕ,v)时，边e用(u,v)来表示。

离散数学1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( B ) 种不同的关系。

[A] 3[B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ D ）。

[A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,83、若X 是Y 的子集，则一定有（D ）。

[A]X 不属于Y [B]X ∈Y[C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的是（ C ）。

[A]不等关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ C ）。

[A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象[C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ C ）。

[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ B ）。

[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（ A ）。

[A] G 没有奇数度结点[B] G 有1个奇数度结点 [C] G 有2个奇数度结点[D] G 没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是（ B ）。

[A] G 中有幺元 [B] G 中么元是唯一的[C] G 中任一元素有逆元 [D] G 中除了幺元外无其他幂等元10、令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）[A] p →┐q [B] p ∨┐q[C] p ∧q [D] p ∧┐q11、设图G=<V,E>的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={<v1,v2>,<v1,v3>}.则G 的割（点）集是（ A ）。

离散数学习题及解答作业题与解答第⼀章19 (2)、(4) 、(6)21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满⾜式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第⼆章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)所以00，10，11 为成真赋值。

(2) (┐p→q)∧(q∧r)(┐┐p∨q)∧(q∧r)(p∨q)∧(q∧r)(p∧q∧r)∨(q∧r)(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)m3∨m 7，所以011，111 为成真赋值。

(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )(┐p∧┐q)∨(1∧1)(┐p∧┐q)∨11m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。

离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解：p=1，q=1，r=0，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。

20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。

离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。

第一章命题逻辑内容：命题与命题联结词、命题公式的根本概念，真值表、根本等价式与永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。

教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式与其解释的概念。

2．熟练掌握常用的根本等价式与其应用。

3．熟练掌握〔主〕析/合取X式的求法与其应用。

4．熟练掌握常用的永真蕴涵式与其在逻辑推理中的应用。

5．熟练掌握形式演绎的方法。

教学重点：1．命题的概念与判断2．联结词，命题的翻译3．主析〔合〕取X式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析〔合〕取X式的求法2．逻辑推理1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。

A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。

R：我是一名大学生。

（1） P↑P⇔﹁〔P∧P〕⇔﹁P；〔2〕〔P↑Q〕↑〔P↑Q〕⇔﹁〔P↑Q〕⇔ P∧Q；〔3〕〔P↑P〕↑〔Q↑Q〕⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。

〔1〕P↓P⇔﹁〔P∨Q〕⇔﹁P；〔2〕〔P↓Q〕↓〔P↓Q〕⇔﹁〔P↓Q〕⇔P∨Q；〔3〕〔P↓P〕↓〔Q↓Q〕⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁〔﹁P∨﹁Q〕⇔P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：〔1〕单个命题变元是公式；〔2〕如果P 是公式，如此﹁P是公式；〔3〕如果P、Q是公式，如此P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；〔4〕当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如，下面的符号串都是公式：〔〔〔〔﹁P〕∧Q〕→R〕∨S〕〔〔P→﹁Q〕↔〔﹁R∧S〕〕〔﹁P∨Q〕∧R以下符号串都不是公式：〔〔P∨Q〕↔〔∧Q〕〕〔∧Q〕1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)b)我今天进城，除非下雨。

设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走，我将留下。

设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。

一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝ {3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |ρ(A×A)| =22n .3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为 3 .6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝ {4} ; A⋃B＝{1,2,3,4}; A－B＝ {1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性 , 对称性传递性 .8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1= {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R2∙R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 = {(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B = {x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加 21 条边才能把G变成完全图。

【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。

【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。

【Abel群/交换群】·适合交换律。

可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。

【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。

单位子群{1}和G称为平凡子群。

【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。

a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。

若G的元数是一个质数，则G必是循环群。

n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。

共有ϕ（n）个。

【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。

H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。

任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。

求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。

G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。

（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。

1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。

2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。

3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。

证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。

故Ha=aH。

4G的任意多个子群的交集是G的子群。

并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。

5 H是G的子群。