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非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算

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29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

I = 1 T
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
电气工程综合

电气工程综合

828电气工程综合考试大纲电气工程综合考试大纲一、考试的性质与范围适用于电气工程及其自动化专业硕士研究生入学考试，考试内容涵盖大学本科阶段要求掌握的电路、电机学、电力电子以及电力系统分析等课程的相关基本概念、原理和分析计算方法。

二、考试形式闭卷考试, 自带计算器。

三、考试内容及参考书目1、《电路》部分（占试卷分值的65%）考试范围（知识点）（1）电路模型和电路定律: 电路和电路模型；电流和电压的参考方向；电功率和电能；电路元件；电阻元件；电容元件；电感元件；电压源和电流源；受控电源；基尔霍夫定律。

（2）电阻电路的等效变换：电路的等效变换；电阻的串联和并联；电阻的星形连接和三角形连接的等效变换；电压源、电流源的串联和并联；实际电源的两种模型及其等效变换；输入电阻。

（3）电阻电路的一般分析：支路电流法；网孔电流法；回路电流法；结点电压法。

（4）电路定理：叠加定理；替代定理；戴维南定理和诺顿定理。

（5）含运算放大器的电阻电路：运算放大器的电路模型；比例电路的分析；含有理想运算放大器的电路的分析。

（6）一阶电路：动态电路的方程及其初始条件；一阶电路的零输入响应；一阶电路的零状态响应；一阶电路的全响应；一阶电路的阶跃响应；一阶电路的冲击响应。

（7）二阶电路：二阶电路的零输入响应；二阶电路的零状态响应和阶跃响应；二阶电路的冲击响应。

（8）相量法：复数；正弦量；相量法的基础；电路定律的相量形式。

（9）正弦稳态电路的分析：阻抗和导纳及其串联和并联；电路的相量图；正弦稳态电路的分析；正弦稳态电路的功率；复功率；最大功率传输；串联电路的谐振；并联电路的谐振。

（10）含有耦合电感的电路：互感；含有耦合电感电路的计算；空心变压器；理想变压器。

（11）三相电路:三相电路；线电压（电流）与相电压（电流）的关系；对称三相电路的计算；三相电路的功率；不对称三相电路的概念（包括对称分量法求解不对称三相电路）。

（12）非正弦周期电流电路:非正弦周期信号；周期函数分解为傅里叶级数；有效值、平均值和平均功率；非正弦周期电流电路的计算。

非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算

非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算


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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值,平均值和平均功率,非正弦周期电流电路的计算

非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值,平均值和平均功率,非正弦周期电流电路的计算

振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
电子示波器内的水平扫描电压锯齿波自动控制计算机等领域的脉冲电路中的脉冲信号和方波信号脉冲电流方波电压非正弦周期电路的分析把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号称为非正弦周期信号的各次谐波
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
12.非正弦周期电流电路和信号的频谱

12.非正弦周期电流电路和信号的频谱

（2）分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量 单独作用时的响应。 对恒定分量（ω=0），求解时把电容（C）看作开路，
即：1/ωC = ；电感（L）看作短路，即：ωL=0。
对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容 抗与频率的关系，即：
X Lk
k1 L，X Ck
1
k 1C
(3)并把计算结果转换为时域形式;
一．有效值 任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k )
k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0
[
I0
Ikm
k 1
cos(k1t
k
)]2 dt
上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
(4)应用叠加定理，把步骤（3）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
二．举例
i
R
+
例12-2 图示电路中,
us
C
R 3, 1 9.45,输 入 电 源 为: 1C
us 10 141.40cos(1 t ) 47.13cos(31t ) 28.28cos(51t ) 20.20cos(71t) 15.71cos(91t) V
k 1
还可以写成另一种形式:
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 21 )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k )
k 1
非正弦周期函数的有效值和平均功率

非正弦周期函数的有效值和平均功率


iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.

第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.


JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算



T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
电路原理(II)教案

电路原理(II)教案

电路原理(II)学分：2学时：30 (其中：讲课学时：30 实验学时：0 上机学时：0)先修课程：高等数学、物理、电路原理(I)适用专业：电气信息类专业教材：《电路(新形态)》，朱孝勇、傅海军，机械工业出版社，2020年课程网站：国家精品资源共享课网站：江苏大学“电路原理”课程网络资源一、课程目标“电路原理”课程是一门研究电路理论、电路分析方法的基础课程，属于电类及相关专业共同的一门主要的技术基础课。

“电路原理(II)”是“电路原理(I)”的后续课程，通过本课程学习，使学生完整的掌握电路理论的基本知识、基本分析计算方法和基本实验技能，为学习后继相关课程准备必要的电路理论知识，为从事工程技术工作及科学研究打下坚实的电路理论基础。

课程的具体目标如下：(一) 知识方面“电路原理(II)”主要包含非正弦周期电路的计算、动态电路的复频域分析、网络函数、电路方程的矩阵形式、状态方程和二端口网络参数及其计算。

通过“电路原理(I)”以及高等数学和物理等相关课程的相关学习，掌握非正弦电流电路的分析计算，能够利用复频域分析法求解电路，计算网络函数以及相关分析，能够列写电路方程的三种矩阵形式以及状态方程，二端口网络参数及其等效电路的计算，包含：1.1熟练掌握非正弦周期电流电路的概念以及电压、电流有效值和功率的计算；1.2熟练掌握电阻元件、电感元件、电容元件、耦合电感元件的复频域形式；1.3理解并熟练掌握网络函数的极点、零点以及极、零点图的绘制；1.4 理解并掌握三种矩阵的写法以及相应的矩阵方程的形式；1.5 理解并掌握状态变量与状态方程的概念以及方程的列写方法；1.6 理解二端口的概念，掌握二端口网络参数的计算方法；1.7 掌握二端口网络参数与两种等效电路的等效方法。

(二) 能力与素质方面2.1能够对非正弦周期电流电路的计算并进行建模仿真验证；2.2能够利用复频域分析法对动态电路进行分析计算，利用零极点图定性绘制幅频特性与相频特性；2.3 能够对复杂的电路列写电路方程的三种矩阵形式；2.4 能够对复杂的电路列写状态方程；2.5 能够对二端口电路求取其网络参数；2.6 能够利用二端口网络参数对复杂电路进行计算。

电路 第五版邱关源 第十三章

电路 第五版邱关源 第十三章


bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱


k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1

(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A

sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A

(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T

k

cke
jk 1 t

T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P

k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k

第13章 非正弦


周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)
A1m cos( t 1 )
称为1次谐波(或基波分量)
周期(或频率)与原函数f(t)相同
统称为高次谐波，即2次、3次、…谐波。 二、傅里叶级数中系数的求解
1. 表达式
其他各项
1 T a 0 f ( t ) dt T 0 2 T ak f ( t )coskω t dt T 0 2 T bk f ( t )si nkω t dt T 0
2
2 sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2
sin ktd (t )

2
0
3 三角函数的正交性

2
0 2
cos kt sin ptd (t ) 0 cos kt cos ptd (t ) 0
章目录 返回 上一页 下一页
0

2
0
sin kt sin ptd (t ) 0
按周期规律变化
f ( t ) f ( t kT )
章目录 返回 上一页 下一页
如
0
i
T
u
t
脉冲波形
0
T 方波电压
t
u t
锯齿波
0
T
2T
二、非正弦周期交流信号的产生原因
1 电路中有非线性元件
章目录 返回 上一页 下一页
如：半波整流电路的输出信号
ui
O
+
+
t ui
-
u0 -
u0
O
t
0 0
下半轴有波形
－T/2
T/2
下半轴无波形

t
f ( t ) a0 ak cos kt

《电路理论》课程教学大纲-邱关源

《电路理论》课程教学大纲-邱关源-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《电路理论》课程教学大纲2012.8一、课程的性质、目的与任务《电路理论》是自动控制类、电气电子类和计算机类等相关专业的必修课程。

本课程的主要任务是研究电路的基本定理、定律、基本分析方法及应用。

其目的是使学生通过对本课程的学习，理解电路的基本概念，掌握其分析方法、定理和定律并能灵活应用于电路分析中，使学生在分析问题和解决问题的能力上得到培养和提高，为后续课程的学习奠定坚实的理论基础。

二、课程的教学基本要求1、理解电路模型的概念，牢固掌握基尔霍夫定律和电阻、电容、电感、耦合电感、理想变压器、电压源、电流源、受控源等电路元件的伏安关系，充分理解两类约束是分析电路的基本依据。

充分理解各种电路元件的功率与能量关系。

3、掌握独立变量分析方法，能熟练运用网孔电流法和节点电压法来分析、计算线性电阻电路。

理解两个单口网络等效概念，能正确运用戴维南定理、诺顿定理来分析电路。

掌握含运算放大器电阻电路分析方法。

4、能熟练地分析、计算一阶动态电路的零输入响应，零状态响应以及全响应。

掌握二阶动态电路的计算、分析方法。

牢固掌握时间常数、固有频率的概念。

充分理解零状态和零输入响应的概念，理解暂态和稳态的概念、了解记忆、以及状态的概念。

5、充分理解相量法的原理及其使用条件。

能熟练地运用相量法计算、分析正弦稳态响应及用相量图求解正弦稳态电路。

掌握平均功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念并能进行计算。

会分析对称三相电路。

6、理解电路的频率响应概念，深入理解谐振现象。

掌握非正弦周期电流电路的计算方法。

7、能熟练分析含有耦合电感和理想变压器的电路；掌握双口网络的基本分析方法和各种参数意义及相互转化方法。

三、课程内容及学时分配本课程讲授64学时，每章学时分配及习题供参考。

第一部分电阻电路分析第一章电路模型和电路定律 6 学时1、教学内容电路和电路模型；电流和电压的参考方向；电功率和能量；电路元件；电阻元件；受控电源；基尔霍夫定律。

周期性非正弦电流、函数的谐波分析和傅里叶级数、电流的有效值、电路的平均功率相关知识讲解

的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率 电压电流相乘才形成平均功率）。
例 已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)

电路理论第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱


周期性非正弦信号 相量分析法
傅里叶级数展开 计算单独作用
一系列不同频率的正弦
叠加
全响应
§13.2周期函数分解为傅里叶级数
设周期函数f (t)，周期为T ，则有 f (t) f (t kT)
(k为任意整数）
如果f (t) 满足狄里赫利条件，则 f (t)就能展开成一个
收敛的傅里叶级数（本书中均满足）。即有：
（电压）的绝对值的平均值。
正弦电流的平均值为：I av
1 T
T
0
Im
cost dt
4Im T
T 4
costdt
0
4Im T
[1
T
sin t]0 4
0.637I m
0.898I
相当于正弦电流经全波整流后的平均值。
3.平均功率：任意一端口的瞬时功率为：
p ui [U0 U km cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
Ik2
k 1
k 0
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方
与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
同样也适用于非正弦周期的电压，即有：
U U02 U12 U22
2.平均值：
U 02 U k 2 k 1
Uk 2
k 0
Iav
1 T
T 0
i dt
或
U av
1 T
T 0
u dt
即非正弦周期电流（电压）的平均值等于此电流
1
41L1
41L2
41C1
从而可得：
j 41 L2
1 1
41L1
0
+ us (t) _
L1
L2

周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率

求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率

第10章 非正弦周期电流电路


P0 P1 P2 ......
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有
P I 2R I02R I12R I22R Ik2R
注意
1. 只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。 非同频率的平均功率为零。
10.3 有效值、平均值和平均功率
非正弦周期函数的有效值

若 i(t ) I0 Ikmcos(kω1t ψk )
则有效值:
k 1
I 1 T i2dt
T0
1 T
T

2
0
I0

Ikmcos kω1t
k 1
ψk
dt
I
I
2 0

1 2
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数
的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。 频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为
频谱图或频谱。
1. 幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份
2. 电路中产生非 正弦周期波的原 因是什么？试举 例说明。
3. 有人说：“只要 电源是正弦的，电 路中各部分的响应 也一定是正弦波” ，这种说法对吗？ 为什么？
4. 试述谐波分析法 的应用范围和应用 步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f(t) = f(t+kT) (k = 1, 2, 3, …) 若满足狄里赫利条件
非正弦 周期量 (激励)
不同频率 正弦量的和
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bk

1

2 0
f (t) sin k1td(1t)

f (t) a0
k 1

ak2

bk2

ak ak2 bk2
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(

k1t
)
8

f (t) a0
k 1
ak2 bk2

ak ak2 bk2
2 0


2I0
k 1
I
km
cosk1t

+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u(t)
o
T
脉冲电流
t
t 方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
3t

1 sin 5
5t
)
12
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
3t

1 sin 5
5t
)
展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减 小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。
13
2. 波形对称性 偶函数： f (t) f (t)
bk 0
奇函数： f (t) f (t)

2

2
0 iS (t) cos ktd (t)

2Im


1 k
sin
kt
0
0
11
bk

1

2
0 iS (t) sin ktd(t)

Im

(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk

2Im
k
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
0
0
3）三角函数的正交性
2
2
0 cos kt sin ptd(t) 0, 0 cos kt cos ptd(t) 0
2
sin kt sin ptd (t) 0
k p

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
9

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos(k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(

k1t)

令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
akLeabharlann Akm，sink

bk Akm
k

arctan
bk ak

f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
作用下电路的分响应。 最后在时域叠加，得到电路的响应。
谐波分析法
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示： f(t)=f(t+kT) k=0,1,2,…
1. 傅里叶级数 若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解
为傅里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a2 cos(21t) b2 sin( 21t)] [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
非正弦周期信号;周期函数分解 为傅里叶级数;有效值、平均值 和平均功率、非正弦周期电流
电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方 面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
Um V
5 10

10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
15
周期性信号频谱的特点：
Um V
1）离散性：离散的线状谱 2）谐波性：各频率均为基 波频率的整数倍，等间隔分 布
3）收敛性：幅度谱随频率 增加而减小，表明信号能量
5 10

10 2
0
17
2. 非正弦周期信号的有效值

设 i(t) I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i2dt
T0

1
T
T 0
I0

k 1
I km
cos
k1t
k
2 dt
I
1 T
T 0
I

f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 7

f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
k 1
式中：
1

2
T
1T
a0 T 0 f (t)dt
ak

1

2
0 f (t) cos k1td(1t)
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)

I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0

1 T
T 0
iS
(t )
dt

1 T
T /2
0 Imdt

Im 2
ak
ak 0
f(t)
－T/2
T/2 t
－T/2
f(t) T/2 t
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
集中在低频谐波中。
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。