实验3 插值方法

第三章 插 值 法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。

有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。

于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。

本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。

这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。

本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。

如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。

故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

实验二插值法1、实验目的：1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。

2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。

2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。

已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。

2) 求满足插值条件的插值多项式及余项1)4、题目：插值法5、原理：拉格郎日插值原理：n次拉格朗日插值多项式为：Ln (x)=yl(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L 1(x)=y(x-x1)/(x-x1)+y1(x-x)/(x1-x)=y+(y1-x)(x-x)/(x1-x)n=2时，称为二次插值或抛物线插值，L 2(x)=y(x-x1)(x-x2)/(x-x1)/(x-x2)+y1(x-x)(x-x2)/(x1-x)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x)/(x2-x1)n=i时，Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n)（X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n)6、设计思想：拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2


xn
y2

卫星遥感数据
通过卫星遥感技术获取地 表覆盖、植被分布、水体 等空间信息数据。
数据预处理
数据清洗
对原始数据进行清洗，去 除异常值、缺失值和重复 值，确保数据的准确性和 可靠性。
数据格式化
将不同来源和格式的数据 进行统一格式化处理，以 便进行后续的空间插值分 析。
数据转换
根据空间插值分析的需要， 将数据转换为相应的空间 坐标系和投影方式。
将本次实验的插值结果与已知的观测数据进行对比，分析其误差 和精度。
对比结果
通过对比发现，本次实验的插值结果与观测数据较为接近，误差 较小，精度较高。
误差分析
对误差进行了来源分析，发现误差主要来源于数据本身的波动和 插值方法的局限性。
误差来源与改进方向
误差来源
误差主要来源于数据本身的波动和插值方法的局限性。具体来说，数据波动可能由于观测设备的误差、观测环境 的干扰等因素造成；而插值方法的局限性则可能由于所选方法的假设条件与实际情况的差异、算法本身的误差等 造成。
在实验过程中，我们采用了多种空间插值方法，包括全局插值和局部插值。通过对比分析，我们发现局 部插值方法在处理非均匀分布的数据时具有更好的预测效果。
实验结果表明，空间插值分析在解决实际问题中具有广泛的应用前景，尤其在地理信息系统、环境监测、 气象预报等领域。
应用前景与展望
随着大数据和人工智能技术的不断发展，空间插 值分析将与这些技术相结合，进一步提高预测的 准确性和效率。例如，利用机器学习算法优化插 值参数，提高预测精度。
利用全局样条曲线对整个数据集进行 拟合，以估计未知点的值。这种方法 在处理大规模数据集时效率较高，但 可能无法捕捉到局部变化。
混合插值方法
局部多项式全局样条插值法

实验3 插值法与数值积分一、实验目的（1）掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法。

（2）掌握数值积分常用算法：逐次分半梯形公式求积。

（3）记录运行结果，回答问题，完成实验报告。

二、实验内容思考问题：插值多项式是否阶次越高越好？数值积分与插值的关系是什么？逐次分半梯形公式求积如何判断误差是否满足要求？1．用拉格朗日插值法求2的平方根。

提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。

2．用牛顿插值法求2的平方根。

提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。

3．用逐次分半梯形公式求积计算∫x2dx。

提示：可以用相邻两次求得的结果的差的绝对值来间接判断误差是否满足要求。

三、实验步骤1．代码如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAXSIZE 50void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n){long i;for(i=0;i<=n-1;i++){printf("请输入插值节点x[%ld],y[%ld]：",i,i);scanf("%lf,%lf",&x[i],&y[i]);}}void main(void){double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t;long n,i,j;printf("请输入插值节点的个数：");scanf("%ld",&n);input(x,y,n);printf("请输入插值点：");scanf("%lf",&_x);_y = 0;for(i=0;i<=n-1;i++){t = 1;for(j=0;j<=n-1;j++)if(j != i)t *= (_x-x[j]) / (x[i]-x[j]);_y += t * y[i];}printf("插值点(x,y)=(%lf,%lf)。

cubic三次插值算法引言：在计算机图形学和图像处理领域，插值算法是一种常用的技术，用于通过已知数据点的近似值来估计未知数据点的值。

Cubic三次插值算法是一种高阶插值算法，通过使用三次多项式来逼近数据点之间的曲线，从而提供更精确的插值结果。

本文将详细介绍Cubic三次插值算法的原理和应用。

一、原理：Cubic三次插值算法基于三次多项式的特性，通过在每个数据点处使用一个三次多项式来逼近曲线。

这些多项式由已知数据点的函数值和导数值确定。

具体而言，对于给定的数据点(xi, yi)，Cubic三次插值算法会计算出每个数据点处的函数值和导数值，然后使用这些信息构建三次多项式。

这些多项式将在相邻数据点之间提供平滑的插值结果。

二、步骤：1. 计算导数值：为了构建三次多项式，首先需要计算每个数据点处的导数值。

常用的方法是使用数值微分技术，如有限差分法或样条插值法。

这些方法能够在不需要已知函数的情况下，通过近似计算导数值。

2. 构建三次多项式：一旦导数值计算完成，就可以使用这些值来构建三次多项式。

三次多项式的一般形式为P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d是待定系数。

通过将三次多项式与已知数据点的函数值和导数值进行匹配，可以求解出这些系数。

3. 插值计算：当三次多项式的系数确定后，就可以使用它来计算未知数据点的近似值。

通过将未知数据点的x值代入三次多项式，可以得到相应的y值。

这样，就可以通过已知数据点之间的三次多项式来估计未知数据点的值。

三、应用：Cubic三次插值算法在许多领域都有广泛的应用。

在计算机图形学中，它常用于图像放大、旋转和变形等操作中。

通过使用Cubic三次插值算法，可以在图像处理过程中实现更平滑和逼真的效果。

此外，Cubic三次插值算法还用于音频处理、信号处理和数据压缩等领域。

在这些应用中，它能够提供更准确的数据重建和恢复，从而提高系统的性能和质量。

总结：Cubic三次插值算法是一种高阶插值算法，通过使用三次多项式来逼近数据点之间的曲线。

8/37
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值

is the interpolated value for grid node "j"; Zi are the neighboring points; dij is the distance between the grid node "j" and the neighboring point "i";
中等数据量（250到1000数据点），线性内插三角 形法网格化很快，并生成很好代表原始数据特点的 网格。Kriging法和径向基本函数法较慢，也可以产 生高质量的网格。 大的数据量(>1000数据点)，最小曲率法最快，网格 足以代表原始数据特点。线性内插三角形法网格化 较慢，网格有足够的代表性。
以下的建议仅仅是一般的推荐
径向基本函数法类似Kriging法中的变异图。 在大多数情况下，多重二次曲面函数是最合 乎要求的。 R2参数是一个决定锐化或平滑的参数。 R2值愈大，山顶愈圆滑，等值线愈平滑。R2 合理的实验值是在一个平均样本间距和半个 平均样本间距之间。
最近临点法（ 最近临点法（Nearest Neighbor） ）
径向基本函数法 （Radial Basis Functions） ）
径向基本函数法是一种准确插值的方法。其 中的多重二次曲面法被许多人认为是最好的 方法。在插值生成一个网格结点时，这些函 数确定了使用数据点的最优权重组。 径向基本函数法的函数类型包括：
反比多重二次曲面法； 多重对数； 多重二次曲面法； 自然三次样条和薄板样条。
平滑插值用于并不十分依赖原始数据，只试 图了解Z值的总体变化趋势的情况。 平滑插值不会给任何原始数据点以权重1，即 使某网格结点正好位于原始数据点。
距离反比法 （Inverse Distance to a Power）

插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。

实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。

插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。

本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。

实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。

2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。

3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。

4. 运行程序，得到插值结果。

5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。

实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。

2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。

实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。

2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。

3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。

实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。

插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。

插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。

不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。

插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

一、课题名称Malab 函数插值方法二、目的和意义1、学会拉格朗日插值、牛顿插值、亨密特插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

三、计算公式拉格朗日插值的公式)())(()()()()()()()2,1,0,;,0)(;,1)(()()()(1010110n n i ni i ni n n i i i i ni i i n x x x x x x x w x f x w x x x w x L j i i j x l i j x l x f x l x L ---='-==≠====+=++=∑∑ 其中或者其中牛顿差值公式[][][])())(()()(],,[)()()()()(,))((,,)(,)()(1011,010,010*******n n n n n n n n n x x x x x x x w x w x x x f x N x f x R x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N ---==-=--++--+-+=++- 其中亨密特插值公式∑=++=ni i x i i x i x n m b f a H 0)()()(12][五、结构程序设计拉格朗日插值的程序function[c,l]=lagan1(x,y) x=input('x=:'); y=input('y=:'); w=length(x); n=w-1;l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1;for j=1:n+1 if k~=jv=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); endendl(k,:)=vEndc=y*l;牛顿插值的程序function[c,l]=lagan(x,y)x=input('x=:');y=input('y=:');n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y';for j=2:nfor k=j:nd(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); endendc=d(n,n);for k=(n-1):-1:1c=conv(c,poly(x(k)));m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);end六、结果讨论和分析拉格朗日插值运行的结果x=:[0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05]y=:[0.41075 0.57815 0.69675 0.9 1.00 1.25382]l =1.0e+003 *-0.1865 0.7459 -1.1776 0.9167 -0.3517 0.05320 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 l =1.0e+003 *-0.1865 0.7459 -1.1776 0.9167 -0.3517 0.05321.3333 -5.1333 7.7300 -5.67122.0177 -0.27660 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 l =1.0e+004 *-0.0186 0.0746 -0.1178 0.0917 -0.0352 0.00530.1333 -0.5133 0.7730 -0.5671 0.2018 -0.0277-0.2222 0.8333 -1.2172 0.8626 -0.2955 0.03900 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 l =1.0e+004 *-0.0186 0.0746 -0.1178 0.0917 -0.0352 0.00530.1333 -0.5133 0.7730 -0.5671 0.2018 -0.0277-0.2222 0.8333 -1.2172 0.8626 -0.2955 0.03900.1778 -0.6400 0.8951 -0.6069 0.1994 -0.02540 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 l =1.0e+004 *-0.0186 0.0746 -0.1178 0.0917 -0.0352 0.00530.1333 -0.5133 0.7730 -0.5671 0.2018 -0.0277-0.2222 0.8333 -1.2172 0.8626 -0.2955 0.03900.1778 -0.6400 0.8951 -0.6069 0.1994 -0.0254-0.1010 0.3485 -0.4684 0.3067 -0.0978 0.01210 0 0 0 0 0 l =1.0e+004 *-0.0186 0.0746 -0.1178 0.0917 -0.0352 0.00530.1333 -0.5133 0.7730 -0.5671 0.2018 -0.0277-0.2222 0.8333 -1.2172 0.8626 -0.2955 0.03900.1778 -0.6400 0.8951 -0.6069 0.1994 -0.0254-0.1010 0.3485 -0.4684 0.3067 -0.0978 0.01210.0308 -0.1031 0.1353 -0.0869 0.0273 -0.0033 ans =121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845121.6264*0.596^5+(-422.7503)*0.596^4+572.5667*0.596^3+( -377.2549)*0.596^2+121.9718 *0.596-15.0845ans =0.6257121.6264*0.99^5+(-422.7503)*0.99^4+572.5667*0.99^3+( -377.2549)*0.99^2+121.9718 *0.99-15.0845ans =1.0542牛顿插值的运行结果x=:[0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05]y=:[0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382]ans =121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845121.6264*0.596^5+(-422.7503)*0.596^4+572.5667*0.596^3+( -377.2549)*0.596^2+121.9718 *0.596-15.0845ans =0.6257121.6264*0.99^5+(-422.7503)*0.99^4+572.5667*0.99^3+( -377.2549)*0.99^2+121.9718 *0.99-15.0845ans =1.0542多项式插值的主要目的是用一个多项式拟合离散点上的函数值，使得可以用该多项式估计数据点之间的函数值。

l k 1 ( x k 1 ) 1 l k 1 ( x k ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 1
( x xk 1 )( x x k 1 ) lk ( x ) ( xk xk 1 )( x k x k 1 )
xk 1 xk 由两点式可看出， L1(x) 是由两个线性函数 x x k 1 x xk 的线性组合得到的， lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
线性插值多项式可写为 满足
l k ( xk ) 1 l k 1 ( x k ) 0
( x xk 1 )( x xk ) l k 1 ( x ) ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
l k ( x k 1 ) 0 lk ( xk ) 1 l k ( xk 1 ) 0
10
3.2.3 n次插值
用 n+1 个 插值节点，构造一个n 次插值多项式 Pn (x) 使通过所有 n+1 个插值节点，即满足 Pn ( x j ) y j (j = 0， 1,…,n) 所以此时的插值基函数应该满足 1 i k lk ( xi ) ( i , k 0, 1, 2, , n) 0 i k 用类似的推导方法，可求得n次插值基函数为 n x xj lk ( x ) ( ) j , k 0, 1, 2, , n j 0 xk x j
• 以直线方程作为插值多项式，即下 式中的 n=1
x3= 30 x4= 40
x5= 50 x6= 60 x7= 70

三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，它通过在相邻数据点处拟合三次多项式，并满足一定的边界条件，从而得到一条光滑的曲线。

拟合误差是指拟合曲线与原始数据点之间的差异。

一般来说，拟合误差可以通过计算拟合曲线在各个数据点处与实际数据的差值来评估。

具体来说，对于三次样条插值，可以通过以下步骤来计算拟合误差：
1. 首先，利用三次样条插值方法拟合出曲线。

2. 然后，在每个原始数据点处，计算拟合曲线与实际数据的差值，即拟合误差。

3. 最后，可以计算拟合误差的均方根误差（RMSE）或其他指标来评估拟合的精度。

需要注意的是，拟合误差的大小并不是唯一衡量拟合质量的标准，还需要结合实际应用场景和对拟合曲线的要求来综合评估拟合效果。

如果你有具体的数据和想要进行三次样条插值拟合误差计算的问题，也可以提供更详细的信息，我可以帮你进行具体的计算和分析。

第 3 页 共 9 页
x1=-5:1:5; y=5./(1+x1.^2); [C,L]=lagran(x1,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on plot(xx,yy,'k*',x1,y,'o')
%描绘 lagran 函数插值图像以及插值点
[C,D]=newpoly(x1,y) x2=-5:0.01:5; y2=polyval(C,x2); plot(x2,y2,'r:') %作牛顿插值图像 x0=-5:0.05:5; y1=interp1(x1,y,x0,'linear');%求分段线性插值函数在 x0 上的值 plot(x0,y1,'-'); grid on x=-5:1:5; y=5./(1+x.^2); dx0=0.0739645; dxn=-0.0739645; S=csfit(x,y,dx0,dxn) x1=-5:0.01:-4;y1=polyval(S(1,:),x1-x(1)); x2=-4:0.01:-3;y2=polyval(S(2,:),x2-x(2)); x3=-3:0.01:-2;y3=polyval(S(3,:),x3-x(3)); x4=-2:0.01:-1;y4=polyval(S(4,:),x4-x(4)); x5=-1:0.01:-0;y5=polyval(S(5,:),x5-x(5)); x6=0:0.01:1;y6=polyval(S(6,:),x6-x(6)); x7=1:0.01:2;y7=polyval(S(7,:),x7-x(7)); x8=2:0.01:3;y8=polyval(S(8,:),x8-x(8)); x9=3:0.01:4;y9=polyval(S(9,:),x9-x(9)); x10=4:0.01:5;y10=polyval(S(10,:),x10-x(10)); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x,y,'.') %作三次样条插值图像 grid on 2.估计某地居民的用水速度和每天的总用水量. function [a,b]=csd(X1,Y1) %最小二乘法 xmean=mean(X1) ymean=mean(Y1) sumx2=(X1-xmean)*(X1-xmean)'; sumxy=(Y1-ymean)*(X1-xmean)'; a=sumxy/sumx2 b=ymean-a*xmean

三次样条插值方法在工程实践中的应用三次样条插值方法是一种常用的插值方法，特别适用于工程实践中需要对数据进行平滑、插值和逼近的场景。

该方法通过使用三次多项式来逼近任意两个数据点之间的曲线，具有较好的精度和稳定性。

下面将介绍三次样条插值方法在工程实践中的几个应用。

1.地形插值在地理信息系统（GIS）和地形建模中，常常需要对地形数据进行插值，以获得高度的连续表面。

三次样条插值可以通过一些已知的高程数据点，生成一个平滑的高程曲线，以此逼近整个地形表面。

这种方法可以用于绘制地图、地形模拟和水文建模等领域。

2.图像处理3.信号处理在信号处理中，常常需要对离散数据进行插值以获得连续的信号曲线。

三次样条插值可以通过已知的信号点来逼近信号曲线，从而实现信号的平滑和插值。

这种方法在音频处理和数字信号处理中有广泛应用，如声音采样、音频压缩和语音合成等。

4.金融工程在金融工程中，常常需要对市场数据进行插值以获得缺失数据点的估计值。

三次样条插值可以通过已知的市场数据点来逼近市场曲线，从而实现对缺失数据点的填充和估计。

这种方法在金融衍生品定价、风险管理和投资组合优化等领域中有广泛应用。

5.数值分析在数值分析中，三次样条插值被广泛用于数值积分和微分方程数值求解。

通过对已知函数进行三次样条插值，可以实现对函数积分和微分的近似计算。

这种方法在科学计算和工程仿真中有重要意义，如计算机辅助设计、数值模拟和结构优化等领域。

总之，三次样条插值方法在工程实践中有广泛应用，特别适用于需要对数据进行平滑、插值和逼近的场景。

它具有较好的精度和稳定性，能够满足工程实践的需求，并且易于实现和计算。

因此，在地形插值、图像处理、信号处理、金融工程和数值分析等领域中，三次样条插值方法被广泛采用。

hermite三点插指公式的插值基法hermite三点插入法的插值基法概述Hermite三点插入法是一种常用的插值方法，它使用三点来构造插值变换，这三点的x坐标满足X_0 <= X_1 < X_2，插值变换的控制点是(X_0,Y_0)、(X_1,Y_1)和(X_2,Y_2)，而且这三点之间的平均斜率值也是已知的。

根据这三点的信息，可以构造出插值变换的具体形式，从而可以用于插值计算。

原理Hermite三点插入法实际上是基于Hermite多项式插值的，要构造出插值变换的具体形式，需要同时考虑到给定的两个控制点和满足Hermite多项式条件的两个切线斜率，具体构造的步骤如下：1）首先，建立插值函数：F(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x _2)2）确定a_0,a_1,a_2,a_3的值，这是满足Hermite多项式条件的比较核心的步骤，有4个未知量，3个方程：F(x_0)=y_0 , F(x_1)=y_1 , F(x_2)=y_2另外两个方程是：F'(x_0)=(y_1-y_0)/(x_1-x_0) ,F'(x_2)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)3）使用求解某个系数的公式进行求解，求得四个系数：a_0=y_0a_1=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)-(x_2-x_0)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_ 0)a_2=(x_2-x_1)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_0)a_3=(x_2-x_1)(x_2-x_0)(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x_1-x_0) 应用Hermite三点插入法可以用于插值计算，在计算机图形学中它也是一种常用的绘图方法。

一般来说，它可以用于函数图像的渲染、曲线的插值、多维函数的插值等方面。

它可以提高函数图像的平滑度，使图像看起来更加美观，还可以减少绘图的复杂度，在某些情况下可以提高绘图效率。