《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系教材课件PPT

要点二
余切函数（cotangent function）
直角三角形中，任意非斜边与另一相邻非斜边的比值的 余数，记作cotA。
函数图像
正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数均有明显的周期 性，其图像呈现出“波浪形”的变化。
正弦函数和余弦函数的图像在同一坐标系中呈现出对称性， 如正弦函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对 称。
两个直角三角形的关系
如果知道两个直角三角形的两个对应边成比例，则这两个三 角形相似。
03
正弦函数和余弦函数的有关计算
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中一个锐角的对 边与斜边的比值。记作sinA。
图像
在直角坐标系中，正弦函数的图像呈现周期性波动，取值范围在1到1之间，其中0表示直角。
正切函数
正切函数定义为直角三角形中一个锐角的对边与 邻边的比值。
角度与三角函数值
度数与三角函数
知道一个锐角的角度，可以计算出这个锐角的正弦、余弦和正切值。
特殊角度的三角函数值
对于一些特殊角度（如30度，45度和60度），其三角函数值是固定的。
边角关系转换
邻边、对边与角度的关系
在知道直角三角形中的两个边长和一个角度，可以计算出第 三个角的度数。
余切函数和角公式
$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha)\cot(\beta) - 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}$
05
复杂三角函数的有关计算
倍角公式
两倍角公式
$sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些
彩旗，请你求出A、E之间的
距离(结果保留整数)． 3
(参考数据：sin22º≈ 8 ，
cos22º≈ 15 ,tan22º≈ 2 )
16
5
•
• １．本节课我们学习我解直角三角形的相关知识． • ２．复习了直角三角形的边边边角关系及直角三角
形锐角三角函数的相关知识；及其是特殊角三角函 数值． • ３．运用所学的数学知识来解决实际问题.
B
C
A
2.在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A 、∠B ∠C的对边，则下列式子中正确的是（ ）C
A. b=atanA
B.b=csina
C.a=ccosB D.c=asinA
例1、有一水库大坝的护坡石坝与地面的
A
夹角是40°，现要加固石坝使护坡与地面
的夹角35°，若坡长AB为10米,求调整后
5
的值是 3 。
2.在正方形网格中，点A、B、C、 2
的位置如图所示，则cosB的值为 __2__
3.河堤横断面如图，堤高BC=5
斜迎坡水A坡B的AB长坡为比__为1_1_0：___3 ， 那么
B
4.已知tanａ= 3 ,则锐角ａ= 60°；
C
A
5.sin60° - 2sin30°·cos30°=__0____
ห้องสมุดไป่ตู้
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be

B c a A b ┌ C
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a

2 0
知识巩固
2 0 0 0 3 sin 45 sin 60 2 cos 45 . 2
2 2 0 2 0 2 0 4 sin 30 cos 60 2 cos 45 . 2
直击中考
1 (1+ 2 )0-｜1-sin30°｜+ ( ) -1； 2
知识应用
1.某商场有一自动扶梯,其倾 斜角为30°,高为7m.扶梯的长 度是多少?
150
30米
知识应用
3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰为60°, 且两边的摆动角度 相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最 低位置时的高度之差
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1 2 2 2
3 2
角α
30°
45°
3 2
3 3
2 2
1
60°
1 2
3
想一想:
如果已知某一锐角的某种 三角函数值,你能求出这一 锐角吗?比如tanA＝1,锐角 A是多少度?
例题示范
[例1]计算： (1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°.
(3) 2 si走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

1.3 三角函数的计算
回顾与思考 直角三角的边角关系 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
B
n A cos B a , cos A sin B b ,
例如,求sin160,cos420, tan850和sin720 38′25″的按 键盘顺序如下:
6
sin160 cos420 tan850
sin720 38′25″
sin
cos tan sin 7 D.M.S
按键的顺序
显示结果
1
6=
0.275 637 355
4
2
=
0.743 144 825
8
5
=
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
600 cos A 2 ∠A=
2
450 cos A 3 ∠A= 300 2
tan A 3 ∠A= 3
300 tan A 3 ∠A= 600 tan A 1 ∠A= 450
4
想一想 数学源于生活的需求
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin160 .
你知道sin160等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的?
5
做一做 用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
sin cos tan
13
11.430 052 3
2 D.M.S 3 2 5 D.M.S

D
ห้องสมุดไป่ตู้太阳光
25° A
住
宅
新
楼
楼
B
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是 高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面要盖一栋高20米的 新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为25°时.
问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？
D
太阳光
25° A
F
住 宅
新
楼
w如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=ABsin16° .
w你知道sin16°等于多少吗?
对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函 数值，可以利用计算器来求
w怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
动手实践
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
w用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到三个键： w例如，求sin16°、cos42°、tan85° 和sin72°38′25″的按键盘顺序如下： sin cos tan
A
B
变式：在△ABC中，已知AB=12cm，AC=10cm
∠ A=35 °,求△ABC 的周长和面积（周长精确到 0.1cm，面积保留3个是效数字）.
模型： △ABC 的面积=1/2AC･AB ･sin ∠ A
随堂练习
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
w1 用计算器求下列各式的值: w(1)sin56°,(2) sin15°49′,(3)cos20°,(4)tan29°, w(5)tan44°59′59″,(6)sin15°+cos61°+tan76°.
按键的顺序
显示结果
sin16° sin 1 6 °′″ =

1.用计算器求下列各式的值： (1)tan320;(2)sin24.530; (3)sin62011′;(4)tan39039′39″.
102..6如24图9,2物0华.9大09厦7离30小.8伟84家4640m0,.小82伟91
从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶
部仰角是450,而大厦底部的俯角是370
当缆车继续从点B到达点D时,它又
走过了200m.缆车由点B到点D的行驶
路线与水平面的夹角为∠β=420,由
E
此你不能计算什么?
如图, 水平宽度BE或上升高度DE
BE 148.63m DE 133.83m
老师提示:用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位. 本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位.
求(结该果大精厦确的到的0高.1度m).大厦高约105.2m
结束寄语
• 一个人就好象一个分数,他的实 际才干就好比分子,而他对自己 的估计就好比分母,分母越大, 则分数的值就越小.
BAC
1000,
BC
46.6,
AC
38.76SABC
D
381.65.
A
7 如图,根据图中已
知数据,求AD. AD 13.85
250 550┌
B 20 C
D
随堂练习
真知在实践中诞生
8 如图,根据图中已知数据,
A
求△ABC其余各边的长,各角 a
的度数和△ABC的面积.
B
α┍ D
β
C
BD a cos, AD a sin , DC a sin , AC a sin ,
A
又 tan 450 AD , AC
AC AD 2 6 2 2. tan 450

• 用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的 大小。
• [师]已知三角函数求角度，要用到键的第二 功能 、 、 ”和 键。
• 键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键” 例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，
• 已知cosA＝0.8607，求锐角A； • 已知tanA：0.1890，求锐角A； • 已知tanA＝56.78，求锐角A。
学习永远不晚。 JinTai College
• [例2]如图，一名
• 患者体内某重要
• 器官后面有一肿
• 瘤。在接受放射性
• 治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且 防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。 已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤 右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射 角度，
• 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米， 求这段公路的坡角。
.解：设坡角为α，根据题意， sinα＝=0.04，α＝2°17′33″。 所以这段公路的坡角为2°17′33″。
• .运用计算器辅助解决含三角函数值计 • 算的实际问题。多媒体演示 • [例1]如图，工件上有 • -V形槽。测得它的上口 • 宽加20 mm深19.2mm。求 • V形角(∠ACB)的大 • 小。(结果精确到1°)
第一章 直角三角形的边角关系
三角函数的有关计算
教学目标
(一)教学知识点 1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三
角函数的意义。 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算。 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。 (二)能力训练要求 1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解
• 分析：根据题意，可知AB＝20 mm， CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，要求 ∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可。

(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
讲授新课
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B
时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面
的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多
少？（结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BC=ABsin∠α=200sin16° 你知道sin16°是多少吗？ BC=200sin16°≈55.12（米）
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
讲授新课
一 用计算器求三角函数值 1.求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键， 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
讲授新课
2.求cos72°． 第一步：按计算器 cos 键， 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos72°=0.309 016 994
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所以，塔高DE大约是81米．
讲授新课
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已 知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角 三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
当堂练习

O O 0 30 、45 、6角函数的定义求30°、45°、 60°这些特殊角的三角函数值 2.能够进行30°、45°、60°角的三角 函数值计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函 数值说明相应的锐角的大小.
知识回顾
如图， ∠ C=900 , 求 sinA、cosA、tanA sinB、cosB、tanB
2.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐
角分别是300和600 的三角尺测量一棵 树的高度.已知她与树之间的距离为5m, 那么这棵树大约有多高?
拓展思维
某市在“旧城改造”中计划内一块如 图所示的三角形空地上种植某种草皮 以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要多少元．
20米
0
0
例题示范 例题2
3 cos60 (1) 0 5 sin 30 1
(2)2sin30°＋cos230°－tan45°.
0
33 tan
2
30 3 sin 60 2 cos 45 .
0 0 2 0
知识巩固
(1) sin 30 cos 45
2
(2)2 cos 45 sin 30 1
150
30米
知识应用
3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰为60°, 且两边的摆动角度 相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最 低位置时的高度之差

1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的 职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失 败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自 己是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不 定，站不稳的样子。

2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的 正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在 直角三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等.
练一练
➢ 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；
➢ ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sin A=
.
➢ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA=
.
➢ 2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边 的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠A的对边与斜边的比、邻 边与斜边的比也随之确定.
A
B
斜
边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
知识讲解
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA=A的对边
图③
图④
知识点 1 正切的定义
B
B B2 B1
A
C2 C1 C
C
如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，
B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们
的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2
及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
铅 直 高 度 A

——塞内加
3 三角函数的有关计算
第2课时
1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进 一步体会三角函数的意义． 2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算． 3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际 问题．
如图,为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天 桥两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
【例题】
例1.如图,工件上有一V形槽,测得它的上口宽20 mm,深 19.2mm.求V形角(∠ACB)的大小(结果精确到1° ).
【解析】Q tan ACD AD 10 CD 19.2
0.520 8,
∴∠ACD≈27.5° .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5° =55°.
∴V形角约为55°.
∠A= 30
sin A 3 2
∠A=
60
sin A
2 2
∠A= 45
cos A 1 2
∠A= 60 cos A 2
2
∠A=
45 cos A
3 2
∠A= 30
tan A 3 3
∠A= 30 tan A
3
∠A= 60 tan A 1
∠A= 45
角分别为α和β,已知 h=2 ，α=45°，CD=10， tan 1 . 2
（1）求路基底部AB的宽. （2）修筑这样的路基1 000米，需要多少土石方？
【解析】（1）作 CF AB 于点F，DE AB 于点E，则
DE CF 2，
D
在Rt△ADE中，∵ 45，AE DE 2.
AE
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
例 键如 顺,序求如s下in表16所°示,c:oss4i2n°,tcaons85°ta和n sin72°38′25″的按

A
45° 60°

C
D
B
2008沈阳中考
14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，
BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝ 12，则
河堤的高BE为
米．
5
BC
2009沈阳中考
AE
D
16．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天
桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正
弦值为 3 ，则坡面AC的长度为
AB
C
∴AD=AB·sinB
=2×sin45°= 2
2
2
2
∵在Rt△ACD中，∠C=30°
∴AC=2AD = 2 2
知识的运用
4.如图,∠D＝90°,∠B=30°,∠ACD=45°,
BC=4cm,求AD.
A
解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45°
∴CD=AD
x
在Rt△ABD中，∠B＝30°
∴tan30°=怎A样D做？
CA
∴tan60°=
AD
∴CA= 3 3 ∴BC=CA－BA=( 3 3 －3)米
答：路况显示牌BC的高度是( 3 3 －3)米
6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬 了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能 计算出山的高度吗？
C 解：过B作BE⊥CD于E，
BF⊥AD于F.
200m
∠A
∠A
∠A
sinA 1 2
300
sinA
3 2
600
sinA
2 2
450
cos A
1 2
600
cos A 2 2
450
cos A

经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？ A
A
Q Q
B
P
Байду номын сангаас
CB
P
C
如图，△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)假设AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB.
C
AP
Q
B
解直角三角形的四个根本图形
α
β
β α
α
β
α
作业 书P29页／B组１(2)(3)，2, 3, 6
重点2：解决实际问题的步骤
1、 审题，画出(补全)图形。 2、审图，确定和未知。 3、解直角三角形，列方程〔组〕。 4、解方程〔组〕，结论。
(有“弦〞用“弦〞; 无“弦〞用“切〞)
B
优
a
c
选
C
b
A
求(1) A,C两港之间的距离(结果精 确到0.1km);
(2) 确定C港在A港什么方向.
复习题
7. 如图，大楼高30m,远处有一塔
BC．某人在楼底Ａ处测得塔顶的仰
角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的
仰角为30 °,求塔高BC及大楼与塔
之间的距离AC〔结果精确到〕.
B
D
E
A
C
复习题
8. 如图，为了测量山坡的护坡石坝与
65° A P
C
34°
B
2021沈阳中考 如下图，某河堤的横断面
是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，
且tan∠BAE＝ 米．
，那12么5 河堤的高BE为
BC
AE
D
2021沈阳中考 16．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m的过街天桥，天桥的坡面AC与地

B
30° 45° ┌
4C x D
BD
∴BD= 3 AD
3x
∵BD－CD=BC, 即 3AD－AD＝4
∴ AD＝2 3 +2
体会这两个图形的“模型”作用.将 会助你登上希望的峰顶.
(课本17页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
三角函数的有关计算
B
C
A
Rt△ABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A ,∠B
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° A （3）边角之间的关系
sin
A
A的对边 斜边
a
b
(3)边角关系： sinA=
，cosA=
c
c
sinB＝ b ，cosB＝ a
c
c
a
，tanA=
，
b
，tanB= b。 a
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多 实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间 的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计 算，使实际问题得到解决。
解：在Rt△ABC中，
A
∵tanB= AC 2 3 2 BC 6 3 C
∴∠B=30°
30°
6
B
2.如图,身高1.7m的小明用一
个两锐角分别是30°和60°
的三角尺测量一棵树的高度.
已知他与树之间的距离
为5m,那么这棵树大约
有多高?（精确0.1m）