创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 小题综合限时练十一 含答案

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十一）(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤解析 这是一个等差数列问题，设首项为2，则第5项为4，所以中间3尺的重量为32×(2＋4)＝9斤. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( )A.13 B.－13C.223D.±223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ＝13，即cos x ＝－13.答案 B3.袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白.现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为( ) A.59 B.23 C.1118D.1318解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为13、16和12，则所求概率为1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1118. 答案 C4.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12C.－12D.－32解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，它的图象关于原点对称，∴π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为f (0)＝－32. 答案 D5.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4B.4 2C.4 3D.8解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，S △VAB ＝12×2×42＝4 2.答案 B6.双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C的焦点，A 为双曲线上一点，若又|F 1A |＝2|F 2A |，则cos∠AF 2F 1＝( ) A.32 B.54C.55D.14解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2⇒2c ＝25a ，所以cos∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|AF 2|2－|AF 1|22|F 1F 2||AF 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a ＝55.答案 C7.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数： (ⅰ)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立. 则下列四个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f (x )＝x 2，②f (x )＝x 2＋1，③f (x )＝ln(x 2＋1)， ④f (x )＝2x－1 A.1 B.2 C.3D.4解析 (ⅰ)在[0，1]上，四个函数都满足；(ⅱ)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1；对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1＜0，不满足； 对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－[ln(x 21＋1)＋ln(x 22＋1)] ＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－ln[(x 21＋1)(x 22＋1)] ＝ln （x 1＋x 2）2＋1（x 21＋1）（x 22＋1）＝ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1， 而x 1≥0，x 2≥0，∴1≥x 1＋x 2≥2x 1x 2，∴x 1x 2≤14，∴x 21x 22≤14x 1x 2≤2x 1x 2，∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥1，∴ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥0，满足； 对于④，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足. 答案 A8.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋ex －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14 B.1 C.2 D.12解析 因为e x ＋y －2＋ex －y －2＋2＝ex －2(e y ＋e －y )＋2≥2(ex －2＋1)，再由2(ex －2＋1)≥4ax ，可有2a ≤1＋ex －2x，令g (x )＝1＋ex －2x，则g ′(x )＝ex －2（x －1）－1x2，可得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在[0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤12.答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.⎝⎛⎭⎪⎫2x －15x 25的展开式中常数项为________. 解析 由通项公式得展开式中的常数项为(2)4C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－4.答案 －410.设直线l 1：(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0(m ∈R )，则直线l 1恒过定点________；若过原点作直线l 2∥l 1，则当直线l 2与l 1的距离最大时，直线l 2的方程为________.解析 由(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0，得m (x －y )＋x ＋3y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以l 1恒过定点A (2，2)，当l 2⊥AO (O 为坐标原点)时，直线l 1与l 2的距离最大，此时k AO ＝1，kl 2＝－1，所以直线l 2的方程为y ＝－x . 答案 (2，2) y ＝－x11.已知△ABC 满足|AB →|＝1，|BC →|＝3，|CA →|＝1，则AB →·BC →＝________，又设D 是BC 边中线AM 上一动点，则BD →·BC →＝________.解析 由题意可得A ＝120°，B ＝C ＝30°，则AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32.又AM ⊥BC ，点D 在AM 上，所以MD →·BC →＝0，所以BD →·BC →＝(BM →＋MD →)·BC →＝BM →·BC →＋MD →·BC →＝BM →·BC →＝12|BC →|2＝32.答案 －32 3212.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示的平面区域为M ，点P (x ，y )是平面区域内的动点，则z ＝2x －y 的最大值是________，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是________.解析 不等式组对应的平面区域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形，当z ＝2x －y 经过点(2，2)时取得最大值2.又k ＝yx ＋2经过点(1，1)时取得最小值13，经过点(1，3)时取得最大值1，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1. 答案 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 13.若函数f (x )＝(x 2－4)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－1对称，则a ＋b ＝________，f (x )的最小值为________.解析 由x 2－4＝0得x ＝±2，所以(2，0)，(－2，0)为函数f (x )的零点，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以点(2，0)，(－2，0)关于直线x ＝－1的对称点(－4，0)，(0，0)也为函数f (x )的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－4）＝[（－4）2－4][（－4）2－4a ＋b ]＝0，f （0）＝－4b ＝0，解得a ＝4，b ＝0，则f (x )＝(x 2－4)(x 2＋4x )＝x 4＋4x 3－4x 2－16x ，f ′(x )＝4(x 3＋3x 2－2x －4)＝4(x ＋1)(x ＋1＋5)(x ＋1－5)，所以f (x )在(－∞，－1－5)上单调递减，在(－1－5，－1)上单调递增，在(－1，5－1)上单调递减，在(5－1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在x ＝－1±5处取得极小值.又f (－1－5)＝f (－1＋5)＝－16，所以f (x )的最小值为－16.答案 4 －1614.如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，则z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________.解析 根据约束条件画出可行域，可判断当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值为12，即11＋a ＝12⇒a＝1. 答案 115.在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________.解析 ∵1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），b n ＝13＋a n ，∴b n ＝a n 3a n ＋1，1a n ＋1＝1a n －1a n ＋3＝1a n－b n ，∴P n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝13n ＋1·a n ＋1，S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝3－1a n ＋1， 则3n ＋1·P n ＋S n ＝1a n ＋1＋3－1a n ＋1＝3.答案 3。

(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知相互垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥lD.m ⊥n解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确.故选C. 答案 C2.设a ＝log 314，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝log 2(log 22)，则( )A.b ＜c ＜aB.a ＜b ＜cC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析 ∵c ＝log 212＝－1＝log 313＞log 314＝a ，b ＞0， ∴b ＞c ＞a .故选D. 答案 D3.要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )＝32cos 3x ＋12sin 3x 的图象( )A.向左平移5π12个单位 B.向左平移5π36个单位 C.向左平移π12个单位D.向左平移π36个单位解析 依题意知g (x )＝cos π6cos 3x ＋sin π6sin 3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6，∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π36－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4， ∴要想得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )的函数图象向左平移5π36个单位即可.故选B. 答案 B4.一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是( ) A.12＋25 B.14＋2 5 C.16＋25 D.18＋25解析 依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为1、下底长为2、高为2的梯形，侧棱长为2，因此其表面积等于2×12×(1＋2)×2＋(1＋2＋2＋5)×2＝16＋2 5.故选C. 答案 C5.在6道题中有3道理综题和3道文综题，假如不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为( ) A.12 B.13 C.25D.35 解析 法一 第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有C 13C 15＝15种抽法，其中第2次抽取文综题的状况共有C 13C 13＝9种，因此，所求概率P ＝915＝35.故选D.法二 第一次抽到理综题的概率P (A )＝A 13A 15A 26＝12，第一次抽到理综题和其次次抽到文综题的概率P (AB )＝A 13A 13A 26＝310，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝31012＝35.故选D.答案 D6.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A.13 B.23 C.34D.43解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，∴cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.故选A.答案 A7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )过定点A (x 0，y 0)，则z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，7 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，5 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∩[7，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，17∩[5，＋∞) 解析 依题意知，直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )可以转化为2x －3y ＋1＋λ(x －y －2)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，∴z ＝y －5x －7，作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－185，－165，点C (6，0)，点D (0，4)，观看可知z ＝y －5x －7表示阴影区域内的点与A (7，5)两点连线的斜率，∴k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5.∴z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，5.故选B.答案 B8.已知函数f (x )＝2ax 3＋3，g (x )＝3x 2＋2，若关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一解x 0，且x 0∈(0，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)解析 依题意得，2ax 3＋3＝3x 2＋2，即2ax 3－3x 2＋1＝0(*).若a ＝0，则(*)式化为－3x 2＋1＝0，该方程有两解，不合题意，舍去；若a ＞0，令h (x )＝2ax 3－3x 2＋1，则h ′(x )＝6ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，可知函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，∴极大值为h (0)＝1，结合函数图象可知，h (x )还存在一个小于0的零点，不合题意，舍去；若a ＜0，则函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a 和(0，＋∞)上单调递减，要使零点唯一，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，即2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1＞0，∵a ＜0，解得a ＜－1.故选A.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝______. 解析 ∵AC ＞AB ，∴C ＜B ＝60°，又由正弦定理得1sin C ＝3sin 60°， ∴sin C ＝13sin 60°＝36，∴cos C ＝336. 答案33610.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平分圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于________.解析 依题意得，双曲线的渐近线过圆心(1，2)，于是有ba ＝2，∴双曲线的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 答案511.已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________.解析 若两直线垂直，则有m －m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2；把圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，所以圆C 的圆心为C (1，0)，半径为3.由于直线l 过定点P (0，－1)，所以最短弦长为过定点P 且与PC 垂直的弦，此时L ＝2r 2－|PC |2＝232－（12＋12）2＝27.答案 0或2 2712.已知等比数列{a n }的公比q >0，前n 项和为S n .若2a 3，a 5，3a 4成等差数列，a 2a 4a 6＝64，则q ＝________，S n ＝________.解析 由a 2a 4a 6＝64得a 34＝64，解得a 4＝4.由2a 3，a 5，3a 4成等差数列得2a 4q ＝3a 4＋2a 4q ，即8q ＝12＋8q ，解得q ＝2或q ＝－12(舍).又a 1q 3＝4，所以a 1＝12，所以S n ＝12（1－2n）1－2＝2n －12.答案 2 2n －1213.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋1（x ≥1），log 2（1－x ）（x <1），则f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝________.解析 由于f (4)＝－2×42＋1＝－31，所以f (f (4))＝log 2[1－(－31)]＝5；当a ≥1时，由－2a 2＋1＝－1，解得a ＝1，当a <1时，由log 2(1－a )＝－1，解得a ＝12. 答案 5 1或1214.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________，表面积为________.解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个角后得到的四棱锥，其体积为V ＝13×4×2＝83，该四棱锥的五个面由四个直角三角形，一个矩形组成，所以其表面积为S ＝2＋2＋22＋22＋4＝8＋4 2. 答案 83 8＋4 215.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析 已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)， 则f ′(x )＝3x 2－3a 2，①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0冲突. ②若f ′(x )≤0恒成立，明显不行能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增.故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a＜3＋32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋32。

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（三）(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( )A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2.答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A6.设函数f (x )＝e x＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2 C.322D.2 2解析 f (x )＝e x＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.已知x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r5x ·x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r5x 6－32r .由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案 210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________.解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝355. 答案 2 535511.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象. 答案π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a 2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1.答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6. 答案π6或5π615.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，1a n ＋2＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n。

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十二）(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A.(0，a ) B.(a ，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0解析 抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2＝14a y ，因此其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C.答案 C2.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程为( )A.(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B.(x －2)2＋(y －1)2＝1 C.(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析 ∵圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标为(a ，1)，则|4a －3|5＝1，又a ＞0，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选B. 答案 B3.函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A.－ 3 B.33C.1D. 3解析 由已知得f (x )的最小正周期为π2，则πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝tan 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.故选D.答案 D4.某学生在11门学业水平独立测试中，每门课获得A 级概率均为23，非A 级概率均为13，某大学在三位一体招生时，提出5个A 的必要前提，则该生符合必要前提的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫136⎝ ⎛⎭⎪⎫235 B.C 511⎝ ⎛⎭⎪⎫136⎝ ⎛⎭⎪⎫235 C.C 511⎝ ⎛⎭⎪⎫135⎝ ⎛⎭⎪⎫236 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫135⎝ ⎛⎭⎪⎫236 解析 计取得A 的个数为随机变量ξ，ξ服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫11，23， P (ξ＝5)＝C 511⎝ ⎛⎭⎪⎫136⎝ ⎛⎭⎪⎫235，故选B. 答案 B5.已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a －3，则使函数f (x )至少有一个整数零点的所有正整数a 的值之和等于( )A.1B.4C.6D.9解析 由已知f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a －3存在整数零点，∴方程ax 2＋(1－2a )x ＋a －3＝0有整数解，∴a (x －1)2＝3－x ，显然x ＝1不是其解，∴a ＝3－x （x －1）2，由于a 为正整数，∴a ＝3－x（x －1）2≥1，∴－1≤x ≤2，分别以x ＝－1，0，2代入求得a ＝1，3，∴所有正整数a 的值之和等于4，故选B. 答案 B6.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －13|，那么满足a k ＋＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102的正整数k ( )A.有3个B.有2个C.有1个D.不存在解析 如果 k ≥13，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19≥0＋1＋…＋19＝190＞102，∴k ＜13，设k ＋i ＝13，0＜i ≤12，i 为整数，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝i ＋(i －1)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(19－i )＝i （i ＋1）2＋（19－i ）（20－i ）2＝102，即i 2－19i ＋88＝0，解得i ＝8或i＝11，此时k ＝5或k ＝2，即只有2个正整数k 满足等式a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102.故选B. 答案 B7.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，∴e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63.故选A. 答案 A8.已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x，则下列结论中正确的是( )A.若x 1、x 2(x 1＜x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B.若x 1、x 2(x 1＜x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C.∀x ＞0，且x ≠1，f (x )≥2D.∃x ＞0，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数 解析 ∵f (x )＝ln x ＋1ln x的定义域为{x |x ＞0且x ≠1}， ∴f ′(x )＝1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（ln x ）2，令f ′(x )＝0，则x ＝1e或e ，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：由上表可知，A 项、B 项错误.当0＜x ＜1时，ln x ＜0，∴f (x )＝ln x ＋ln x ≤－2（－ln x ）·1－ln x ＝－2，当且仅当ln x ＝1ln x ，即x ＝1e时取等号成立；当x ＞1时，ln x ＞0，∴f (x )＝ln x ＋1ln x≥2ln x ·1ln x ＝2，当且仅当ln x ＝1ln x，即x ＝e 时取等号成立，∴C 项错误.故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________.解析 根据已知几何体的三视图，可知该几何体为一个圆柱的上面横放着一个三棱柱，三棱柱的底面为底边为3，高为4的等腰三角形，三棱柱的高为6，因此三棱柱的体积为V 1＝Sh ＝36；圆柱的底面半径为4，高为8，其体积为V 2＝πr 2h ＝128π，故所求几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝36＋128π. 答案 36＋128π10.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n ＝________，展开式中的常数项为________(用数字作答).解析 由题意得2n＝64，解得n ＝6，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r6(x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝0得r ＝2，所以二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为(－1)2C 26＝15. 答案 6 1511.已知抛物线x 2＝4y 的焦点F 的坐标为________，若M 是抛物线上一点，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标F (0，1).设M (x ，y )，由抛物线定义可得|MF |＝y ＋1＝4，y ＝3代入抛物线方程解得一个M (23，3)，则FM →＝(23，2)，FO →＝(0，－1)，所以cos ∠MFO ＝FM →·FO→|FM →||FO →|＝－12，所以∠MFO ＝2π3.答案 (0，1)2π312.已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值是________.解析 函数f (x )＝1－cos 2ωx 2＋3sin ωx cos ωx ＝12＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6的最小正周期是π，则2π2ω＝π，解得ω＝1，则f (x )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值是1.答案 1 113.对于定义在R 上的函数f (x )，如果存在实数a ，使得f (a ＋x )·f (a －x )＝1对任意实数x ∈R 恒成立，则称f (x )为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数f (x )是关于0和1的“倒函数”，且当x ∈[0，1]时，f (x )的取值范围为[1，2]，则当x ∈[1，2]时，f (x )的取值范围为________，当x ∈[－2 016，2 016]时，f (x )的取值范围为________. 解析 由题意可得f (1＋x )·f (1－x )＝1，当0≤1＋x ≤1时，1≤1－x ≤2，且1≤f (1＋x )≤2，所以f (1－x )＝1f （1＋x ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，即当x ∈[1，2]时，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.由f (1＋x )·f (1－x )＝1可得f (2＋x )·f (－x )＝1，又f (x )·f (－x )＝1，所以f (2＋x )＝f (x )，即函数f (x )的最小正周期是2，且x ∈[0，2]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以当x ∈[－2 016，2 016]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 14.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，则A ＝________.解析 由题意得，sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， ∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C . ∵sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，即32sin A －12cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3. 答案π315.在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________. 解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →(借助mCB →＋NA →＝CA →)，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°，又∵CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上， ∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 12。

(限时： 40 分钟 )一、选择题 (本大题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋ 5i，2＋4i(i 为虚数单位 )对应的点分别为A、 C.若 C 为线段 AB 的中点，则点 B 对应的复数是 ()A.－2＋3iC.－4＋i分析∵两个复数对应的点分别为B.4＋ iD.2－ 3iA(6，5)、C(2，4)，C 为线段AB 的中点，∴ B(－2，3)，即其对应的复数是－ 2＋3i.应选 A.答案A2.如图，设全集 U 为整数集，会合 A＝ { x∈N|1≤x≤8} ，B＝{0 ，1， 2} ，则图中暗影部分表示的会合的真子集的个数为()A.3.4C.7.8分析依题意， A∩B＝{1 ，2} ，该会合的真子集个数是22－1＝3.应选A.答案Ax＋y≤ 3，3.已知实数 x、y 知足不等式组 x＋y≥ 2，若 z＝x－y，则 z 的最大值为 ( )x≥0， y≥ 0，A.3B.4C.5D.6x＋ y≤3，分析作出不等式组x＋ y≥2，x≥ 0， y≥0所对应的可行域 (如下图 )，变形目标函数为y＝ x－z，平移直线 y＝ x－ z 可知，当直线经过点 (3，0)时， z 取最大值，代值计算可得z＝ x－ y 的最大值为 3.应选 A.答案 A4.已知 F1、F为双曲线 C：x2－y2＝ 1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF＝2|PF，21| 2 |则 cos∠F1PF2＝()13A.4B. 434C.5D. 5分析由双曲线的定义知， |PF1 |－|PF2|＝2a＝2，又 |PF|＝2|PF |，∴|PF|＝2，|PF|＝ 4，又 |F F |＝ 2c＝ 22，∴cos ∠ F PF＝12211212|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|232|PF1| |PF·2|＝4.应选 B.答案B5.已知定义在R上的函数 f(x)知足条件：①对随意的 x∈R，都有 f(x＋ 4)＝f(x)；②对随意的 x1、x2∈[0 ，2]且 x1＜x2，都有 f(x1＜2；)f(x )③函数 f(x＋2)的图象对于 y 轴对称 .则以下结论正确的选项是 ()A.f(7)＜f(6.5)＜ f(4.5)B.f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)C.f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)D. f(4.5)＜ f(7)＜f(6.5)分析由函数 f(x＋ 2)的图象对于 y 轴对称，得 f(2＋x)＝f(2－x)，又 f(x＋4)＝ f(x)，∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝ f(3)＝f(2＋ 1)＝f(2－ 1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝ f(2＋0.5)＝ f(2－0.5)＝ f(1.5)，由题意知， f(x) 在[0， 2]上是增函数，∴ f(4.5)＜f(7) ＜f(6.5).应选D.答案D6.已知在锐角△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 A、 B、 C 成等差数列，△ ABC 的面积等于3，则 b 的取值范围为 ()A.[2 ， 6)B.[ 2， 6)C.[2， 6)D.[4 ，6)分析∵A、B、C 成等差数列，∴2B＝A＋C，又 A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，即 B ＝ 60°.11 3∵S ＝2acsin B ＝2acsin 60 ＝° 4 ac ＝ 3，∴ a c ＝ 4. 法一由余弦定理，得 b 2＝ 2＋ c 2－ ＝ 2＋ c 2－＝° 2＋ 2－ ，a 2accos B a 2accos 60 a c ac又△ ABC 为锐角三角形，∴ a 2＋b 2＞c 2，且 b 2＋c 2＞a 2， ∵b 2＝ a 2＋c 2 －ac ， ∴b 2＋ c 2＜ (a 2＋c 2－ ac)＋ (a 2＋ b 2)，整理得 2a ＞c ，且 b 2＋ a 2＜(a 2＋c 2－ac)＋(b 2＋c 2)，cac2 2 22 2整理得 2c ＞a ，∴2＜a ＜2c ， 2 ＜a ＜2ac ，又 ac ＝ 4， ∴2＜a ＜ 8，b ＝ a ＋c2 16 2 2 216 －ac ＝ a ＋ a 2－ 4， 2＜ a ＜8，∴令 a ＝ t ∈ (2，8)，则 b ＝ f(t)＝ t ＋ t －4，2＜t ＜8，∵函数 f(t)在(2， 4)上单一递减，在 (4，8)上单一递加，∴ f (t)∈[4， 6)，即 4≤ b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.应选 A.a bc b 2法二由正弦定理 sin A ＝sin B ＝sin C ，得 ac ＝ sin 2B ·4 2 sin Asin C? 4＝3b sin Asin(120 －°A)，3 ＝3即 b 2 ＝ 3 1sin Asin （120°－A ）sin A2 cos A ＋ 2sin A＝ 3 31 2＝3 ＝61，31sin （ 2A －30°）＋ 2 sin Acos A ＋ 2sin A 4 sin 2A ＋ 4（ 1－ cos 2A ）21 3 66∵30°＜A ＜90°， ∴30°＜2A －30°＜150°， 1＜ sin(2A －30°)＋2≤2，∴3≤b 2＜ 1，22即 4≤b ＜6，∴2≤b ＜ 6.应选 A. 答案A7.点 P 是底边长为 2 3，高为 2 的正三棱柱表面上的动点， MN 是该棱柱内切球→ →)的一条直径，则 PM · 的取值范围是 (PNA.[0 ， 2]B.[0 ，3]C.[0， 4]D.[ － 2， 2]→ →分析如下图，设正三棱柱的内切球球心为O ，则 PM ·PN ＝→→→→ →→→→→2→2 (PO ＋OM) ·(PO ＋ON)＝(PO ＋OM) ·(PO －OM)＝PO －OM ，由正三棱柱底边长为 2 3，高为 2，可得该棱柱的内切球半径为OM ＝ON ＝1，外接球半径为 OA ＝ OA 1＝ 5，对三棱柱上任一点 P 到球心 O 的距离的范围为 [1，→→→2 → 2 → 2－1∈[0，4].应选 C.5]，∴PM ·PN ＝PO －OM ＝OP 答案 C在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为 x 2＋y 2－ 8x ＋15＝0，若直线 y ＝kx ＋8.2 上起码存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 k的最小值是 ()45A.－3B.－435 C.－5D.－3分析 ∵圆 C 的方程可化为 (x －4)2＋y 2＝ ，∴圆C 的圆心为 (4 ， 0) ，半径为 ，11由题意设直线 y ＝kx ＋ 2 上起码存在一点 A(x 0 ，kx 0＋2)，以该点为圆心， 1 为半 径的圆与圆 C 有公共点， ∴存在 x 0∈ R ，使得 |AC|≤1＋1 成立，即 |AC|min ≤2， ∵|AC|min 即为点 C 到直线 ＝ ＋ 的距离|4k ＋2| ≤ 2，解得－ 4≤k ≤0，即 k 的 y kx 2 23 k ＋ 14最小值是－ 3.应选 A.答案 A二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分.)曲线＝－2在点 (－1，－ 1)处的切线方程为 ________.9.y 1x ＋2分析法一∵y＝ 1－2＝x ，∴′＝x＋2－x2＝22，x＋ 2x＋2y（x＋2）（x＋2）∴y′|x＝－1＝2，∴曲线在点 (－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋ 1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.法二由题意得 y＝1－2＝1－2(x＋2)－1，x＋2∴y′＝2(x＋2)－2，∴y′|x＝－1＝ 2，所求切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋ 1.答案y＝ 2x＋1在等比数列n中，若a5 ＋a6＋a7 ＋a8＝15，a6 7＝9，则1＋1＋1＋1＝10.{ a }4a8a a a a5678 ________.分析由等比数列的性质知a5 8＝ 6 7，∴1＋1＋1＋ 1 ＝a5＋a8＋ a6＋ a7＝a a a a a a a a a8a a7567856 a5＋a6＋a7＋a815810a6a7＝4×9＝3.10答案311.已知空间几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是 ________.分析由三视图知该几何体为两个半径为 1 的半球与一个底面半径为1，高为242 的圆柱的组合体，因此几何体的表面积为4π× 1 ＋2π×1×2＝8π，体积为33210ππ×1 ＋π×1 ×2＝3 .10π答案8π3π12.若 x＝6是函数 f(x)＝ sin 2x＋acos 2x 的一条对称轴，则函数 f(x)的最小正周期是________；函数 f(x)的最大值是 ________.分析由于 f(x)＝ sin 2x＋acos 2x＝ 1＋ a2＋φπ，sin(2x )此中 tan φ＝a，0<|φ|<22πππ因此f(x)的最小正周期T＝＝π；由于2x＝ 6 是函数f(x)的一条对称轴，因此2× 6πππ3＋φ＝kπ＋2，即φ＝ kπ＋6(k∈Z )，因此φ＝6，因此 a＝ tan φ＝3，因此函数2 2 3f(x)的最大值为1＋ a ＝3 .2 3答案π 31 x13.已知正数 x，y 知足 x＋ y＝ 1，则 x－y 的取值范围为 ________，x＋y的最小值为________.1分析设 y＝1－x，则 x－y＝x－(1－ x)＝2x－1，0<x<1，因此 x－ y∈ (－1，1)；xx x＋ y x y x y x1＋y＝x＋y＝x＋y＋1≥3，当且仅当x＝y，即 x＝y＝2时获得等号 .答案(－1，1) 314.如图，等腰△ OAB 中，∠ OAB＝∠ OBA＝30°， E，→→ →F 分别是直线 OA， OB 上的动点， OE＝λ OA， OF＝→→＝若→→，|OAAF ·AB＝9，则μ＝ ________；若λμOB| 2.→ →＋2μ＝ 2，则 AF ·BE 的最小值是 ________.分析 以 AB 为 x 轴，AB 的垂直均分线为 y 轴成立平面直角坐标系，由 |OA|＝2，→→∠OAB ＝∠ OBA ＝30°得A(－ 3，0)， B( 3，0)，O(0，1)，AB ＝ (23，0)，由 OF→→→ →3( 3μ＋ 3)＝μOB 得 F(3μ，1－ μ)，因此 AF ＝ ( 3μ＋ 3，1－μ)，由AF ·AB ＝2 1→ → →＝9 得 μ＝ 2，由 OE ＝λOA 得 E(－3λ，1－λ)，BE ＝(－ 3λ－ 3，1－λ)，由 λ＋→→ → 2→ → 2μ＝2 得 BE ＝(－33＋ 2 3μ，2μ－ 1)，因此 AF ·BE ＝4μ－10，当 μ＝0 时，AF ·BE获得最小值－ 10.1 答案－102π15.对于函数 f(x)＝2sin2x － 6 (x ∈R )，有以下命题：π①y ＝f(x)的图象对于直线 x ＝－ 6 对称；②y ＝f(x)的图象对于点 π ，0 对称；6 ③若 f(x 1 ＝ 2＝，可得 1－x 2 必为 π的整数倍；) f(x ) 0 xπ π④y ＝f(x)在 － 6 ， 6 上单一递加；π⑤y ＝f(x)的图象可由 y ＝2sin 2x 的图象向右平移 6 个单位获得 .此中正确命题的序号有 ________.ππ，即 ＝ k π π分析 对于 ① ，y ＝ f(x)的对称轴是 2x － ＝π＋ ， ∈Z ) x＋ ，当k6k2 (k23ππ＝－ 1 时， x ＝－ 6，即①正确；对于②， y ＝ f(x)的对称点的横坐标知足 2x － 6 ＝ kk π ππ，(k ∈Z )，即 x ＝ 2 ＋12.即 ②不可立；对于 ③，函数 y ＝f(x)的周期为π，若 f(x 1)π＝f(x2)＝ 0，可得 x1－x2必为半个周期2的整数倍，即③不正确；对于④， y＝f(x)πππππ的增区间知足－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ，k∈Z，∴－6＋ kπ≤x≤3＋ kπ，k∈Z，即④成立；对于⑤，y＝2sin 2 x－π＝ 2sin2x－π≠f(x)，即⑤不正确 . 63答案①④。

星期五 (综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分14分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *). (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)，且λa n ＞2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5. 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n ＞2n＋n ＋2λ得λ＞2n＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1，n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n2n ＋2≤0， 所以，当n ＝1，2时， 2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.2.(本小题满分15分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 与△PAD 都是等边三角形. (1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A －PD －B 的余弦值.(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ADEB 为正方形，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接OA ，OB ，OE ，OD ，由△PAB 和△PAD 都是等边三角形可知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ， 即点O 为正方形ADEB 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，又PO ⊥OE ，且PO ∩OB ＝O ， 从而OE ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，所以OE ⊥PB ，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ，因此PB ⊥CD .(2)解 由(1)可知，OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O －xyz . 设|AB |＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)AD →＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)，设平面PAD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP →＝2x ＋2z ＝0，取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，即n ＝(1，1，－1)， 因为OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ， 取m ＝(1，0，0)， 则cos 〈m ，n 〉＝13·1＝33， 由图象可知二面角A －PD －B 的大小为锐角. 所以，二面角A －PD －B 的余弦值为33. 3.(本小题满分15分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X ).解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209. 4.(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，一个焦点为(3，0).(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB ||PQ |的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1，解得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋4k2. 所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋4k ，－k 1＋4k ，所以线段AB 的垂直平分线方程为 y －－k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 21＋4k 2. 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21＋4k 2，0，又点P (1，0)， 所以|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3k 21＋4k 2＝1＋k 21＋4k 2.又|AB |＝（1＋k 2）[（8k 21＋4k 2）2－4·4k 2－41＋4k2]＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 2. 于是，|AB ||PQ |＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 21＋k21＋4k 2＝41＋3k21＋k2＝43－21＋k2. 因为k ≠0，所以1＜3－21＋k2＜3.所以|AB ||PQ |的取值范围为(4，43).5.(本小题满分15分)已知函数f (x )＝(2ax 2＋bx ＋1)e －x(e 为自然对数的底数). (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝1，且方程f (x )＝1在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12，f (x )＝(x 2＋bx ＋1)e －x，f ′(x )＝－[x 2＋(b －2)x ＋1－b ]e －x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－b .当b ＝0，f ′(x )≤0；当b ＞0时，当1－b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＜1－b 或x ＞1时，f ′(x )＜0； 当b ＜0时，当1＜x ＜1－b 时，f ′(x )＞0，当x ＞1－b 或x ＜1时，f ′(x )＜0.综上所述，b ＝0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；b ＞0时，f (x )的单调递增区间为(1－b ，1)，递减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)；b ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，1－b )，递减区间为(－∞，1)，(1－b＋∞).(2)由f (1)＝1得2a ＋b ＋1＝e ，b ＝e －1－2a .由f (x )＝1得e x＝2ax 2＋bx ＋1，设g (x )＝e x －2ax 2－bx －1，则g (x )在(0，1)内有零点. 设x 0为g (x )在(0，1)内的一个零点，则由g (0)＝0、g (1)＝0知g (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h (x )＝g ′(x )，则h (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上均存在零点，即h (x )在(0，1)上至少有两个零点.g ′(x )＝e x－4ax －b ，h ′(x )＝ex－4a .当a ≤14时，h ′(x )＞0，h (x )在区间(0，1)上递增，h (x )不可能有两个及以上零点；当a ≥e4时，h ′(x )＜0，h (x )在区间(0，1)上递减，h (x )不可能有两个及以上零点；当14＜a ＜e4时，令h ′(x )＝0得x ＝ln(4a )∈(0，1)， 所以h (x )在区间(0，ln(4a ))上递减，在(ln(4a )，1)上递增，h (x )在区间(0，1)上存在最小值h (ln(4a )).若h (x )有两个零点，则有h (ln(4a ))＜0，h (0)＞0，h (1)＞0. h (ln(4a ))＝4a －4a ln(4a )－b ＝6a －4a ln(4a )＋1－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜a ＜e 4.设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1＜x ＜e)，则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1＜x ＜e 时φ′(x )＞0，φ(x )递增，当e ＜x ＜e 时φ′(x )＜0，φ(x )递减， φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e ＜0，所以h (ln(4a ))＜0恒成立.由h (0)＝1－b ＝2a －e ＋2＞0，h (1)＝e －4a －b ＞0，得e －22＜a ＜12.当e －22＜a ＜12时，设h (x )的两个零点为x 1，x 2，则g (x )在(0，x 1)递增，在(x 1，x 2)递减，在(x 2，1)递增，所以g (x 1)＞g (0)＝0，g (x 2)＜g (1)＝0，则g (x )在(x 1，x 2)内有零点.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e －22，12.。

(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒ba ＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋ f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1 B.1 C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( )A.2B. 2C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B. 答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.答案 A6.设函数f (x )＝e x ＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22B. 2C.322D.2 2解析 f (x )＝e x ＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x ＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝ba x ②，联立①②，解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB→，得c ＝(2－1)ac c －a ，c ＝2a ，e ＝ 2. 答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.已知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析T r ＋1＝C r 5x ·x5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 5x 6－32r . 由⎩⎨⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝2.答案 210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________. 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝355.答案 2535511.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2].答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________. 解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象.答案 π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1.答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6.答案π6或5π615.已知数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n}满足x1＝3，x1＋x2＋x3＝39，xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2，则x n＝________.解析设xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2＝k，则a n＝log x n k⇒1a n＝log k x n，同理1a n＋1＝log k x n＋1，1a n＋2＝log k x n＋2，因为数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n＋1＝log k x n＋log k x n＋2⇒x2n＋1＝x n x n＋2，所以数列{x n}是等比数列，把x1＝3代入x1＋x2＋x3＝39得公比q＝3(负值舍去)，所以x n＝3×3n－1＝3n.答案3n。

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(五）（限时：40分钟)一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知复数z ＝21＋i ＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－iB.1－i C 。

1＋i D 。

－1＋i解析 由已知z ＝错误!＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B 。

答案 B2。

已知函数y ＝f （x ）是偶函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 错误!，则在区间（－2，0)上,下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是（ ）A.y ＝－x 2＋1B 。

y ＝|x ＋1｜C 。

y ＝e ｜x ｜D 。

y ＝错误! 解析 由已知得f (x ）是在（－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C 。

答案 C3。

已知函数f （x )＝A sin(ωx ＋φ)错误!在一个周期内的图象如图所示，则f 错误!＝（ ）A.1B 。

12C 。

－1 D.－错误!解析 由题图知，A ＝2，且错误!T ＝错误!－错误!＝错误!，则周期T ＝π,所以ω＝2。

因为f 错误!＝2，则2×错误!＋φ＝错误!,从而φ＝错误!.所以f （x ）＝2sin 错误!，故f 错误!＝2sin 错误!＝1,选A 。

答案 A4。

过点A （3，1）的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则错误!·错误!＝（ ）A.0B.错误!C.5D.错误!解析由圆C：x2＋y2－4y－1＝0得C(0，2），半径r＝错误!.∵过点A(3，1）的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，∴错误!·错误!＝0,∴错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·错误!＝错误!2＝5，所以选C。

另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.答案C5。

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ）A.2 。

限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1.2) D.(－1，3]答案 A2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，因为E 是OD 的中点，∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |，∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝16AC →－16BD → ＝16a －16b ， AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b .答案 C4.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝22sin 2x D.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A5.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立. 答案 C6.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A8.现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，a ＝C 05cos 5θ－C 25cos 3θsin 2θ＋C 45cos θsin 4θ，b ＝C 15cos 4θsin θ－C 35cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( ) A.cos 5θ＋isin 5θ B.cos 5θ－isin 5θ C.sin 5θ＋icos 5θD.sin 5θ－icos 5θ解析 (e i θ＝cos θ＋isin θ其实为欧拉公式)a ＋b i ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)－C 25cos 3θsin 2θ－C 35cos 2θ(isin 3θ)＋C 45cos θsin 4θ＋C 55(isin 5θ) ＝C 05cos 5θ＋C 15cos 4θ(isin θ)＋C 25cos 3θ(i 2sin 2θ)＋ C 35cos 2θ(i 3sin 3θ)＋C 45cos θ(i 4sin 4θ)＋C 55(i 5sin 5θ) ＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i ×5θ＝cos 5θ＋isin 5θ.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2 10.计算：log 222＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________.解析 log 222＝log 22－12＝－12，2log23＋log43＝232log2 3＝2log 2332＝27＝3 3.答案 －123 311.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.解析 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2＝－3a 1d ，则d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝23，d ＝－1.答案 23－112.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________. 解析 由题可得f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32 ，所以最小正周期T ＝π，最小值为3－22.答案 π3－2213.设函数f (x )＝－ln(－x ＋1)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），f （x ） （x <0），则g (－2)＝________；函数y＝g (x )＋1的零点是________.解析 由题意知g (－2)＝f (－2)＝－ln 3，当x ≥0时，x 2＋1＝0没有零点，当x <0时，由－ln(－x ＋1)＋1＝0，得x ＝1－e. 答案 －ln 3 1－e14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，同理，在△ADC 中，由余弦定理有：x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， －240cos(B ＋D )＝4S 2－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230限时练(二) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45 B.－45C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2 B.－ 2 C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ， 则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2， ∴a 6＝a 4q 2＝2；同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C4.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C5.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9 B.8 C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A.答案 A7.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C8.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e . 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________(用数字作答).解析 设4个公司分别为A 、B 、C 、D ，当甲、乙都在A 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在B 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在C 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在D 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12.∴总数为4A 13A 12＝24种. 答案 2410.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，①a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1×（1－35）1－3＝121.答案 1 12111.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13可得22(cos θ－sin θ)＝－13，则cos θ－sin θ＝－23，两边平方可得1－sin 2θ＝29，sin 2θ＝79.又θ是锐角，cos θ<sin θ，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－429，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝7－4618.答案 79 7－461812.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________.解析 由“正三棱锥的对棱互相垂直”可得SB ⊥AC ，又SB ⊥AM ，AM 和AC 是平面SAC 上的两条相交直线，所以SB ⊥平面SAC ，则SB ⊥SA ，SB ⊥SC .所以正三棱锥S －ABC 的三个侧面都是等腰直角三角形.又AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，故正三棱锥S －ABC 是棱长为2的正方体的一个角，其体积为16SA ·SB ·SC ＝43，其外接球的直径2R ＝23，外接球的表面积为4πR 2＝12π.答案 4312π13.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 中的元素最大值为________；“好集”P 的个数为________.解析 由集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c＝4b ，故满足条件的“好集”P 为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0，b ∈Z )的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503(b ≠0，b ∈Z )，当b ＝503时，“好集”P 中的最大元素4b ＝2 012，且符合条件的b 可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006. 答案 2 012 1 00614.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 315.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( )A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ， －x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a＝4，a ＝2. 答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A6.设函数f (x )＝e x＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2C.322D.2 2解析 f (x )＝e x＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.已知x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r5x ·x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r5x 6－32r .由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________.解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝355.答案 2 535511.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象. 答案π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a 2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n－1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1.答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6. 答案π6或5π615.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，1a n ＋2＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n限时练(四) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632 C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D5.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A.答案 A6.已知向量a 、b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →＝3a ＋2b ，OQ →＝a ＋3b ，则P 、Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3D. 2解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×12＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，∴|PQ →|＝2 3.故选C. 答案 C7.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)10.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.解析 由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12. 答案 24π －1211.函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________.解析 f (x )＝2sin 2x ＋cos 2x ＝5sin(2x ＋φ)，tan φ＝12，所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值为 5. 答案 π512.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3（x ＋1）|，－1<x ≤0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝________，若f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可得f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.当－1<a ≤0时，f (a )＝|log 3(a ＋1)|<1，－1<log 3(a ＋1)<1，解得－23<a <2，所以－23<a ≤0；当0<a <1时，f (a )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2a <1，0<π2a <π4，0<a <12，综上可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－23，12.答案 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12 13.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率k ＝________，r ＝________.解析 两圆的方程相减可得点P 的横坐标为1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，同理可得△CBP 为等边三角形，所以∠OPC ＝60°.又|OP |＝|OC |，所以△OCP 为等边三角形，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案3 214.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 15.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( )A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin5π6＝1，选A. 答案 A4.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0 B. 5 C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C.另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.答案 C5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C.答案 C6.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56 B.25 C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A.答案 A7.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x－x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)9.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________(请用数字作答).解析 因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n ＝8，展开式通项为T k ＋1＝C k 8x8－k (－1)k x －k ＝(－1)k C k 8x 8－2k，令8－2k ＝2，得k ＝3；则展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56. 答案 －5610.已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的离心率为5，则b ＝________，又以(2，1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r ＝________. 解析 因为e ＝c a＝c ＝5，所以b ＝c 2－a 2＝（5）2－12＝2；因为以(2，1)为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x －y ＝0相切，所以r ＝|2×2－1|22＋12＝355. 答案 235511.已知等差数列{a n }的公差为－3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n ＝________，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.解析 由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1－6)2＝a 1(a 1－9)，解得a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋15；由－3n ＋15≥0得n ≤5，所以当n ＝4或5时S n 取得最大值，所以(S n )max ＝5×12＋5×42×(－3)＝30. 答案 －3n ＋15 30 12.设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0，cos x ＋b sin x －c ，x <0，则a ＋c 的值为________，不等式f (x )>f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即a cos 0－3sin 0＋c ＝0，所以a ＋c ＝0；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0得－3＋c －b －c ＝0，所以b ＝－3；由f (π)＋f (－π)＝0得－a ＋c －1－c ＝0，所以a ＝－1，所以c ＝1，所以当0≤x ≤π时，由f (x )>f (－x )＝－f (x )得f (x )>0，即－cos x －3sin x ＋1>0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6<12，所以5π6<x ＋π6≤7π6，即2π3<x ≤π.同理可求得－π≤x <0时，－2π3<x <0，所以原不等式f (x )>f (－x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π. 答案 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则y －x 的最大值是________；x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是________.解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝0；当x >2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝x －2（x －2）2＋y2＝11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22，又yx －2表示平面区域内的点与点A (2，0)连线的斜率，由图知，k ∈[0，＋∞)，即y x －2∈[0，＋∞)，所以11＋⎝⎛⎭⎪⎫y x －22∈(0，1]，同理可求得当x <2时，－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈[－1，0)，所以x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是[－1，1].答案 0 [－1，1]14.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝19.答案 1915.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x－π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B2.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.答案 D3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝ 5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cosA －sin A ＝5(cosB cosC －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .答案 B5.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C6.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60 D.100解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 22＝60. 答案 C7.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( )A.32 B.233 C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论： ①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . (3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 ②③④10.以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 设双曲线的方程为x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，由题意得双曲线的顶点为(±3，0)，焦点为(±2，0)，所以a ＝3，c ＝2，所以b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x ，离心率为e ＝c a ＝233.答案 y ＝±33x 23311.函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ）（ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ).把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案 2π612.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去14后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为12×34×43π×13＝π2，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12＝11π4.答案π2 11π413.已知x ，y ∈R 且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，kx －y －k －1≤0，当k ＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7，则k 的值为________.解析 当k ＝1时，不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋y －5≤0，x －y －2≤0，作出不等式组满足的平面区域如图中△ABC 的面积，易求得A (1，3)，B (1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13，所以S △ABC ＝12×4×43＝83；由目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为7知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则点(2，1)在kx －y －k －1＝0上，即2k－1－k －1＝0，解得k ＝2.答案 83214.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.。

(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45 B.－45 C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2 B.－ 2 C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ， 则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2， ∴a 6＝a 4q 2＝2；同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2.答案 C4.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C. 答案 C5.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( ) A.9 B.8 C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A. 答案 A7.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C8.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22 解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒ h ′(x )＝1x ，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________.(用数字作答)解析 设4个公司分别为A 、B 、C 、D ，当甲、乙都在A 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在B 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在C 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12；当甲、乙都在D 公司时，则选择另一公司不同的选法为A 13A 12.∴总数为4A 13A 12＝24种.答案 2410.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1×（1－35）1－3＝121.答案 1 12111.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13可得22(cos θ－sin θ)＝－13，则cos θ－sin θ＝－23，两边平方可得1－sin 2θ＝29，sin 2θ＝79.又θ是锐角，cos θ<sin θ，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－429，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝7－4618. 答案 797－461812.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________.解析 由“正三棱锥的对棱互相垂直”可得SB ⊥AC ，又SB ⊥AM ，AM 和AC 是平面SAC 上的两条相交直线，所以SB ⊥平面SAC ，则SB ⊥SA ，SB ⊥SC .所以正三棱锥S －ABC 的三个侧面都是等腰直角三角形.又AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，故正三棱锥S －ABC 是棱长为2的正方体的一个角，其体积为16SA ·SB ·SC ＝43，其外接球的直径2R ＝23，外接球的表面积为4πR 2＝12π. 答案 43 12π13.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 中的元素最大值为________；“好集”P 的个数为________.解析由集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，可得⎩⎨⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c ＝4b ，故满足条件的“好集”P 为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0，b ∈Z )的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503(b ≠0，b ∈Z )，当b ＝503时，“好集”P 中的最大元素4b ＝2 012，且符合条件的b 可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006. 答案 2 012 1 00614.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________. 解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3. 答案 43或8 315.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2。