数学史 第10讲 几何学的突破资料

《数学简史》知识提要1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。

主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。

2 数学文化的特点数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。

数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。

（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。

3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。

第二章古代希腊数学主题：论证数学的形成与发展1论证数学的开端：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。

（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。

他的逸闻趣事具有很好的教育意义。

（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。

主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了2是无理数）的发现。

（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。

这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。

这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。

）3亚历山大时期（全盛时期）主要代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯（1）欧几里得：主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。

他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。

1.为什么说黎曼是组合拓扑的先期开拓者在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。

还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。

但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。

黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。

按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。

值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。

比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。

贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。

黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开2.伽罗华的数学贡献•1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。

此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。

•从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来•伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。

•这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。

“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。

我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。

几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。

最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。

再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。

几何学的发展大致经历了4个基本阶段。

1.实验几何的形成与发展几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。

源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。

据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。

相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。

另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。

然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。

但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。

2.理论几何的形成与发展到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。

这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。

数学史：几何图形的发展历程
几何学是数学的一个分支，研究空间和图形的形状、大小、相
对位置和性质。

在数学史上，几何学起源于古代文明，并发展成为
一门独立的学科。

古代埃及是几何学的诞生地之一。

在埃及，人们利用几何学来
测量土地的面积和建筑物的尺寸。

埃及人还发现了一些几何原理，
例如平行线的性质和三角形的性质。

这些原理为几何学的发展奠定
了基础。

另一个几何学的发源地是古希腊。

希腊的几何学家毕达哥拉斯
提出了著名的毕达哥拉斯定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。

欧几里得则创立了《几何原本》，系统总结了希腊几何学的发
展成果，成为后世研究几何学的基本教材。

在几何学的发展中，还涌现出一些重要的数学家。

亚历山大的
阿基米德研究了圆锥曲线，给出了计算圆锥曲线面积的方法。

法国
数学家笛卡尔则将代数学与几何学结合起来，提出了笛卡尔坐标系。

随着科学技术的进步，几何学也得到了广泛的应用。

现代几何
学的发展成果广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

在计算机图形学中，几何学被用于构建三维模型、进行图像处理和
计算机辅助设计等方面。

总结起来，几何学的发展历程丰富而多样。

从古埃及到古希腊，再到现代科技时代，几何学一直在不断发展和应用。

它不仅帮助人
们认识和描述空间和图形的性质，还在科学技术的进步中发挥着重
要的作用。

数学史第十讲：中国数学发展简史（上）导言中国是世界上最早有数学发展的国家之一，中国古代数学的发展历史悠久，影响深远。

本文将简要介绍中国古代数学的发展，重点关注中国数学的早期发展和重要成就。

中国古代数学的起源中国古代数学起源于原始社会时期，古人在实际生活中通过计算和测量解决问题。

最早的数学活动主要集中在农业、商业和建筑等领域。

古代中国人通过实际经验逐渐积累了一定的数学知识。

商周时期的数学成就在商、周时期，古代中国的数学活动开始系统化。

当时的古人创造了一套独特的计数制度，称为“六十进制”。

这一计数制度是基于六十个基本符号，并且有一定的进位规则。

这种计数制度的特殊性使其对后来的数学发展产生了深远的影响。

此外，商、周时期的古代中国人还开始研究几何学和代数学。

他们在实际工程建设中运用几何知识来解决测量计算问题，并发展了一些几何方法。

在代数学方面，他们开始应用方程来解决问题，并发展出了一些基本的代数运算法则。

秦汉时期的数学进步在秦汉时期，中国的数学发展取得了显著进步。

这一时期的数学活动主要体现在“史书”和“九章算术”两部著作中。

“史书”是当时最早的数学著作，记录了中国古代数学的一些成就。

其中包括数论、代数学和几何学等方面的内容。

这对后来的数学发展起到了重要的引导作用。

“九章算术”是中国古代数学的一部重要著作，共有九章。

它包含了古代中国数学的基本概念、运算法则和解题方法。

其中最著名的章节是“方程章”，它主要介绍了一元二次方程的解法和应用。

魏晋南北朝时期的数学繁荣在魏晋南北朝时期，中国的数学繁荣达到了顶峰。

当时出现了一系列重要的数学家和数学著作，对中国古代数学的发展产生了深远的影响。

其中最著名的数学家是刘徽，他是中国古代数学史上的重要人物之一。

刘徽的主要贡献是建立了一套完整的天元术，解决了很多几何和代数问题。

他的著作《九章算术注》被后人广泛传颂，并对后来的中国数学发展产生了深远影响。

此外，魏晋南北朝时期还出现了很多其他的数学著作，如刘徽的《神农算经》、嵇中散的《数书九章》等，都对中国古代数学的发展起到了积极的推动作用。

数学史第十讲中国数学发展简史数学史第十讲：中国数学发展简史关键词：中国数学，历史发展，数学思想，古代数学，近现代数学一、引言中国是世界上最古老的文明之一，其数学发展源远流长，且在不断发展过程中，形成了自己独特的数学思想和体系。

从原始社会的结绳记事到现代数学，中国的数学发展见证了无数智慧的闪光。

本篇文章将带您探寻中国数学的发展历程，从古代的数学成果到近现代的数学发展，感受中国数学的魅力。

二、中国古代数学1、数学起源与背景在中国的远古时代，数学便已萌芽。

随着生产力的提高和土地测量、赋税、水利等实际需要的增加，数学逐渐成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

2、春秋战国时期的数学成就春秋战国时期，中国的数学成就开始显现。

《周髀算经》和《九章算术》的问世，标志着中国古代数学体系的初步形成。

其中，《周髀算经》是世界上最古老的数学著作之一，阐述了勾股定理及其应用。

秦汉时期，中国的数学思想进一步发展。

这一时期，人们对分数、小数的认识日益深化，十进位值制记数法应运而生，勾股定理得到广泛应用。

此外，赵爽的“勾股圆方图”和刘徽的“割圆术”也是秦汉时期数学的重要成果。

4、三国两晋南北朝时期的数学成就三国两晋南北朝时期，中国的数学成就达到了新的高度。

祖冲之的“圆周率”和王孝光的“沈括算图”是这一时期数学的杰出代表。

此外，这一时期还出现了《算经十书》等重要的数学著作。

三、中国近现代数学1、隋唐时期的数学思想和发展隋唐时期，中国的数学思想进一步发展，唐代的《算经十书》成为了一个时代的数学经典。

这一时期，人们开始关注数学的实际应用，如天文学、工程学等。

2、宋元时期的数学成就和发展宋元时期，中国的数学成就达到了一个新的高峰。

杨辉的“杨辉三角”和朱世杰的“四元术”是这一时期数学的杰出代表。

此外，这一时期还出现了《算学启蒙》等重要的数学著作。

明清时期，中国的数学思想逐渐走向封闭和保守，但仍有不少数学家在不懈探索。

这一时期，徐光启的《几何原本》、李善兰的《代数学》等著作对于中国的数学发展起到了推动作用。

数学的发展历史数学，作为一门学科，经历了漫长的发展历程。

古希腊的毕达哥拉斯学派、我国古代的算学、近代的微积分学、现代的数理逻辑等都是数学史上的重要篇章，本文将从古希腊开始，简要介绍数学发展的历史。

一、古希腊时期古希腊是古代文明的重要代表之一，也是古代数学的重要中心之一。

毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个著名学派，他们强调数学的重要性，并对数学的基础做出了一些贡献。

古希腊时期数学的发展主要包括以下几个方面：（一）几何学古希腊时期，几何学得到了很好的发展。

欧几里德是古希腊时期最著名的数学家之一，他根据早期希腊的几何学知识，写出了一本名为《几何原本》的巨著。

这本书主要讲述了平面几何学和立体几何学的基本理论，被誉为几何学的圣经。

欧几里德的贡献包括从公理出发发展了平面几何学，建立了如今所使用的公理体系；他对于数学的分类，也影响至今；他提出几何的递推法以及对于平面坐标系的基础建立，都是几何学中不可或缺的重要概念。

（二）代数学古希腊时期，代数学也有了一定的发展。

毕达哥拉斯学派被认为是代数学的创始学派，他们强调数的本质和有理数的存在，提出了数的概念，并且探讨了数的基本性质，以此为基础开展了整体学和方程学研究。

我们可以说，毕达哥拉斯理论的提出，为后世的数字理论提供了丰富的内容。

（三）三角学古希腊时期，三角学的基本概念已经形成并有了一定的应用。

科学家提高了三角函数的性质、以及在图形学、建筑学、天文学、地图制作等领域的实际应用。

二、中世纪中世纪，数学的发展相对缓慢，离开了古代数学之光辉，但也有一些重要的成果和贡献。

主要集中于阿拉伯数学、欧洲的代数学和三角学。

（一）阿拉伯数学阿拉伯人是拜占庭帝国的扩张者，他们将一些古希腊的数学文献翻译为阿拉伯文，在中世纪的欧陆得以广泛传播。

并且他们开展了数学的研究，特别是代数学和三角学，做出了重要的贡献。

阿拉伯人发明了一种新的计算方法“阿拉伯数字”，即我们今天所了解的数字。

阿拉伯人的贡献之一是开展了三角函数的研究、这又为后来的微积分学提供了良好的基础。

毕达哥拉斯学派成就毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数，偶数，素数，完全数，平方数，三角数和五角数。

证明了泰勒斯提出的“三角形的内角之和等于两直角”的论断，并推证了多边形内角和定理，还证明了平面可用正三角形，正方形，正六边形填满，空间可用立方体填满，毕达哥拉斯在西方首次证明了“毕达哥拉斯定理”即中国的‘勾股定理’.阿基米德留下的数学著作不下10种，著作的体例深受欧几里德《几何原本》的影响，先设立若干定义和假设，再依次证明各个命题。

各篇独立成章，虽然不像《原本》那样浑然一体，但所言均有依据，论证也是严格的。

著作列举如下：1.《论球与圆柱》2.《圆的度量》3.《劈锥曲面与回转圆柱体》4.《论螺线》 5 .《平面图形的平衡与其重心》6.《数沙器》7.《抛物线图形求积法》8.《论浮体》9.《引理集》10．《群牛问题》11《处理力学问题的方法》欧几里得《几何原本》公理化思想及其发展《几何原本》的主要特色是: 从最初给出的一些定义、公设、公理出发，运用直观与逻辑相结合的方法，把当时所积累的几何知识编排成为比较完整的几何学演绎体系。

这些最初的定义、公设、公理是指该书第一卷开头所给出的23个定义和10个基本命题。

欧几里得的《几何原本》中论证问题时，除了用这些定义缓和基本命题作依据外, 还时常凭借对讨论对象（几何图形）的直接观察而做出直觉的判断。

这种直觉与逻辑相结合地论证问题的方法, 现在常常被人们称为古典公理法。

《几何原本》是人类科学史上的一个创举，是最早一本内容丰富的数学理论著作。

其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演泽的数学体系的最早典范。

它把公元前三世纪以前人类所积累的经验几何和早期的推理几何所汇集成的庞大的几何资料，创造性的加工、整理成为一个完整的理论体系，为几何学的发展奠定了坚实的基础。

虽然个别命题的陈述方式并非欧几里得所独创，但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理（定理的编排也是从简单的到愈来愈复杂的），是欧几里得所独创的。

数学史的重大发展与人物数学是一门古老而庞大的学科，它对人类的进步和文明发展有着重要的影响。

在数学的漫长历史中，有许多重大的发展和杰出的数学家。

本文将介绍数学史上的几个重大发展以及相关的数学家，展示他们对数学领域的巨大贡献。

1. 阿基米德的几何学奠基公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德对几何学的发展做出了重大贡献。

他提出了精确测量圆的面积和球的体积的方法，这被称为“阿基米德原理”。

他的几何学成果为后来的数学家提供了基础，并对几何学的发展产生了深远的影响。

2. 牛顿与莱布尼茨的微积分17世纪的英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨独立地发明了微积分，这是数学领域的又一重大突破。

微积分为研究变化和运动提供了强大的工具，对物理学和工程学的发展产生了巨大的影响。

牛顿和莱布尼茨的微积分理论成为现代数学的基础，并对科学技术的进步做出了巨大贡献。

3. 埃尔米特的矩阵理论19世纪的法国数学家埃尔米特提出了矩阵理论，这是代数学领域的一项重大发展。

他研究了对称矩阵的特征值和特征向量，并提出了埃尔米特矩阵的概念。

他的矩阵理论为线性代数的发展奠定了基础，并在物理学、工程学和计算机科学等领域中得到广泛应用。

4. 庞加莱的拓扑学20世纪初的法国数学家庞加莱对拓扑学做出了重要贡献。

拓扑学研究的是空间形状和连续变形的性质。

庞加莱提出了拓扑学的基本概念和证明了许多拓扑学定理，开创了现代拓扑学的研究。

他的工作为数学中抽象代数和几何学的融合提供了基础，并在数学和理论物理学的研究中产生了广泛的影响。

5. 伽罗瓦理论的发展19世纪法国数学家伽罗瓦提出了代数方程理论中的伽罗瓦理论，这是数学领域的一项重大突破。

伽罗瓦理论研究了方程的可解性和抽象代数结构，揭示了方程和群论之间的深刻联系。

伽罗瓦理论对代数学的发展和对数学思想的革新产生了重要影响，并成为现代抽象代数的基石。

总结:数学史中有许多重大发展和杰出的数学家，他们的贡献对数学领域的推动和发展起到了关键作用。