半导体物理第三章

第三章半导体中的电子状态半导体独特的物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。

本章扼要介绍一些有关的基本概念。

§3-1 电子的运动状态和能带§3-1-1孤立原子和自由空间中的电子状态为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子状态和能级﹑自由空间中的电子状态和能谱的概念。

一．原子中的电子状态和能级。

原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。

因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动的。

电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。

在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。

处于确定状态的电子在空间的几率分布是一定的。

在讨论原子中的电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。

按“轨道”概念，对于原子中的电子，能级由低到高可分为E1﹑E2﹑E3﹑E4..等，分别对应于1s﹑2s﹑2p﹑3s…等一系列量子态。

如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的库仑束缚作用强，能级低。

越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。

总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。

二．自由空间中的电子状态和能谱。

根据量子力学理论，在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定谔方程)(）（)(222r k E r mψψ=∇- （3-1） 该方程的解为平面波：r k i ke V r ⋅=1)(ψ )(22)(222222z y x k k k mm k k E ++== （3-2） 其中，)(r k ψ称波函数，)(k E 称能量谱值或本征值，V 为空间体积，k 为平面波的波矢，其大小为波长倒数的2π倍，即k=2π/λ。

这里k 也起着量子数的作用，用来标志自由电子的运动状态。

第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。

这就是本章要讨论的主要问题。

§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。

一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。

同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。

于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。

处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。

热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。

因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。

2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。

如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。

二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。

第三章习题讲解7.Ec − E F 解： Q n0 = N c exp(− ) k0T∴ ∴ Q ∴ EF Nc = E c − k 0 T ln = E c − 0 . 017 eV n0E F − E c = − 0 . 017 eV E c − E D = 0 . 01 eV E F − E D = − 0 . 007 eVND n0 = 1 + 2 exp[( E F − ED ) / k0T ] ⇒ N D = 1.7 ×1017 cm −3ND 9. E F = Ec + k 0T ln Nc N D1 E F 1 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.206eV Nc EF 2 EF 3 N D2 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.087eV Nc N D3 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.027eV NcEc − E D = 0.05eVEF1远在ED之下，故此时全电离方法1 方法2(Ec-EF2) /k0T=1.4,故此时不能全电离 EF3在ED之上，故此时全电离+ nD 1 = N D 1 + 2 exp[−( ED − EF ) / k 0T ]1 = 是否大于90％ 1 + 2 exp[−( Ec − ΔED − EF ) / k 0T ]算出电离度分别为1，67％，55％。

所以第二、三种 不能认为全电离。

10. 解：Ge 在300K时的本征载流子浓度ni = 2.4 × 10 cm13−3要以杂质电离为主，其杂质浓度最低应 高于ni一个数量级，即：N D ,min = 1014 cm −3最高浓度为：⎛ ΔE D ⎞ ⎛D N ⎞ N D = ⎜ − C ⎟ exp⎜ − ⎜ k T ⎟= ⎟ ⎝ 2 ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎛ 0.1 × 1.05 × 1019 ⎞ 0.0127 ⎞ 17 −3 ⎜ ⎟ exp⎛ − ⎟ = 3.22 × 10 cm ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 0.026 ⎠ ⎝ ⎠11. 根据未电离杂质占总掺杂比例的定义：ΔE D 2N D ⇒ D− = exp Nc k 0T ⎡⎛ D ΔE D 1 3 = ln T + ln ⎢⎜ − ⎜ k0 T 2 ⎢⎝ N D ⎣∗ 3/ 2 k 0 mn 3⎞ 2π ⎟ ⎟ h ⎠(∗ 3/ 2 k 0 mn 3)(2π 其中)⎤ ⎥ ⎥ ⎦h＝1015ΔE D ＝116 k0将上两个常数代入，得 ： ⎛ D− 116 3 = ln T + ln ⎜ ⎜N T 2 ⎝ D ⎞ ⎟＋15 ln 10 ⎟ ⎠(1) 将N D＝1014 cm −3D−＝1 ％代入116 3 ⎛ 0.01 ⎞ = ln T + ln⎜ 14 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ＝ ln T－2.3 2 ⇒ T = 37.1K 将N D＝1017 cm −3 D−＝1 ％代入 116 3 ⎛ 0.01 ⎞ = ln T + ln⎜ 17 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ln T－9.2 2 ⇒ 533K(1) 将N D＝1014 cm −3D−＝10％代入116 3 3 ⎛ 0.1 ⎞ = ln T + ln⎜ 14 ⎟＋15 ln 10＝ ln T T 2 2 ⎝ 10 ⎠ ⇒ T = 24.3 将N D＝1017 cm −3 D−＝10％代入 116 3 ⎛ 0.1 ⎞ = ln T + ln⎜ 17 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ln T－6.9 2 ⇒ T = 160.5 K50%电离时，不能再用上方法，须用：ND ⎛ ED − EF 1 1 + exp⎜ ⎜ kT 2 0 ⎝⎞ ⎟ ⎟ ⎠ND = ⎛ EF − ED ⎞ 1 + 2 exp⎜ ⎜ kT ⎟ ⎟ 0 ⎝ ⎠⎛ EF − ED ⎞ ⎛ ED − EF ⎞ ⎟ ⎟ = 4 exp⎜ ⇒ exp⎜ ⎜ kT ⎟ ⎜ kT ⎟ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ED − EF EF − ED ⇒ = ln 4 + k 0T k 0T ⇒ E F = E D − k 0T ln 2 (1)⎛ E F − Ec ⎞ ND n0 = = N c exp⎜ ⎟ ⎜ kT ⎟ 2 0 ⎠ ⎝ ⎛ ND ⎞ ⇒ E F = Ec + k 0T ln⎜ ⎟ ⎜ 2N ⎟ c ⎠ ⎝ ( 2)联立（1）、（2）两式可得：⎛ ND ⎞ ⎟ E D − k 0T ln 2 = Ec + k 0T ln⎜ ⎜ 2N ⎟ c ⎠ ⎝ ⎛ N c ⎞ 116 ⎛ Nc ⎞ ⎟⇒ ⎟ ⇒ ΔE D = k 0T ln⎜ = ln⎜ ⎜N ⎟ ⎜N ⎟ T ⎝ D⎠ ⎝ D⎠ 116 = ln 2 × 1015 × T 3 / 2 − ln N D T[()]分别将 N D＝1014 cm −3 ，N D＝1017 cm −3代入116 15 3/ 2 = ln 2 × 10 × T − ln N D T[()]可得其分别对应得温度为16K和55K。

半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布第三章半导体中载流子的统计分布第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 3 2 费米能级和载流子的统计规律3.3 电子和空穴浓度的一般表达式电子和空穴浓度的般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度3.5 杂质半导体的载流子浓度3.6 杂质补偿半导体 3.7 3 7 简并半导体3.1 状态密度状态密度g(E)dZ(E) g( E ) = dE表示在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。

dZ 为E到E+dE内的量子态数计算状态密度的方法：1、k空间的量子态密度 1 k空间的量子态密度2、dZ或Z(E)dZ=k空间量子态密度×能量间隔对应的k空间体积Z(E)=k空间量子态密度×能量为E的等能面在k空间的体积一、导带底附近的状态密度1、k空间的量子态密度对于边长为L的立方晶体，波矢对于边长为L的立方晶体波矢 k 的三个分量为的三个分量为： n n n 即( k x = x ， = y ， z = z ) k ky k x ,k y ,k z L L L 其中 n x , n y , n z 取 0，±1，±2… 每个代表点都与体积为每一个代表点都与体积为 1 = 1 的一个小的个小 L3 V 立方体相联系即 k 空间中，电子的状态密度是V 若考虑电子的自旋，量子态密度是2V。

若考虑电子的自旋量子态密度是2V一、导带底附近的状态密度2、求dZ或Z 2 dZ Z①等能面为球面：1 h2k2 假设导带底在k=0，即 E (k ) = EC + * 2 mn以k 为半径的球面对应E，以 k + d k 为半径的球面对应E+dEdZ = 2V × 4πk dk由 E - k 关系可解得关系可解得：(2m ) ( E - EC ) k= h2n112m dE kdk = 2 hn一、导带底附近的状态密度得到(2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) dE h1 23 ? 2 n 3所以(2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) h3 ? 2 n 31 2一、导带底附近的状态密度②实际材料：对于Si、Ge来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面假设有S个能谷，在每个能谷附近：2 2 ? k x + k y k z2 ? h E( k ) = Ec + + ? ? 2 ? mt ml ? 2将上式变形2 kx2mt ( E ? Ec ) h2态数为+2 ky2mt ( E ? Ec ) h2k z2 2ml ( E ? Ec ) h2=1能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子4 2 mt ( E ? Ec ) [2 ml ( E ? Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h一、导带底附近的状态密度则导带底（附近）状态密度为(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h2 2 t 312( E ? Ec)12* mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 3 令，称 m 为导带底电子状态密度 dn有效质量，则有效质量则(2m ) dZ d (E) = 4π V gC ( E ) = d E h* 32 n 3( E ? Ec)12二、价带顶的状态密度①等能面为球面：①等能面为球面h2k 2 E (k ) = Ev 2m* pg v ( E ) = 4π V ?(2 m * ) 3 2 p h3( Ev - E )1 2②实际材料：价带顶在价带顶在k=0，而且重空穴带(mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区而空穴带 ( ( 在布渊区的中心处重合。