(完整版)2019全国卷1理科数学word版

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学一、选择题（本大题共12 小题，共60 分）1. 已知集合M { x | 4 x 2} ，N { x | x2 x 6 0} ，则M N （）A. { x | 4 x 3}B. { x | 4 x 2}C. { x | 2 x 2}D. { x |2x 3}2. 设复数z 满足z i 1，z 在复平面内对应的点为(x, y) ，则（）A. 2 2(x 1) y 1B. 2 2(x 1) y 1C. 2 ( 1)2 1x yD. 2 ( 1)2 1x y3. 已知a log 2 0.2 ，0.2b 2 ，0.3c 0.2 ，则（）A. a b cB. a c bC. c a bD. b c a5 1 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是25 1（0.6182称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5. 若某人满足上述两个黄金分割比12例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）1A. 165cmB. 175cmC.185cmD.190cm5.函数f (x)sin x x2cosx x在[ , ] 的图像大致为（）A.B.C.D.26.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.5 16B. 1132C. 21 32D. 11 167.已知非零向量a,b满足 a 2 b ，且(a b) b ，则a 与b 的夹角为（）A.6B.32C.3D. 5618.右图是求2+12+ 12的程序框图，图中空白框中应填入（）1 A A.2AB. A 2 1 A3C. A 11 2AD. A11 2A9.记S n 为等差数列a n 的前n 项和.已知S4 0 ，a5 5 ，则（）A.a n 2n 5B. a n 3n 10C. 2 211S 2n 8n D.S n 2nn n210.已知椭圆 C 的焦点为( 1,0)F ，F2 (1,0 )，过F2 的直线与 C 交于A ，B 两点. 若1| AF2 | 2|F2B |，| AB | | BF1 |，则C 的方程为（）2x2A. 1y22 y2xB. 13 22 y 2xC. 14 32 y 2xD. 15 411.关于函数f ( x) sin x sin x 有下述四个结论：①f (x) 是偶函数② f (x) 在区间( , )2单调递增③f (x) 在, 有4 个零点④ f (x) 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA PB PC，ABC 是边长为2的正三角形，E, F分别是PA，AB 的中点，CEF 90 ，则球O的体积为（）A. 8 6B. 4 6C. 2 64D. 6二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 曲线2xy 3(x x)e 在点 (0,0) 处的切线方程为.1 14. 记 S n 为等比数列a n 的前 n 项和，若 1a，32aa ，则 S 5.4615. 甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结 束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16. 已知双曲线 C: 22xy 221(a 0,b 0)ab的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于A,B两点 . 若 u u ruu u u r uuru u u u r F 1 A AB, F 1B F 2 B 0，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）17.ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c . 设22sin B sinC sin A sin B sinC .（1）求 A ；（2）若 2a b 2c ，求 sin C . 18. 如图，直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 的底面是菱形， AA 1 4, AB 2, BAD 60 ，E,M ,N 分别是 BC, BB 1, A 1D 的中点 .（1）证明： MN / / 平面 C 1 DE ； （2）求二面角 A MA 1N 的正弦值 .219. 已知抛物线 C : y3x 的交点为 P .的焦点为 F ，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ，与 x 轴 （1）若 | AF | | BF | 4 ，求 l 的方程； （2）若 AP3PB ，求 | AB |.520.已知函数 f (x) sin x ln(1 x), f (x)为 f (x) 的导函数. 证明：(1) f (x)在区间( 1, )2存在唯一极大值点；(2) f (x) 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分，( 0,1, ,8)p i 表示“甲药的累计得分为ii时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0 ，p8 1 ，p ap bp cp (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X 1 )， b P(X0) ，i i 1 i i 1c P( X 1) ．假设0.5，0.8 ．（i ）证明：{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列；（ii ）求p4 ，并根据p4 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（ 2 选1）（本大题共 2 小题，共10 分）0.4在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为xy221 t1 t (t )为参数. 以坐标原点O为极4t21 t点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0 .（1）求C和l 的直角坐标方程；（2）求C上的点到l 距离的最小值.0.5已知a,b,c 为正数，且满足abc 1，证明：（1）1 1 1a b c2 2 2a b c6（2） 3 3 3(a b) (b c) (c a) 2472019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案21.答案：C解答：由题意可知, N { x | 2 x 3} , 又因为M { x | 4 x 2} , 则M N { x | 2 x 2} ，故选C .22.答案：C解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(x, y)，∴z x yi∴x yi i 1∴ 2 ( 1)2 1x y23.答案：B解答：由对数函数的图像可知： a log 2 0.2 0；再有指数函数的图像可知： b 20.2 1，0.60 c 0.2 1，于是可得到： a c b .24.答案：B解答：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点 B ，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，B D t，521 ，根据题意可知A BBD , 故AB t ；又AD AB BD ( 1)t ，A DDF，故DF 1t ；2( 1) 5 1所以身高h AD DF t 代入可得h 4.24t .，将0.6182根据腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm 可得AB AC ，D F EF ；15 1即t 26，105t ，将0.618即t 26，1052所以169.6 h 178.08，故选B.方法二：代入可得40 t 42由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm 可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是15 1 5 1（0.618 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm ；将2 2人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至5 1肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头2 顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ，与答案175cm 更为接近，故选 B. 5. 答案：D 解答：sin x xf ( x)∵ 2cos x xsincosx x2x xf (x)，∴f (x) 为奇函数，排除A，sin4 22 2f ( ) 0，排除C，又2 22cos2 2sinf ，排除B，故选 D.( ) 02 21 cos25.答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26 种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以3C 20 56P .62 64 16答案：26.答案 B解答：设a 与 b 的夹角为，∵(a b) b∴2 (a b) b a b cos b =0∴cos = 1 2∴=.327.答案：A解答：2把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A 代入运算可得1A=12+2+12，满足条件，选项 B 代入运算可得1A=2+2+12, 不符合条件，选项C代入运算可得1A , 不符合条件，2选项D代入运算可得28.答案：A解析：1A 1+ , 不符合条件.4依题意有S4a 6d 04 1a a 4d 55 1，可得a1 3d 2， 2 5a n ，n2 4S nn .n29.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为( 1,0 )1可设| BF2 | m ，则| AF2 | 2m ，| BF1 | | AB | 3m ，根据椭圆的定义可知1 | 12 ，得m a BF | | BF | m 3m 2a21，所以| BF2 | a，| AF2 | a ，可知A(0, b) ，22 23 1x y根据相似可得)B( , b 代入椭圆的标准方程 12 22 2a b22 a2 c2，得 3a ，b 2 ，2 y2xC 13 2.30.答案：C解答：因为f ( x) sin x sin( x) sin x sin x f (x) ，所以f ( x) 是偶函数，①正确，因为5 2, ( , )6 3 2，而5 2f ( ) f ( )6 3画出函数 f (x) 在, 上的图像，很容易知道 f (x) 有3零点，所以③错误，结合函数图像，可知 f (x) 的最大值为2 ，④正确，故答案选 C.31.答案：D解答：3设P A x，则2 2 2 2 2 2PA PC -AC x x 4 x 2 cos APC =22PA PC 2 x x x∴ 2 2 2 2 cos CE PE PC PE PC APC2 2 2x x x 2 x2x 2 x 224 2 x 4∵CEF 90 ，1 xEF PB ,CF 32 2∴ 2 2 2 CE EF CF , 即2 2x x2 34 4，解得x 2 ，∴PA PB PC 2又AB BC AC 2易知PA, PB ,PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC 的外接球的半径为 62，3∴三棱锥P ABC 的外接球的体积为4 63 26 ，故选 D.32.答案：y 3x 解答：∵x 2 x y 3(2 x 1)e 3(x x)e2 x3(x 3x 1)e ，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0) 处的切线方程的斜率为k 3，∴切线方程为y 3x .33.答案：S5解答：121 312a ，a a ∵4 613 设等比数列公比为q∴ 3 2 5(a q ) a q1 1∴q 3∴S5121 334.答案：0.184解答：甲队要以4 :1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况：1 2 2 1C2 0.6 0.4 0.5 0.6 0.6 C2 0.5 0.5 0.6 0.18 .35.答案：2解答：由u u ru u u u r u u ru u u u rF1 A AB, F1B F2 B 0知A是B F1 的中点，u u ru u u u rF B F B1 2，又O是F1, F2 的中点，所以OA为中位线且OA BF1 ，所以OB OF1 ，因此F1O A BOA ，又根据两渐近线对称，FOA F OB ，所以F2OB 60 ，1 2 eb2 21 ( ) 1 tan 60 2a.36.答案：略解答：（1）由 2 2sin B sin C sin A sin Bsin C 得 2 2 2sin B sin C sin A sin B sin C结合正弦定理得 2 2 2b c a bc∴cos A=2 2 2 1b c a2 b c 2又A (0, ) ，∴=A .3（2）由2a b 2c 得 2 sin A sin B 2sin C , ∴ 2 sin A sin A C 2sin C∴6sin( C) 2sin C , 2 3∴3 1 2sin C cos C2 2 25∴2 sin( C)6 2又02C ∴3C6 6 2又s in(C ) 0∴06 C6 2∴cos2C ，6 2∴sin C sin( C) sin cos cos sinC C 6 26 6 6 6 6 64.37.答案：（1）见解析；（2）105 .解答：（1）连结M ,E和B1,C，∵M ,E 分别是BB1 和BC 的中点，∴ME / /B1C 且1ME B C，12又N 是A1 D ，∴ME / /DN ，且ME DN ，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴MN / /DE ，又DE 平面C1 DE ，MN 平面C1 DE ，∴MN / /平面C1DE .（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题 D (0,0,0) ，A(2,0,0) ，A1(2,0,4) ，M (1, 3,2)uuruA1 A (0,0, 4) ，u u u u rA1M ( 1, 3, 2) ，u u u rA1D ( 2,0, 4)，设平面AA1 M 的法向量为u rn1 (x1, y1,z1) ，平面DA1M 的法向量为u u rn2 (x2, y2 ,z2 )，由u r uurun A A01 1u r uuuru 得n A M01 14z 01，令x 3y 2z 01 1 1x 得1 3u rn1 ( 3,1,0)，6由∴u u r uuur n A D 02x4z2221u u r uuuru得x 3y2z0 n A M 022221u r u u r u r u u r n n1512cos n ,nu r u u r，∴二面角125n n12u u r，令 x 22 得n 2(2,0, 1)，A MAN 的正弦值为 10 15.38. 答案：（1）8y 12x 7 0 ；4 13（2）.3解答：3lyx b2，设 ( , ) A x 1 y ， B( x 2, y 2 ) ， 1y 3 2x b消去 y 化简整理得 （1）联立直线 l 与抛物线的方程：2y3x 92292b2x (3b 3) x b 0，(3b 3)40，44 1 b ，2 4 (3 3b)xx，1293依题意 | AF | |BF | 4可知4x 1 x，即225x 1 x，故 224 (3 3b) 95 2 ，得7b ，满足0，故直线l 的方程为83 7y x ，即8y 12x 7 0 .2 8y 32x b（2）联立方程组消去x 化简整理得y2 2y2b 0 ， 4 8b 0 ，2y 3x1b ，y1 y2 2 ，y1y2 2b ，AP 3PB ，可知2 y1 3y ，则2y2 2 ，得27y 1，y1 3，故可知23b 满足0，21 4 4 13| 1 2 y1 y2 | 1 |31|AB | | .k 9 3 39.答案：略解答：(1) 对f (x) 进行求导可得， f (x) cos x11 x，( 1 )x2取g( x) cos x11 x1g ( x) sin x，则 2(1 x),1在( 1, ) g (x) sin xx 内 2(1 x)2为单调递减函数，且g( 0 ) ，1 1g( ) 1 0 22(1 )2 所以在x (0, 1)内存在一个x ，使得g (x) 0 ，所以在x ( 1,x ) 内g (x) 0 ，f (x)为增函数；在0 x x 内g (x) 0 ，f (x) 为减函数，( , )2所以在 f (x) 在区间( 1, )2存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当x ( 1,0) 时， f (x)单调增，且 f (0) 0 ，可得 f ' x 0则f (x) 在此区间单调减；当x (0, x0) 时， f (x) 单调增，且 f (0) 0 ， f (x) 0 则f (x) 在此区间单调增；又f (0) 0则在x ( 1, x0) 上f ( x) 有唯一零点x 0 .x x 时， f (x) 单调减，且当( 0, )2 f (x ) 0, f ( ) 0 ，则存在唯一的x1 (x0, ) ，2 2使得 f ( x1) 0，在x (x0, x1) 时，f (x) 0 ，f ( x) 单调增；当x x 时，f (x) 单( , )12调减，且( ) 1 ln(1 ) 1 ln 0f e ，所以在2 2 x ( x , ) 上f ( x) 无零点；2当x ( , ) 时，y sin x 单调减，y ln(1 x) 单调减，则 f (x) 在( , )x 上单调2 2减, f ( ) 0 ln(1 ) 0 , 所以在x ( , ) 上f (x) 存在一个零点.2当x ( , ) 时， f ( x) s i n x l n (x1 ) 1 l n (恒1 成立，则 f (x) 在x ( , ) 上无零点.8综上可得， f (x) 有且仅有2个零点.40.答案：（1）略；（2）略解答：：1、1、0．（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则P( X 1) (1 ) ；得得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则P(X 1) (1 ) ；得0分时是都治愈或都未治愈，则P(X 0) (1 )(1 ) ．X的分布列为：则（2）（i ）因为0.5，0.8 ，则a P(X 1) 0.4 ，b P( X 0) 0.5 ，c P(X1) 0.1．可得p i 0.4 p i 1 0.5 p i 0.1 p i 1 ，则0.5 p i 0.4 p i 1 0.1 p i 1 ，4 ，p pi 1 i0.4( p i p i 1) 0.1( p i 1 p i ) ，则则p pi i 1所以{ p i p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列．1（ii ）{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 的首项为p1 p0 p1 ，那么可得：7p8 p7 p1 4 ，6p7 p6 p1 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯p2 p1 p1 4 ，以上7 个式子相加，得到7 6p8 p1 p1 (4 4 4) ，8 81 4 4 1 3 6 7则p p (1 4 4 4 ) p p ，则18 p ，8 1 1 11 4 3 4 1再把后面三个式子相加，得 2 3p4 p1 p1 (4 4 4 ) ，9则4 44 1 4 1 3 1 12 3p p (1 4 4 4 ) p ．4 1 1 8 43 34 1 4 1 257p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，40.8 ，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而合理的．1p 的确非常小，说明这种实验方案是42570.7答案：略解答：(1) 曲线C: 由题意得x21 t 212 21 t 1 t即x 112t 2，则ty2(x 1)，然后代入即可得到2y42 1x (x ? 1)而直线l ：将x cos , y sin 代入即可得到2x 3y 11 0 （2）将曲线C 化成参数方程形式为则d4sin( ) 11 2cos 2 3 sin 11 67 7所以当36 2时，最小值为70.8答案：见解析：解答：（1）abc 1，1 1 1a b cbc ac ab.由基本不等式可得：2 2 2 2 2 2b c a c a b bc , ac ,ab ，2 2 2于是得到1 1 1a b c2 2 2 2 2 2b c a c a b2 2 22 2 2a b c .（2）由基本不等式得到：3a b ab a b 3 ab2 ，2 ( ) 8( )ab ab a b 3 ab 2 ，10。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2019-2020年高考全国卷1（乙卷）理科数学试题及答案word注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，其中x，y是实数，则（A）1（B）（C）（D）2（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若，则（A ）（B ）（C ）（D ）（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x ，y 的值满足（A ）（B ）（C ）（D ）(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，平面ABCD =m ，平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)(B ) (C) (D)12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。

2019年高考数学试题及答案word版一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为多少？A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的第5项a5。

A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值：sin(π/6) + cos(π/3)。

A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆C的半径。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率是多少？A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i，求|z|的值。

A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

）9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。

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10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率e。

________________。

11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。

________________。

12. 已知抛物线y=x^2-4x+4，求抛物线的顶点坐标。

________________。

三、解答题（本题共3小题，共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）13. （本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。

2019年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π否ny y = n ,输出y x ,结束xe x -22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5=（10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ,E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前.考生务必将S己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题吋，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题0的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦•后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时.将答案写在笞题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交问。

_、选择题：本题共12小题.每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

l.己知集合W = {.r-4<x<2}, W=（XX2-X-6<0},则（）D.{x|2 <x<3）A. {x\- 4<x<3} 3. {x|- 4 < x < -2} C.{x|-2<x<2}2.设复数z满足|z+l,z在复平面内对应的点为（x,^）.则（）A.（又十l）2十y2= 1B. （x-l）2+y2 =1 c.x2 +（J/-1）2 = 1 D. X2 +（J 十I）2 =13.己知a = log2 0.2. b =202, c = 0.2°\ 则■）k.a<b<c B.a<c<h C.c < a <b D.b<c<a4.古希腊吋期，人们认力最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是«0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，13美人体的头顶至咽头顶至脖了-下端的长度力26cm,则其身高可能是（>A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.设函数f（X）= Sln -V~-\在［-牙，冗］的图像为（）cosx + x~V5-1喉的长度勾咽喉至肚脐的长度之比也是V5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,A. B. c. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下之上排列的6个爻三三组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重二—卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( ) -----5 11 21 11A.—B.—C.—D.—16 32 32 167.已知非零向fifl,石满足p| = 2@,且(Z-石)丄则5与S的夹角为( )5TVD.—6的程序框图，图巾空白框中应填入( )8.右图足求1 -2 1 + 2 +A'A = 2 + AB. A = 2 +—AC. -------------- A=} + 2A D」9.记S.,为等差数列｛a fl ｝的前《项和.己知54=0, a 5 = 5， A.a… =2« 5Ba… = = 3/7 10=2n~ -8/71 , = — n~ -2/7 210.已知椭圆C 的焦点为6(-1,0) , 6(1,0),过6的直线勾ex 于AS 两点.若pG| = 2|6S|， \AB\ = l\BF^,则C 的方程为( )11.关于函数/(x) = sin|x| + |sinx|竹下述四个结论：①/(x)是偶函数 ②./‘(J)在区间单调递增 ③f(x)在区间有四个零点 ④/U)的最大值为2X 2I. ----2其中所有正确结论的编号是(A.①②④ 3.②④ C.①④ D.①③12.己知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球而上，PA = PB = PC, \ABC是边长为2的正三角形，■分别是PA,AB的中点，ZCFF = 90 ,则球0的体积为( >A. 8>/6^B. 4-76^C. 2>/6^ 0.^67：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（ ） （A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+第II卷（非选择题100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。

2019年全国高考新课标Ⅰ数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2019新课标Ⅰ卷·理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I A.{|43}x x -<< B.{|42}x x -<<- C.{|22}x x -<< D.{|23}x x <<2.（2019新课标Ⅰ卷·理2）设复数z 满足||1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则 A.22(1)1x y ++=B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=3.（2019新课标Ⅰ卷·文理3）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a <<4.（2019新课标Ⅰ卷·文理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.（2019新课标Ⅰ卷·文理5）函数2sin ()cos x xf x x x +=+的图象在[π-，]π的大致为A. B.C. D.6.（2019新课标Ⅰ卷·理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116 7.（2019新课标Ⅰ卷·文8理7）已知非零向量a r，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角为A.6πB.3πC.23πD.56π8.（2019新课标Ⅰ卷·文9理8）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A.12A A =+B.12A A=+C.112A A=+ D.112A A=+9.（2019新课标Ⅰ卷·理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则A.25n a n =-B.310n a n =-C.228n S n n =-D.2122n S n n =-10.（2019新课标Ⅰ卷·文12理10）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y +=11.（2019新课标Ⅰ卷·理11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递增③()f x 在[π-，]π有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③12.（2019新课标Ⅰ卷·理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为 A.86π B.46π C.26π D.6π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2019新课标Ⅰ卷·理14）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .14.（2019新课标Ⅰ卷·理14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若113a =，246a a =，则5S = . 15.（2019新课标Ⅰ卷·理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 .16.（2019新课标Ⅰ卷·理16）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（2019新课标Ⅰ卷·理17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C . （1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C .18.（2019新课标Ⅰ卷·理18）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.（2019新课标Ⅰ卷·理19）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB .20.（2019新课标Ⅰ卷·理20）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数.证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点.21.（2019新课标Ⅰ卷·理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==.假设0.5α=，0.8β=.()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列；()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.（2019新课标Ⅰ卷·文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221,1(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值. [选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（2019新课标Ⅰ卷·文理23）已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =.证明：（1）222111a b c a b c++++„；（2）333()()()24a b b c c a +++++….。