九年级数学上册相似三角形的判定-讲义

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

相似三角形判定讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的几何学话题——相似三角形的判定。

相似三角形是几何学中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。

那么，我们如何判断两个三角形是否相似呢？这就是我们今天要学习的重点内容。

首先，让我们来看第一个判定相似三角形的方法——角角相似（AA）。

如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。

这个判定方法的依据是三角形内角和定理，即任何一个三角形的内角和都是180度。

如果两个三角形有两个角相等，那么第三个角也必然相等，因为它们必须加起来等于180度。

这样，两个三角形的所有对应角都相等，所以它们是相似的。

接下来，我们来看第二个判定方法——边边边相似（SSS）。

如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形就是相似的。

这个方法的依据是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边是成比例的。

通过测量两个三角形的边长，我们可以判断它们是否相似。

第三个判定方法是边角边相似（SAS）。

如果两个三角形有两边对应成比例，并且这两边夹角相等，那么这两个三角形就是相似的。

这个方法结合了边的比例关系和角的相等关系，是一种非常实用的判定方法。

现在，让我们通过几个例子来加深对这些判定方法的理解。

我会在黑板上画出几个三角形，然后我们一起来分析它们是否相似。

（此处可以展示几个三角形的例子，让学生参与讨论和判断）通过这些例子，我们可以看到，相似三角形的判定并不是那么困难。

只要我们掌握了角角相似、边边边相似和边角边相似这三个方法，就能够轻松地判断两个三角形是否相似。

最后，我想强调的是，相似三角形的判定不仅仅是一个理论问题，它在实际生活中也有很多应用。

比如在建筑设计、地图制作、甚至在艺术创作中，都需要用到相似三角形的知识。

所以，希望大家能够认真学习这部分内容，将来在实际应用中能够得心应手。

好了，今天的课就到这里，希望大家能够有所收获。

下课。

相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。

本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。

一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。

2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。

4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。

2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。

3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。

4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。

以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。

在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。

同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。

祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。

相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。

，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。

，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。