2013四川高考数学理科答案及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第I卷一、选择题1. 设集合A= {x|x+ 2= 0}，集合B={x|x2—4= 0}，贝V AH B 等于（）A . { —2}B . {2}C . { —2,2}D . ?2. 如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点（）A . A B. BC . CD . D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A B C D4.设x€Z,集合A是奇•数集，集合B是偶数集.若命题p: ? x € A,2x € B，贝U（）A .p ? x€ A,2x€ B B . - p: ? x?A,2x?BC . 一p：? x?A,2x€ BD . - p：? x€ A,2x?Bn n1E视图侧视图俯视阳5.函数f（x）= 2sin（3x+$）（3>0, —的部分图象如图所示，贝U co, $的值分别是（）n nA. 2,—3B. 2,—6nnC . 4，— 6D . 4, 36.抛物线y 2 = 4x 的焦点到双曲线2x 2—豊=1的渐近线的距离是（）A.1 C . 1 D. 32X7.函数y = 3x — 1的图象大致是(3 I&从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a , b ,共可得到lg a — lg b 的 不同值的个数是（ ） A . 9 B . 10 C . 18 D . 20 9•节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且 都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生， 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是（ ） A.4 B.2 C.4 D.f10.设函数 f(x) = ：J e x + x - a(a € R , 使得f(f(y °)) = y °,贝V a 的取值范围是A . [1 , e]B . [e -1-1,1]C . [1 , e + 1]D . [e — 1, e + 1] e 为自然对数的底数），若曲线y = sin x 上存在点（x °, y °）第二卷 二、填空题 11.二项式（x + y ）3的展开式中，含x 2y ： 3的项的系数是.（用数字作答） 12. 在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O , AB + AD = A O ，贝V 入= A 、13. ___________________________________________________ 设 sin 2 a=— sin a, a€ 运， n 丿，贝U tan 2 a 的值是 ______________________________ . 14.已知f （x ）是定义域为 R 的偶函数，当x > 0时，f （x ） = x 2— 4x ,那么，不等式f （x + 2）<5的 解集是 ___________ . 15.设P i,P 2,…，P n 为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点P^P ?,…, P n 的距离之和最小，则称点 P 为点P 1, P 2,…，P n 的一个“中位点”.例如，线段 AB 上 的任意点都是端点 A 、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A , B , C 共线，C 在线段AB 上，贝U C 是A , B , C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题16. 在等差数列｛a n｝中，a i + a3 = 8,且a4为a?和a?的等比中项，求数列｛a“｝的首项、公差及前n 项和．2A —B17. 在△ ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,且2cos—2 cos B—sin(A —B)sin B3+ cos(A+ C)=—二5(1) 求cos A的值；⑵若a = 4 2, b= 5,求向量BA在BC方向上的投影.18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,…，24这24个整数中等可能随机产生.(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i= 1,2,3);(2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i = 1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 100 1 027376697乙的频数统计表(部分)运行输出》的值输出y的值输出了的值次数“为1的频数为2的频数为3的频数3012117« « A■ ■ ■■ • •* * *2 100 1 051696353当n= 2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i = 1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3) 将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数E的分布列及数学期望.19. 如图，在三棱柱ABCA i B i C i中，侧棱AA i丄底面ABC, AB= AC = 2AA i,/ BAC D, D i 分别是线段BC, B i C i的中点，P是线段AD的中点.(i)在平面ABC内，试作出过点P与平面A i BC平行的直线I，说明理由，并证明直线面ADDi A i；⑵设⑴中的直线I交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA i MN的余弦值. 解i20°I丄平2 2X y20. 已知椭圆C: 2+詁=1(a>b>0)的两个焦点分别为F i(—1,0), F2(1,0)，且椭圆C经过点a b(1)求椭圆C的离心率；2 1⑵设过点A(0,2)的直线I与椭圆C交于M , N两点，点Q是线段MN上的点，且|AQ|2 = |^祈1+ 兩2，求点Q的轨迹方程.X2+ 2x+ a, x<0,其中a是实数，设A(x i, f(x i)), B(x2, f(X2))为该函21. 已知函数f(x) =|ln x, x>0,数图象上的两点，且X i<X2.(1)指出函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求X2—X i的最小值;⑶若函数f(x)的图象在点A, B处的切线重合，求a的取值范围.。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9． 答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10． 答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜ 对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |， 则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |， 故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ． 因为AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1， 所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)． 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)． 设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝ 所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)． 设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故x∈,22⎛- ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1， 则y∈1,22⎛⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)， 则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1， 所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。

数学试卷 第1页（共28页）数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )A .{2}-B .{2}C .{2,2}-D .∅2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )A .B .C .D .4.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 ( )A .,2p x A xB ∈⌝∀∉： B .,2p x A x B ∉⌝∀∉：C .,2p x A x B ∉⌝∃∈：D .,2p x A x B ∈⌝∃∉：5.函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象 如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A .π2,3-B .π2,6- C .π4,6-D .π4,36.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )A .12B .32C .1D .3 7.函数231x x y =-的图象大致是( )A .B .C .D .8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .209.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 ( )A .14B .12C .34D .7810.设函数()e x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A .[1,e]B .1[e1,1]-－C .[1,e 1]+D .1[e 1,e 1]-+－-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共28页）数学试卷 第4页（共28页）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色 墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是 （用数字作答）. 12.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ= . 13.设sin 2sin αα=-,π(,π)2α∈,则tan 2α的值是 .14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是 . 15.设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到点12,,,n P P P 的距离之和最小,则称点P 为点12,,,n P P P 的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且22cos cos sin()sin 2A BB A B B ---3cos()5A C +=-＋.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的 投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697运行次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 2 1001 051 696 353当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.（Ⅰ）在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N--的余弦值.20.(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,,,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.3 / 142013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{+2=0}A x x =，{2}A ∴=-，2{40}B x x =-=，{2,2}B ∴=-，{2}A B ∴=-.【提示】分别求出集合A 和集合B 的解集，即可求交集. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】B【解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<. 【提示】复数z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 【考点】复平面 3.【答案】D【解析】由俯视图的圆环可排除A ，B ，进一步将已知三视图还原为几何体. 【提示】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体. 【考点】平图形的直观图，三视图 4.【答案】D【解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∉∉. 【提示】全称命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∈. 【考点】全称量词，存在量词 5.【答案】A 【解析】35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2ππω∴=，2ω∴=.由图象知当5π12x =时， 5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即π2π()3k k ϕ=-∈Z ，π3ϕ∴=-. 【提示】由图象可得35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，求得ω的值，由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即可求ϕ的值. 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化数学试卷 第7页（共28页）6.【答案】B【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，则焦点到渐近线的距离122|310|32(3)(1)d ⨯-==+-或22|310|32(3)1d ⨯+==+. 【提示】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.【考点】双曲线，抛物线的基本性质 7.【答案】C【解析】由310x-≠得0x ≠，所以函数331x x y =-的定义域{0}x x ≠，可排除A ；当1x =-时，1301213y -==>-，可排除B ；当2x =时，1y =，当4x =时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C .【提示】由函数解析式可得该函数定义域；取1x =-代入函数，与图象比较；取两点代入函数，观察函数单调性，与图象相比较即可得出答案. 【考点】函数图象的判断 8.【答案】C【解析】从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=.【提示】从1，3，5，7，9五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，相同值的个数为2个，即可求不同值的个数.【考点】排列组合及其应用 9.【答案】C【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则04x ≤≤，04y ≤≤，而事件发生的概率为||2x y -≤，可行域如图阴影部分所示，由几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==.5 / 14【提示】设第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可知x ，y 的取值范围，而事件发生的概率为||2x y -≤，画出可行域，可求概率. 【考点】几何概型 10.【答案】A【解析】由已知点00(,)x y 在曲线sin y x =上，得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()()0A A A A x x y y ''--≥，0000[()][()]0f y y y f y ∴--≥，200[()]0f y y ∴-≤，∴00()f y y =，所以()f x x=在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，()x ϕ在[0,1]上单调递增，又(0)1ϕ=，(1)e ϕ=，()[1,e]x ϕ∴∈即[1,e]a ∈.【提示】由题意得得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()f x x =在[0,1]上有解，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，根据()x ϕ的单调性，即可求a 的范围.【考点】函数零点的应用第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】10【解析】323234510T C x y x y ==，故填10.【提示】由二项式展开式的通项公式或直接展开可得. 【考点】二项式展开式 12.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=又O 是AC 的中点，2AC AO ∴=，2AC AO ∴=，AB AD AO λ∴+=，2λ∴=.【提示】由向量加法的平行四边形法则得AB AD AC +=，由中点向量公式得2AC AO =，即可求λ的值. 【考点】平面向量的四则运算数学试卷 第11页（共28页）13.【答案】3【解析】由题意得1cos 2α=-而π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π3α∴=，4πtan2tan πtan 333α∴===.【提示】由题意可得1cos 2α=-，根据α的取值范围可求出α的值，利用二倍角正切公式可求. 【考点】二倍角公式 14.【答案】73x -<<【解析】设0x <，则0x ->，当0x ≥时，2()4f x x x =-，2()4f x x x ∴-=-，故()f x 为在定义域上的偶函数，224,0()+4,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨<⎩，由()5f x =得5x =或5x =-，所以()5f x <得55x -<<，由(2)5f x +<得73x -<<，所以不等式的解集为73x -<<.【提示】由()f x 为在定义域上的偶函数得出函数解析式，令()5f x =得到x 的取值范围，根据偶函数性质即可求出(2)5f x +<的解集. 【考点】解不等式 15.【答案】①④【解析】||+||||CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题；②③为假命题；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题.【提示】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点. 【考点】新定义 三、解答题16.【答案】数列{}n a 的首项为4，公差为0；或首项为1，公差为3；前n 项和4n S n =或232n n nS -=【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为n S .由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，所以14a d +=，1(3)0d d a -=， 解得14a =，0d =，或11a =，3d =，即数列{}n a 的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.7 / 14所以数列的前n 项和4n S n =或232n n nS -=.【提示】设该数列公差为d ，前n 项和为n S ，由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，解除1a 与d ，由前n 项和公式可求n S . 【考点】等差数列的性质 17.【答案】（Ⅰ）3cos 5A =-（Ⅱ）2||cos 2BA B = 【解析】（Ⅰ）由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，得3[cos()1]cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-，即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-.（Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=， 所以，sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >，则A B >，故π4B =. 根据余弦定理，有2223(42)5255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去）.故向量BA 在BC 方向上的投影为2||cos 2BA B =. 【提示】（Ⅰ）根据三角形中角的关系利用公式化简可得； （Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，根据正弦定理求得B 的值，根据余弦定理求得c 的值，即可求投影.【考点】正弦定理，余弦定理18.【答案】（Ⅰ）变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112P =；数学试卷 第15页（共28页）当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213P =； 当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故316P =. （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(123)i i =,,的频率如下： 输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲 10272100 3762100 6972100 乙10512100 6962100 3532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.030031283327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12113124339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21223122339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，303331213327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 82749 29 127 所以8421()01+2+3=1279927E ξ=⨯+⨯⨯⨯ 即ξ的数学期望为1.【提示】（Ⅰ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，从而得出输出y 的值为1的概率为12；输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16； （Ⅱ）当2100n =时，列出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大；（Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3，求出相应取值的概率，列出分布列，即可求期望值. 【考点】选择结构的程序框图19.【答案】（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l BC ∥，因为l 在平面1A BC 外，BC 在平面1A BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面1A BC .9 / 14由已知，AB AC =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线l AD ⊥， 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA l ⊥，又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以直线l ⊥平面11ADD A .（Ⅱ）解法一：连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于E ，连接AF . 由（Ⅰ）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ， 所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥， 所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF ，故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角（设为θ）. 设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=， 有60BAD ∠=，2AB =，1AD =.又P 为AD 的中点，所以M 为AB 的中点，且1AM =，12AP =， 在1Rt AA P △中，152A P =；在1Rt A AM △中，12A M =， 从而，1115AA AP AE A P ==，1112AA AM AF A M ==， 所以2sin 5AE AF θ==， 所以22215cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故二面角1A A M N --的余弦值为155. 解法二：设11AA =，如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz （点O 与点1A 重合），则1(0,0,0)A ，(0,0,1)A . 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以131 ,,1 22A M⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A=，(3,0,0)NM=.设平面1AA M的一个法向量为1111(,,)n x y z=，则1111n A Mn A A⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1111n A Mn A A⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有11111131(,,),,1022(,,)(0,0,1)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而11113122x y zz⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取11x=，则13y=-，所以1(1,3,0)n=-.设平面1A MN的一个法向量为2222(,,)n x y z=，则212n A Mn NM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即212n A Mn NM⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有22222231(,,),,1022(,,)(3,0,0)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而2222312230x y zx⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取22y=，则21z=-，所以2(0,2,1)n=-.设二面角1A A M N--的平面角为θ，又θ为锐角，则1212(1,3,0)(0,2,1)15cos5||||25n nn nθ--===.故二面角1A A M N--的余弦值为155.【提示】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面1A BC平行.等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC⊥，故l AD⊥.再由1AA⊥底面ABC，可得1AA l⊥.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面11ADD A；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）的结论得出平面1AEA⊥平面1A MN，从而证得AFE∠为二面角1A A M N--的平数学试卷第19页（共28页）11 / 14面角，设11AA =，可求出AB 、AD 、A 1M 、A 1P 、AE 和AF 的长，最后余弦定理，算出二面角1A A M N --的余弦值；解法二：分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，求出平面1AA M 和平面1A MN 的法向量，即可求出两法向量所成角的余弦值.【考点】二面角平面角的基本知识20.【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）22221241412||||11223333a PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2a =.又由已知，1c =，所以椭圆C 的离心率22c e a ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为2212x y +=，设点Q 的坐标为(,)x y . （1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0,1)-两点，此时Q 点坐标为350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为11(,2)x kx +，22(,2)x kx +，则2221||(1)AM k x =+，2222||(1)AN k x =+，22222||+(2)(1)AQ x y k x ==+-由222211||||||AQ AM AN =+， 得22222212211(1)(1)(1)k x k x k x =++++， 即21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中， 得22(21)860k x kx +++=②由22(8)4(21)60k k ∆=-⨯+⨯>，得232k >. 由②可知122821k x x k +=-+，122621x x k =+代入①中并化简，得2218103x k =-③， 因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x -=， 代入③中并化简，得2210(2)318y x --=.由③及232k >，可知302x <<，即66,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足2210(2)318y x --=，故66,22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意，(,)Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤，又由22210(2)3183y x x --=+有299(2),54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤， 则135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，其中135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义得出122||||22a PF PF =+=，求出2a =，由已知得1c =，可求离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程，设点Q 的坐标为(,)x y ，当直线l 与x 轴垂直时，求出Q 的坐标；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，M 、N 的坐标分别为11(,2)x kx +、22(,2)x kx +，将直线代入椭圆方程得22(21)860k x kx +++=，求出12x x +，12x x 的值.将坐标代入222211||||||AQ AM AN =+可得21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=，化简得2218103x k =-，将k 代入，求得2210(2)318y x --=，可出Q 的轨迹方程.【考点】圆锥曲线中的轨迹问题21.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞（Ⅱ）1（Ⅲ）(ln 21,)--+∞【解析】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞；（Ⅱ）由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，13 / 14故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有12()()1f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+，因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-，所以1(22)0x +<，2(22)0x +>，因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++≥-++=，当且仅当12(22)(22)1x x ++=-，即1231=22x x =-且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1.（Ⅲ）当120x x <<或210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为 21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，即211(22)y x x x a =+-+；当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②，由①及120x x <<知，110x -<<，由①②得，2211111+ln 1ln(22)122a x x x x =-=-+-+. 设211111()ln 1(10)22h x x x x =+--<<+， 则1111()201h x x x '=-<+， 所以11()(10)h x x -<<是减函数，则1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.故当函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.【提示】（Ⅰ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '，再利用()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于1-，得出12(22)(22)1x x ++=-，后利用基本不等式可求21x x -的最小值；（Ⅲ）先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A ，B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出211ln(22)1a x x =-+-，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围.【考点】不等式的综合应用。

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科（四川卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．2、【答案】B【解析】两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．3、【答案】D【解析】由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．4、【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则￢p：?x∈A，2x?B．【答案】A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣6、【答案】B【解析】∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==【答案】A【解析】当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，∴，故排除B；对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；∵y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，∴x→+∞，→0，∴D不正确，A正确，8、【答案】C【解析】首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．9、【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=10、【答案】A【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确11、【答案】10【解析】设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=x5﹣r?y r，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10．12、【答案】2【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．13、【答案】【解析】∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．14、【答案】（﹣7，3）【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15、【答案】①④【解析】①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故答案为：①④．16、【答案】S n=【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．17、【答案】（1）（2）=ccosB=【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．18、【答案】（I）输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为（II）乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大（III）1【解析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y 值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==119、【答案】（I）见解析（II）【解析】（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN?平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．20、【答案】（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）【解析】（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q 的坐标为（0，2﹣）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分21、【答案】（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）【解析】（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）1.A2.B3. D4. D5. A6. B7.C8. C9. C 10.A 11.10 12.214. {}73x x -<< 15.①④16.解：由题意可知，1329428,,a a a a a ⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 即1214,30,a d a d d +=⎧⎨-=⎩解得1=4,0,a d ⎧⎨=⎩或1=1,3,a d ⎧⎨=⎩ （1）当1=4,0a d=时，4n S n =；（2）当11,3a d ==时，232n n nS -=．17.解：（1）由题意可知2()cos sin()sin cos()22cosA B B A B B A C ---++ [1cos()]cos sin()sin()cos A B B A B A C B=+---+- 3cos()cos sin()sin cos(+)cos 5A B B A B B A B B A =---=-==-，所以3cos 5A =-；（2）由正弦定理，得sin sin b A B a ==，则cos B =，又由余弦定理有2cos 2B ==，解得 1c =或7c =-（舍去），故向量BA 在BC 方向上的投影cos 2cos BA BC BBA BC c B BCBC====．18.解：（1）当1i =时，即输出的数为奇数，奇数有12个，则112P =； 当3i =时，即输出的数为能整除3的偶数，有4个，则316P =； 当2i =时，即输出的数为剩下的8个，则213P =， 所以112P =，213P =，316P =; （2）甲：1231027376697===210021002100P P P ，，；乙：1231051696353===210021002100P P P ，，，根据频率的趋势与概率可知，乙编写的程序更符合算法要求. （3）设输出y 的值为2为事件A ，且1()3P A =，则该实验为独立重复事件，次数ξ的分布列为303128(0)3327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1213124(1)339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123122(2)339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333121(3)3327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 8421()01231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）由题意可知，直线l //BC ，又AB AC =，D 是BC 的中点，则BC AD ⊥， 又在三棱柱11ABC A B C -中，1BC DD ⊥，且111,A DD ADD D A ⊂，则11AD B D C A ⊥， 所以直线l ⊥平面11ADD A（2）连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于F ，连接AF .由（1）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ，所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥.所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M AF ⊥.故AFE ∠为二面角1A A M N -- 的平面角（设为θ）.设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC∠=，有60BAD ∠=，2AB =，1AD =，又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点， 且12AP =，1AM =，所以，在1Rt AA P ∆,1A P =在在1Rt A MP ∆,1A M =从而1111AA AP AA AM AE AF A P A M ⋅⋅====所以sin AE AF θθ====20.解：（1）椭圆过焦点1F ，故1c =，221a b ∴=+。

2013·四川卷(理科数学)1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()A．{－2}B．{2}C．{－2，2}D．1．A[解析] 由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．2．如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是()图1－1A．A B．B C．C D．D2．B[解析] 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称．3．一个几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的直观图可以是()图1－2图1－33．D [解析] 根据三视图原理，该几何体上部为圆台，下部为圆柱．4． 设x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：x ∈A ，2x B B ．⌝p ：x A ，2x B C ．⌝p ：x A ，2x ∈BD ．⌝p ：x ∈A ，2x B4．D [解析] 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.图1－45． 函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．A [解析] 由图知3T 4＝5π12＋π3＝3π4，故周期T ＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x ＋φ)．再由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈)，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3. 6．， 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B.32C ．1 D. 3 6．B [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为3x ±y ＝0，故点F 到3x ±y ＝0的距离d ＝|3|1＋3＝32. 7．，， 函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－57．C [解析] 函数的定义域是{x ∈|x ≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x －1<0，故y>0，排除选项B ；当x →＋∞时，y>0且y →0，故为选项C 中的图像．8． 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．208．C [解析] 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a ，b 可以得到不同的差式lg a －lg b 共计A 25＝20个，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18个．9． 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.789．C [解析] 设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，满足条件的关系式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34. 10．， 设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sinx 上存在(x 0，y 0)使得f(f(y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[e －1－1，1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]10．A [解析] 因为y 0＝sin x 0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x ＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x ≥0时，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，故a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，e x ＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g ′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．11． 二项式(x ＋y)5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)11．10 [解析] 根据二项展开式的性质可得x 2y 3的系数为C 35＝10.12． 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．12．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.13．，， 设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 13.3 [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－3＝ 3.解法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝ 3. 14．， 已知f(x)是定义域为的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．14．(－7，3) [解析] 当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x ＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)15．，， 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ [解析] 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然2 5＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．16．， 在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋8d)，所以a 1＋d ＝4，d(d －3a 1)＝0.解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3.即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2. 17．，， 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．17．解：(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35， 即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45. 由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22. 由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22. 18．， 某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图1－6(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100y 的值为i(i ＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18．解：(1)变量x 是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16， 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233＝827，P(ξ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝49， P(ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫231＝29， P(ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫230＝127， 故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1. 即ξ的数学期望为1.19．，，， 如图1－7所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．图1－719．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC 在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点．所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)解法一：联结A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，联结AF.由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP ＝12，AM ＝1， 所以，在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝52；在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝ 2. 从而AE ＝AA 1·AP A 1P ＝15，AF ＝AA 1·AM A 1M ＝12， 所以sin θ＝AE AF ＝25. 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝155. 故二面角A －A 1M －N 的余弦值为155. 解法二：设A 1A ＝1，如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以A 1E →，A 1D 1→，A 1A →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz(点O 与点A 1重合)．则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，又AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，故可得M(32，12，1)，N(－32，12，1)， 所以A 1M →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，A 1A →＝(0，0，1)，NM →＝(3，0，0)． 设平面AA 1M 的一个法向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1⊥A 1M →，n 1⊥A 1A →，即⎩⎪⎨⎪⎧·A 1M →＝0，n 1·A 1A →＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧（x 1，y 1，z 1）·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，（x 1，y 1，z 1）·（0，0，1）＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1＋z 1＝0，z 1＝0.取x 1＝1，则y 1＝－3，所以1＝(1，－3，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2⊥A 1M →，n 2⊥NM →，即⎩⎪⎨⎪⎧2·A 1M →＝0，n 2·NM →＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，（x 2，y 2，z 2）·（3，0，0）＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 2＋12y 2＋z 2＝0，3x 2＝0.取y 2＝2，则z 2＝－1，所以2＝(0，2，－1)．设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪（1，－3，0）·（0，2，－1）2·5＝155. 故二面角A －A 1M －N 的余弦值为155. 20．， 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q 的轨迹方程． 20．解：(1)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2.所以a ＝2，又由已知，c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y)．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－3 55. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM|2＝(1＋k 2)x 21，|AN|2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ|2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，得2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32， 即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎫0，2－3 55满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62. 21．，， 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))， B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2.因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1， 当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1. 两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1. 设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)，则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0. 所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数．则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年高考数学真题（理）-四川（2013四川理1）设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（）A.{2}-B.{2}C.{2,2}-D.∅ 【答案】A【解析】∵{2}A =-，{2,2}B =-，∴A ∩B ={-2}，选A（2013四川理2）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D 【答案】B【解析】若z x yi =+（0,0x y <>），则z x yi =-（2013四川理3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D（2013四川理4）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（）A.:,2p x A x B ⌝∃∈∉B.:,2p x A x B ⌝∀∉∉C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 【答案】D【解析】本题考查命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∉，选D（2013四川理5）函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【答案】A 【解析】由图可知，115212122T πππ=-=，2,2T T ππω===，又点5(,2)12π在图像上， 则5262k ππϕπ=++，又22ππϕ-<<，则3ϕπ=-（2013四川理6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A.12C.1【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，则(1,0)到渐近线0y ±=的距离d ==（2013四川理7）函数331x x y =-的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函数的定义域为{|0}x x ≠，排除A ；当0x <时，3031xx y =>-，排除B ； 当x →+∞时，3x远大于3x ，∴0y →，选C（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ， 共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（） A.9 B.10 C.18 D.20 【答案】C【解析】因为lg lg lg a a b b -=，而1339=，3913=，所以2225252218C A A -=-=（2013四川理9）节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（） A.14 B.12 C.34D.78【答案】C【解析】两串彩灯的第一次闪亮的时刻分别为,x y ，则0404||2x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪-≤⎩，作图，故1222321444P ⨯⨯⨯=-=⨯（2013四川理10）设函数()f x =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（） A.[1]，e B.1[-1]-1，eC.[11]+，e D.1[-11]-+，e e 【答案】A【解析】因为00(())f f y y =，所以00y ≥，又因为00(,)x y 在函数sin y x =上，所以01y ≤所以问题转化为(())f f x x =在[0,1]上有解，若()f x x >在[0,1]上恒成立，则(())()f f x f x x >>，则(())f f x x =在[0,1]上无解，同理若()f x x <在[0,1]上恒成立，则(())()f f x f x x <<。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈5．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π- （D ）4,3π 6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12 （B（C ）1 （D 7．函数231x x y =-的图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）7810．设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,-11]e -， （C ）[1,1]e + （D ）1[-1,1]e e -+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=_________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是________ ．15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设集合{}|20A x x =+=，{}2|40B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{}2- （B ）{}2 （C ）{}2,2- （D ）∅ 2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）俯视图侧视图主视图DCB A4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∀∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉5．函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B（C ）1 （D7．函数331x x y =-的图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）7810．设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在()00,x y 使得()()0ff y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,e （B ）11,1e -⎡⎤-⎣⎦ （C ）[]1,1e + （D ）11,1e e -⎡⎤-+⎣⎦ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

四川省2013年数学高考文理试题及其答案（word 版）启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ y x DB A O C5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2,6π- （C ）4,6π-（D ）4,3π 6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B ）32（C ）1 （D 37．函数231x x y =-的图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209．节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）7810．设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+ 第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用3铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232c o s c o s s i n ()s i n 25A B B A B B ---=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数 3014 6 10 … … … … 2100 1027 376 697运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353519．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．1C20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．721．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．1启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于()A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．∅答案 A解析A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点()A．A B．BC．C D．D答案 B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B. 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 7．函数y ＝x 23x －1的图象大致是( )答案 B解析 对于函数y ＝x 23x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 答案 C解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤X ≤40≤Y ≤4|X －Y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －1－1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1] 答案 A 解析 由于f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R )在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f －1(x )存在，由于y 0∈[－1,1]，且f (f (y 0))＝y 0，∴f －1(f (f (y 0)))＝f －1(y 0)，即f (y 0)＝f －1(y 0)，∴y ＝f (x )与y ＝f －1(x )的交点在y ＝x 上．即e x ＋x －a ＝x 在x ∈[－1,1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解．∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]，a ′＝e x －2x ＋1，当0<x <1时，a ′＝e x －2x ＋1>e 0－2×1＋1＝0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上递增，当x ＝0时，a 最小＝1；当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]，选A.第二卷二、填空题11．二项式(x ＋y )3的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 答案 10 解析T r ＋1＝C r 5x5－r y r(r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3，∴含x 2y 3的系数为C 35＝5×4×33×2×1＝10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．15．设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ①正确，因为C 点到A 、B 的距离之和小于AB 上其它点到A 、B 的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B 、C 在线段AD 上，则线段BC 上的任一点到A 、B 、C 、D 距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小． 三、解答题16．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解 设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0， 解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B－sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 14 6 10 …………2 1001 027376697乙的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望． 解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫230＝127， 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8274929127所以，E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.19．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角AA 1MN 的余弦值． 解(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC . 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD . 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l . 又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)方法一 连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN . 所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角AA 1MN 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点， 且AP ＝12，AM ＝1，所以，在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝52； 在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝ 2.从而AE ＝AA 1·AP A 1P ＝15，AF ＝AA 1·AM A 1M ＝12，所以sin θ＝AE AF ＝25.所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫252＝155. 故二面角AA 1MN 的余弦值为155.方法二 设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以A 1E →，A 1D 1→，A 1A →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故M ⎝⎛⎭⎫32，12，1，N ⎝⎛⎭⎫－32，12，1， 所以A 1M →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，A 1A →＝(0,0,1)，NM →＝(3，0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥A 1M →，n 1⊥A 1A →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1M →＝0，n 1·A 1A →＝0，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，(x 1，y 1，z 1)·(0，0，1)＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1＋z 1＝0，z 1＝0.取x 1＝1，则y 1＝－3，所以n 1＝(1，－3，0)． 设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 2⊥A 1M →，n 2⊥NM →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1M →＝0，n 2·NM →＝0， 故有⎩⎪⎨⎪⎧(x 2，y 2，z 2)·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，(x 2，y 2，z 2)·(3，0，0)＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 2＋12y 2＋z 2＝0，3x 2＝0.取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)． 设二面角AA 1MN 的平面角为θ，又θ为锐角， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1，－3，0)·(0，2，－1)2·5＝155.故二面角AA 1MN 的余弦值为155. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程． 解 (1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知，c ＝1.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )，①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2(1＋k 2)x 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22，即 2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22.*将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.**由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由**可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， 代入*中并化简，得x 2＝1810k 2－3.*** 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入***中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由***及k 2>32，可知0<x 2<32， 即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2，因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥ [－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)， 即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ② 由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2. 由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t . 设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)由h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0， 所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷) 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0},集合B ＝{x |x 2－4＝0｝，则A ∩B ＝（ )． A ．{－2} B ．{2｝ C ．｛－2，2｝ D ．∅ 2．（2013四川，理2)如图，在复平面内,点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ）． A ．A B ．B C ．C D ．D 3．（2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ )．4．（2013四川,理4）设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x∈B ，则( )． A ．⌝p:∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．⌝p:∃x ∈A ，2x ∉B 5．（2013四川,理5)函数f （x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）．A ．2，π3-B ．2,π6-C ．4，π6-D ．4,π36．(2013四川，理6）抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．（2013四川,理7）函数331xxy=-的图象大致是（）．8．（2013四川，理8)从1,3，5，7，9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( ）．A．9 B．10 C．18 D．209．（2013四川,理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10）设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f（f（y0))＝y0，则a的取值范围是( ）．A．［1,e] B．［e－1－1，1］C．[1,e＋1］ D．[e－1－1，e＋1］第Ⅱ卷（非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分,共25分．11．（2013四川,理11)二项式（x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．（用数字作答)12．（2013四川,理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO,则λ＝__________。