江苏省洪泽中学2020-2021学年上学期高三期初考试数学试卷

2020-2021学年度高二年级第一学期第二次六校联考数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、下列命题是假命题的( ) A ．02,1>∈∀-x R x B ．0)1(,2*>-∈∀x N xC ．1lg ,<∈∃x R xD ．2tan ,=∈∃x R x2、若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)3、不等式112<+x 的解集是 （ ） A.），（1--∞B.），（∞+1C.），（），（∞+⋃∞11-- D.（-1,1）4、“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、若正数x ，y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ）A.245B.2C.285D.56、已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2)1(+n n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 227、《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)8、椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 12,F F ，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，,A B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则 21y y -∣∣ 的值是 （ ） A.5B.103C. 203D.53二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省洪泽中学2022届高三数学期终测试试题第I 卷〔选择题 共50分〕一. 选择题：〔本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,请将所选答案的标号字母填在题后的括号内〕1. 过点〔2,-2〕且与双曲线x y 2221-=有相同渐近线的双曲线方程是〔 〕 A. x y 22421-= B. y x 22421-= C. x y 22241-= D. y x 22241-= 2. 把函数152++=x y 的图像向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得图像的函数解析式为 〔 〕 〔A 〕72+=x y 〔B 〕92+=x y 〔C 〕12+=x y 〔D 〕32+x 3. 假设m 、n 都是正整数,那么“m 、n 中至少有一个等于1〞是“m n mn +>〞的〔 〕 A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件4. 平面向量22(,),(,),(1,1),(2,2),1,a x y b x y c d a c b d ====⋅=⋅=若那么这样的向量a 有 〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．多个2个 D ．不存在 5. 在空间,以下命题正确的选项是 〔 〕 A. 假设三条直线两两相交,那么这三条直线确定一个平面 B. 假设直线m 与平面α内的一条直线平行,那么m//αC. 假设平面αβαβ⊥=，且 l ,那么过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD. 假设直线a//b,且直线l a ⊥,那么l b ⊥ 6. 函数y x =-log ().054的定义域是 〔 〕A. ()-∞，4B. [)34，C. （，）34D. []34，7. sin cos x x -=15,且x x ∈()tan ππ2322，，则的值是 〔 〕 A. 247 B. 724 C. -247 D. -7248. F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点,B 是短轴的一个端点,那么△F 1BF 2的面积的最大值是 〔 〕A.33100 B.93100 C.100(3－22) D.21a 2 9. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f x x ()=3,如果f x -1()是f(x)的反函数,那么f --119()的值是 〔 〕A. -2B. 2C. -12 D. 1210. )(x f 是定义在R 上的偶函数,且对任意R ∈x ,都有)3()1(+=-x f x f ,当∈x [4,6]时,12)(+=x x f ,那么函数)(x f 在区间[-2,0]上的反函数)(1x f -的值)19(1-f 为〔 〕A ．15log 2 B ．3log 232- C ．3log 52+ D ．3log 212--第II 卷〔非选择题 共100分〕二. 填空题：〔本大题共6小题,每题5分,共30分,请把答案直接填在题中横线上〕 11. 假设x ≥0,y ≥0,且x+2y=1,那么2x+3y 2的值域为_____________12. 假设椭圆经过点〔2,3〕,且焦点为F F 122020（，），（，）-,那么这个椭圆的离心率等于_________________.13. 一个正方体的全面积为a 2,它的顶点全都在一个球面上,那么这个球的外表积为____. 14. ||||cos a b a b a a b ===-781314，，与的夹角为，且，则与θθ的夹角的余弦值等于_________________.15. 假设点)0,6(-A ,点)12,6(B ,且AB AP 31=,那么过点P 且在两坐标轴上有相等截距的直线方程是 . 16. 定义一种运算“⊗〞为a b a a b b a b ⊗=≥<⎧⎨⎩（）（）,那么函数y x x x R =⊗∈sin cos （）的值域为_________________. 三. 解做题：〔本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 17.解关于x 的不等式x ax a ax a 2230-->≥||.（其中）18.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ,其中)4,0(πθ∈.〔I 〕求d c b a ⋅-⋅的取值范围；〔II 〕假设函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小.19.如图：在∆BCD 中,∠=︒BCD 90,BC=CD=1,AC ⊥平面BCD,∠=︒ABC 45,E 是AB 的中点.〔I 〕求直线BD 和CE 所成的角； 〔II 〕求点C 到平面ABD 的距离； 〔III 〕假设F 是线段AC 上的一个动点,请确定点F 的位置,使得平面ABD ⊥平面DEF.20.倾斜角为45︒的直线l 过点(1,2)A -和点B ,其中B 在第一象限,且||AB = 〔Ⅰ〕求点B 的坐标；〔Ⅱ〕假设直线l 与双曲线222:1x C y a-=(0)a >相交于不同的两点,E F ,且线段EF 的中点坐标为(4,1),求实数a 的值.21. 某森林出现火灾,火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少？22.在直角坐标平面上有一点列 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,对每个正整数n ,点n P 位于函数4133+=x y 的图象上,且n P 的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列}{n x .〔1〕求点n P 的坐标；〔2〕设抛物线列 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,第n 条抛物线n C 的顶点为n P 且过点)1,0(2+n D n ,记过点n D 且与抛物线n C 只有一个交点的直线的斜率为n k ,求证：10111113221<+++-n n k k k k k k ； 〔3〕设},2|{*N n x x x S n ∈==,},4|{*N n y y y T n ∈==,等差数列}{n a 的任一项T S a n ∈,其中1a 是T S 中的最大数,12526510-<<-a ,求}{n a 的通项公式.参考答案及评分标准一. 选择题：〔每题5分,共50分〕 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B7. A 8. B 9. B 10. B二. 填空题：〔每题5分,共30分〕11. [43,2]12. 12；13.πa 22； 14. -1715. 2=+y x 或x y 2-=16. []-221， 三. 解做题：〔共70分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分〕 17. 解：①当a=0时,化为x 20>…………2分 解集为{|}x R x ∈≠0 …………3分 ②当a>0时原不等式等价于()()i ax x ax a ax ii ax x ax a ax≥-->⎧⎨⎩<-->-⎧⎨⎩03032222或…5分由得，的解为()()i x x ax a x ax a x a≥-->⎧⎨⎪⎩⎪--><-04040252222或x a >+()25…………7分分……的解为故8})52(|{)(a x x i +>由得，的解为或()()ii x x ax a x ax a x a <-->⎧⎨⎩--><-02020122222 x a >+()12 …………9分分……的解集为故10})21(|{)(a x x ii -<综上得时，解集为a x R x =∈≠00{|},a>0时,解集为{|()x x a <-12或x a >+()}2518. 解：〔I 〕∵22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，〔2分〕∴2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ, 〔4分〕∵04<<πθ,∴022<<πθ∴02cos22<<θ,∴(0,2)a b c d ⋅-⋅的取值范围是. 〔6分〕〔II 〕∵2()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ,2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ,〔8分〕∴22()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ, 〔10分〕∵04<<πθ,∴022<<πθ,∴2cos20>θ,∴()()f a b f c d ⋅>⋅.〔12分〕19. 解：〔I 〕延长AC 到G,使CG=AC,连结BG 、DG,E 是AB 中点∴BG CE //2故直线BG 和BD 所成的锐角〔或直角〕就是CE 和BD 所成的角……2分AC BDC AC BC ABC AC BC CD E AB CE BG BD DG BGD DBG BD CE ⊥∴⊥∠=︒∴====∴===∴∠=︒∴︒平面又是中点，故，又因此为等边三角形直线和所成的角是……分451222260604∆〔II 〕设C 到平面ABD 的距离为h则……分，……分V V S h S AC S S AC h A BCD C ABD ABD BCD ABD BCD --==⋅=⋅=⋅==⋅⋅==∴=÷=1313634232121112112323382∆∆∆∆ ()（）由上可知，又是中点，故由平面平面又平面平面应平面……分故，即应为过的的垂线和的交点由，所以的中垂线过点即点为点……分III AB BD AD E AB DE AB ABD DEFABD DEF DEAB DEF AB EF F E AB AC AC BC AB C F C ===⊥⊥=∴⊥⊥=2101220. 解：(Ⅰ) 直线AB 方程为3y x =-,设点(,)B x y , 〔2分〕由223(1)(2)18y x x y =-⎧⎨-++=⎩〔4分〕 及0,0x y >>,得4,1x y ==,∴点B 的坐标为(4,1) 〔6分〕〔Ⅱ〕由22231y x x y a=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得221(1)6100x x a -+-=, 〔8分〕设1122(,),(,)E x y F x y ,那么2122641a x x a +=-=-,得2a =, 〔11分〕 此时,0∆>,∴2a = . 〔12分〕〔注：缺少0∆>扣1分,0∆>这个不等式可解可不解.〕21. 解：设派x 名消防员前去救火,用t 分钟将火扑灭,总损失为y ,那么210100501005-=-⨯=x x t y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125tx ＋100x ＋60〔500＋100t 〕 ＝26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x ＝2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x ＝262500)2(10031450-+-+x x3645062500100231450=⨯+≥当且仅当262500)2(100-=-x x ,即x ＝27时,y 有最小值36450．故应该派27名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为36450元．22. 解：〔1〕∵n P 的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列}{n x , ∴153(1)(1)22n x x n d n n =+-=---=--, 〔2分〕∵(,)n n n P x y 位于函数4133+=x y 的图像上,∴13313533()34244n n y x n n =+=--+=--,〔3分〕 ∴点n P 的坐标为)453,23(----n n P n . 〔4分〕〔2〕据题意可设抛物线n C 的方程为：2()n n y a x x y =-+,即235()324y a x n n =++--, 〔5分〕∵抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,∴22235951()3(33)2444a n a n n an a n +=+--=+-+-,∴1a =,∴235()324y x n n =++--, 〔6分〕∵过点n D 且与抛物线n C 只有一个交点的直线即为以n D 为切点的切线,∴'0032()232n x x k yx n n ====++=+, 〔7分〕 ∴111111()(21)(23)22123n n k k n n n n -==-++++〔2n ≥〕 ∴122311*********()257792123n n k k k k k k n n -+++=-+-++-++111()2523n =-+ ∴n n k k k k k k 13221111-+++ 1111()252310n =-<+. 〔8分〕 〔3〕∵223n x x n ==--,4125n y y n ==--∴S T 中的元素即为两个等差数列{23}n --与{125}n --中的公共项,它们组成以17-为首项,以12-为公差的等差数列, 〔9分〕 ∵T S a n ∈,且}{n a 成等差数列,1a 是T S 中的最大数,∴117a =-,其公差为*12()k k N -∈,10当1k =时,1(1)17(1)(12)125n a a n d n n =+-=-+-⨯-=--, 此时101205125(265,125)a =--=-∉--,∴不满足题意,舍去；〔10分〕20当2k =时,1(1)17(1)(24)247n a a n d n n =+-=-+-⨯-=-+, 此时102407233(265,125)a =-+=-∈--, ∴247n a n =-+；30当3k =时,1(1)17(1)(36)3619n a a n d n n =+-=-+-⨯-=-+, 此时1036019341(265,125)a =-+=-∉--,∴不满足题意,舍去.〔12分〕 综上所述所求通项为247n a n =-+.。

2020-2021学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= ．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为．3．（5分）函数y=cos（x+）的最小正周期为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为．5．（5分）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取人．6．（5分）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．7．（5分）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为．8．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为．9．（5分）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．11．（5分）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为．12．（5分）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．13．（5分）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF ⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=a n﹣，n∈N*，设S n为{a n}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．2020-2021学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= {0，1} ．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，所以∁U A={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为4π．【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．【解答】解：∵ω=，∴函数的最小正周期T==4π，故答案为：4π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为23 ．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知第1次循环，x=5，n=2；第2次循环，x=11，n=3；第3次循环，x=23，n=4；退出循环，输出x=23．故答案为：23．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．5．（5分）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取8 人．【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人故答案为：8．【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．6．（5分）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=3×1+2×0=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为81 ．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，S4=16，∴a1+d=3，4a1+d=16，解得a1=1，d=2．则S9=9+×2=81．故答案为：81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．【分析】由B2F⊥AB1，可得•=0，即可得出．【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），∴=（﹣c，b），=（a，b），∵B2F⊥AB1，∴•=﹣ac+b2=0，∴a2﹣c2﹣ac=0，化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sinαcosβ=cosαsinβ，再根据cosαsinβ=，求得 sinαcosβ的值，利用两角差的正弦公式求得sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵tanβ=2tanα，即=2，∴2sinαcosβ=cosαsinβ．∵cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12．（5分）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为36 ．【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是[﹣9，0] ．【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知y min=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…（5分）因为：A∈（0，π），所以：A=．（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．所以：sinB=，sinC=，所以由正弦定理可得：b===2…（10分）【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF ⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，∴直线EF⊥平面ADC1．【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…（4分）因为，而，所以，…（6分）解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD 上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km）．故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=a n﹣，n∈N*，设S n为{a n}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）把给出的数列递推式a n+1=a n﹣，n∈N*，变形后得到新数列{3n a n}，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{a n}的通项公式，利用错位相减法从而求得求S n；（3）根据等差数列的性质得到2S q=S p+S r，从而推知p，q，r的值．【解答】（1）证明：由a n+1=a n﹣，n∈N*，得到3n+1a n+1=3n a n﹣2，则3n+1a n+1﹣3n a n=﹣2．又∵a1=，∴3×a1=1，数列{3n a n}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3n a n=1﹣2（n﹣1），所以，a n=，所以S n=﹣﹣﹣﹣…﹣，①S n=﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得S n=﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以S n=．（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列．则2S q=S p+S r，即=+．由于当n≥2时，a n=＜0，所以数列{S n}单调递减．又p＜q，所以p≤q﹣1且q至少为2，所以≥，﹣=．①当q≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{S n}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA •BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，…（5分）则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．【解答】解：由展开得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，则|2x+y﹣3|＜c成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则令x=2，解得y=0，z=1，所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．证明：（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，则当n=k+1时，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1时也成立．由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．。

江苏省洪泽外国语中学2020-2021学年高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．633．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件4．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题5．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．26．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） ABC．D8．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,29．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前 命题：高三数学组2020学年第一学期期初教学质量监测高三年级 数学 试题卷考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220,A x x x x N =-≤∈∣，10x B xx -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A.[1,2]B.(0,1]C.{1,2}D.{1}2.已知(0,)θπ∈，1sin cos 3θθ+=，则cos2θ=（ ）A.9-B.9±C.3-D.3±3.若实数x ，y 满足约束条件20400,0y x x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪>>⎩，则3z x y =-的取值范围为（ ）A.44,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B.4,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(0,12)D.[0,12]4.下列命题中，（1）若OA ME ∥，OB MF ∥，则AOB EMF ∠=∠；（2）空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊆，n α⊆，m β∥，n β∥，则αβ∥； （3）空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥；其中正确的个数为（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个5.在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边AB x ∥轴，BC y ∥轴，若A 的纵坐标为2，则D 点的坐标为（ ）A.2)B.19,216⎛⎫⎪⎝⎭C.819,25616⎛⎫⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫⎪⎝⎭6.已知||||2a b a b ==⋅=，||3a c -=，则b c ⋅的取值范围为（ ）A.1]B.[1+C.2,2]D.[22-+7.若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，则这个正三棱锥体积的最大值为（ ） A.8B. C.18D.8.设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P ，Q 分别是双曲线的左右支上的点，若213QF PF =，120F P PF ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）9.已知关于x 的方程42232132||3303x ax a x a a a ⎛⎫+++++--= ⎪⎝⎭有唯一实数解，则实数a =（ ） A.1±，-3B.1±C.1，-3D.-1，-310.已知a ，b 是正实数，数列{}()n x n N ∈，0x a =，1x b =，11112n n n x x x +-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若这个数列是周期数列，则a ，b 必须满足条件（ ） A.12ab =B.1ab =C.32ab =D.2ab =第Ⅱ卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.知ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若3sin 5A =，2213()1336a b c ab +=+，则cos A =________，sin B =________.12.已知222log ()log log x y x y +=+，则11x y+=________，2x y +的最小值为________. 13.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.14.已知圆22:(7)16C x y -+=，过点(5,0)M 作直线交圆于A ，B 两点，则||AB 的最小值为________；若(2,5)P ，则||PA PB +的最小值为________.15.已知,a b R ∈，若函数()|sin cos 1||sin cos |f x a x b x b x a x =+-+-的最大值为5，则22a b +=________. 16.抛物线218y x =-的准线与对称轴交于点A ，过点A 作直线交抛物线于M ，N 两点，点B 在抛物线对称轴上，且02MN BM MN ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则||OB 的取值范围为________.17.数列{}()n a n N ∈满足：对任意非负整数(,)m n m n ≥，均有()2213()22m n m n m n a a n m a a +-++--=+.若17a =，则该数列中小于2019的最大的一项等于________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题14分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A b cB C a c-=+-. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =ABC △的周长取值范围.19.正三棱锥O ABC -的底面正三角形ABC 的边长为侧棱2OA =，E ，F 分别为AB ，AC 中点，H 为EF 中点，棱OA 上有一点1A （不为中点），直线1A E 与直线OB 交于1B ，直线1A F 与直线OC 交于1C .（1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）若132OA =，求直线1OC 与平面111A B C 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，正项数列{}n a 满足()322n b n a -+=，数列{}n c 满足()*n n n c a b n N =∈.（1）求通项n a ，n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若2114n c m m ≤+-对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 21.已知椭圆22:195x y C +=，过左焦点F 的动直线交椭圆于A ，B 两点，P 为直线92x =-上一定点（不是与x 轴的交点），直线PA ，PF ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k .（1）判断1k ，2k ，3k 是否恒为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由；（2）对任意给定的点P ，是否都存在一条过点F 的直线AB ，使得1k ，2k ，3k 为等比数列？请说明理由. 22.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，()00,M x y 为抛物线上一定点，抛物线上两动点A ，B （与M 不重合），线段AB 的中垂线交对称轴于点Q ，且||FA ，||FM ，||FB 成等差数列.（1）求Q 点坐标； （2）若||3OQ =，5||2FM =，A ，B 两点在抛物线的准线上的投影分别为1A ，1B ，求四边形11ABB A 的面积取值范围.1、最困难的事就是认识自己。

江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期期初考试 数学一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B =（ ）A. {x|1≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤1}C. {x|x ≤0}D. ⌀{x|x ≤1}2．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设 a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A. a 2>b 2B. 1a <1bC. lg(a −b)>0D. 2a >2b4．设函数2()5cos x f x e x x =--，则函数()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．(13)1,2()2,2xa x a x f x a x -++<⎧=⎨≥⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-a 1(0,]211(,]321[,1)21(,1)36．已知函数()221,11,1x x x f xx x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()4,1- B ．()(),41,-∞-+∞ C ．()1,4-D ．()(),14,-∞-+∞7.已知a >0，b >−1，且a +b =1，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为( )A. 3+2√22B. 3+√22C. 3−√22D. 3−2√228．已知命题，；命题，．若、都为假命题，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.设集合A ={x |x 2−8x +15=0 }，B ={x |ax −1=0 }，若A⋂B =B ，则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 1310..我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；11．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．12m n +的最小值为322+ B ．mn的最大值为12C ．m n +的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2:p x ∃∈R 220mx +≤:q x ∀∈R 2210x mx -+>p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．命题：的否定为 ．14.已知a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，则2b a ＋1b的最小值等于________.15．已知函数，，则 16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时()12xf x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是____． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知集合A ={x|x 2−(2a −1)x +a 2−a ≤0}，B ={x|x 2+x −2<0}.(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求a 的取值范围；(2)设命题p ：∃x ∈R ，x 2+(2m +1)x +m 2−m <0，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．18.（12分）已知y =f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x 2−2x ．(1)写出函数y =f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．2000,220x x x ∃∈++<R ())1f x x =+()5f a =()f a -=19.（12分）已知函数f(x)=log a (a x −1)(a >0,a ≠1) (1)当a =12 时，求函数f(x)的定义域；(2)当a =2时，若∃x ∈[1,3]，使得不等式f(x)−log 2(1+2x )>m 有解，求实数m 的取值范围．20.（12分）如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB.问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？21．（12分）已知函数，若同时满足以下条件：①在上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数．（1）若，判断是否为闭函数；（2）如果是闭函数，求实数的取值范围．22.（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x =--，其中a R ∈. （1）若1a =，求函数的极值（2）是否存在实数a ，使得函数()y f x =在(0,1)内单调？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；()()f x x D ∈()f x D [,]a b D ⊆()f x [,]a b [,]a b ()()f x x D ∈3()34f x x x =-+()f x ()23f x x k =-+k江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期期初考试一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A ={x||x 2−2x|=2x −x 2}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B =A. {x|1≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤1}C. {x|x ≤0}D. ⌀ 解：因为A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =√1−x}={x|1−x ⩾0}={x|x ⩽1}， 所以A ∩B ={x|0≤x ≤1}． 故选B ．2．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．由祖暅原理知，若S 1，S 2总相等，则V 1，V 2相等成立，即必要性成立， 若V 1，V 2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S 1，S 2不一定相等，即充分性不成立， 即“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的必要不充分条件， 故选：B ．3.设 a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A. a 2>b 2B. 1a <1bC. lg(a −b)>0D. 2a >2b【答案】D4．设函数2()5cos xf x e x x =--，则函数()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【解析】依题意，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()225cos 5cos ()xxf x ex x e x x f x --=----=--=，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 当x →+∞时，()f x →+∞排除D ；225cos 222f e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2202e ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除A. 5．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由题意，为定义在上的减函数，∴，解得，故选B ．6．已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()4,1- B ．()(),41,-∞-+∞ C ．()1,4- D ．()(),14,-∞-+∞【答案】D【解析】()()2221,121,11,11,1x x x x x x f x f x x x x x ⎧-+-≤⎧-+-≤⎪===⎨⎨->->⎪⎩⎩，如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，()()243f a f a ->，即243a a ->，解得4a >或1a <-.(13)1,2()2,2xa x a x f x a x -++<⎧=⎨≥⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-a 1(0,]211(,]321[,1)21(,1)3()f x R 2130012(13)12a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-++≥⎩1132a <≤故选：D.7.已知a >0，b >−1，且a +b =1，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为( )A. 3+2√22B. 3+√22C. 3−√22D. 3−2√22【答案】A【解析】∵a >0，b >−1，且a +b =1， ∴a 2+2a +b 2b +1=a +2a +b 2−1+1b +1=2a +a +b −1+1b+1=2a +12−a =f(a)，0<a <2，∴f(a)=12[a +(2−a)](2a +12−a )=12(2+4−2a a +a 2−a +1)=12(4−2a a +a2−a +3) ≥12(2√4−2a a×a 2−a+3)=3+2√22． 当且仅当4−2a a=a2−a 时取等号，故a 2+2a+b 2b+1的最小值为3+2√22． 故选：A ．8．已知命题，；命题，．若、都为假命题，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．8．【答案】A 【解析】，都是假命题．由，为假命题，得，，∴； 由，为假，得，， ∴，得或，∴．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.设集合A ={x |x 2−8x +15=0 }，B ={x |ax −1=0 }，若A⋂B =B ，则实数a 的值可以为)A. 15B. 0C. 3D. 13【答案】ABD 【解答】解：A ={3,5}，B ={x|ax =1}，:p x ∃∈R 220mx +≤:q x ∀∈R 2210x mx -+>p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-p q :p x ∃∈R 220mx +≤x ∀∈R 220mx +>0m >:q x ∀∈R 2210x mx -+>x ∃∈R 2210x mx -+≤2(2)40Δm =--≥1m ≤-1m ≥1m ≥∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ， ∴①B =⌀时，a =0；②B ≠⌀时，1a =3或1a =5，∴a =13，或15 ．故选ABD ．10..我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量； 【答案】CD【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A 错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D 正确； 故选：CD ．11．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．12m n +的最小值为322+ B ．mn的最大值为12C ．m n +的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD【解析】A. 正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n mm n m n m n m n∴+=++=++ 12322(32)22n m m n +≥+⋅=当且仅当2n mm n=时，等号成立，故A 正确； B.由2m n +=且0,0m n >>得12m nmn +≤=，当且仅当1m n ==12≤，故B 正确； C. 由2m n +=且0,0m n >>得222+=，222]4∴≤+=2≤ ，故C 错误；D.222()22m n m n ++≥=，故D 正确.12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.【答案】AD【解析】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减,在(2a-,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误;对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-, 设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '小于0,()h x 单调递减,则C 错误;对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+ 设2()2x h x x ax =++,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '不恒大于0或小于0,即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确.故选:AD. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．命题：的否定为 ．【解析】，的否定是，．2000,220x x x ∃∈++<R 0x ∃∈R 200220x x ++<x ∀∈R 2220x x ++≥14.已知a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，则2b a ＋1b的最小值等于________.14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋a b ＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15．已知函数，，则 【解析】因为，所以，∴，故答案为．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时()12xf x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是_______． 【答案】①②【解析】对于①，由题意知()()2f x f x +=，所以()f x 是周期为2的函数； 当[]1,1x ∈-时，()()()1112,22xxxf x ef x eef x ----=--=-=-=，所以()f x 为偶函数，①正确；对于②，()f x 是偶函数，对称轴是0x =，又()f x 是周期为2的函数， 所以()f x 的图象关于直线2x =对称，②正确； 对于③，方程()1f x x =-化为121xex --=-，设1t x =-，则方程化为[]2,0,1t e t t =+∈；由函数t y e =和[]2,0,1y t t =+∈的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；对于④，()f x 是周期为2的函数，且为偶函数，在0,1上是单调递减函数； 所以22222283333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ())1f x x =+()5f a =()f a -=()())1)1f x f x x x +-=+++)2ln122x x =+=+=()()2f a f a +-=()253f a -=-=-3-又120123<<<，所以1223f f⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12223f f⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2−(2a−1)x+a2−a≤0}，B={x|x2+x−2<0}.(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围；(2)设命题p：∃x∈R，x2+(2m+1)x+m2−m<0，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)A={x|x2−(2a−1)x+a2−a⩽0}={x|a−1<x⩽a}，B={x|x2+x−2<0}={x|−2<x<1}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊊B，则{a−1>−2,a<1，解得−1<a<1；(2)命题p：∃x∈R，x2+(2m+1)x+m2−m<8的否定为¬p：∀x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m⩾8．∵命题p为假命题，∴命题¬p为真命题，即∀x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m⩾8恒成立．则△=(2m+1)2−4(m2−m−8)≤0解得m≤−338．18.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当x∈(−∞,0)时，−x∈(0,+∞)．因为y=f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−2(−x)]=−x2−2x，所以f(x)={x2−2x,x≥0,−x2−2x,x<0.(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，最小值为−1；当x∈(−∞,0)时，f(x)=−x2−2x=1−(x+1)2，最大值为1．所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则实数a的取值范围是(−1,1)．19.已知函数f(x)=log a(a x−1)(a>0,a≠1)(1)当a=12时，求函数f(x)的定义域；(2)当a =2时，若∃x ∈[1,3]，使得不等式f(x)−log 2(1+2x )>m 有解，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)当a =12时，f(x)=log 12(12x −1)，故：12x −1>0，解得：x <0，故函数f(x)的定义域为(−∞,0)；(2)设g(x)=f(x)−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，x ∈[1,3]， 设t =2x −12x +1=1−22x +1，x ∈[1,3]，故2x +1∈[3,9]，t =1−22x +1∈[13,79]， (通过函数g(x)单调性也可以求出最大值)故：g max (x)=g(3)=log 279,又∵存在x ∈[1,3]f(x)−log 2(1+2x )>m 成立，故：m <log 279，20.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB.问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ．设A(a,0)，B(0,b)(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 方程为x a +y b =1，即bx +ay −ab =0．因为AB 与圆C ：(x −1)2+(y −1)2=1相切，所以√b 2+a 2=1，化简得ab −2(a +b)+2=0，即ab =2(a +b)−2，因此AB =√a 2+b 2=√(a +b)2−2ab =√(a +b)2−4(a +b)+4=√(a +b −2)2，因为0<a <1，0<b <1，所以0<a +b <2，于是AB =2−(a +b)．又ab =2(a +b)−2≤(a+b 2)2，解得0<a +b ≤4−2√2，或a +b ≥4+2√2，因为0<a +b <2，所以0<a +b ≤4−2√2，所以AB =2−(a +b)≥2−(4−2√2)=2√2−2，当且仅当a =b =2−√2时取等号，所以AB 最小值为2√2−2，此时a =b =2−√2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2−√2(百米)时，小道AB 最短．21．（12分）已知函数，若同时满足以下条件：①在上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数．（1）若，判断是否为闭函数；（2）如果是闭函数，求实数的取值范围．【解析】（1）若为闭函数，则需在定义域内单调递增或单调递减，由，可知在上不单调，∴不是闭函数．（2）易知是定义域上的增函数，满足①， ∴若为闭函数，则在上的值域也是，即，∴方程有两个不同的实根， 令，则， ∴直线与的图象在有个交点， 由图象可知，．22.（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x =--，其中a R ∈.（3）若1a =，求函数的极值()()f x x D ∈()f x D [,]a b D ⊆()f x [,]a b [,]a b ()()f x x D ∈3()34f x x x =-+()f x ()23f x x k =-+k ()f x 2()33f x x '=-()f x R ()34f x x x 3=-+()23f x x k =-+()23f x x k =-+()f x [,]a b [,]a b 2323a k a b k b⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩23x k x -+=23[0,)x t -=∈+∞2231(1)122t k t t +=-=-+y k =21(1)12y t =-+[0,)+∞23(1,]2k ∈（4）是否存在实数a ，使得函数()y f x =在(0,1)内单调？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；22.（1）函数的定义域为(0,)+∞()2'121(21)(1)21x x x x f x x x x x --+-=--==当'(0,1),()0x f x ∈<，函数单调递减，当'(1,),()0x f x ∈+∞>，函数单调递增，1x =是函数的极小值点，函数的极小值为()11100f =--=（2）若函数()y f x =在(0,1)内单调递增，则()'1210f x ax x =--≥在(0,1)恒成立. 即2111()2a x x ≥+在(0,1)恒成立. 因为221111111()[()](1,)2224x x x +=+-∈+∞所以使得函数()y f x =在(0,1)内单调递增的a 不存在，若函数()y f x =在(0,1)内单调递减则()'1210f x ax x =--≤在(0,1)恒成立. 即2111()2a x x ≤+在(0,1)恒成立.因为a ≤221111111()[()]2224x x x +=+-在(0,1)恒成立.所以1a ≤时，函数()y f x =在(0,1)内单调递减.。

2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知全集U={x|3x−x2>0}，A={x|x−2x−1<0}，则∁U A=( )A.(0,1)B.[2,3）C.(0,1]∪[2,3)D.(0,1)∪(2,3)2. 下列各组角中，终边相同的角是（）A.kπ2与kπ+π2(k∈Z) B.kπ±π3与k3π(k∈Z)C.(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z)D.kπ+π6与kπ±π6(k∈Z)3. 在△ABC中，若a=2b sin A，则角B等于（）A.30∘B.60∘C.150∘D.30∘或150∘4. 函数y=0的定义域是（）A.{x|x≠−1}B.{x|x<0}C.{x|x<0且x≠−1}D.{x|x>0}5. 函数y=2x32x+2−x在[−6,6]的图象大致为()A. B.C. D.6. 已知ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，F为边CD上一点，若AF→⋅AE→=|AE→|2，则|AF→|=（）A.3B.5C.32D.527. 若π2<θ≤π，且sinθ=m−1，cosθ=m−2，则tanθ=( )A.m−1m−2B.m−2m−1C.0D.18. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx(−2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8二、多选题已知向量a→=(3,−4)，则下列向量中与a→共线的有( )A.b→=(35,−45) B.c→=(−35,45) C.d→=(45,−35) D.e→=(−45,35)下列结论不正确的是( )A.不等式(2x−1)(1−x)<0解集为(12,1)B.已知p:x∈(1,2)，q:log2(x+1)≥1，则p是q的充分不必要条件C.若x∈R，则函数y=√x2+4+√x2+4的最小值为2D.若x∈R，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围为(0,4)已知函数f(x)=2cos(ωx−π3)(ω>0)在[−π3，π2]上单调递增，则ω的可能取值有( )A.12B.23C.34D.45定义在区间[a, b]上的连续函数y=f(x)的导函数为f′(x)，若∃ξ∈[a, b]使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)，则称ξ为区间[a, b]上的“中值点”．下列在区间[0, 1]上“中值点”多于一个的函数是( )A.f(x)=3x+2B.f(x)=x2−x+1C.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=(x−12)3三、填空题在△ABC 中，c =√32，A =75∘，B =45∘，则△ABC 的外接圆面积为________.已知向量a →=(4,−3)，b →=(−1,2)，a →，b →的夹角为θ，则sin θ=________.定义：函数f(x)在闭区间[a, b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差，若定义在区间[−2b, 3b −1]上的函数f(x)=x 3−ax 2−(b +2)x 是奇函数，则a +b =________；函数f(x)的极差是________．设α，β都是锐角，且cos α=√55，sin (α+β)=35，则cos β=________．四、解答题设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3. (1)求角A ；(2)求AB →⋅(DA →+DB →).已知向量a →=(cos x,sin x )，b →=(3,−√3)，x ∈[0,π]. (1)若a →//b →，求x 的值；(2)记函数f (x )=a →⋅b →，求f (x )的最值．已知函数f (x )=sin (ωx −π3)(0<ω<3)，满足f (π6)=0. (1)求ω的值及函数f (x )的单调递增区间；(2)若f (α2)=35，α∈(π2,π)，求sin (2α+π3)的值．已知函数f(x)=ax 2+(2a −1)x −ln x ，a ∈R .(1)若函数f (x )的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,11)，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间(2,3)上单调，求实数a 的取值范围．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的关系为P =at t+1；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的关系为Q =bt ，a ，b 为常数；现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投甲商品，所得利润为94万元；若全部投乙商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则利润总和为f(x)万元.(1)求函数f(x)的解析式；(2)怎样分配资金可以使得利润总和最大？最大值为多少？已知函数f (x )=ae 2x +(a −2)e x −x ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】补集及其运算一元二次不等式的解法分式不等式的解法【解析】先求出全集U和集合A，再利用集合的补集运算求解即可.【解答】解：∵U={x|3x−x2>0}={x|0<x<3}，A={x|x−2x−1<0}={x|1<x<2}，∴∁U A=(0,1]∪[2,3).故选C.2.【答案】C【考点】终边相同的角【解析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．【解答】解：由于kπ2表示π2的整数倍，而kπ+π2=(2k+1)π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．由于kπ±π3=(3k±1)π3表示π3的非3的整数倍，而kπ3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B不满足条件．(2k+1)π表示π的奇数倍，(4k±1)π也表示π的奇数倍，故(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z)是终边相同的角，故C满足条件．k π+π6=(6k+1)π6，表示π6的(6k+1)倍，而kπ±π6=(6k±1)π6表示π6的(6k±1)倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选C．3.【答案】D【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得，sin A＝2sin B sin A，从而可求sin B，进而可求B 【解答】解：根据a=2b sin A，由正弦定理可得，sin A=2sin B sin A，∵sin A≠0，∴sin B=12.∵0∘<B<180∘，∴B=30∘或B=150∘.故选D.4.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】分式的分母中|x|−x大于0，分子≠0，解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则{x+1≠0,|x|−x>0,解得x<0且x≠−1．故选C．5.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：将−x代入题中函数，可得y1=2(−x)32+2=−y，故原函数为奇函数，关于原点对称，因此排除选项C.将x=1代入函数，得y=45>0，排除选项D.将x=4代入函数，得y=2⋅4324+2−4≈23=8，排除选项A.故选B.6.【答案】 D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的投影【解析】 此题暂无解析 【解答】解：已知四边形ABCD 边长为2，不妨研究特例正方形.有正方形ABCD 边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点， ∵ AF →⋅AE →=|AE →|2，∴ |AF →|⋅|AE →|⋅cos <AF →，AE →>=|AE →|⋅|AE →|， ∴ |AF →|⋅cos <AF →，AE →>=|AE →|， 由数量积的几何意义可知EF ⊥AE . 由E 是BC 中点，可得AE =√5，EF =√1+CF 2，AF =√4+(2−CF)2. ∵ AE 2+EF 2=AF 2， ∴ CF =12， 所以AF =52． 故选D . 7.【答案】 C【考点】同角三角函数间的基本关系 同角三角函数基本关系的运用 【解析】利用sin 2θ+cos 2θ=(m −1)2+(m −2)2=1，求出m ，验证是否满足π2<θ≤π，再利用tan θ=sin θcos θ求解即可.【解答】解：∵ sin θ=m −1，cos θ=m −2，∴ sin 2θ+cos 2θ=(m −1)2+(m −2)2=1， 解得m =2或m =1.当m =2时，sin θ=1，cos θ=0，不满足π2<θ≤π，故舍去， 当m =1时，sin θ=0，cos θ=−1，满足题意， 此时tan θ=sin θcos θ=0.故选C . 8.【答案】 D【考点】三角函数的周期性及其求法 正弦函数的图象 【解析】y 1=11−x 的图象由奇函数y =−1x的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点(1, 0)中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y 2=2sin πx 的图象的一个对称中心也是点(1, 0)，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案． 【解答】解：函数y 1=11−x ，y2=2sin πx 的图象有公共的对称中心(1, 0)， 作出两个函数的图象如图，当1<x ≤4时，y 1<0，而函数y 2在(1, 4)上出现1.5个周期的图象， 在(1,32)和(52，72)上是减函数； 在(32，52)和(72，4)上是增函数．∴ 函数y 1在(1, 4)上函数值为负数， 且与y 2的图象有四个交点E ，F ，G ，H 相应地，y 1在(−2, 1)上函数值为正数， 且与y 2的图象有四个交点A ，B ，C ，D ，且：x A +x H =x B +x G =x C +x F =x D +x E =2， 故所求的横坐标之和为8. 故选D .二、多选题【答案】 A,B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 平行向量的性质【解析】利用向量共线的坐标表示逐一验证即可得到答案. 【解答】解：A ，∵ 3×(−45)−(−4)×35=0，∴ a →与b →共线；B ，∵ 3×45−(−4)×(−35)=0，∴ a →与c →共线； C ，∵ 3×(−35)−(−4)×45≠0，∴ a →与d →不共线； D ，∵ 3×35−(−4)×(−45)≠0，∴ a →与e →不共线. 故选AB .【答案】 A,C,D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 一元二次不等式的解法 不等式恒成立的问题 基本不等式【解析】将各个命题进行逐一分析求解即可. 【解答】解：A ，不等式(2x −1)(1−x )<0可化为(2x −1)(x −1)>0， ∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <12}， 故A 错误，符合题意；B ，由q:log 2(x +1)≥1可得x ∈[1,+∞)， 由p 可以得到q ；反之，由q 得不到p ， ∴ p 是q 的充分不必要条件， 故B 正确，不符合题意；C ，函数y =√x 2+4√x 2+4>2，因为等号成立的条件√x 2+4=√x 2+4即x 2+4=1不存在，故C 错误，符合题意；D ，不等式kx 2−kx +1>0恒成立， 若k =0时满足题意；若k ≠0，则k >0且Δ=k 2−4k <0，解得k ∈(0,4)， 综上所述：k 的取值范围为[0,4)， 故D 错误，符合题意. 故选ACD . 【答案】 A,B【考点】余弦函数的单调性【解析】求出f(x)的单调增区间，根据集合关系列出不等式解出ω． 【解答】解：因为y =cos x 在[−π,0]上单调递增， 所以y =cos ωx 在[−πω,0]上单调递增，所以f(x)=2cos (ωx −π3)(ω>0)在[−2π3ω,π3ω]上单调递增， 则[−π3,π2]⊆[−2π3ω,π3ω]解得：0<ω≤23.故选AB . 【答案】 A,D【考点】导数的几何意义 【解析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0, 1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0, 1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案． 【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0, 1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0, 1]的两个端点连线的斜率值．对于A ，根据“中值点”的定义，在区间[0, 1]上的任何一点都是“中值点”，故A 符合题意； 对于B ，根据“中值点”的定义，抛物线在区间[0, 1]只存在一个“中值点”，故B 不符合题意； 对于C ，f(x)=ln (x +1)在区间[0, 1]只存在一个“中值点”，故C 不符合题意；对于D ，根据对称性，函数f(x)=(x −12)3在区间[0, 1]存在两个“中值点”，故D 符合题意． 故选AD . 三、填空题 【答案】 π4【考点】 正弦定理 【解析】先由题意求出角C =60∘，根据正弦定理，求出外接圆半径，即可得出结果． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，A =75∘，B =45∘， ∴ C =60∘设外接圆半径为r ， 则由正弦定理可得r =c2sin C =√322×√32=12，∴ △ABC 的外接圆面积为S =πr 2=π4. 故答案为：π4.【答案】√55【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意：a →⋅b →=4×(−1)+(−3)×2=−10， |a →|=5，|b →|=√5， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=5√5=−2√55，∴ sin θ=2√55)=√55. 故答案为：√55.【答案】1,4【考点】极差、方差与标准差 奇函数利用导数研究函数的最值【解析】由定义在区间[−2b, 3b −1]上的函数f(x)＝x 3−ax 2−(b +2)x 是奇函数，列出方程组，能求出a ＝0，b ＝1，从而a +b ＝1，f(x)＝x 3−3x ，由此利用导数的性质能求出函数f(x)的极差． 【解答】解：∵ 定义在区间[−2b, 3b −1]上的函数f(x)=x 3−ax 2−(b +2)x 是奇函数， ∴ {−2b +3b −1=0,−a =0,解得a =0，b =1， ∴ a +b =1，∴ f(x)=x 3−3x ，区间[−2b, 3b −1]即为[−2, 2]． f ′(x)=3x 2−3，由f ′(x)=0，得x =±1， ∵ f (−2)=(−2)3−3×(−2)=−2， f (−1)=(−1)3−3×(−1)=2， f(0)=03−3×0=0， f (1)=13−3×1=−2， f (2)=23−3×2=2，∴ f(x)max =2，f(x)min =−2，∴ 函数f(x)的极差为：2−(−2)=4． 故答案为：1；4． 【答案】2√525【考点】两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 同角三角函数间的基本关系【解析】由α为锐角，根据cos α的值，求出sin α的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin (α+β)，且根据其值范围确定出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos (α+β)的值，所求式子中的角β变形为(α+β)−α，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵ α为锐角，cos α=√55， ∴ sin α=√1−cos 2α=2√55. ∵ sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=√55(2cos β+sin β)=35，且12<35<√22， ∴ 2cos β+sin β=3√55①，且π2<α+β<π，∴ cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−45，则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α =−45×√55+35×2√55=2√525． 故答案为：2√525. 四、解答题【答案】解：(1)∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)， ∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)， ∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)， 即b 2+c 2−a 2=−bc ， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc=−12，∴ A =2π3，(2)根据S △ABC =12bc sin A ， 即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)]=−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A =−4×(−1)=2. 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得．【解答】解：(1)∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)， ∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)， ∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)， 即b 2+c 2−a 2=−bc ， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc=−12，∴ A =2π3，(2)根据S △ABC =12bc sin A ， 即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)]=−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A =−4×(−12)=2. 【答案】解：(1)∵ a →=(cos x, sin x)，b →=(3, −√3)，a → // b →， ∴ −√3cos x =3sin x ，当cos x =0时，sin x =1，不合题意，当cos x ≠0时，tan x =−√33， ∵ x ∈[0, π]， ∴ x =5π6.(2)f(x)=a →⋅b →=3cos x −√3sin x =2√3(√32cos x −12sin x)=2√3cos (x +π6)， ∵ x ∈[0, π]， ∴ x +π6∈[π6, 7π6]， ∴ −1≤cos (x +π6)≤√32， ∴ −2√3≤f(x)≤3，∴ f(x)最大值为3，f(x)最小值为−2√3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 同角三角函数间的基本关系 平面向量数量积的运算 两角和与差的余弦公式 函数的值域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ a →=(cos x, sin x)，b →=(3, −√3)，a → // b →， ∴ −√3cos x =3sin x ，当cos x =0时，sin x =1，不合题意， 当cos x ≠0时，tan x =−√33， ∵ x ∈[0, π]， ∴ x =5π6.(2)f(x)=a →⋅b →=3cos x −√3sin x =2√3(√32cos x −12sin x)=2√3cos (x +π6)， ∵ x ∈[0, π]， ∴ x +π6∈[π6, 7π6]， ∴ −1≤cos (x +π6)≤√32， ∴ −2√3≤f(x)≤3，∴ f(x)最大值为3，f(x)最小值为−2√3． 【答案】解：(1)因为f (x )=sin (ωx −π3)，f (π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z，因此ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3，ω=2，因为f(x)=sin(2x−π3)，所以−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，因此函数f(x)的单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z.(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π3)，因此f(α2)=sin(α−π3)=35，因为α∈(π2,π)，所以α−π3∈(π6,2π3)，当α−π3∈(π6,π2)时，sin(α−π3)∈(12,1)，当α−π3∈(π2,2π3)时，sin(α−π3)∈(√32,1)，又f(α2)=sin(α−π3)=35∈(12,√32)，所以α−π3∈(π6,π3)，则cos(α−π3)=45，所以sin(2α+π3)=−sin[2(α−π3)]=−2sin(α−π3)⋅cos(α−π3)=−2425.【考点】正弦函数的单调性运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：(1)因为f(x)=sin(ωx−π3)，f(π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z，因此ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3，ω=2，因为f(x)=sin(2x−π3)，所以−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，因此函数f(x)的单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z.(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π3)，因此f(α2)=sin(α−π3)=35，因为α∈(π2,π)，所以α−π3∈(π6,2π3)，当α−π3∈(π6,π2)时，sin(α−π3)∈(12,1)，当α−π3∈(π2,2π3)时，sin(α−π3)∈(√32,1)，又f(α2)=sin(α−π3)=35∈(12,√32)，所以α−π3∈(π6,π3)，则cos(α−π3)=45，所以sin(2α+π3)=−sin[2(α−π3)]=−2sin(α−π3)⋅cos(α−π3)=−2425.【答案】解：(1)f′(x)=2ax+(2a−1)−1x=(2ax−1)(x+1)x，所以f′(1)=4a−2，又f(1)=3a−1，所以切线方程为：y=(4a−2)(x−1)+3a−1，代入点(2,11)得a=2.(2)当f(x)在区间(2,3)上单调递增时，则f′(x)=(2ax−1)(x+1)x≥0在(2,3)上恒成立，所以4a−1≥0，6a−1≥0即a≥14；当f(x)在区间(2,3)上单调递减时，则f′(x)=(2ax−1)(x+1)x≤0在(2,3)上恒成立，所以4a−1≤0，6a−1≤0即a≤16.综上所述，a 的取值范围为a ≤16或a ≥14.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 已知函数的单调性求参数问题 【解析】 无 无 【解答】解：(1)f ′(x )=2ax +(2a −1)−1x =(2ax−1)(x+1)x，所以f ′(1)=4a −2，又f (1)=3a −1，所以切线方程为：y =(4a −2)(x −1)+3a −1，代入点(2,11)得a =2. (2)当f (x )在区间(2,3)上单调递增时，则f ′(x )=(2ax−1)(x+1)x≥0在(2,3)上恒成立，所以4a −1≥0，6a −1≥0即a ≥14； 当f (x )在区间(2,3)上单调递减时，则f ′(x )=(2ax−1)(x+1)x≤0在(2,3)上恒成立，所以4a −1≤0，6a −1≤0即a ≤16.综上所述，a 的取值范围为a ≤16或a ≥14. 【答案】解：(1)∵ P =att+1, Q =bt ， ∴ 当t =3时，P =3a 3+1=94，Q =3b =1，解得：a =3, b =13， ∴ P =3tt+1, Q =13t ， ∴ f(x)=3x x+1+3−x 3, x ∈[0,3].(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3−x 3=133−(3x+1+x+13).∵ x ∈[0,3]， ∴ x +1∈[1,4]， ∴ 3x+1+x+13≥2， ∴ f(x)≤133−2=73，当且仅当3x+1=x+13，即当x =2时取等号，∴ f(x)的最大值为73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时， 所得利润总和最大，最大利润是73万元. 【考点】根据实际问题选择函数类型 函数解析式的求解及常用方法 基本不等式在最值问题中的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ P =att+1, Q =bt ， ∴ 当t =3时，P =3a 3+1=94，Q =3b =1，解得：a =3, b =13， ∴ P =3tt+1, Q =13t ， ∴ f(x)=3x x+1+3−x 3, x ∈[0,3].(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3−x 3=133−(3x+1+x+13).∵ x ∈[0,3]， ∴ x +1∈[1,4]， ∴3x+1+x+13≥2， ∴ f(x)≤133−2=73，当且仅当3x+1=x+13，即当x =2时取等号，∴ f(x)的最大值为73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时， 所得利润总和最大，最大利润是73万元.【答案】解：(1)f (x )的定义域为(−∞,+∞)，f ′(x )=2ae 2x +(a −2)e x −1=(ae x −1)(2e x +1)． 若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(−∞,+∞)内单调递减； 若a >0，则由f ′(x )=0得x =−ln a ． 当x ∈(−∞,−ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(−ln a,+∞)时，f ′(x )>0．所以f(x)在(−∞,−ln a)内单调递减，在(−ln a,+∞)内单调递增．(2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．若a>0，由(1)知，f(x)在(−∞,−ln a)上单调递减，在(−ln a,+∞)上单调递增．当x→+∞时，e2x→+∞，且增长幅度远远大于e x和x，可知f(x)→+∞.当x→−∞时，e2x→0,e x→0,−x→+∞，可知f(x)→+∞，所以f(x)有2个零点，只需f(−ln a)<0，f(−ln a)=1−1a −ln1a<0，即ln1a +1a−1>0，令t=1a>0，ℎ(t)=ln t+t−1(t>0)，ℎ′(t)=1+1t>0.又ℎ(1)=0，所以只需1a>1，即0<a<1.综上，a的取值范围为(0,1)．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查函数的单调性导数的应用、函数的零点．【解答】解：(1)f(x)的定义域为(−∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(ae x−1)(2e x+1)．若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)内单调递减；若a>0，则由f′(x)=0得x=−ln a．当x∈(−∞,−ln a)时，f′(x)<0；当x∈(−ln a,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(−∞,−ln a)内单调递减，在(−ln a,+∞)内单调递增．(2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．若a>0，由(1)知，f(x)在(−∞,−ln a)上单调递减，在(−ln a,+∞)上单调递增．当x→+∞时，e2x→+∞，且增长幅度远远大于e x和x，可知f(x)→+∞.当x→−∞时，e2x→0,e x→0,−x→+∞，可知f(x)→+∞，所以f(x)有2个零点，只需f(−ln a)<0，f(−ln a)=1−1a −ln1a<0，即ln1a +1a−1>0，令t=1a>0，ℎ(t)=ln t+t−1(t>0)，ℎ′(t)=1+1t>0.又ℎ(1)=0，所以只需1a>1，即0<a<1.综上，a的取值范围为(0,1)．。

江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校2020届高三数学上学期期中联考试题文（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知R为实数集，集合A={-1，0，1}，集合B={x|x≤0}，则A∩∁R B=______．2.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是______．3.已知向量，若，则=______．4.已知函数，则函数的最小正周期为______．5.已知函数，则f（f（0）-3）=______．6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c=______．7.已知，，则tanα=______．8.将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则φ=______．9.若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+1+c，则c=______．10.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．11.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=______．12.已知函数f（x）=x lnx-x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是______．13.已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为______．14.已知关于x的不等式（x-3）ln x≤2λ有解，则整数λ的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α-）的值．16.在△ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量=（cos A，sin A），=（cos A，-sin A），且•=（I）求角A的大小及向量与的夹角；（II）若a=，求△ABC面积的最大值．17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．218.函数f（x）=log a（2-ax）（a＞0，a≠1）．（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）-log a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20.已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[-2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|＜|g（x1）-g （x2）|均成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】{1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B={x|x≤0}，∴∁R B={x|x＞0}，A∩∁R B={1}．故答案为：{1}．进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】∃x0∈R，x02+2x0+1≤0【解析】解：命题为全称命题，则“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】【解析】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4.【答案】π【解析】解：函数的最小正周期为：=π．故答案为：π．直接利用三角函数的周期公式求解即可．本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题．5.【答案】-1【解析】解：∵函数，∴f（0）=e0=1，f（0）-3=1-3=-2＜0，∴f（-2）=-2+1=-1，所以f（f（0）-3）=f（-2）=-1，4已知f（x）是分段函数，代入分段函数求出f（0），再把f（0）-3看为一个整体，再进行代入进行求解；此题主要考查分段函数的性质，注意分段函数的定义域，此题是一道基础题；6.【答案】4【解析】解：∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cos C=-，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．由3sin A=2sin B即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵，∴∈（，），又，∴sin（）==．∴sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin==，则cosα=，∴tan．故答案为：．由已知求得sin（），再由sinα=sin[（）-]，运用两角差的正弦展开求得sinα，然后利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与两角差的三角函数，是基础题．8.【答案】【解析】解：将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=cos（2x+φ），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=cos[2（x+）+φ]=cos（2x++φ），∵所得函数图象关于原点对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，根据函数平移变换关系求出函数解析式，结合函数奇偶性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键．9.【答案】-2【解析】【解答】解：依题意，该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，∴c==-2，故填：-2．【分析】显然该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，c=-2，本题考查了等比数列的前n项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题．10.【答案】6【解析】【分析】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键．设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】解：设肉价是每两x文，由题意得16x-30=8x+18，解得x=6，即肉价是每两6文．故答案为：6．11.【答案】-16【解析】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ．又=-，=-，∴=（-）•（-）=•-•-•+，=-25-5×3cosθ-3×5cos（π-θ）+9=-16，故答案为-16．设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ，再由=（-）•（-）以及两个向量的数量积的定义求出结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．12.【答案】（0，）【解析】解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，6如右图．可见，若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，ln x0），故k=y′=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．故答案为：（0，）．由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，通过函数的导数利用曲线的斜率，从而求解a的范围；本题考查了导数的综合应用，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．13.【答案】5+2【解析】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3-时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．14.【答案】0【解析】h（x）=（x-3）ln x，h′（x）=ln x-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即ln x0=-1，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（-，-），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解；故答案为：0令函数h（x）=（x-3）ln x，求出h（x）的最小值，根据函数的单调性判断即可；本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=-或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=-（2）∵α∈（，π）．cosα=-∴sinα=，那么：cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α-）=sin2αcos-cos2αsin=．【解析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α-）的值．本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．16.【答案】解：（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得．再根据=cos＜，＞，求得cos＜，＞=，可得向量与的夹角＜，＞=．（II）∵a=，A=，由余弦定理可得a2=5=b2+c2-2bc•cos A≥2bc-bc，求得bc≤10+5，当且仅当b=c时取等号，故△ABC面积bc•sin A=的最大值为．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得A的值．再根据两个向量的数量积的定义求得向量与的夹角．（II）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sin A 的最大值.17.【答案】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30-x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，答：当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（-x3+30x2），V′=6x（20-x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；答：当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．8即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【解析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意得：f（x）=log3（2-3x），∴2-3x＞0，即x＜，所以函数f（x）的定义域为（-∞，）；（2）易知g（x）=log a（2-ax）-log a（2+ax），∵2-ax＞0且2+ax＞0，∴关于原点对称，又∵，∴，∴g（x）为奇函数．（3）令μ=2-ax，∵a＞0，a≠1，∴μ=2-ax在[2，3]上单调递减，又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3）=1，即f（3）=log a（2-3a）=1，∴，∵0＜a＜1，∴符合题意．即存在实数，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1．【解析】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性、最值问题，是一道中档题．（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）令μ=2-ax，根据复合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出对应的a的值即可．19.【答案】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（Ⅰ）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．20.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞-1或x＜-2，令y′＜0，解得：-2＜x＜-1，∴函数y=f（x）•g（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，而x=-2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[-2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，10所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→-∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）-g（x2）＜f（x1）-f（x2）＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，因为-（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以-（e x+2x）的最大值为-1，所以a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，因为e x-2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x-2x的最小值为2-2ln2，所以a≤2-2ln2，综上：-1≤a≤2-2ln2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．。