重读人称moi toi lui elle nous vous eux elle
1在c’est后面。2 做主语的同位语lui, il est 3 在介词后面avec eux 4 省略句et toi
副代词指物不指人相关动词前
y 名词前有a dans en 等介词，地点状语，除了de
en de的地点状语，不定冠词和数词+名词
直宾me te le la nous vous les
elle la regarde. Je veux le voir
ou est ta soeur ? tu l’attends？
J’ aime cette robe, je veux l’ acbeter
间宾me te lui nous vous leur
Alain presente son ami a ses grands-parents. –il leur presente son ami.
Luc ne donne pas ses livres a son frere—il ne lui donne pas ses livres.
没有消息就是好消息。Pas de nouvelles, bonnes nouvelles.
雨过天晴Apres la pluie le beau temps.
从客厅就可以看到卢浮宫和圣母院的钟Du salon, on voit le louvre et les tours de Notre-Dame. 爸爸带我们登上埃菲尔塔塔顶，在那里，整个巴黎尽收眼底。
Papa nous a conduits au sommet de la tour Effel. La(四声), on voit tout Paris.
各有所好Des gou^ts et des couleurs on ne discute pas
玛丽准时到达Martine est arrivee a l’beure
巴特利霞和雅克迟到了Patricia et jacques sont arriveˊs en retard
是他们来看我c’est eux qui sont venus me voir
是我们从来不迟到c’est nous qui ne sommes jamais en retard.
我们是和他一起工作的c’est avec lui que nous travaillons ensemble.
我们的套房面向塞纳河Notre appartement donne sur la seine.
你有电子邮箱么avec-vous une adress e-mail ?
你买了几本杂志Combien de revues avez-vous acbetees
她汽车已经行驶了20万公里了elle a plus de 200000kilometres.
她对音乐不怎么感兴趣elle ne s’interesse pas tellement a la musique
他开始认真学习il se met au travail serieusement
他们谈论他们的工作ils parlent de leur travail
这是一个全家团聚的节日quelle semaine formidable
这两个姑娘前天上午出发了Ces deux jeunes filles sont parties avant-bier matin.
这些杂志很有意思，我都看了Ces revues sont inteˊressantes, je les ai lues.
请敲响晨祷钟Sonnez les matines
多么美好的一个星期啊c’est une fete de famille
卡洛林已经参观了我们大学Caroline a deja visite notre universiteˊ
条条大路通罗马tous les chemins me `nent a` Rome
复合过去式
As-tu recu la lettre de tes parents ? oui je la l’ai recue
As-tu recu la lettre de tes parents ? oui je l’ai recue
Avant, mes parents ont habite a la campagne
Avec ma mere ,nous vivons a la campagne
Apres la classe, l’institutrice a conduit Emmanuel
Ces livres,je les ai lus il y a une semaine.
Ce jour-la j’ai beaucoup parle丿avec Marie
Cet ingenieur sait parler ,mais il ne peut pas lire.
Ces deux jeunes filles sont parties avant-bier matin.
Ces revues sont inteˊressantes, je les ai lues.
Combien de revues avez-vous acbetees
Caroline a deja visite notre universiteˊ
Est-ce que je peux t’ecrire ? oui, ecris-la.
Est-ce que tu as rencontreˊpaul hier ?
Est-ce que tu as lu ces textes
Est-ce que pierre te t’a donneˊses photo.
Hier ,vous avez visiteˊla tour eiffel
Hier, je ai eˊcrit une lettre a mes
Hier ,nous avons conduit le amis chionis
Hier soir ,nous avons marche longtemps le long
Hier ,au sommet de la montagne, on admire un grand
Je n’ai pas pris le repas
Je ai lu un roman de
J’amie cette montre,je l’ai acbeteˊe bier
La tour Eiffel est magnifique. Est-ce que tu la as visitee(二声) Les devoirs, je ne les ai pas faits
Louis va envoyer une carte postale a
Les etudiants lisent beaucoup ces
Martine est arrivee a l’beure
Maintenant je conduis les enfants
M. et Mme martin habitent, ils veulent maintenant acheter une Nicole a travaille a cette usine pendant 15 ans.
Nous avons pris beaucoup de photos
Nous eˊcrivons souvent des lettres a
Nous connaissons depuis longtemps
Patricia et jacques sont arriveˊs en retard
Pierre et marie ? je les ai vus ce matin
Qu’est-ce que vous avez visiteˊdans cette ville
Tes livres ,je les ai donnes a Paul
Tu deja ecrit a tes parents
Tu as bien fait
Victor hugo a veˊcu a paris.
Voici une nouvelle voiture, est-ce que tu la as vue
例谈不完全归纳法在初中数学中的运用 郧西县城关镇城北中学 徐华进 不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。下面略举几例说明它的运用； 一. 在推导法则、定理中的运用 1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得： ①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③7 7 7)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==…… 由此可推出，当n 为正整数时，= n b a )( b a n b a b a b a 个 ···??=n n b n a n b a b bb a aa =???? 个个····(b ≠0) 即分式乘方要把分子、分母分別乘方 ２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：
通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800 ×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。 二.在解题中的应用 1 . 从计算结果中探究规律 例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果: 2 1 222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。 解： 2 1 222....222211......11111个个n n -= 3 333个n ? 说明：解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关系，再从特殊推 广到一般. 2.从图形的特征中探究规律 例1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s 与n 的关系. ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ …… ★ ★ ★ ★ n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3 分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n 个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。故有s=3n-3. 分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=b n +κ，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k ，b 的值，再验证是否满足图（3）的条件。 解：设s=b n +κ， 把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得 ?? ?=+=+6 33 2b k b k 解得? ? ?=-=33 k b ∴s=3n-3 经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3 所求s 与n 的关系为s=3n-3
高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的
过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】
《数学归纳法》说课稿 各位专家、评委：大家好！ 我是陇西一中的数学教师王耀文，很高兴能有机会参加这次说课活动. 我要讲的课题是《数学归纳法》（第一课时），用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修Ⅱ），本课是高中数学第三册第二章第一节. 下面我就从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择、学法的指导、教学过程的设计和板书设计六个方面进行说明. 1教材分析 1.1教材的地位和作用 数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过“有限”来解决某些“无限”问题. 1.2重点、难点 重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路. 难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用. 2教材目标的确定
2.1知识目标使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤. 2.2能力目标培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力. 2.3情感目标使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验. 3教学方法的选择 本节课我主要采用“…发现?的过程教学”和“启发探究式”的教学方法，根据教材特点和学生实际在教学中体现两点： ⑴由学生的特点确定启发探究和感性体验的学习方法. 由于本节课安排在高三阶段，且为数学基础较好的理科学生的选修内容，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位. ⑵由教材特点确定以引导发现为教学主线. 根据本节课的特点，教学重点应该是方法的应用．但是我认为虽然数学归纳法的操作步骤简单、明确，教师却不能把教学过程简单的当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必将半信半疑，兴趣不大．为此，我在教学中通过实例给学生创造条件，让学生直观感受到数学归纳法的实质，再在教师的引导下发现理解数学归纳法，揭示数学归纳法的实质. 对于数学归纳法的应用，只要求学生在理解原理的基础上掌握应用原理证题的步骤，学会证明一些简单的问题. 4学法的指导
數學歸納法的迷思 數學歸納法可說是高中數學裡最令同學納悶的一部份了，數學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟: 1、 步驟1:證明n=1時，敘述成立。(不一定從1開始) 2、 步驟2:假設n=k 時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立 由數學歸納法得證，n 為任意自然數時都成立。 完整寫出以上2步驟，並且遇到數學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數學歸納法的最基本要求。只是能操作數學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k 和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k 成立呢?」這是學習數學歸納法常會出現的疑問，所以再複習一下數學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數的序數理論，包含5條公理: (1)1是一個自然數 (2)每一個自然數a 都有一個後繼元素 (3)1沒有生成元素 (4)如果a 與b 的後繼元素相等，則a=b (5)若一個由自然數所組成的集合S 包含1，並且當S 包含某一自然數a 時，它一定也含有a 的後繼元素，則S 就包含有全體自然數。 數學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。數學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k 成立?n=k+1成立(步驟2)。就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數學歸納法的原理。 同學在學習數學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種: (一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n n 22<，N n ∈為例: 1、 當1=n 時，1221<，成立 2、 設k n =時k k 22<成立；當1+=k n 時 1 2122)12(22)1(2222221--=--->++-?=+-+k k k k k k k k k k 01)2(>--=k k ?122)1(+<+k k ，由數學歸納法得証。 以上證明犯了很明顯的錯誤，就是01)2(>--=k k 的條件必須3≥k ，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，4,3,2=n ，均不符合，
归纳法基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n
第五节 数学归纳法 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [小题体验] 1．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1 2n (n －3)条时，第一步 检验n 等于________． 答案：3 2．(教材习题改编)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1 ＝1－a n ＋ 21－a (a ≠1)”．当验证 n ＝1时，上式左端计算所得为________． 答案：1＋a ＋a 2 1．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1. 2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法． 3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功． [小题纠偏] 判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( ) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋ 2＝2n ＋ 3－1”，验证n ＝1时，左边式子
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日
学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日
导数的定义： 1.(1).函数y = f (x)在x =x °处的导数:f '(X 。)=y'|xm=怛口x ° %x) - f ( x °) 函数八f(x)的导数:f '(x) = y' = 1巩f (x 冈- f (x) 2?利用定义求导数的步骤 ①求函数的增量：.沖二f (X 。? Ax) - f(x 。)：②求平均变化率：竺二f(x 。 ：x )- f (X 0) L X L X ③取极限得导数：f '(x 。)二lim y 3 A x (下面内容必记) 导数的运算: (1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式 ： m m i ① C ，O(C 为常数):②(x n )'= nx n ，；(丄)、(x 』)’一 nx 』」；(n x m )' =(x\' = m x_ x n ③(sinx)'=cosx ；④(cosx)' - -sin x ⑤(e x )'=e x ⑥(a x )'=a x |na(a 0,且a = 1)； 1 1 ⑦(ln x)' ； ⑧(log a x)' (a 0,且 a =1) x xln a 法则1： [f(x) _g(x)]' = f '(x) _g'(x) ； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2： [f(x) g(x)]^ f '(x) g(x) f (x) g'(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： [f 阳」(X)嵌)二 2(X ) g '(X )(g(x)=0) g(x) [g(x)] (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) (2)复合函数y 二f (g(x))的导数求法： ①换元，令u =g(x)，则y = f(u)②分别求导再相乘y'=〔g(x) 】'」f (u)】'③回代u =g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知 f x = x 2 ? 2x - sin 二，贝U f 0 二 __________ 1. 求瞬时速度：物体在时刻t 0时的瞬时速度 V 就是物体运动规律 即有 V ° 。 2. V = s /(t)表示即时速度。a=v /(t)表示加速度。 四. 导数的几何意义: 函数f x 在X 0处导数的几何意义，曲线y = f x 在点P x 0, f x °处切线的斜率是k =「x 0 。于是相应的切 线方程是：y - y ° = f X 0 x -x ° 。 题型三.用导数求曲线的切线 注意两种情况： (1 )曲线y 二f x 在点PX o ,fX o 处切线：性质：k 切线=f X o 。相应的切线方程是： y -y 。二 f X 。x -x 。 (2)曲线y = f x 过点P X o ,y 。处切线：先设切点，切点为Q(a,b),则斜率k= f'(a),切点Q(a,b)在曲线 y =f x 上，切点Q(a,b)在切线y-y o =「a x-x 。上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方 程组来确定切点，最后求斜率k= f'(a)，确定切线方 程。 例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：(1)k =y'|x 2。=3x 02 ? 6x 0 ?6=3(x 0 1)2 3 当 x o =-1 时，k 有最小值 3， 导数的基础知识 ⑵. A 10 B 13 三?导数的物理意义 C - 1 6 D.19 S 二f t 在t “0时的导数「t ° ,
本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究。 数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也是学生能否掌握这种证明方法的关键。 数学归纳法的教学首先是一种程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。 归纳法是发现问题的一种有效方法。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对未来数学的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等。 本文针对数学归纳法应用过程中，学生常见错误出现的心理因素进行了问卷调查。在应用数学归纳法证题时，导致学生犯错误的主要原因是对数学归纳法的原理没有真正理解;另一个原因是数学归纳法应用中的思维定势。要克服学生使用数学归纳法的心理障碍，一个有效的方法就是要了解数学归纳法应用的局限性。能运用非数学归纳法证明另外一些与正整数有关的命题，也是学生学习和使用数学归纳法时所要克服的心理依赖和必经过程。 1. 2数学归纳法的研究现状 对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识。文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性。在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述。 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II 型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述。 邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别。文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾。”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些。 齐智华在《“数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，
数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D
2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
如何归纳段落大意 一. 摘句归纳法。 1.在文章中，有一些句子高度概括了全段的主要容，比如首句、尾句或中心句等，我们可以直接将其摘出，作为段意。 如《威尼斯的小艇》的第二段有总起句“船夫的驾驶技术特别好。”可以作这段的段意。2. 摘过渡句过渡句有承接上文、引起下文的作用。承上句是上段的段意，启下句为下一段的段意。 如《伟大的友谊》中，“在生活上恩格斯热忱地帮助马克思；更重要的是在共产主义事业上，他们互相关怀，互相帮助，亲密合作。”这一过渡句，第一分句是上段段意，第二分句可做下段段意。 二. 缩句归纳法。 有些段落句子不多但很长，通过修改，增删一些文字，就会成为该段的段意，此法称之为加减法。 三. 合并归纳法。 有些自然段可划分为几层意思，而且层与层之间是并列关系，我们在概括段意时，就可以先概括每层的意思，然后把层意进行合并归纳整理，作为一整段的意思。 如《太阳》（说明文）第一段中三节分别写了太阳远、大、热三个特点，所以段意可串连为：太阳离我们很远，它很大、很热。 四. 取舍归纳法。 有些段落层次意义较多时，可以先理清层次，然后采用取果舍因或取主舍次的方法来概括段意。归纳段意，一定要抓住每段的主要意思，选准角度，语言要明确、完整、简洁。为了做到这点，可指导学生用“去旁枝，抓主干”的方法进行归纳。 五. 概括归纳法 有些文章容结构比较复杂，不适宜运用以上方法，这就必须认真地把文章读透，然后看这一段写了几个意思，然后整理、精简为一个完整的句子，作为段意。即文中没有明显句子可以用来概括段意时，可以这样来整理：“谁？干什么？”或“谁？怎么样？” 如《给颜黎明的信》第一段分三层来写：（1）不要只看一个人的信；（2）不要只看文学书；（3）可以看世界旅行记和有益的电影。这三层都是围绕怎样读书写的，所以段意可归纳为：鲁迅谈怎样读书。 概括段意时，一定要在把握全段或全文中心的基础上进行，做到围绕中心，注意连贯。概括段意后，同学们应回过头来看看：几段的段意是否与全篇相称，概括的角度选得是否一致，概括的重点是否恰当。
利用数学归纳法解题举例 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立， 再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 一、运用数学归纳法证明整除性问题 例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。 证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
完全归纳法 完全归纳推理，又称“完全归纳法”，它是以某类中每一对象（或子类）都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 举例 ①太平洋已经被污染；大西洋已经被污染；印度洋已经被污染；北冰洋已经被污染；（太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋是地球上的全部大洋）所以，地球上的所有大洋都已被污染。 ②张一不是有出息的；张二不是有出息的；张三不是有出息的；（张一、张二、张三是张老汉仅有的三个孩子）所以，张老汉的孩子都不是有出息的。 上述两例都是完全归纳推理。例①对地球上的所有大洋都逐一进行考察，发现它们都被污染了，由此推出地球上所有大洋都具有“已被污染”这一属性。例②对张老汉仅有的三个孩子都逐一进行考察，发现他们都不是有出息的，由此推出张老汉的孩子都不具有“有出息的”这一属性。 逻辑形式 完全归纳推理的逻辑形式可表示如下： S1是（或不是）P；S2是（或不是）P；S3是（或不是）P；……Sn是（或不是）P。（S1，S2，S3，……Sn是S类的全部对象）所以，所有的S都是（或不是）P. 上式中的S1、S2、S3、……Sn ，可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。前者，如例①和例②；后者，如下面的例③。③黄种人不是长生不老的，白种人不是长生不老的，黑种人不是长生不老的，棕种人不是长生不老的，（黄种人、白种人、黑种人、棕种人是地球上的全部人种）所以，地球上的所有人种都不是长生不老的。 完全归纳推理特点 完全归纳推理的前提无一遗漏地考察了一类事物的全部对象，断定了该类中每一对象都具有（或不具有）某种属性，结论断定的是整个这类事物具有（或不具有）该属性。也就是说，前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围完全相同。因此，前提与结论之间的联系是必然性的，只要前提真实，形式有效，结论必然真实。完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理。
年终工作总结归纳方法 1.基本情况 这是对本身情况和工作情况的简单介绍。本身情况包括单位名称、工作性质、基本建制、人员数量、主要工作任务等;工作情况包括国一年中的主要工作，完成了哪些项目方案，办理了哪些事物等。 2.成绩和做法 工作获得了哪些主要成绩，采取了哪些方法、措施，收到了什么效果等，这些是工作的主要内容，需要较多事实和数据。 3.经验和教训 通过对实践过程进行认真的分析，找出经验教训，发现规律性的东西，使感性认识上升到理性认识。 4.今后打算 下一步将怎样发扬成绩、纠正错误，准备获得什么样的新成就，没必要像计划那样详细，但一般不能少了这些内容。 这些基本内容需要整理出来，然后把他们归纳，这样我们就有足够东西来写，不会不知道写什么了。 准备好了内容，我们就成功了一半了，下面的工作就是把它完整而且漂亮的写出来。 一、题目 题目并没有太多新意，一般都是：“某人**年工作总结归纳”或“某部门某人**年工作总结归纳”。虽没有发挥的余地，但一定要写
全面。 二、开头 俗话说“好的开始是成功的一半”，写好一篇总结归纳的开头是必须的。开头一般简明扼要地概述基本情况，交代背景，点明主旨或说明成绩，为主体内容的展开做须要的铺垫。 三、正文 这是你要写的这篇年终工作总结归纳的核心部分，其内容可以包括工作内容和领会，成绩和问习题，经验和教训等。全面的去总结归纳过去一年工作中的成绩和问习题，或者经验和教训。总之，内容要饱满，思路要清晰，工作要罗列，成绩要凸显。把你之前准备的内容全都写进去吧! 四、结尾 结尾的方式可以是在总结归纳经验教训的基础上，提出今后努力方向，或认识自己的不足，提出改良意见，也可以表明决心、展望前景等等。 这样一篇年终工作总结归纳就轻松完成了，很简单吧。不过还有几点在写年终工作总结归纳时候的注意事项介绍给大家： ⑴总结归纳工作要真实，这一年做了什么工作就写什么，干的好，上级会知道，但是假如虚报，下级或者同级会知道，群众的眼睛是雪亮的。所以切记误报工作。 ⑵不要避重就轻。中国人都好面子，喜欢好大喜功，对成绩大肆宣传，对过错就闭口不提。
“数学归纳法”教学设计 一、教材与内容解析 （一）内容与内容解析 数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。 由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。 数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。 数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因． （二）地位与作用解析 从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。 从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。 从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。 二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内